Tổ hợp xác suất

Chọn ngẫu nhiên trong lớp 11A ra hai học sinh.. Hỏi lập được bao nhiêu hình lục giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho nhưng không có cạnh nào là cạnh của đa giác.. Bắt n

Trang 1

Câu 5 (HSG NAM ĐỊNH 2014-2015)Gọi M là tập hợp gồm tất cả các số tự nhiên có ít nhất

hai chữ số và các chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5 Chọn ngẫu nhiên một số

từ tập hợp M Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10.

Lời giải

+) Số phần tử của tập M là 2 3 4 5

A A A A = 320

+) Số phần tử trong không gian mẫu là ( )n  =320.

+) Các tập hợp có tổng các phần tử bằng 10: 1; 2;3;4 ; 1; 4;5 ; 2;3;5     

Gọi A là biến cố “chọn ngẫu nhiên một số từ tập M mà tổng các chữ số bằng 10”

 số kết quả thuận lợi của biến cố A là: ( ) n A = 4! + 2.3! = 36.

Vậy xác suất của biến cố A là ( ) ( ) 36 9

Câu 6: (HSG ĐÀ NẴNG NĂM 2011-2012) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các

chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ cómặt ba chữ số khác nhau

Lời giải

Ta có:  95 59.049

+) Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có:

Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là 3

5!

3 60

3!

  số tự nhiên

+) TH2 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH2 này có cả thảy

Câu 3: (HSG ĐỀ 046) Cho các số 1,2,3,4 Hỏi lập được bao nhiêu số có năm chữ số trong đó có hai

chữ số 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác 1 Tính tổng tất cả những số đó

+) Số có 5 chữ số có dạng abcde: Sabcde 10 4a 10 3b 10 2c 10.d e

ở mỗi vị trí, chữ số 1 xuất hiện 24 lần, mỗi chữ số xuất hiện 12 lần

Do đó tổng tất cả các số là S  12 ( 1  1  2  3  4 ) 11111  1466652

Trang 2

Câu 3: (HSG ĐỀ 047) Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số Chọn ngẫu nhiên một số từ

tập A, tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1

Lời giải

Số các số tự nhiên có 5 chữ số là 99999 10000 1 90000  

Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là: abcd1

Ta có abcd1 10. abcd 1 3.abcd7.abcd chia hết cho 7 khi và chỉ khi 1 3.abcd  chia hết 1

cho 7 Đặt 3 1 7 2 1

3

h abcd  h abcd  h  là số nguyên khi và chỉ khi h 3 1t

Khi đó ta được: abcd 7t 2 1000 7 t 2 9999

998 9997

143, 144, , 1428

     suy ra số cách chọn ra t sao cho số abcd chia hết 1

cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286

Vậy xác suất cần tìm là: 1286 0,015

90000

Câu 3: (HSG ĐỀ 048) Từ các chứ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 8

chữ số sao cho mỗi chữ số có mặt ít nhất một lần và các chữ số chẵn không đứng cạnh nhau

Lời giải

Gọi n là số thỏa mãn yêu cầu bài toán, do mỗi chữ có mặt ít nhất 1 lần nên n có 7 chữ số khác

nhau và chữ số còn lại trùng với một trong 7 chữ số đó

- Nếu chữ số trùng nhau là chứ số lẻ thì n có 5 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn

Có 4 cách chọn chữ số lẻ trùng nhau

Đầu tiên ta xếp thứ tự các chữ số lẻ: Có 2

5

C c¸ch xÕp hai ch÷ sè lÏ trïng nhau, tiếp theo có 3! cách xếp 3 chữ số lẻ còn lại

ứng với mỗi cách xếp 5 chữ số lẽ, ta có 6 vị trí (trước, xen giữa, và sau các chữ số lẻ) có thể

xếp các chữ số chẵn để được số n Do đó có 3

- Nếu chữ số trùng nhau là chữ số chẵn thì n có 4 chữ số lẻ và 4 chữ số chẵn

Có 3 cách chọn chữ số chẵn trùng nhau

Tương tự ta có 4! cách xếp các chữ số lẽ, khi đó có 5 vị trí để xếp các chữ số chẵn

Có 2

5

C cách xếp hai chữ số chẵn trùng nhau, tiếp theo có 2

3

A cách hai chữ số chẵn còn lại

Trong trường hợp này có 2 2

5 3

3.4!C A 4320 số Vậy có tất cả 28800 + 4320 = 33120 số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 7: (HSG ĐỀ 049) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 9 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần,

chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần

Vậy có 940800+1058400=1999200 số

Câu 3 (HSG HÀ NAM) Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó chữ số 3 cómặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần Trong các số được tạo thành nói trên, chọn ngẫunhiên một số Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 4?

