Các Dạng Toán Sử Dụng Các Hằng Đẳng Thức 1,2.Doc

1 PHÒNG GD ĐT TP BẮC GIANG TRƯỜNG THCS TÂN TIẾN  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC (A  B)=A  2AB +B”AB +B” Người viết Trần Anh Quang Tân Tiến, tháng 5 năm 2015 NỘI DU[.]

PHÒNG GD-ĐT TP BẮC GIANG TRƯỜNG THCS TÂN TIẾN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC: (A  B)=A  2AB +B”AB +B”

Người viết: Trần Anh Quang

Tân Tiến, tháng 5 năm 2015

NỘI DUNG TRANG

1 Đặt vấn đề ……… 3

2.Giải quyết vấn đề ……… 3

2.1 Cơ sở lý luận ……… 3

2.2.Thực trạng 4

2.3 Nội dung ……… 4

2.3.1 Lý Thuyết 4

2.3.2 Một số dạng toán ……… ……… 5

Dạng 1 ……… 5

Dạng 2 ……… 6

Dạng 3 ……… 7

Dạng 4 ……… 9

Dạng 5 ……… 12

Dạng 6 ……… 17

Dạng 7 ……… 20

Dạng 8 ……… 21

2.4 Hiệu quả 25

3 Kết luận 25

3.1 Đánh giá 25

3.2 Bài học kinh nghiệm … 26

3.3 Ý kiến đề xuất ……… 26

4 Tài liệu tham khảo 28

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Khi thực hiện giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8,phần kiến thức về những hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là hai hằng đẳngthức: bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu là rất quan trọng.Với phần kiến thức này học sinh không chỉ giải một số dạng bài tập cơ bảntrong chương mà còn là phương tiện để làm các bài toán về tìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất, chứng minh biểu thức âm, biểu thức dương và một sốbất đẳng thức Trong khi phân phối chương trình của sở giáo dục chỉ có haitiết học cả lí thuyết và bài tập nên thầy cô chủ yếu dạy lí thuyết và hướng dẫnhọc sinh giải một số bài tập cơ bản, thời gian hướng dẫn các em về một vàiphương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán gần như không có Vì vậy giáoviên ít có điều kiện rèn kĩ năng cho học sinh ở phần này

Xuất phát từ thực tế này, tôi đã tiến hành phân loại và đưa ra “Một sốdạng toán sử dụng hằng đẳng thức (A  B) = A  2AB + B” nhằm giúp họcsinh khắc phục những hạn chế trên Đồng thời bổ sung thêm một số dạng toánkhó cho HS khá giỏi

2AB +B” GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2AB +B”.1 Cơ sở lí luận:

Việc giảng dạy bài tập toán không thể cứng nhắc đơn điệu, tuỳ theotừng bài toán ta có các cách giải khác nhau

Dạy học giải các bài tập toán có ý nghĩa rất quan trọng:

- Củng cố, hệ thống hoá kiến thức đã học của học sinh, rèn luyện kĩnăng kĩ xảo

- Để học sinh tự đánh giá năng lực nhận thức của chính mình và cũnggiúp giáo viên đánh giá được sự tiếp thu kiến thức của học sinh và trình độhọc toán của từng em

- Gây hứng thú học tập toán của học sinh Từ đó phát huy được cácphẩm chất trí tuệ, các năng lực cần thiết mà mục tiêu giáo dục THCS đề ra

Các hằng đẳng thức 1, 2 là một nội dung đặc biệt quan trọng, nó được

sử dụng rất nhiều trong các dạng toán ở lớp 8 và lớp 9 Vì vậy, ngoài việc dạy

lí thuyết giáo viên chú ý khắc sâu kiến thức trọng tâm của bài học, tôi đã phânloại các bài toán theo từng dạng trong quá trình dạy học của mình, để giúp các

em có được những kĩ năng tốt, những kinh nghiệm quý báu khi giải các bàitập có liên quan

2AB +B”.2AB +B” Thực trạng:

Giáo viên: Có sự nhiệt tình, lòng yêu nghề, tinh thần trách nhiệm trongcông việc, trình độ chuyên môn khá, luôn có ý thức tự học tập nâng cao trình

độ Tuy nhiên, kinh nghiệm bản thân còn hạn chế

Nhà trường: Cơ sở vật chất đáp ứng đủ nhu cầu dạy và học nhưng chấtlượng giáo dục còn chưa cao

Học sinh:

- Các em chăm ngoan chú ý đến việc học tập, nhưng việc tiếp thu kiếnthức ngoài SGK còn yếu

