Rèn luyện kĩ năng sử dụng hằng đẳng thức để giải một số dạng toán có chứa căn thức bậc hai

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là xây dựng một cách tổng quát, đầy đủ, chi tiết cho tất cả các trường hợp về áp dụng hằng đẳng thức để giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, thực hiện phép tính và giải phương trình chứa căn bậc hai. Có hệ thống bài tập áp dụng để học sinh hiểu đầy đủ từ dể đến khó, các trường hợp áp dụng hằng đẳng thức khác nhau để làm rỏ các dạng toán này, đồng thời có những bài tập nâng cao để học sinh phát triển tư duy sáng tạo của bản thân. Xây dựng cho học sinh niềm tin trong học tập, chống tư tưởng ngại khó, sợ toán, giúp các em hăng say học tập, hứng thú tìm tòi cái hay cái mới trong toán học

1. PH N M  Đ UẦ Ở Ầ

1.1. LÝ DO CH N Đ  TÀI:Ọ Ề

Đ  đáp  ng để ứ ược yêu c u c a s  nghi p giáo d c và nhu c u h c t p c aầ ủ ự ệ ụ ầ ọ ậ ủ  

h c sinh, trong quá trình gi ng d y m i giáo viên ph i bi t ch t l c nh ng n iọ ả ạ ỗ ả ế ắ ọ ữ ộ   dung ki n th c c  b n m t cách rõ ràng, ng n g n và đ y đ , ph i đi t  d  đ nế ứ ơ ả ộ ắ ọ ầ ủ ả ừ ễ ế   khó, t  đ n gi n đ n ph c t p, t  c  th  đ n tr u từ ơ ả ế ứ ạ ừ ụ ể ế ừ ượng giúp h c sinh có thọ ể 

n m đắ ược n i dung chính trong bài h c, đ ng th i có th  g i m , đ t v n độ ọ ồ ờ ể ợ ở ặ ấ ề 

đ  h c sinh phát tri n t  duy cũng nh  kĩ năng phân tích, trình bày bài gi i m tể ọ ể ư ư ả ộ   cách ch t ch , logíc, có h  th ng. Trong nh ng năm g n đây, vi c đ i m iặ ẽ ệ ố ữ ầ ệ ổ ớ  

phương pháp d y h c là v n đ  c p bách và c n thi t, nạ ọ ấ ề ấ ầ ế h m hình thành cho h cằ ọ   sinh thói quen t  duy tích c c, đ c l p sáng t o, nâng cao năng l c phát hi n vàư ự ộ ậ ạ ự ệ  

gi i quy t v n đ , rèn luy n cho các em năng l c v n d ng ki n th c vào th cả ế ấ ề ệ ự ậ ụ ế ứ ự  

ti n. Chính vì v y, m i giáo viên đ ng l p ph i có m t phễ ậ ỗ ứ ớ ả ộ ương pháp truy n đ tề ạ  

ki n th c phù h p, có kh  năng h  th ng, phân lo i và ch n l a các d ng bàiế ứ ợ ả ệ ố ạ ọ ự ạ  

t p phong phú, đáp  ng đậ ứ ược yêu c u t i thi u c a ngầ ố ể ủ ườ ọi h c, tác đ ng đ nộ ế   tình c m, đem l i ni m tin và s  h ng thú trong h c t p c a h c sinh.ả ạ ề ự ứ ọ ậ ủ ọ

Qua th c t  gi ng d y nhi u năm, cũng nh  qua vi c theo dõi k t qu  cácự ế ả ạ ề ư ệ ế ả   bài ki m tra, bài thi c a h c sinh, tôi nh n th y v n còn nhi u h c sinh m cể ủ ọ ậ ấ ẫ ề ọ ắ  

ph i các sai l m không đáng có khi gi i toán ch a căn th c b c hai còn nhi u saiả ầ ả ứ ứ ậ ề   sót, r p khuôn máy móc ho c ch a làm đậ ặ ư ược do ch a n m ch c các phư ắ ắ ươ  ng pháp gi i, v n d ng k  năng bi n đ i ch a linh ho t vào t ng d ng toán. ả ậ ụ ỹ ế ổ ư ạ ừ ạ

