Dãy số, định nghĩa và tính chất
Dãy số (thực) là một hàm số xác định trên tập con của tập số tự nhiên, ký hiệu là M⊂N Thay vì sử dụng ký hiệu u:M →R n 7→u(n), chúng ta thường dùng ký hiệu (un) hoặc {un} với n ∈M Dãy số được phân loại thành hai loại: vô hạn, nếu có vô hạn phần tử, và hữu hạn, nếu số phần tử là hữu hạn Phần tử u i được gọi là phần tử thứ i của dãy.
Dãy (u n ) được gọi là đơn điệu tăng nếu thỏa mãn điều kiện u n ≤ u n+1 cho mọi n = 1, 2, và được gọi là đơn điệu giảm nếu u n ≥ u n+1 cho mọi n = 1, 2, Ngoài ra, dãy (u n ) được xem là tăng thực sự khi u n < u n+1 và giảm thực sự khi u n > u n+1, với mọi n = 1, 2, Cả dãy đơn điệu tăng và dãy đơn điệu giảm đều được gọi chung là dãy đơn điệu.
Nhận xét 1.1 • Nếu dãy (x n ) tăng, dãy (y n ) tăng thì dãy (x n +y n ) tăng.
• Nếu dãy (x n ) giảm, dãy (y n ) giảm thì dãy (x n +y n ) giảm.
• Nếu dãy (x n ) tăng thì dãy (−x n ) giảm, và nếu dãy (x n ) giảm thì dãy (−x n ) tăng.
• Nếu hai dãy số dương (x n ),(y n ) cùng tăng (giảm) thì dãy(x n y n ) tăng (giảm).
• Một dãy số có thể không tăng, cũng không giảm Ví dụ dãy số (xn) với xn = (−1) n ,∀n ∈N.
Dãy (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \$u_n \leq M\$, với mọi \$n \in \mathbb{N}^*\$ Ngược lại, dãy (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \$u_n \geq m\$, với mọi \$n \in \mathbb{N}^*\$.
Dãy(un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới nghĩa là tồn tại một sốM và một số m sao cho m ≤u n ≤M, ∀n∈N ∗
1.1.3 Dãy số Cauchy Định nghĩa 1.2 (xem [5]) Dãy số(un) được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ε >0,∃N0 ∈
N:∀m, n > N 0 , |u n −u m |< ε. Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy, xem [5]) Dãy số (u n ) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
Dãy số (u n ) được gọi là dãy số tuần hoàn (cộng tính) nếu tồn tại một số nguyên dương l sao cho điều kiện \$u_{n+l} = u_n\$ được thỏa mãn với mọi \$n \in \mathbb{N}\$.
Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy (u n ) thỏa mãn (1.1) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy.
Dãy số (u n ) được gọi là một dãy phản tuần hoàn (cộng tính) nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho u n+l =−un, ∀n ∈N (1.2)
Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy (un) thỏa mãn (1.2) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy.
Nhận xét 1.2 a) Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi dãy đó là một dãy hằng. b) Dãy phản tuần hoàn chu kỳ l là dãy tuần hoàn chu kỳ 2l.
Dãy số (u n ) được gọi là dãy tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại một số nguyên dương s (s > 1) sao cho u sn = u n với mọi n thuộc tập số tự nhiên.
Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy số (u n ) thỏa mãn (1.3) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy.
Dãy số (u n ) được gọi là dãy phản tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s(s >1) sao cho usn =−un, ∀n∈N (1.4)
Số nguyên dương s(s >1) nhỏ nhất để dãy số (u n ) thỏa mãn (1.4) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy.
