De ct lap doi tuyen lan 1

Tìm giới hạn đó.. Chứng minh rằng: tồn tại đường thẳng cắt ít nhất 26 đường tròn trong số 2011 đường tròn nói trên.. Giám thị không giải thích gì thêm... Tìm giới hạn đó... Gọi I là trực

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH YÊN BÁI

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2012 LẦN 1

Môn thi : Toán

Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 22/10/2011.

(Đề có 01 trang, gồm 05 câu)

Bài 1 (5,0 điểm):

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

1 (a1) (b1) (c1) a b c  1

Bài 2 (4,0 điểm):

Cho dãy số (x )n xác định bởi:

1

2 n

n 1

n

x a (a 1)

x 7

2(x 3)













Chứng minh rằng dãy số (x )n có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó.

Bài 3 (4,0 điểm):

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao là BH, CK và tâm đường tròn ngoại tiếp là O.

Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng :

OA'OB OC' ' KH BK CH .

Bài 4 (4,0 điểm):

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:

x y  x  y  x  

Bài 5 (3,0 điểm):

Trong hình vuông có cạnh bằng 10 cm người ta đặt 2011 đường tròn có đường kính 1

8

cm Chứng minh rằng: tồn tại đường thẳng cắt ít nhất 26 đường tròn trong số 2011 đường tròn nói trên

_ HẾT

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………

Giám thị 1:……… …….Kí tên:………

Giám thị 2:……… Kí tên:………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH YÊN BÁI

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2012 LẦN 1

Môn thi : Toán

Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 22/10/2011.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI

(Hướng dẫn có 04 trang, gồm 05 câu)

Bài 1(5,0 điểm):

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

(a1) (b1) (c1) a b c  1

Do a, b, c dương và abc = 1 nên có 2 trong 3 số a1,b1,c1 cùng không âm hoặc

cùng không dương

Không mất tổng quát, giả sử (a 1)(b1) 0  ab a b     1 0 1 ab a b  (*)

1,0

0,5

Theo bất đẳng thức TBC – TBN ta có:

c

a  b  a b ab a b    ab  ab c (1)

( do abc = 1)

1,5

Từ (*) suy ra 1 1

c c



1

c c

c



1,0

Bài 2(4,0 điểm):

Cho dãy số (x )n xác định bởi:

1

2 n

n 1

n

x a (a 1)

x 7

2(x 3)













Chứng minh rằng dãy số (x )n có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó.

Theo giả thiết x1   a 1

Giả sử xn  1

n n

x 1

x 7

2(x 3) 2(x 3)





Vậy xn  1 với   n N* suy ra dãy số (x )n bị chặn dưới bởi 1

0,5 0,5

0,5

Xét hiệu

n





 xn 1  xn với   n N* suy ra dãy số (x )n là dãy giảm

1,0

Vì dãy số (x )n giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên có giới hạn hữu hạn là b  1

Từ

2 n

n 1

n

x 7 x

2(x 3)







 chuyển qua giới hạn ta được

2

b 7

b 7 2(b 3)







        



Vì b  nên chọn b = 1 Vậy 1 lim x n 1

0,5

0,5

0,5

Bài 3(4,0 điểm):

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao là BH, CK và tâm đường tròn ngoại

tiếp là O Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Chứng minh

rằng : OA'OB OC' ' KH BK CH

Gọi I là trực tâm ∆ABC Lấy D đối xứng với B qua O.

Tứ giác AICD là hình bình hành nên AI = DC mà

1

2

Chứng minh tương tự ta được:

1

O '

2 1 ' 2

B BI

OC CI





Do đó OA'OB OC' ' AI BI CI  (*)

1,0

1,0

Lại có:





(1) sin A os

(2) sin A os

BI

c KBI

CI

c HCI

0,5

0,5

sin

AKH AIH AI

A

Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được OA'OB OC' ' KH BK CH (đpcm)

1,0

Bài 4 (4,0 điểm):

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:

x y  x  y  x   (1)

(1) y x2( 2  8) ( x 2)2

Vì y v x 2 à ( 2)2 là các số chính phương nên x 2 8 cũng là số chính phương

Đặt x2 8z2 Suy ra x2 z2  8  x  z   x  z  8

1,0

Có x  z và x  z là ước của 8, x  z không âm nên x  z cũng không âm

C'

A'

B'

K

D

H

I O A

4

2

x z

x z





Với x = 3 ta có y 1

Với x = -3 ta có y 5

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm 3;1 , 3; 1 , 3;5 , 3; 5         

1,0

Bài 5 (3,0 điểm):

Trong hình vuông có cạnh bằng 10 cm người ta đặt 2011 đường tròn có đường

kính 1

8 cm Chứng minh rằng: tồn tại đường thẳng cắt ít nhất 26 đường tròn trong

số 2011 đường tròn nói trên.

Chia hình vuông cạnh 10 cm thành 81 hình chữ nhật bằng nhau bởi 80 đường thẳng

song song với 1 cạnh của hình vuông , các đường thẳng này cách nhau 10

Do 1 10

8 81 nên mỗi đường tròn đều bị cắt ít nhất bởi ít nhất 1 đường thẳng nói trên 1,0

Có 80 đường thẳng, 2011 đường tròn; 2011 chia 80 được 25 dư 11 nên tồn tại 1

đường thẳng cắt ít nhất 26 đường tròn trong số 2011 đường tròn nói trên

1,0