Trong khi đó,   k  thi h c k  1 và các k  thi cu i c p. Nôi dung đê thiở ỳ ọ ỳ ỳ ố ấ ̣ ̀  

thương r i vao kiên th c c  ban không thê thiêu đo la ch̀ ơ ̀ ́ ứ ơ ̉ ̉ ́ ́ ̀ ương căn th c bâc haiứ ̣   cho dươi dang rut gon biêu th c, th c hiên phép tinh căn ho c gi i ph́ ̣ ́ ̣ ̉ ứ ự ̣ ́ ặ ả ương trình

       Đ  tháo g  và gi i quy t nh ng khó khăn, vể ỡ ả ế ữ ướng m c trong h c t pắ ọ ậ  

đ ng th i nh m phát tri n năng l c t  duy cho h c sinh, tôi nh n th y vi c rènồ ờ ằ ể ự ư ọ ậ ấ ệ   luy n k  năng gi i toán có ch a căn th c b c hai cho h c sinh là r t c n thi t.ệ ỹ ả ứ ứ ậ ọ ấ ầ ế  

V i các lí do trên, tôi xin đớ ược trình bày m t s  kinh nghi m độ ố ệ ược rút ra trong  quá trình gi ng d y v i tên đ  tài: ả ạ ớ ề “Rèn luy n kĩ năng s  d ng h ng đ ng ệ ử ụ ằ ẳ  

th c đ  gi i m t s  d ng toán có ch a căn th c b c hai” ứ ể ả ộ ố ạ ứ ứ ậ  Đ  tài này nh mề ằ   giúp h c sinh l p 9, cac hoc sinh kha, gioi môn toan va đọ ớ ́ ̣ ́ ̉ ́ ̀ ược th c hiên trong cacự ̣ ́ 

gi  luyên tâp, ôn tâp, ôn thi vao l p 10 vê giai bai tâp rut gon biêu th c co ch aờ ̣ ̣ ̣ ̀ ớ ̀ ̉ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ứ ́ ư  ́ căn th c, th c hiên phep tinh và gi i phứ ự ̣ ́ ́ ả ương trình ch a căn b c hai.ứ ậ

1.2. ĐI M M I C A Đ  TÀIỂ Ớ Ủ Ề : 

Đ  tài này đã có m t s  sách tham kh o cho h c sinh THCS ề ộ ố ả ọ nh ng ch aư ư  

t ng h p đổ ợ ược và ch a v n trong nhi u d ng toán,  ng d ng các bài toán khácư ậ ề ạ ứ ụ   nhau. 

­   đ  tài này tôi đã xây d ng m t cách t ng quát, đ y đ , chi ti t cho t tỞ ề ự ộ ổ ầ ủ ế ấ  

c  các trả ường h p ợ vê áp d ng h ng đ ng th c đ  giai bai tâp rut gon biêu th c̀ ụ ằ ẳ ứ ể ̉ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ư  ́

co ch a căn th c b c hai, th c hiên phep tinh và gi i ph́ ứ ứ ậ ự ̣ ́ ́ ả ương trình ch a căn b cứ ậ   hai

­  Có h  th ng bài t p áp d ng đ  HS hi u đ y đ  t  d  đ n khó, cácệ ố ậ ụ ể ể ầ ủ ừ ể ế  

trường h p áp d ng h ng đ ng th c khác nhau đ  làm r  các d ng toán này,ợ ụ ằ ẳ ứ ể ỏ ạ  