Nhận xét 1.3 Dãy phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ s là một dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ s 2
Giới hạn của dãy số
Dãy số \((u_n)\) được coi là có giới hạn hữu hạn \(a\) khi \(n\) tiến tới vô cùng nếu với mọi \(\varepsilon > 0\), tồn tại một số tự nhiên \(N_0\) (phụ thuộc vào dãy số \((u_n)\) và \(\varepsilon\)) sao cho với mọi \(n > N_0\), ta có \(|u_n - a| < \varepsilon\) Điều này có thể được diễn đạt bằng ký hiệu giới hạn: \[\lim_{n \to +\infty} u_n = a \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists N_0 \in \mathbb{N}: \forall n > N_0, |u_n - a| < \varepsilon.\]
Dãy số \((u_n)\) được coi là dần đến vô cùng khi \(n\) tiến đến vô cùng, nếu với mọi số thực dương \(M\) tùy ý, tồn tại một số tự nhiên \(N_0\) (phụ thuộc vào dãy số \((u_n)\) và \(M\)) sao cho với mọi \(n > N_0\), ta có \(|u_n| > M\) Điều này có thể được diễn đạt bằng ký hiệu giới hạn: \[\lim_{n \to +\infty} u_n = \infty \Leftrightarrow \forall M > 0, \exists N_0 \in \mathbb{N}: \forall n > N_0, |u_n| > M.\]
Dãy số \((u_n)\) có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ, trong khi dãy không có giới hạn hoặc dần đến vô cùng được gọi là dãy phân kỳ Theo định lý 1.2, nếu tồn tại \(\lim_{n \to +\infty} u_n = a\) và \(\lim_{n \to +\infty} v_n = b\), thì các giới hạn của tổng, hiệu và tích của hai dãy số này có thể được tính toán theo các quy tắc cụ thể Định lý 1.3 chỉ ra rằng nếu \(u_n \leq v_n\) với mọi \(n \geq N_0\) và tồn tại giới hạn, thì \(a \leq b\) Định lý 1.4 (Định lý Weierstrass) khẳng định rằng một dãy số đơn điệu tăng và bị chặn trên sẽ hội tụ đến một giới hạn hữu hạn, trong khi dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới cũng sẽ hội tụ Cuối cùng, định lý 1.5 (Nguyên lý kẹp) cho biết nếu \(v_n \leq u_n \leq w_n\) với mọi \(n \geq N_0\) và cả hai dãy \(v_n\) và \(w_n\) hội tụ đến cùng một giới hạn, thì \(u_n\) cũng hội tụ đến giới hạn đó.
Một vài dãy số đặc biệt
1.3.1 Cấp số cộng Định nghĩa 1.6 (xem [5]) Dãy số (u n )được gọi là một cấp số cộng khi và chỉ khi tồn tại d∈R sao cho
∀n∈N, u n+1=u n +d. u 1 được gọi là số hạng đầu, d được gọi là công sai của cấp số cộng. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Tính chất 1.1 Dãy số (u n ) là cấp số cộng với công sai d thì i) u n =u 1 + (n−1)d với mọi n= 1,2, ; ii) u k = u k−1 +u k+1
2 với mọi k = 2,3, ; iii) Cho cấp số cộng hữu hạn u 1 , u 2 , , u n−1 , u n Ta có u 1 +u n =u 2 +u n−1 =u 3 +u n−2 = .
Một cách tổng quát: u 1 +u n =u k +u n+1−k với mọi k = 2,3, , n−1. iv) Đặt S n =u 1 +u 2 +ã ã ã+u n−1 +u n Ta cú
1.3.2 Cấp số nhân Định nghĩa 1.7 (xem [5]) Dãy số (u n ) được gọi là một cấp số nhân khi và chỉ khi tồn tại q ∈R sao cho
∀n ∈N, u n+1 = u n q. u 1 được gọi là số hạng đầu, q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Tính chất 1.2 Dãy số (u n ) là cấp số nhân với công bội q thì i) un =u1q n−1 với mọi n = 1,2, ; ii) u 2 k =u k−1 u k+1 với mọi k = 2,3, ; iii) Đặt S n =u 1 +u 2 +ã ã ã+u n−1 +u n Khi q6= 1 ta cú
Nhận xét 1.4 Nếu |q| m thì áp dụng định nghĩa hàm số co, ta có
|x 1 −x 0 |, suy ra dãy(x n ) bị chặn.