Trang 3

Lời giải

+) Gọi số cần tìm là abcdef với a b c d e f , , , , , 1,3, 4,8

Sắp xếp chữ số 3 vào 3 trong 6 vị trí, có 3

+) Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng tạo thành 1số chia hết cho 4

Trong các số trên, số lấy chia hết cho 4 có tận cùng là 48, 84 Trong mỗi trường hợp có 3

C  cách sắp

xếp chữ số 3và 1 vào 4 vị trí còn lại, suy ra có 8 số chia hết cho 4

Gọi A là biến cố: “ Số lấy ra chia hết cho 4”

Vậy số các kết quả thuận lợi cho A là  A 8

+) Số phần tử của không gian mẫu là  120

Xác suất của biến cố A là 8 1

120 15

A A



Câu 5 (HSG ĐỀ 053) Cho tập hợp A gồm các số tự nhiên có 5 chữ số Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A

Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 4

Lời giải

Số các số tự nhiên có 5 chữ số là 9.10 số.4

Do tổng các chữ số của số được chọn bằng 4 nên ta có các trường hợp sau

+) Trường hợp 1: Số được chọn có 4 chữ số 1 và 1 chữ số 0,

do có 1 chữ số 1 đứng đầu nên có 3

+) Trường hợp 3: Số được chọn có 1 chữ số 1, 1 chữ số 3 và 3 chữ số 0, khi đó có C14C418 số

+) Trường hợp 4: Số được chọn có 2 chữ số 2 và 3 chữ số 0, khi đó có 1

C  số.

+) Trường hợp 5: Số được chọn có 1 chữ số 4 và 4 chữ số 0, khi đó có 1 số

Do đó có tất cả 4 18 4 4 1 35     số có thể được chọn

Xác suất cần tìm là 354 7

9.10 18000

Câu 4: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2012) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số mà

các chữ số đứng cạnh nhau thì khác nhau?

Lời giải

Số các số có n chữ số khác nhau mà các chữ số đứng cạnh nhau thì khác nhau là 9 n số

+) Với n1 thì ta có 4 chữ số chẵn và 5 chữ số lẻ (không tính số 0) Suy ra số lẻ nhiều hơn số chẵn 1số

+) Giả sử với n k thì số lẻ nhiều hơn chữ số chẵn 1 số, suy ra số các số lẻ là 9 1

Bây giờ ta xét các số có k1 chữ số mà các chữ số đứng cạnh nhau thì khác nhau

Khi đó có

Như vậy số các số chẵn lại nhiều hơn số các số lẻ 1 số

+) Giả sử với n k thì số chẵn nhiều hơn chữ số lẻ 1 số, lập luận như trên ta cũng suy ra được đối với sốcó k 1 chữ số thì số lẻ nhiều hơn số chẵn 1 số

Trang 4

Do đó ta có quy luật: với n là số lẻ thì số các số lẻ nhiều hơn số các số chẵn 1 số, còn với với n là sốchẵn thì số chẵn nhiều hơn số lẻ 1 số.

Vậy số các số chẵn thỏa mãn đề bài là

6

9 1

2657212



 số

Câu 6: (ĐỀ THI HSGTPDN - Toan11 - 2013) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà

các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một

số Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra, có đúng ba chữ số khác nhau

Lời giải

+ Ta có:  95 59.049

* Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có:

+ Số cách chọn 3 chữ số phân biệt , ,a b c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là C39

Chọn 2 chữ số còn lại từ 3chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau sau đây:

+ TH1 Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3chữ số , ,a b c : có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của

5 chữ số (chẳng hạn) , , , ,a a a b c tạo ra một số tự nhiên n ; nhưng cứ 3! hoán vị của các vị trí mà a a a, ,

chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n , nên trong TH1 này có cả thảy 3 5! 60

3!

  số tự nhiên

+ TH2 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số , ,a b c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác trong 3chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5!hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) , , , ,a a b b c tạo ra một số tự nhiên n ; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a a, chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà ,b b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n , nên trong TH2 này có cả thảy 3 5! 90

Câu 4: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2013) Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 100 số tự nhiên từ 1

đến 100 Tính xác suất để tổng ba số chia

hết cho 3

Lời giải

Gọi A A A là tập hợp các số tự nhiên từ 10, ,1 2 đến 100 lần lượt chia hết cho3, chia cho 3 dư1, chia cho 3

dư2 Suy ra A A A lần lượt có 33,34,33 phần tử.0, ,1 2

Số phần tử của không gian mẫu  C1003

Ta có các trường hợp sau

Trường hợp 1: Ba số thuộc A suy ra có 0 3

Gọi Alà biến cố đã cho, khi đó A C333 C343 C333 C C C331 341 331

Xác suất của biến cố đã cho là ( ) 817

Trang 5

Câu 4: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2015) Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5 có thể lập được bao

nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau Tính

tổng tất cả các số đó

Lời giải

Gọi n a a a a a 1 2 3 4 5 là số cần tìm

+) Có 5 cách chọn a , ứng với mỗi cách chọn đó ta có 1 4

Do đó S2 S3 S4 S5 96(1 2 3 4 5) 1440     .