đ ng th i có nh ng bài t p nâng cao đ  h c sinh phát tri n t  duy sáng t o c aồ ờ ữ ậ ể ọ ể ư ạ ủ  

b n thân.ả

­ Xây d ng cho h c sinh ni m tin trong h c t p, ch ng t  tự ọ ề ọ ậ ố ư ưởng ng i khó,ạ  

s  toán, giúp các em hăng say h c t p, h ng thú tìm tòi cái hay cái m i trong toánợ ọ ậ ứ ớ  

h c. ọ

Đ  tài cũng là m t tài li u tham kh o cho các giáo viên trong quá trình đ cề ộ ệ ả ọ  

và nghiên c u tài li u, cũng nh  gi ng d y. Ngoài m c đích trên đ  tài có thứ ệ ư ả ạ ụ ề ể  coi nh  m t gi i pháp góp ph n th c hi n đ i m i phư ộ ả ầ ự ệ ổ ớ ương pháp d y h c theoạ ọ  

hướng phát huy năng l c c a h c sinh và đ i m i ki m tra đánh giá   trự ủ ọ ổ ớ ể ở ườ  ng THCS

1.3. PH M VI ÁP D NG C A Đ  TÀIẠ Ụ Ủ Ề :

Đ  tài đề ược áp d ng đ  gi ng d y cho h u h t các đ i tụ ể ả ạ ầ ế ố ượng h c sinh h cọ ọ  

l p 9, cho đ i tuy n h c sinh gi i c p trớ ộ ể ọ ỏ ấ ường, c p huy n b c THCS và là tàiấ ệ ậ  

li u cho h c sinh h c lên THPT v a là tài li u tham kh o cho giáo viên tham giaệ ọ ọ ừ ệ ả  

gi ng d y môn toán THCS và b i dả ạ ồ ưỡng HSG toán 9

Đ  tài ch  nghiên c u đ n d ng bài toán v  s  d ng h ng đ ng th c đề ỉ ứ ế ạ ề ử ụ ằ ẳ ứ ể  giai bai tâp rut gon biêu th c co ch a căn th c, th c hiên phep tinh và gi ỉ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ứ ́ ứ ứ ự ̣ ́ ́ ả  

phương trình ch a căn b c hai.ứ ậ

2. PH N N I DUNG Ầ Ộ

2.1.TH C TR NG KHI CH A ÁP D NG Đ  TÀIỰ Ạ Ư Ụ Ề : 

2.1.1. S  li u th ng kê: ố ệ ố

Đ  th c hi n đ  tài tôi ti n hành kh o sát ch t lể ự ệ ề ế ả ấ ượng h c sinh d ng bàiọ ạ  

t p này trậ ước khi tri n khai kinh nghi m thu để ệ ược nh  sau:ư

K t qu  bài ki m tra s  1 ế ả ể ố ( Tr ướ c khi tri n khai kinh nghi m.) ể ệ

L pớ Sĩ số SLGi iỏ % SLKhá% SL TB % Y u – kémSLế %

2.1.2. Tình hình trước khi th c hi n các gi i pháp c a đ  tài: ự ệ ả ủ ề

Đ i v i h c sinh trố ớ ọ ường THCS n i tôi đang công tác ph n l n các emơ ầ ớ  đượ  c

h c đ y đ  các ki n th c c  b n, có ph n m  r ng và nâng cao nhi u. Song khiọ ầ ủ ế ứ ơ ả ầ ở ộ ề  

g p m t bài toán, h c sinh v n b  lúng túng trong đ nh hặ ộ ọ ẫ ị ị ướng phương pháp gi i,ả  

ch a bi t v n d ng ho c v n d ng ch a linh ho t, sáng t o các ki n th c cư ế ậ ụ ặ ậ ụ ư ạ ạ ế ứ ơ 

b n đã h c. Nhi u h c sinh ch  bi t v n d ng t ng bả ọ ề ọ ỉ ế ậ ụ ừ ước gi i, t ng ph n c aả ừ ầ ủ   quy t c, công th c mà th y, cô đã hắ ứ ầ ướng d n. ẫ Đi u này h n ch  r t l n đ nề ạ ế ấ ớ ế  

vi c phát huy tính tích c c và đ c l p nh n th c khi gi i toán c a h c sinh, d nệ ự ộ ậ ậ ứ ả ủ ọ ẫ  