Xét ε >0 Từ (1.5), doq 0 Xét dãy (an) xác định bởi:
Chứng minh rằng a n ≥√ c n−1 n n a n+1 , ∀n ∈N ∗ Bài giải.
Từ giả thiết ta có thể viết
X k=1 ca k a k+1 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Bài toán 2.2 Tìm số hạng tổng quát của dãy (un) xác định bởi:
Từ công thức lượng giác cos 3α = 4 cos 3 α−3 cosα, ta có u 2 = 4 cos 3 π
Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được u n = cos3 n−1 π
6 ,∀n∈N ∗ Bài toán 2.3 (xem [1]) Cho dãy (x n ) xác định bởi:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (x n ). Bài giải. Đặt xn = 2yn Khi đó
12. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Do công thức lượng giáccos 4α= 8 cos 4 α−8 cos 2 α+ 1 nên y 2 = 8 cos 4 π
Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh y n = cos
Thật vậy, (2.4) đã đúng với n = 2, n= 3 như trên.
Giả sử (2.4) đúng với n=k, k ∈N ∗ tức lày k = cos
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có y n = cos
Bài toán 2.4 (xem [1]) Cho dãy (x n ) xác định bởi:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (x n ). Bài giải.
Từ công thức cos 5α= 16 cos 5 α−20 cos 3 α+ 5 cosα, ta có x 2 = 16 cos 5 π
Theo nguyên lý quy nạp, suy ra x n = cos5 n−1 π
3 , ∀n = 1,2, luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Bài toán 2.5(Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2014) Cho hai dãy số dương (x n ),(y n ) xác định bởi: x 1 = 1, y 1 =√
Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng với mọi n nguyên dương thì x n = 2 sin π
Thật vậy, với n= 1 mệnh đề (2.7) đúng.
Giả sử đã có x n = 2 sin π
3.2 n Theo công thức truy hồi ta có xn+1=p
3.2 n+1 Điều này chứng tỏ (2.7) đúng với n+ 1. Theo nguyên lý quy nạp ta có x n = 2 sin π
Vậy các dãy (xn),(yn) có giới hạn hữu hạn và lim n→+∞xn = 0 và lim n→+∞yn = 2.
Bài toán này được coi là dễ nhất trong kỳ thi, nhưng nếu không nhận ra tính chất đặc biệt của x1 và y1, việc giải quyết bài toán bằng phương pháp lượng giác sẽ trở nên khó khăn.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một số bài toán xác định dãy số thông qua phương pháp hàm lặp Để xác định số hạng tổng quát của dãy số \((u_n)\), chúng ta cần tìm các hàm số \(f(x)\) và \(h(x)\) sao cho thỏa mãn điều kiện \(f(u_{n+1}) = h(f(u_n))\).
Sử dụng (2.8) liên tiếp ta thu được f(u n+1 ) = h(f(u n )) =h(h(f(u n−1 ))) :=h 2 (f(u n−1 )) =ã ã ã=h n (f(u 1 )) (2.9)
Từ (2.9) ta tìm được u n Hàm số f được gọi là hàm phụ, còn hàm số h được gọi là hàm lặp.
Bài toán 2.6 Tìm số hạng tổng quát của dãy (x n ) cho như sau x 1 = 3, x n+1 = 7x n −1, ∀n = 1,2,
Nhận xét 2.2 Trong lời giải trên, điều quan trọng là phải biết xét hiệu x n+1 −1
Ta cần chọnk sao cho 6k−1 = 0⇔k = 1
6 Có thể thấy rằng dãy số đã cho có dạng x n+1 =f(x n ), trong đó f(x) = 7x−1, và số 1
6 là nghiệm của phương trình f(x) = x. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Bài toán 2.7 (xem [1]) Cho dãy (u n ) như sau u 1 =α∈R, u n+1=−5u 2 n −4u n − 6
Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho.