- Đối với những hằng đẳng thức đáng nhớ, các em cũng đã nắm được

và giải được những bài tập cơ bản trong SGK, tuy nhiên với bài tập ở mức độcao hơn các em còn gặp nhiều khó khăn

- Đội tuyển HSG được ôn tập nhiều nhưng số giải đạt được rất thấp

2AB +B”.3 Nội dung:

2AB +B”.3.1 Lí thuyết

* Các hằng đẳng thức đã học:

1 (A + B) = A + 2AB + B 2 (A - B) = A - 2AB + B

* Các hằng đẳng thức mở rộng:

1 (A+B+C) = A + B + C + 2AB + 2BC + 2AC

2 (A+B- C) = A + B + C + 2AB - 2BC - 2AC

2AB +B”.3.2AB +B” Một số dạng bài tập sử dụng hằng đẳng thức 1, 2AB +B”

b) (y - ) = y - 2.y + = y - y +

c) (2x - y) = (2x) - 2.2x y + = 4x - xy + y

d) (x + 2y -3z) = x + (2y) + (3z) +2.x.2y - 2.x.3z - 2.2y.3z

= x + 4y + 9z + 4xy - 6xz - 12yz e) (x - y) + (y + z) - (x - y -z)

= (x - 2xy + y) + (y + 2yz + z) - (x + y + z - 2xy + 2yz - 2xz)

= x - 2xy + y + y + 2yz + z - x - y - z + 2xy - 2yz + 2xz

= y + 2xz

Chú ý: Khi một phân số, một tích, một đa thức là cơ số của lũy thừa phải có

ngoặc

Bài tập tương tự: Tính

a) (x - )

b) (2x - 1)

c) (3x + )

d) (2x - 3y) e) (a - b) f) (4x - y)

g) ( 5a - b) h) (x - y) i) ( 2a + b - c)

DẠNG 2AB +B”: Phân tích đa thức thành nhân tử

Cách làm: Sử dụng các hằng đẳng thức

1 A + 2AB + B = (A + B)

2 A - 2AB + B = (A - B)

3 A + B + C + 2AB + 2BC + 2AC = (A+B+C)

4 A + B + C + 2AB - 2BC - 2AC = (A+B- C)

5 A + B + C - 2AB + 2BC - 2AC = (A- B- C)

- Cần nhận định xem đa thức đã cho giống vế trái của hằng đẳng thứcnào ở trên

- Xác định các biểu thức: A, B, C

- Áp dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức đó thành nhân tử

VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x - 4x +4 b) x + y + 2xy c) (x +y) +1 + 2x + 2yd) x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz e) x - y + 2y - 1

Giảia) x - 4x +4 = x - 2.x.2 + 2 = (x -2)

b) x + y + 2xy = x + 2.x.y + y = (x +y)

c) (x +y) +1 + 2x + 2y = (x +y) + 2(x+y) + 1 = (x +y +1)

d) x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz = (x +y +z)

Giảia) 31 + 2.31.69 + 69 = ( 31 + 69) = 100 = 10000

b) 2,5 + 7,5 - 5.7,5 = 7,5 - 2.2,5.7,5 + 2,5 = (7,5 -2,5) = 5 = 25

c) 102 = (100 +2) = 100 + 2.100.2 + 2 = 10000 + 400 + 4 = 10404

d) 3,1+2,3+4,6+2.3,1.2,3+2.2,3.4,6+2.3,1.4,6 = (3,1+2,3+ 4,6) = 10 = 100e) 199 = (200 -1) = 200 - 2.200.1 + 1 = 40000 - 400 + 1 = 39601

Bài tập tương tự: Tính nhanh

a) 101 ; 98

b) 302 ; 198

c) 17 + 2.17.83 + 83

d) 109,5 - 2.105,5.5,5 + 5,5 e) 48 + 96.52 + 52

f) 135 - 70.135 + 35

2/ Tính giá trị biểu thức

Cách làm:

- Phân tích đa thức thành nhân tử

- Thay giá trị của biến vào đa thức đã phân tích rồi tính biểu thức số.VD: Tính giá trị biểu thức

a) A = 4x - 12x + 9 tại x = 1,5

b) B = x + y + xy tại x = 201,6 ; y = - 7,2

Giảia) Ta có: A = 4x - 12x + 9 = (2x) - 2.2x.3 + 3 = (2x -3)

thay x =1,5 vào biểu thức trên được: (2.1,5 - 3) = 0 = 0

Vậy giá trị của A tại x = 1,5 bằng 0

b) Ta có: B = x + y + xy = + 2 x.y + y =

thay x = 201,6; y=-7,2 vào biểu thức trên, được:

= (67,2 - 7,2) = 60 = 3600Vậy giá trị của B tại x = 201,6 ; y = -7,2 bằng 3600

Bài tập tương tự: Tính giá trị biểu thức

b) B = x + xy + y tại x = 142; y = 29

DẠNG 4: Tìm số chưa biết

1/ Tìm một số chưa biết

Cách làm:

- Thực hiện các phép nhân ở hai vế

- Áp dụng quy tắc chuyển vế: chuyển tất cả sang vế trái

- Nếu đa thức vế trái có bậc 1 thì tìm biến ; nếu đa thức vế trái có bậc lớn hơn 1 thì phân tích thành nhân tử rồi cho từng nhân tử bằng 0 sau đó tìm biến và trả lời

VD: Tìm x, biết:

a) (x -2) = (x +1)(x -1) b) 4x - 20x + 25 = 0 c) (2x +1) = (x - 2)

Giảia) (x -2) = (x +1)(x -1)

=> 2x - 5 = 0

x = vậy x =

(x + 2xy + y) + (y - 2y +1) = 0

(x +y) + (y -1) = 0

Vì (x + y)  0, (y - 1)  0 nên x +y =0 và y -1 =0 => x = -1 và y =1Vậy x = -1 và y =1

b) x + y + z + 2x + 2y + 2z +3 = 0

(x + 2x +1) + (y + 2y +1) +(z + 2z +1) = 0

(x +1) + (y +1) + (z +1) = 0

Vì (x +1)  0; (y +1)  0; (z +1)  0

nên x+1 =0 và y +1 =0 và z +1 =0 => x = -1 ; y = -1 ; z = -1Vậy x = -1 ; y = -1 ; z = -1

Bài tập tương tự:

a) Tìm x, y biết: 4x + 4x + y - 6y + 10 = 0

b) Tìm x, y biết: x + 2y + 2xy + 2x + 4y + 2 = 0

c) Tìm x, y biết: 2x + 3y + 4xy - 12y + 36 =0

d) Tìm x, y, z biết: x + 2y + 5z + 2xy - 2yz - 2xz + 2y - 12z + 10 =0

3/ Toán bằng lời

Cách làm:

- Gọi một trong các đại lượng chưa biết là a

- Biểu diễn các đại lượng còn lại theo a

- Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng lập được đẳng thức

- Tìm a và trả lời

VD: Tìm hai số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết hiệu hai bình phương của chúng bằng 32

GiảiGọi hai số đó là 2a +1 và 2a + 3 (a  N)

Vì hiệu hai bình phương của chúng bằng 32 nên ta có:

(2a +3) - (2a +1) = 32(4a + 12a + 9) - (4a + 4a +1) = 324a + 12a + 9 - 4a - 4a - 1 =32

b) Ba số tự nhiên liên tiếp là số đo ba cạnh của một tam giác vuông Tính chu

vi của tam giác vuông đó

c) Ba số chẵn liên tiếp là số đo ba cạnh của một tam giác vuông Tính diện tích của tam giác đó

DẠNG 5: Chứng minh

1/ Chứng minh đẳng thức không có điều kiện ràng buộc

Cách làm: Có thể sử dụng một trong các cách sau

- C1: Biến đổi vế phức tạp bằng vế đơn giản

- C2: Chứng minh: vế trái - vế phải = 0

- C3: Chứng minh cả hai vế của đẳng thức cùng bằng một biểu thức.VD: Chứng minh: (a+b) = (a - b) + 4ab

Giải C1: Ta có VP = (a -b)+4ab = a- 2ab+b+ 4ab = a + 2ab + b = (a +b) =VT

=> VP = VT hay (a+b) = (a -b) + 4ab

C2: Xét VT- VP = (a+b)- (a -b)- 4ab = (a+2ab+b) - (a- 2ab+ b ) - 4ab

= a + 2ab + b - a + 2ab - b - 4ab = 0

=> VP = VT hay (a+b) = (a -b) + 4ab

C3: VT = (a +b) = a + 2ab + b

VP = (a - b) + 4ab = a - 2ab + b + 4ab = a + 2ab + b

=> VT = VP hay (a+b) = (a -b) + 4ab

Bài tập tương tự : Chứng minh

a) a + b = b) x + y + (x+y) = 2(x + xy + y)

c) (a+b+c) + a + b + c = (a+b) + (b+c) + (c+a)