đ n các em không ham h c toán và không t  tin khi gi i toán, lúng túng trong líế ọ ự ả  

lu n và trình bày.ậ

2.1.3. Nguyên nhân d n đ n tình hình trên:ẫ ế

* V  giáo viên:ề

­ Vi c truy n t i ki n th c c a căn th c b c hai cho h c sinh đang còn h nệ ề ả ế ứ ủ ứ ậ ọ ạ  

ch ế

­ Ch a hình thành đư ược cho h c sinh k  năng gi i, mô hình gi i, cách gi iọ ỹ ả ả ả  

ng v i t ng tr ng h p, t ng bài t p v n d ng các h ng đ ng th c đã h c

dướ ại d ng bi u th c ch a d u căn   l p 9.ể ứ ứ ấ ở ớ

­ K  năng rèn luy n cho h c sinh t  duy, đ nh hỹ ệ ọ ư ị ướng trước m t bài toán vàộ  

kh  năng phân tích đ  bài ch a đả ề ư ược chú tr ng.ọ

* V  h c sinh:ề ọ  

 ­ Đ ng c  thái đ  h c t p c a nhi u h c sinh ch a th t t t. H c sinh v nộ ơ ộ ọ ậ ủ ề ọ ư ậ ố ọ ẫ   quen v i l i h c th  đ ng, ch a s n sàng tham gia m t cách tích c c, ch  đ ngớ ố ọ ụ ộ ư ẵ ộ ự ủ ộ   vào các n i dung h c t p.ộ ọ ậ

­ Ch a n m v ng các h ng đ ng th c đã h c   l p 8 nên không chu n bư ắ ữ ằ ẳ ứ ọ ở ớ ẩ ị 

t t tâm th  cho gi  h c Toán. ố ế ờ ọ

­ K  năng v n d ng các h ng đ ng th c đã h c dỹ ậ ụ ằ ẳ ứ ọ ướ ại d ng bi u th c ch aể ứ ứ  

d u căn th c   l p 9 ch a thành th o. ấ ứ ở ớ ư ạ

­ H c sinh ch a hình thành đọ ư ược mô hình gi i toán, các bả ước đ  gi i m tể ả ộ   bài toán

­ K  năng phân tích đ  bài và đ nh hỹ ề ị ướng được cách làm c a m t bài, m tủ ộ ộ  

d ng c a h c sinh còn khiêm t n.ạ ủ ọ ố

2.2. CÁC GI I PHÁP:Ả

2.2.1. Cho h c sinh n m v ng b y h ng đ ng th c đã h c   l p 8ọ ắ ữ ả ằ ẳ ứ ọ ở ớ

Đê khăc phuc vân đê đa nêu   trên, ta cân cho hoc sinh n m ch c bay hăng̉ ́ ̣ ́ ̀ ̃ ở ̀ ̣ ắ ắ ̉ ̀   đăng th c đa hoc   l p 8.̉ ứ ̃ ̣ ở ớ

1) Binh ph̀ ương môt tông :      (a + b)̣ ̉ 2 = a2 + 2ab + b2

2) Binh ph̀ ương môt hiêu :      (a – b)̣ ̣ 2  = a2 – 2ab + b2

3) Hiêu hai binh pḥ ̀ ương :         a2 – b2 = (a + b).(a – b)

4) Lâp pḥ ương môt tông :̣ ̉        (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

5) Lâp pḥ ương môt hiêu :        (a – b)̣ ̣ 3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

6) Tông hai lâp ph̉ ̣ ương :        a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2)