Số hạng tổng quát của dãy đã cho là u n =−1
2 + (5α+ 2) 2 n−1 i , ∀n∈N ∗ Bài toán 2.8 (xem [1]) Cho dãy (u n ) như sau u1=α∈R, u n+1 = 25u 3 n−15u 2 n + 3un, ∀n∈N ∗
Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho.
5 Khi đó ta được dãy (x n ) thỏa mãn x 1 = 5α và
⇔x n+1 −1 = (x n −1) 3 Vậy với mọi số nguyên dương n, ta có x n −1 x n−1 −1 3 x n−2 −1 3 2
Số hạng tổng quát của dãy đã cho là u n
5 , ∀n∈N ∗ luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Bài toán 2.9 Xét dãy (a n ) thỏa mãn các điều kiện sau
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh 1
2n < an. Thật vậy, ta có a 1 = 1
2− 1 2(k+ 1) (điều phải chứng minh). Để chứng minh bất đẳng thức an ≤ 1
2, ta sử dụng hệ thức a n (1−a n )≤ 1
Suy ra an ≥an+1 và dãy (an) bị chặn trên bởi a với a(1−a) = 1
Dãy số sinh bởi hàm phân thức hữu tỷ
Bài toán 2.10 (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2001, bảng B) Cho dãy (x n ) xác định bởi:
Hãy tính tổng của 2001 số hạng đầu tiên của dãy số (x n ). luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
⇔ 1 x n+1 = 2(2n+ 1) + 1 x n Đặt 2 x n =un Khi đó u1= 3 và un+1 = 4(2n+ 1) +un, ∀n = 1,2, Suy ra u n+1 −
4003. Bài toán 2.11 (xem [1]) Cho dãy (xn) xác định bởi:
Tìm số hạng tổng quát của dãy (x n ). Bài giải.
Từ công thức tan (x+y) = tanx+ tany
8 , ∀n = 1,2, luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minhx n = tan π
,∀n= 1,2, Trường hợp n= 1 đã kiểm tra ở trên.
Theo nguyên lý quy nạp, ta được x n = tanhπ
8 i ,∀n= 1,2, Bài toán 2.12 (xem [1]) Cho dãy (x n ) như sau x 1 = 5, x n+1 = 5xn+ 4 x n + 2 , ∀n= 1,2, Chứng minh rằng với mọi n ∈N ∗ thì x n 6= 4 Tìm số hạng tổng quát của dãy (x n ). Bài giải.
Ta có x 1 = 5 6= 4 Giả sử x n 6= 4, ta chứng minh x n+1 6= 4.
Nếu xn+1 = 4 thì 5x n + 4 x n + 2 = 4 ⇔ 5xn+ 4 = 4xn + 8 ⇔ xn = 4, mâu thuẫn với giả thiết quy nạp Vậy x n 6= 4, ∀n ∈N ∗
Do đó xn+ 1 = 6 n xn−4.6 n ⇔xn = 4.6 n + 1
6 n −1 , ∀n ∈N ∗ Vậy số hạng tổng quát của dãy (x n ) là x n = 4.6 n + 1
6 n −1 , ∀n ∈N ∗ luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Nhận xét 2.3 Để sử dụng phương pháp hàm lặp ta xét x n+1 −k = 5x n + 4 x n + 2 −k = 5x n −4−kx n −2k x n + 2
" k =−1 k = 4 Vậy nên trong lời giải trên ta đã xét x n −4 và x n + 1.