2/ Chứng minh đẳng thức có điều kiện ràng buộc

Cách làm: Biến đổi và kết hợp các điều kiện đã cho thành đẳng thức cầnchứng minh

VD: Chứng minh

a) Nếu (a +b +c) = 3(ab+ bc + ac) thì a= b= c

b) Cho + + = 2 và + + = 2 Chứng minh a +b +c = abc

Giảia) Ta có (a +b +c) = 3(ab+ bc + ac)

a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac = 3ab + 3bc + 3ac

a + b + c - ab - bc - ac = 0 2a + 2b + 2c - 2ab - 2bc - 2ac =0(a - 2ab + b) + ( b - 2bc + c) + (c - 2ac + a) = 0(a -b) + (b - c) + (c -a) = 0

=> a - b = 0; b - c = 0; c - a = 0

=> 2n = 2a + 2b = (a + 2ab + b) + (a - 2ab + b) = (a +b) + (a -b)

Vậy 2n là tổng của hai số chính phương

b) Vì n là tổng của hai số chính phương nên n = a + b

=> A = \x\bo(99 9)\x\bo(00 0) 25 = (a.10) + 25 = a(a+1).100 + 25

= 100a +100a + 25 = (10a +5) Vậy A là số chính phương

b) Ta có: 9a + 1 = \x\bo(99 9) +1 = 10

=> b = 1\x\bo(00 0)5 = 1\x\bo(00 0) + 5 = 10 + 5 = 9a +1 +5 = 9a + 6

Khi đó, B = ab +1 = a(9a +6) + 1 = 9a + 6a + 1 = (3a +1)

Vậy B là số chính phương

Bài tập tương tự:

Bài 1: Chứng minh rằng

a) Nếu 2n là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương.

b) Nếu mỗi số m và n đều là tổng của hai số chính phương thì mn cũng là tổng của hai số chính phương

Bài 2: Chứng minh các số sau là số chính phương

a) A = \x\bo(99 9)8\x\bo(00 0)1

b) B = \x\bo(44 4)\x\bo(88 8)9

c) C = \x\bo(11 1)\x\bo(22 2)5d) D = \x\bo(11 1) - \x\bo(22 2) e) E = \x\bo(11 1) + \x\bo(44 4) + 1

VD:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + 3x +3

b) Tìm giá trị lớn nhất của B = - 3x + 2x -1

Giảia) Ta có: A = x + 3x + 3 = x +2.x + + = (x + ) +

Chú ý: Khi biến đổi biểu thức cần tách hệ số tự do để kết hợp với phần biến

tạo thành HĐT Tránh sai lầm như: x2+3x +1 = x2+2x+1+x=(x+1)2+x

Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau:

a) A = - 2a - 4a +3

b) B = - x - x + 3

c) C = -2x - 3x + 4d) D = x + 2x + 5

2/ Biểu thức chứa nhiều biến

a) Tìm giá trị lớn nhất của A = - x - 2xy - 2y + y + 3

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 2x + 2xy + 2y + 2x - 2y + 2017

Giảia) Ta có A = - x - 2xy - 2 y + y + 3 = - x - 2xy - y - y + y - +

a) Tìm GTNN của A = x + 2x + y - 2y + 7

b) Tìm GTNN của B = x + 2y + 2xy - 4y + 1

c) Tìm GTNN của C = x + 2xy + 2y + 2x + 4y

d) Tìm GTLN của D = - x - y - 2z - 2xy - 2xz - 2yz + 4z - 9

DẠNG 7: Chứng minh biểu thức dương, âm

= 4x - 4xy + y + x - 6x + 9 + 1

= (2x -y) + (x - 3) + 1

Vì (2x - y)  0, (x - 3)  0 nên (2x -y) + (x - 3) + 1  1 > 0 Vậy A >0 với mọi x, y

b) Ta có: B = -3x + 3x - 5 = - 3(x - x + ) = - 3(x - 2.x + + )

= - 3[(x - ) + ] = - 3(x - ) -

Vì (x - )  0 nên -3(x - )  0 Suy ra: - 3(x - ) -  - < 0

Vậy B < 0 với mọi x.