7) Hiêu hai lâp pḥ ̣ ương :         a3 – b3 = ( a – b).(a2 + ab + b2)

Biêt vân dung no đê đ a ra nh ng hăng đăng th c đang nh    l p 9 (theó ̣ ̣ ́ ̉ ư ữ ̀ ̉ ứ ́ ơ ở ớ ́  

th  t ) viêt dư ự́ ́ ươi dang co dâu căn.  (v i ́ ̣ ́ ́ ớ a ; b > 0)

( )

2 2

3 3

2.2.2. S  d ng h ng đ ng th c đ  rút g n bi u th c có ch a căn th c b cử ụ ằ ẳ ứ ể ọ ể ứ ứ ứ ậ   hai:

D ng 1: Ch ng minh đ ng th cạ ứ ẳ ứ

Bài 1: Ch ng minh cac đăng th c sau:ứ ́ ̉ ứ

1

1 1

a

a a

a

a

Nhân xet đê bai: ̣ ́ ̀ ̀  Bai toan cho gôm co cac h ng đăng th c sau : ̀ ́ ̀ ́ ́ ằ ̉ ứ

( ) ( ) ( )

3 3

2 2

tương t  hăng đăng th c sô 3; 7 l p 8. Ap dung vao bai toan, ta biên đôi vêự ̀ ̉ ứ ́ ớ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ̉ ́  trai:́

Giaỉ

( ) ( )

2

2

2

1 1

.

1

1 2

1

a a

a

a a

a

� − �� − �

=�� + ���� ��

−

−

+

Đên đây ta lai thây xuât hiên h ng đ ng th c:́ ̣ ́ ́ ̣ ằ ẳ ứ ( ) ( )2

1 2 + a a+ = + 1 a tương tự 

h ng   đ ng   th c   sô   1   l p   8   Tiêp   tuc   biên   đôi   ta   đằ ẳ ứ ́ ớ ́ ̣ ́ ̉ ược   kêt   qua:́ ̉  

VP a

a

1

1

(v i a ớ 0; a 1)

2 4

)

2

+ + (v i a + b > 0 và ớ b 0)

Nhân xet́ ̣ : a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 h ng đ ng th c sô 1 l p 8. Ap dung vaoằ ẳ ứ ́ ớ ́ ̣ ̀  bai toan ta biên đôi vê trai : ̀ ́ ́ ̉ ́ ́

Giaỉ

a b a

a b b

b a b a

ab b

b

a

b a

b a b

b a b ab a

b a b

b a

VT

2 2

2 2

2

4 2 2

2 2

4 2 2

.

2

Bai 2: ̀ Ch ng minh đăng th c:ứ ̉ ứ

voi a a

� − − � − +

Nhân xeṭ́ : bai toan đã cho k t h p phân tích đa th c thành nhân t  và d ng̀ ́ ế ợ ứ ử ạ  

h ng đ ng th c th  2 l p 8   m u th c:ằ ẳ ứ ứ ớ ở ẫ ứ

        ( )

( )2

1

Ap dung vao bai toan, ta biên đôi vê trai :́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́

Giai ̉

VP a

a a

a a

a

a a

a a

a a

a

a a

a a a

a

a a

a a VT

1 1

1

1

1 1

1 :

1 1

1

1 :

1

1 1

1 1

2

1 :

1

1 1

2 2

2

D ng 2: Rút g n bi u th c:ạ ọ ể ứ

Bài 1: Cho bi u th c ể ứ K a 1 : 1 2

a 1

−

a) Rút g n bi u th c K.ọ ể ứ

  (vì a + b > 0)  (đpcm) 