Bài toán 2.13 (xem [1]) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (x n ) cho như sau x 1 =α∈R, x n+1 = 8x n
Nếu α=−2 thì x n =−2, ∀n = 1,2, Xét α6=−2 Ta có
1 +β Vậy, nếu α=−2 thì x n =−2, ∀n= 1,2, nếu α6=−2 thì x n 2h
2 n−1 , ∀n = 1, 2, luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Bài toán 2.14 (xem [1]) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (x n ) cho như sau x 1 =α >0, x n+1 = x 3 n + 12x n
Xét hàm số f(x) = x−2 x+ 2 Từ (2.13) và (2.14) ta có f(x n ) = xn−2 x n + 2 x n−1 − 2 x n−1 + 2
Vậy số hạng tổng quát của dãy đã cho là x n 2 + 2 α − 2 α+ 2
Bài toán 2.15 (xem [1]) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u n ) cho như sau: u1=α∈R, u n+1 = 4u n (4u
Dễ thấy, với mọi số nguyên dương n thì luôn tồn tại u n
16u 4 n + 24u 2 n + 1 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Bài toán 2.16 (xem [1]) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (x n ) cho như sau x 1 =α >0, x n+1 = x 4 n + 12x 2 n + 4
2 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
2, ∀x >0 Từ (2.19) và (2.20) ta suy ra f(x n ) = x n −√
Số hạng tổng quát của dãy đã cho là x n √2 +√
Dãy số sinh bởi hàm chứa căn thức
Bài toán 2.17 Tìm số hạng tổng quát của dãy (u n ) xác định bởi:
Từ công thức lượng giác cos 2 α= 1−sin 2 α ta có u2 r
2 n 6. Vậy, theo nguyên lý quy nạp ta chứng minh được u n = sin π
2 n−1 6. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Bài toán 2.18 Tìm số hạng tổng quát của dãy (u n ) xác định bởi:
2 k+2 Vậy, theo nguyên lý quy nạp ta chứng minh được u n = 2 cos π
2 n+1 , ∀n ≥1. Bài toán 2.19 Cho dãy (x n ) xác định bởi:
P k=1 x k Tìm số hạng tổng quát của dãy (yn).
Từ giả thiết ta có x n >0,∀n ∈N ∗ Đặt 1 xn
=u n Từ công thức (2.24), ta có u 1 = 4 và u n+1 =u n + 2 + 2√
1 + 2u n ,∀n∈N ∗ (2.25) Nhân hai vế của (2.25) với 8, rồi cộng hai vế với 4 ta được
Do v n >0, ∀n ∈N ∗ nên v n+1 =v n + 4,∀n ∈N ∗ Vậy (v n ) là cấp số cộng với công sai d= 4, số hạng đầu v 1 = 6. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Vậy số hạng tổng quát của dãy (y n ) là y n = 1
Dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và siêu việt
2.4.1 Dãy số sinh bởi các hàm lượng giác
Bài toán 2.20 Cho dãy số (xn) xác định như sau:
Chứng minh rằng với mọi số thực a dãy (x n ) có giới hạn hữu hạn khi n→+∞. Bài giải.
Trường hợp 1 Vớia=kπ, k∈Z Từ công thức xác định dãy ta cóx n =a, ∀n∈N.
Do đó dãy đã cho có giới hạn hữu hạn khin →+∞ và limx n =a Trường hợp 2 Với a6=kπ, k ∈Z Xét hàm số f(x) =x+ sinx, x∈R. Khi đó dãy (x n ) được viết lại dưới dạng
Ta có f 0 (x) = 1 + cosx≥0, ∀x∈R, suy ra f(x) đồng biến trên R và do đó dãy (x n ) đơn điệu Ta xét các khả năng sau: i) Nếu a∈(2kπ; (2k+ 1)π), k ∈Z thì sina >0 nên dãy (x n ) đơn điệu tăng.
Bằng quy nạp ta chứng minh x n ∈(2kπ; (2k+ 1)π), n∈N. Thật vậy, với n= 0 hiển nhiên x 0 ∈(2kπ; (2k+ 1)π). Giả sử đã có xn ∈(2kπ; (2k+ 1)π), n∈N Do f(x) đồng biến trên R nên
2kπ=f(2kπ)< f(x n ) = x n+1 < f((2k+ 1)π) = (2k+ 1)π luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si nghĩa là có x n+1 ∈(2kπ; (2k+ 1)π). Theo nguyên lý quy nạp ta có x n ∈(2kπ; (2k+ 1)π), n∈N.
