D01 biểu thức lượng giác muc do 3

[DS11.C1.1.E01.c] Cho tam giácABC không có góc vuông và có các cạnh tanAtanC2tanBthì tam giác ABCđều... Vậy tam giác ABC đều.. Chứng minh rằng:  sin sin sin 1 cos cos cos.. Lời giải C

Câu 1 [DS11.C1.1.E01.c] Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là:

Lời giải

(Nhân hai vế với: )

ĐPCM

Câu 1 [DS11.C1.1.E01.c] (HSG10 - Sở GD&ĐT ĐỒNG NAI - 2013-2014) Cho tam giác ABC có

2

C

; với A B C, , tương ứng kí hiệu số đo của các góc CAB ABC BCA Chứng ,  ,  minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải

Ta có

2

2 cos 1 cos 1

p p a

A



 

 

cos

2

p p a A

bc



 

  

a b c

Tương tự

Tương tự

cot 2

p p b B

p a p c



 



 

p c

   

    



   

2 2 2

C    R  R , với Rlà bán kính đường tròn

ngoại tiếp ABC

 2 16   2 2   

4 sinC p p a p b p c

a b

Từ đó cot cot 4 sin 2 16     2 2 2 1 

   

   

   

2

Suy ra      

2 2 2

Do đó  1  a b c   ABC

đều

2

cos 2

cos 2

cos 4

1 2 2

cos 2

cos 2 cos2 A 2 B 2 C A B B C C A









2

cos 2

cos 2 cos 8 2 cos 4 2 cos 4 2

cos

4 2 A 2 B 2 C A B B C C A











2

cos 2

cos 2 cos ) 1 cos cos

(cos

2 A B C  A B B C C A



2

cos 2

cos 2

cos 2

sin 2

sin

2

sin

8 A B C  A B B C C A



2

cos 2

cos 2 cos

) sin )(sin

sin )(sin

sin (sin

sin sin

sin

8 A B C  A B B C C A



C B

A sin sin

sin  

Câu 1 [DS11.C1.1.E01.c] (HSG cấp trường Diễn Châu 2012-2013) Cho tam giác ABC có aBC ,

một tam giác

Lời giải

Domin A B C  , ,  15  min sin ,sin ,sin A B C sin15

Ta có

2

1 cos 30 2 3

Giả sử ngược lại rẳng ab , bc , ca không là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta có thể giả sử

1

Suy ra trong hai số

c

a ,

c

b có một số không lớn hơn

1

2

Giả sử

1 2

c

1 4

c a

  sin 1

sin 4

C

A 

sin sin 0, 25

C A 

(mâu thuẫn) (ĐPCM)

Câu 1 [DS11.C1.1.E01.c] Tính các góc của ABC biết

Lời giải

Do



   

sin cos

nên bài toán trở thành:





         

2

2

 *

Do



2

;

  



2

4

B C

nên VT của  *

không âm

Suy ra  *

xảy ra dấu “=”



   



 



4

B C

Giải hệ phương trình trên ta được

  



  



100 40

A

B C

Câu 1 [DS11.C1.1.E01.c] Cho tam giácABC không có góc vuông và có các cạnh

tanAtanC2tanBthì tam giác ABCđều.

Lời giải

 

tan

cos

2

a

A

b c a

bc

 2 2 2  2 2 2

tanB abc , tanC abc

 2 2 2  2 2 2  2 2 2

tanA tanC 2.tanB abc abc 2 abc

2

 2  2   2

Kết hợp với a2b2 2c2 a b c  Vậy tam giác ABC đều.

Câu 1 [DS11.C1.1.E02.b] Tìm tập xác định của hàm số   2014 2015cot

1 sin

x

Lời giải

Hàm số f x xác định khi và chỉ khi

1 sin 0 sin 1 sin 0 sin 0



2 2

x k











 

 



k



Vậy tập xác định của hàm số đã cho là:

\ 2 , 2

S  k  k k  

Câu 1 [DS11.C1.1.E01.c] Cho góc

0;

2



  

  mà sin 2 sin 2 2



   

  Tính

tan

4







 

Lời giải

Đặt tcos  sin  2 1  t

Do

0;

2



  

  nên sin 0;cos 0

1

2

   t

2 1 1 3 4 1 0

3

         

(do

1

2

  t

) Suy ra

      

Do đó

tan 1 1 2 2 9 4 2 tan

4 1 tan 1 2 2 7





Câu 1 [DS11.C1.1.E01.c] (HSG Toán 11 - THPT ĐAN PHƯỢNG Hà Nội năm 1415) Cho tam giác

ABC bất kì Chứng minh rằng:



sin sin sin 1 cos cos cos

Lời giải

Chứng minh được

 

sin sin 2 cos

2

C

Tương tự sin  sin 2 cos

2

A

sin sin 2 cos

2

B

Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta có đpcm