(v i a > b; a ớ 1)

b) Tính giá tr  c a K khi a = 3 + 2ị ủ 2

c) Tìm các giá tr  c a a sao cho K < 0.ị ủ

Nhân xeṭ́ : Bai toan cho co d ng h ng đ ng th c s  3 l p 8.̀ ́ ́ ạ ằ ẳ ứ ố ớ

) 1 )(

1 (

a  đê rut gon biêu th c K. ̉ ́ ̣ ̉ ứ

Gi iả

   :   a) Rút g n bi u th c K:ọ ể ứ

    Đi u ki n a > 0 và a ≠ 1    ề ệ

a 1 a ( a 1) a 1 ( a 1)( a 1)

          a 1 : a 1

a ( a 1) ( a 1)( a 1)

=

          a 1 .( a 1) a 1

− b) Tính giá tr  c a K khi a = 3 + 2ị ủ 2    

Ta có: a = 3 + 2 2  = (1 +  2 )2 � a 1= + 2  (d ng h ng đ ng th c th  nh t)ạ ằ ẳ ứ ứ ấ

      Do đó:   K 3 2 2 1 2(1 2) 2

c) Tìm các giá tr  c a a sao cho K < 0.ị ủ

       K 0 a 1 0 a 1 0

a 0 a

− <

−

>    

a 1

0 a 1

a 0

<

< <

>

Bai 2:  ̀ a) Cho bi u th c ể ứ A x 4

x 2

+

= +  Tính giá tr  c a A khi x = 36ị ủ b) Rút g n bi u th c ọ ể ứ B x 4 : x 16

x 4 x 4 x 2

� �   (v i ớ x 0; x 16) c) V i các c a bi u th c A và B nói trên, hãy tìm các giá tr  c a x nguyênớ ủ ể ứ ị ủ  

đ       giá tr  c a bi u th c B(A – 1) là s  nguyên.ể ị ủ ể ứ ố

Nhân xeṭ́ :  Bai toan cho co d ng h ng đ ng th c s  3 l p 8:̀ ́ ́ ạ ằ ẳ ứ ố ớ

16 )

4 )(

4

( x x x  đê rut gon biêu th c B. ̉ ́ ̣ ̉ ứ

Gi i:ả

a) V i x = 36, ta có :  A = ớ 36 4 10 5

8 4

36 2 + = = +

b) V i x ớ 0, x   16 ta có :

B = ���x( x 4) 4( x 4)x 16− + x 16+ ���x 16x 2+

� �  = (x 16)( x 2) x 2

(x 16)(x 16) x 16

c)  Ta có:   ( 1) 2. 4 1 2. 2 2

B A

Đ  ể B A( − 1) nguyên, x nguyên  thì x− 16 là ướ ủc c a 2, mà  (2) =Ư { 1; 2 }

Ta có b ng giá tr  tả ị ương  ng:ứ

16

K t h p ĐK ế ợ x 0, x 16, đ  ể B A( − 1) nguyên thì x {14;  15;  17;  18 }

Bai 3: ̀ Cho bi u th cể ứ  

x ­  x x 1 x ­ 2 x 1

a) Tìm đi u ki n xác đ nh c a P.ề ệ ị ủ

b) Rút g n bi u th c P.ọ ể ứ

c) Tìm các giá tr  c a x đ  P > ị ủ ể 1

2 Nhân xeṭ́ : Sau khi quy đông mâu th c, ta thây xuât hiên dang h ng đ ng̀ ̃ ứ ́ ́ ̣ ̣ ằ ẳ  

th c sô 2 và 3 l p 8. ứ ́ ớ

Gi i:ả

a) ĐKXĐ : x > 0, x  1

b)

1 2

: 1

1 1

x x

x x

x x P

2

x 1

x

x x 1 x x 1

2

x 1 x 1 x 1

x

x x x

x x 1

+

−          c) V i x > 0, x ớ 1 thì x ­ 1 1 2 x ­ 1( ) x

x > 2 � > x > 2. 