Dãy (x n ) đơn điệu tăng và bị chặn trong khoảng (2kπ; (2k+ 1)π) nên có giới hạn hữu hạn khi n→+∞ Nếu a ∈((2k−1)π; 2kπ), k ∈ Z thì sina 2 n+1 + 3 n+1 =a n+1 n+1 , ∀n = 2,3, Vậy a n > a n+1 , ∀n≥2 nên (a n ) là dãy số giảm.
Nếu dãy số \((u_n)\) là một cấp số nhân với các số hạng dương, thì dãy số \((v_n)\) được định nghĩa bởi \(v_n = \log_a u_n\) với \(0 < a \neq 1\) sẽ tạo thành một cấp số cộng.
Giả sử (u n ) là một cấp số nhân với công bội q. Xét dãy số (v n ) với v n = log a u n , ∀n∈N, 0 < a 6= 1.
Ta có v0 = log a u0, v1= log a u1, v2= log a u2, , vn = log a un. Khi đó v 1 −v 0 =v 2 −v 1 =v 3 −v 2 =ã ã ã=v n −v n−1 = log a q.
Vậy, dãy số (v n ) lập thành một cấp số cộng với công sai bằng log a q. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Một số phương pháp xác định giới hạn của dãy số
Sử dụng tính đơn điệu và bị chặn để tính giới hạn của dãy số
của dãy số Để chứng minh dãy sốx n+1 =f(x n ) hội tụ bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn, ta có thể thực hiện như sau:
Bước đầu tiên là dự đoán xu hướng của dãy số đã cho, bằng cách tính giá trị của một vài số hạng đầu Tiếp theo, giải phương trình \( L = f(L) \) để xác định giới hạn \( L \) của dãy \( (x_n) \).
Nếu dự đoán dãy tăng thì chứng minh x n ≤ L,∀n = 1,2, để suy ra dãy bị chặn trên.
Nếu dự đoán dãy giảm thì chứng minh x n ≥ L,∀n = 1,2, để suy ra dãy bị chặn dưới.
Bước 2: Sử dụng kết quả dãy bị chặn ở bước 1 để chứng minh dãy đơn điệu. Bước 3: Sử dụng định lý Weierstrass để chứng minh dãy đã cho hội tụ.
Bài toán 3.1 Cho dãy (x n ) xác định bởi:
Chứng minh rằng dãy (x n ) có giới hạn Tìm giới hạn đó. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Theo giả thiết x 1 =a >1. Giả sử x n >1 với n ∈N ∗
Suy ra x n+1 > 1 Theo nguyên lý quy nạp ta được x n > 1, ∀n ∈ N ∗ Suy ra dãy (xn) bị chặn dưới bởi 1.
Suy ra xn+1< xn, ∀n ∈N ∗ Do đó dãy số (xn) là dãy giảm.
Vì dãy số (x n ) là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên có giới hạn hữu hạn là b ≥1.
Từ công thức (3.1), chuyển qua giới hạn ta được b= b 2 + 7 2(b+ 3) ⇔b 2 + 6b−7 = 0⇔
Vìb ≥1 nên được b= 1 hay limx n = 1.
Bài toán 3.2 (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2012) Cho dãy (x n ) xác định bởi:
Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn Tìm giới hạn đó.
Bằng quy nạp, ta sẽ chứng minh với mọi n= 3,4, , ta có x n−1 ≥ n+ 2 n−1 (3.3)
3 nên (3.3) đúng khi n = 3. Giả sử x k−1 ≥ k+ 2 k−1, ∀k≥3. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Vậy x k ≥ k+ 3 k Theo nguyên lý quy nạp, suy ra x n−1 ≥ n+ 2 n−1, ∀n= 3,4,
Dễ thấy rằng x n ≥0 với mọi n nên dãy (x n ) bị chặn dưới bởi 0.