Bài tập tương tự : Chứng minh

a+b  2; b+c  2; c+a  2

=> (a+b)(b+c)(c+a)  2.2.2 = 8abc

Vậy (a+b)(b+c)(c+a)  8abc dấu “=” xảy ra khi a=b=c

b) Áp dụng BĐT Cô-si ta có :

+  2 = a dấu “=” xảy ra khi = => 2a =b+c

tương tự có: +  b

+  c => + + + + +  a+b+c

Xét (a+b)(x+y) - (ax+by) = (ax+ay+bx +by) - (ax +2abxy +by)

= ay - 2abxy +bx = (ax - by)  0

=> (ax+by)  (a + b)(x + y) dấu “=” xảy ra khi ay - bx =0 hay =

VD:

a) Cho 2x + 3y = 1 Tìm GTNN của A = 4x + y

b) Cho x + y = 5 Tìm GTLN, GTNN của B = x + 2y

Giảia) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:

(2x+3y) = (1.2x + 3.y)  (1 + 3)(4x + y) = 10A

a) Tìm GTNN của A = x + y khi 3x + 2y =1

b) Tìm GTLN, GTNN của B = 4x + 3y khi 4x + y = 13

2AB +B”.4 Hiệu quả:

Các dạng toán được giảng dạy vào các buổi học thêm tại lớp 8ABtrường THCS Tân Tiến và nhóm HSG lớp 8 các năm gần dây Các em họcsinh được giáo viên dạy theo hướng của đề tài đã nắm vững các dạng bài tập,biết cách vận dụng lí thuyết vào làm bài tập một cách nhanh gọn, bài làm kháchặt chẽ và logic

* Đối với HS đại trà (Xét bài kiểm tra 15 phút và 1 tiết ở chương I)

Xếp loại

Năm học

BàiKT

Tổng số

(Các năm trước đó hầu như không có HS đạt giải)

3 KẾT LUẬN

3.1 Đánh giá

Sau khi thực hiện đề tài này vào giảng dạy, tôi nhận thấy các em cóhứng thú và tích cực trong từng tiết học, phần nào nâng cao chất lượng dạy vàhọc của thầy và trò

Trong đề tài này có phần kiến thức cơ bản, phương pháp giải cụ thể chotừng dạng toán Có bài tập để học sinh tìm hiểu và tự giải Có hướng gợi mởcho giáo viên tự xây dựng đề bài dựa trên phương pháp giải

Tôi thiết nghĩ, nội dung này sẽ giúp các em học sinh rèn luyện kỹ năng,khả năng tư duy tích cực đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và họcsinh đại trà.

Qua đây, tôi tự thấy bản thân mình cần cố gắng nhiều hơn nữa để đápứng được yêu cầu ngày càng cao của ngành, được góp một phần vào sựnghiệp trồng người của đất nước

3.2AB +B” Bài học kinh nghiệm.

- Giáo viên tâm huyết với nghề, yêu thương học sinh

- Không ngừng học hỏi nâng cao trình độ và hoàn thiện bản thân

- Tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tíchcực chủ động sáng tạo của học sinh

3.3 Ý kiến đề xuất.

* Đối với giáo viên:

- Cần tăng cường công tác tự học, tự bồi dưỡng kiến thức và năng lựcchuyên môn bằng nhiều con đường khác nhau

- Tìm hiểu nghiên cứu các sáng kiến kinh nghiệm của đồng nghiệp vàmạnh dạn áp dụng vào giảng dạy

- Đầu tư thời gian cho việc soạn giảng, cải tiến phương pháp giảng dạy

* Đối với nhà trường và tổ chuyên môn:

- Cần tổ chức một số chuyên đề, hội thảo về phương pháp giảng dạymôn toán nhằm tạo điều kiện cho giáo viên được giao lưu học hỏi kinhnghiệm lẫn nhau

- Đầu tư kinh phí cho việc mua tài liệu tham khảo phục vụ cho bộ môn.Trên đây là kinh nghiệm của tôi trong quá trình giảng dạy Trong quátrình thực hiện đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong Hội đồngkhoa học cùng các thầy cô đồng nghiệp góp ý kiến bổ sung để đề tài đượchoàn thiện hơn

Tân Tiến, ngày 9 tháng 5 năm 2015

Người viết

Trần Anh Quang

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình - Nguyễn Vũ Thanh - Bùi Văn Tuyên

Các dạng toán và phương pháp giải toán 8, tập 1, NXB Giáo dục, Hà Nội.

[2] TS Vũ Thế Hựu, Toán cơ bản và nâng cao 8, tập 1, NXB Giáo dục, Hà

Nội

[3] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình,

Trần Đình Châu, Ngô Hữu Dũng, Phạm Gia Đức, Nguyễn Duy Thuận, Toán

8, tập 1, NXB Giáo dục, Hà Nội.

[4] Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình, Trần Đình Châu, Phạm Gia Đức,

Nguyễn Duy Thuận, Bài tập toán 8, tập 1, NXB Giáo dục, Hà Nội.

[5] Vũ Hữu Bình, Nâng cao và phát triển toán 8, tập 1, NXB Giáo dục, Hà

Nội