         V y v i x > 2 thì P > ậ ớ 1

2 Bai 4: ̀ Cho biêu th c:̉ ứ

( )2

4

A

− a) Tim điêu kiên đê A co nghia ̀ ̀ ̣ ̉ ́ ̃

b) Khi A co nghia. Ch ng to gia tri cua A không phu thuôc vao a ́ ̃ ứ ̉ ́ ̣ ̉ ̣ ̣ ̀

Nhân xeṭ́ : Bai toan cho d̀ ́ ươi dang hăng đăng th c và phân tích đa th c thành́ ̣ ̀ ̉ ứ ứ   nhân t : ử

( )2 2

+ = + = +       Ap dung vao bai toan ta co l i giai:́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ̀ơ ̉

Giai ̉

2

2

2

4

) : ; 0 ;

)

2

2

A

b A

−

>

−

Biêu th c A không phu thuôc vao a . ̉ ứ ̣ ̣ ̀

       Bài 5:  Cho bi u th c:ể ứ  

1

1 1

1

x

x x

x x A

a) Rút g n bi u th c A?ọ ể ứ

b) Tìm các giá tr  nguyên c a x đ  bi u th c A sau nh n giá tr  nguyên?ị ủ ể ể ứ ậ ị

Nh n xét: ta th y       ậ ấ

1 1

1

1 1

1

1 3

x x

x

x x x x

x x

Áp d ng cho bài toán trên ta có l i gi i: ụ ờ ả

Gi i:ả

1 1

1 2 1 )

1 ( 1 1

1

1 1

1 1

1 1

1

1 1

1

1

; 0 : )

x

x x

x x x x x

x

x

x

x

x x

x x

x x x x

x x

x

x

A

x x ĐKXĐ

a

b) Ta có:

1

1 1

x

x

 A nh n giá tr  nguyên khi ậ ị x 1 là ướ ủc c a 1 x 1 1 ; 1

V i: ớ

TM x

x

TM x

x

0 1

1

) ( 4 1

1

V y ậ x 0 ; 4  thì A nh n giá tr  nguyên.ậ ị

Bai 6:̀   Cho bi u th c Rể ứ  = 

4 2

2 4

2

2

c

c c

c        (Đi u ki n cề ệ 0;c 4)

a) Rút g n bi u th c R.ọ ể ứ

b) Tìm c đ  R = 2ể

(Trích đ  tuy n sinh l p 10 THPT t nh Qu ng Bình năm h c 2008 ­ 2009) ề ể ớ ỉ ả ọ

Nhân xeṭ́ : bai toan đã cho sau khi quy đ ng co hăng đăng th c:̀ ́ ồ ́ ̀ ̉ ứ

a b− = a+ b a− b và (a b) 2 a2 2ab b2 Ap dung vao bai toan tá ̣ ̀ ̀ ́  

co l i gi i:́ờ ả

Gi i:ả

a)  Đi u ki n cề ệ 0;c 4

4

4 )

4 ( 2

) 4 ( 2 )

4 ( 2

4 2 4

2

2 2

2

2 2

4 2

2 4

2

c

c c

c c

c c c

c

c c

c c

c

c c

c

R

4

c c

V y khi R = 2 thì c =12ậ

Bài 7: Cho bi u th c sau:ể ứ  

b a

b a b

a

a ab b

a

b ab

a) Tìm đi u ki n xác đ nh c a bi u th c.ề ệ ị ủ ể ứ

b) Rút g n bi u th c B.ọ ể ứ

c) V i giá tr  nào c a a,b thì B = 0.ớ ị ủ

(Trích đ  tuy n sinh l p 10 THPT t nh Qu ng Bình năm h c 2009 ­ 2010) ề ể ớ ỉ ả ọ

Nhân xeṭ́ : Bài toán sau khi tìm ĐKXĐ và phân tích đa th c thành nhân t  r iứ ử ồ   rút g n xu t hi n h ng đ ng th c  ọ ấ ệ ằ ẳ ứ a b− =( a+ b)( a − b). Ap dung vao baí ̣ ̀ ̀  toan ta co l i gi i:́ ́ờ ả