Vậy dãy (xn) giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn hữu hạn là a.
Từ công thức (3.2) chuyển qua giới hạn ta được a= 1
Vậy lim n→+∞x n = 1. Bài toán 3.3 (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2013) Cho dãy (a n ) xác định bởi:
Chứng minh rằng dãy (a n ) có giới hạn Tìm giới hạn đó.
Bằng quy nạp, ta sẽ chứng minh
2 nên(3.5) đúng khi n= 1, n= 2. Giả sử (3.5) đúng với n=k >1 tức là 1< a k 0,∀x∈(1; 2). Suy ra f và g đều đồng biến trên khoảng (1; 2) Do đó từ 1< a k 0,∀x ∈ (1; 2) nên hàm h(x) đồng biến trên khoảng(1; 2).
Dãy số \( (a_n) \) được chứng minh là dãy tăng và bị chặn trên bởi 2, do đó nó có giới hạn hữu hạn Giả sử giới hạn này là \( L \in (1; 2] \).
Ta sẽ chứng minh phương trình này có nghiệm duy nhất trên (1; 2].
Thật vậy, xét hàm số m(x) = 3− x+ 2
Ta xét tiếp hàm sốn(x) = ln 4 +xln 2−1−2 x , x∈(1; 2]. n 0 (x) = ln 2(1−2 x ) u n , ∀n ≥2.
Dãy số \(u_n\) là dãy số dương và tăng, với \(u_n > 0\) cho mọi \(n \geq 1\) Khi \(n = 2\), ta có \(u_3 = 2 > u_1 = 2\) Giả sử \(u_{k+1} > u_k\) cho mọi \(k \geq 2\), ta có \(u_{k+2} = \sqrt{u_{k+1}} + \sqrt{u_k} > \sqrt{u_k} + \sqrt{u_{k-1}} = u_{k+1}\), do đó dãy \(u_n\) là dãy số dương tăng và \(u_n \geq u_1 = 1\) cho mọi \(n \geq 1\) Hơn nữa, với mọi \(n \geq 3\), ta có \(u_n = \sqrt{u_{n-1}} + \sqrt{u_{n-2}} < \sqrt{u_n} + \sqrt{u_n} = 2\sqrt{u_n}\), dẫn đến \(2n < 4u_n\) hay \(u_n < 4\) (vì \(u_n > 0\)), suy ra dãy \(u_n\) bị chặn trên bởi 4.
Dãy số (u n ) tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn Giả sử lim n→+∞u n = α. Khi đó α≥1.
Từ hệ thức truy hồi suy ra lim n→+∞u n+1 = lim n→+∞
√u n−1 hayα=√ α+√ α suy ra α 2 = 4α Do α≥1 nên α= 4.
Bài toán 3.5 (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2015) Cho a là một số thực không âm và dãy (u n ) xác định bởi:
(3.7) a) Với a= 0, chứng minh rằng dãy (u n ) có giới hạn Tìm giới hạn đó. b) Với mọi a∈[0; 1], chứng minh rằng dãy (u n ) có giới hạn.
Bài giải. a) Với a= 0, ta có dãy (u n ) xác định bởi u 1 = 3, u n+1 = 1
√ x x 2 + 3 >0, ∀x >0. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Từ công thức thức truy hồi ta suy ra với mọi n thì u n > 0, u n+1 = f(u n ) và u 2 = 3
Dãy số \( (u_n) \) thỏa mãn điều kiện \( 2 < u_1 \) và được chứng minh là dãy giảm, đồng thời bị chặn dưới bởi 0, do đó nó có giới hạn hữu hạn Đặt \( \lim_{n \to +\infty} u_n = x \) với \( x \geq 0 \) Từ công thức (3.7) khi chuyển qua giới hạn, ta có \( x = 1 \).
