F là chân đường cao CH của tam giác đó.. Đường thẳng vuông góc với OF tại F cắt cạnh CA tại P.. Chứng minh FHPBAC.. Cho một đa giác lồi có 16 cạnh.. Chứng minh có ít nhất hai đường c
Trang 1Trường PTTH chuyên Trần Phú
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
Môn : TOÁN lớp 10 Năm 2010
Bài 1 Giải hệ phương trình
2 2
2
2
0 1 1
y
x x x
y
Bài 2 Cho x y z, , thoả mãn
x y
x z
x y z
Chứng minh 2 2 2 10
3
x y z
gọi S n là giá trị nhỏ nhất của tổng
1
2 1
n
k k
Trong đó : a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 17
Có một số nguyên dương n duy nhất để S n là một số nguyên
Tìm số nguyên dương n
tròn ngoại tiếp H là trực tâm F là chân đường cao CH của tam giác đó Đường thẳng vuông góc với OF tại F cắt cạnh CA tại P
Chứng minh FHPBAC
Bài 5 Cho một đa giác lồi có 16 cạnh Chứng minh có ít nhất hai đường
chéo mà góc giữa chúng nhỏ hơn 2 0
Trang 2
Lời giải tóm tắt(Hải phòng)
Bài 1.
Từ pt (1) ta có: 2 2
x y x x y do y 0
x y x2 1 x 0 (3)
y
từ (2) & 3 ta có:
3
x y y
x
y y
thay vào 3 giải ra ta có nghiệm 0; 1
Bài 2
Từ 3 0 3 x 4 2y z bình phương hai vế
do y z 2 nên 9x2 6y2 3z2 10y2 16y 16
5
y y y y y
Với 3;1
5
y thì 2 2 2 2 2 2 2 10
3
x y z y y x y z
Với 0 :5
3
y
x y x y z
Dấu = xẩy ra 1 , 1
3
x y z
Trang 3Bài 3
Ta chứng minh
2 2
i i i i
Áp dụng vào bài toán
2 2
2
145 17
17
12 1
n
h
h n
h n h n
n
h n
Bài 4
Gọi D, K là giao điểm (O) và đường vuông góc với OF tại F
FD=FK, CF (O)=M, KD BM=J, KD CA P FJ FB (Bài toán con bướm)
Ta có FM = FH (M và H đối xứng qua BC)
Vậy tứ giác HJMP là hình bình hành nên ta có FHPBAC
Bài 5
Số đường chéo của đa giác là 2
16 16 104
C + Nếu 104 đường chéo này mà có một cặp song song thì góc giữa hai đường chéo là 0 0 bài toán được chứng minh
+ Nếu không có hai đường chéo nào song song với nhau Ta lấy một điểm O bất kỳ trong măt phẳng Qua O kẻ 104 đường thẳng song song với 104 đường chéo của đa giác, 104 đường thẳng này tạo với nhau liên tiếp 208 góc
có tổng bằng 0
360 , suy ra tồn tại ít nhất một góc có số đo 3600 0
2 208