Gi i:ả

a) ĐKXĐ c a bi u th c:ủ ể ứ  a 0 ;b 0 ;a b

2 ) (

2 :

) )(

(

) (

2 : ) (

) (

) (

) (

)

a b b a a b

b a b a

b a a

b

a b a b

a

b a b B

b

2

V y không có giá tr  nào c a a,b thì B = 0  ậ ị ủ

Bài 8: Cho bi u th cể ứ   1 ,

1 x x x

x

Q v i x >0 và xớ 1

a) Thu g n bi u th c Q.ọ ể ứ

b) Tìm các giá tr  c a xị ủ Rsao cho x >

9

1và Q có giá tr  nguyên.ị

(Trích đ  tuy n sinh l p 10 THPT t nh Qu ng Bình năm h c 2011 ­ 2012) ề ể ớ ỉ ả ọ

Nhân xeṭ́ : Bai toan đã cho phân tích đa th c thành nhân t : ̀ ́ ứ ử x x x x 1  

r i quy đ ng và xu t hi n h ng đ ng th c, rút r n. Ap dung vao bai toan ta co :ồ ồ ấ ệ ằ ẳ ứ ọ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ́

Gi i:ả

a) V i  ớ x >0 và x 1 ta có:

x x x

x

1

1 x x x

x

x

x x

x

1 1

b) Ta có: 

x x

x

1 1

Vì 

9

1

3

1

x x

x

Suy ra : 1< Q < 4

Mà Q nh n giá tr  nguyên nên ậ ị Q 2 : 3

V i Q = 2, ta có: ớ 1 1 x 1 (KTM)

x

V i Q = 3,ta có:  ớ ( )

4

1 2

x

V y ậ

4

1

x thì Q nh n giá tr  nguyên.ậ ị

2.2.3. S  d ng h ng đ ng th c đ  th c hi n phép tính có ch a căn ử ụ ằ ẳ ứ ể ự ệ ứ

th c b c hai:ứ ậ

* Bên canh bai toan cho rut gon biêu th c co ch a căn th c bâc hai, đôi khi ̣ ̀ ́ ́ ̣ ̉ ứ ́ ứ ứ ̣ con co nh ng câu đê bai yêu câu tinh gia tri cua biêu th c khi biêt gia tri cua biên. ̀ ́ ữ ̀ ̀ ̀ ́ ́ ̣ ̉ ̉ ứ ́ ́ ̣ ̉ ́ Đôi v i nh ng câu yêu câu tinh ma chi co môt dâu căn th c bâc hai thi không noi ́ ớ ữ ̀ ́ ̀ ̉ ́ ̣ ́ ứ ̣ ̀ ́

gi,  nh ng co nh ng câu ma   cac bài khó h n đ a ra lai co nh ng biêu th c ̀ ư ́ ữ ̀ở ́ ơ ư ̣ ́ ữ ̉ ứ

ch a căn chông căn. Găp trứ ̀ ̣ ương h p nay đoi hoi hoc sinh phai biêt cach đ a biêu ̀ ợ ̀ ̀ ̉ ̣ ̉ ́ ́ ư ̉

th c trong căn vê luy th a bâc chăn (thứ ̀ ̃ ừ ̣ ̉ ương viêt d̀ ́ ươi dang binh ph́ ̣ ̀ ương) đê khaỉ  

phương . Muôn lam đ́ ̀ ược điêu đo, cân phai biêt vân dung thanh thao hăng đăng ̀ ́ ̀ ̉ ́ ̣ ̣ ̀ ̣ ̀ ̉

th c (binh phứ ̀ ương môt tông hoăc binh pḥ ̉ ̣ ̀ ương môt hiêu). Sau đây tôi đ a ra môt ̣ ̣ ư ̣