Vậy lim n→+∞u n = 1. b) Với a∈[0; 1], ta có n
Xét hai dãy số (x n ) và (y n ) xác định bởi
Theo kết quả câu a) ta có lim n→+∞x n = 1 Ta sẽ chứng minh lim n→+∞y n = 1 và từ đó suy ra được kết quả lim n→+∞u n = 1 và đó là điều cần chứng minh.
Từ đó suy ra lim n→+∞y n = 1. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Nếu tồn tại n 0 ∈N ∗ để y n 0 ≤1 thì ta có lim n→+∞y n n 0
Nếu tồn tại N > n0 sao cho y N+1 > y N , khi đó do f(x) = x 2
4x 2 + 1 là một hàm số đồng biến trên khoảng(0; +∞) nên ta có
Dãy (y_n) được chứng minh là tăng từ số hạng thứ N trở đi bằng phương pháp quy nạp, do đó dãy này hội tụ Khi đặt lim khi n tiến tới vô cực của y_n là y, ta tìm được y = 1 Nếu dãy (y_n) là dãy giảm từ số hạng thứ n_0 trở đi và bị chặn dưới bởi 0, ta cũng suy ra rằng dãy (y_n) hội tụ Tuy nhiên, trong trường hợp này, khi đặt lim khi n tiến tới vô cực của y_n là y, ta cũng nhận được y = 1, dẫn đến việc loại trừ trường hợp này.
Vậy lim n→+∞y n = 1 và bài toán được chứng minh.
Bài toán 3.6 Cho a >0, dãy số (u n ) xác định bởi:
Dãy số (u n) là một dãy số giảm và bị chặn dưới bởi √a, mặc dù việc tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số này là khá khó khăn.
Thật vậy, theo bất đẳng thức AM - GM ta có u 2 = 1
≥√ a. Giả sử u k ≥√ a, ∀k≥2, ta chứng minh u k+1 ≥√ a. Theo bất đẳng thức AM - GM và giả thiết quy nạp ta có u k+1 = 1
Do đó u n ≥√ a, ∀n≥2, nên dãy (u n ) bị chặn dưới bởi √a.
Mặt khác, ta có u n+1 un
2a. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
2a = 1 ⇒u n+1 ≤u n ,∀n ≥1nên dãy (u n ) là dãy giảm. Vậy dãy số (u n ) có giới hạn hữu hạn.
Giả sử lim n→+∞u n =α, khi đó α >0 Từ hệ thức truy hồi suy ra n→+∞lim u n+1 = lim n→+∞
Sử dụng nguyên lý kẹp để tính giới hạn của dãy số
Bài toán 3.7 Cho dãy số (u n ) xác định bởi:
Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được u n >0, ∀n∈N ∗
Theo nguyên lý quy nạp, ta có 0< u n ≤ 1
= 0, nên theo nguyên lý kẹp thì lim n→+∞u n = 0. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Bài toán 3.2 gặp khó khăn trong việc xác định số hạng tổng quát Tuy nhiên, có thể giải quyết bài toán này bằng cách chứng minh rằng dãy số đang xem xét là một dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0.
Bài toán 3.8 Cho dãy số (u n ) xác định bởi:
Nhận xét 3.3 Việc xác định công thức tổng quát của dãy số là khá khó khăn.
Do đó để tìm giới hạn của dãy số ta đánh giá tỷ số u n+1 u n từ đó dùng định lý giới hạn kẹp để tìm giới hạn.
Bằng quy nạp ta chứng minh được u n >0, ∀n≥1.
Từ hệ thức truy hồi, ta có u n+1 un
= 0 nên theo nguyên lý giới hạn kẹp thì lim n→+∞u n = 0. Bài toán 3.9 Cho dãy số (u n ) xác định bởi:
Bằng chứng minh quy nạp ta có −1< u n