Vậy S 10 18004 1440(10310210 1 )19.59 849 0

Câu 4: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2014) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 7chữ số

khác nhau Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A,

tính xác suất để số được chọn không có chữ số 0 nhưng có mặt các chữ số 1,3,5 đồng thời chữ số 1đứng trước chữ số 3 và chữ số 3 đứng trước chữ số 5

Lời giải

Số phần tử của tập A là 9.A96

Xét các số được chọn

- Có C73 cách chọn 3 trong số 7 vị trí để xếp 3 chữ số 1,3,5 Ứng với mỗi cách chọn đó có duy nhất một cách xếp ba chữ số đó

- Có A64 cách chọn 4 chữ số khác 0còn lại và xếp vào 4vị trí còn lại

Do đó có 3 4

7 6

C A số được chọn

Vậy xác suất để chọn được số thỏa mãn yêu cầu đề bài là

3 4

7 6 6 9

.9

C A P

Trang 6

Trường hợp 1: 2 viên trúng vòng 10; 1 viên trúng vòng 8 xác suất là:

)15

Trường hợp 4: Cả ba viên trúng vòng 10 theo giả thiết xác suất là 0,008

Theo quy tắc cộng ta được xác suất để vận động viên bắn ba viên đạn đạt được ít nhất 28 điểm là: 0,018 +0,0357 + 0,03 + 0,008 = 0,0935

Câu 7: (HSG NÔNG CÔNG 4 – THANH HÓA NĂM 2017-2018)Cho   là đa giác đều 2n đỉnh nộitiếp đường tròn tâm O n ,n2 Gọi S là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác

  Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập S, biết rằng xác suất chọn được một tam giác vuông trongtập S là 1

Số phần tử của không gian mẫu là:  C 2n3

Gọi A là biến cố: “Chọn được tam giác vuông”

Đa giác đều 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm O

Mỗi tam giác vuông được tạo bởi hai đỉnh nằm trên cùng một đường chéo qua tâm O và một đỉnh trong

13

n n n

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu:  C123 120

Giã sử chọn 3 người trong hàng có số thứ tự lần lượt là: m n p, ,

Theo giã thiết ta có: 1 1

220 11

   

Trang 7

Câu 7: (HSG YÊN ĐỊNH 1 – THANH HÓA NĂM 2017-2018) Lớp 11A có 44 học sinh trong đó có

14 học sinh đạt điểm tổng kết môn Toán loại giỏi và 15 học sinh đạt điểm tổng kết môn Văn loại giỏi.Biết rằng khi chọn một học sinh của lớp đạt điểm tổng kết môn Toán hoặc Văn loại giỏi có xác suất là0,5 Chọn ngẫu nhiên trong lớp 11A ra hai học sinh Tính xác suất để hai học sinh được chọn đạt điểmtổng kết giỏi cả hai môn Toán và Văn

x y z

Vậy số học sinh đạt điểm tổng kết giỏi cả hai môn Toán và Văn là 7

Xác suất là:

2 7 2 44

21946

C P

C

Câu 8: (HSG THPT TĨNH GIA 1 NĂM 2018-2019) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số

đôi một khác nhau Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc tậpA Tính xác suất để số chọn

được chia hết cho 3.

+) Giả sử B 0;1; 2; ;9 ta thấy tổng các phần tử của B bằng 45 3 nên số có chín chữ số đôi một khác

nhau và chia hết cho 3 sẽ được tạo thành từ 9 chữ số của các tập B\ 0 ; \ 3 ; \ 6 ; \ 9  B   B   B   nên số cácsố loại này là 9 8

Câu 7: (HSG THPT CẨM THỦY 1) Cho đa giác đều 108 cạnh Hỏi lập được bao nhiêu hình lục giác

có đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho nhưng không có cạnh nào là cạnh của đa giác

Lời giải

Gọi các đỉnh của đa giác đều là A A1, 2, ,A Bài toán trở thành chọn ra 6 số sao cho không có hai số tự 108

nhiên liên tiếp nào từ các số 1, 2, ,108 và loại đi trường hợp 2 trong 6 số chọn ra là 1 và 108

Gọi 6 số được chọn là , , , , ,a b c d e f Ta có : 1   a b c d e  f 108 (1)

Do , , , , ,a b c d e f đôi một không là các số tự nhiên liên tiếp nên:

101

C cáchSuy ra có : 6 4

103 101

C  C cách

Chú ý : Có thể chia 2 TH chọn A1 và không chọn A1

Câu 7: (HSG THPT TRIỆU SƠN 2 NĂM 2018-2019) Có hai chuồng nhốt thỏ, mỗi con thỏ có lông

chỉ mang màu trắng hoặc màu đen Bắt ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng một con thỏ Biết tổng số

Trang 8

thỏ trong hai chuồng là 35 con và xác suất bắt được hai con thỏ đen là 247

300 Tính xác suất đểbắt được hai con thỏ trắng

Lời giải

Gọi số thỏ ở chuồng thứ nhất là x thì số thỏ ở chuồng thứ hai là 35 x , x, 0x35

Số phần tử của không gian mẫu

Gọi A là biến cố "Bắt được hai con thỏ đen"

Gọi B là biến cố "Bắt được hai con thỏ trắng"

Gọi a là số thỏ đen ở chuồng thứ nhất, b là số thỏ đen ở chuồng thứ hai ( *

,

a b   , a x ,b35 x)

Không giảm tính tổng quát, giả sử a b

Theo bài ra ta có

x  x   x20 (thỏa mãn a x ) hoặc x  (loại)15

Vậy xác suất bắt được hai con thỏ trắng là  

Câu 8: (HSG THPT TRIỆU SƠN 2 NĂM 2018-2019) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác

ABC có điểm H5;5là trực tâm tam giác ABC điểm 9 7;

2 2

M 

  là trung điểm cạnh BC .

Đường thẳng đi qua chân đường cao hạ từ B C, của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại

điểmP0;8 Tìm toạ độ các đỉnh A B C, ,

Lời giải

M

K F

E

P

A'

I H

C B

A

Gọi  C là đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác ABC và K AP C

Ta có tứ giác FBCE nội tiếp đường tròn nên PB PC PF PE 

Tứ giác KBCA nội tiếp đường tròn nên PB PC PK PA 

Từ đó suy ra PF PE PK PA  do đó tứ giác FEAK nội tiếp đường tròn

Trang 9

Mà tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH suy ra A K F H E, , , , thuộc đường tròn đường kính AH  AKH 90 Gọi A' đối xứng với A qua I thì ta có AKA ' 90.

Từ đó suy ra K H A, , ' thẳng hàng (1).

Ta có BEAC A C, ' AC BE A C// ' và tương tự HC BA nên tứ giác // ' BHCA' là hình bình hành.Có M là trung điểm của BC thì M BCHA' hay H M A, , ' thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) suy ra K H M A, , , ' thẳng hàng Suy ra AKM 90 hay MH AP

Mặt khác AH PM Do đó H là trực tâm tam giác APM, suy ra PH AM

Đường thẳng BC đi qua M P, có phương trình là x y  8 0

Đường cao AH đi qua H và vuông góc với BC có phương trình là x y 0

Đường thẳng AM đi qua M và vuông góc với PH có phương trình là 5x 3y 12 0

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ 0 6

Vậy toạ độ các đỉnh cần tìm là A(6;6), (6; 2), (3;5)B C hoặc A(6;6), B(3;5), C(6; 2)

Câu 7: (HSG THPT HẬU LẬU 2 NĂM 2018-2019) Cho đa giác đều n cạnh (n3, n chẵn) Gọi S

là tập hợp các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của n - giác đều đã cho Chọn ngẫu nhiên một tam giác từ S Tìm n biết xác suất chọn được một tam giác cân và không đều từ S bằng 3

13

Lời giải

Số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của n - giác đều đã cho bằng 3

n C

Gọi biến cố A:“chọn được một tam giác cân từ tập S”

TH1: Nếu n không chia hết cho 3 thì trong tập S không có tam giác đều.

+) Mỗi đỉnh của đa giác là đỉnh cân của 2

tam giác đều

+) Số tam giác cân: ( 2) (3 8)

Lời giải

Gọi A là biến cố chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1

 Số các số tự nhiên có 5 chữ số: 99999 10000 1 90000   là số phần tử của không gian mẫu của AGiả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là: abcd1

Trang 10

Ta có abcd1 10. abcd 1 3.abcd7.abcd chia hết cho 7 khi và chỉ khi 1 3.abcd  chia hết cho 7 1

3

h abcd  h abcd  h  là số nguyên khi và chỉ khi h 3 1t với t Z

Khi đó ta được: abcd 7t 2 1000 7 t 2 9999

998 9997

143, 144, , 1428

     suy ra số cách chọn ra t sao cho số abcd chia hết cho 7 và 1

chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286 chính là số các kết quả thuận lợi của biến cố A

Vậy xác suất cần tìm là: ( ) 1286 0,0143

90000

đánh số theo thứ tự từ 1 đến 11, lấy ngẫu nhiên 6 quả cầu Có bao nhiêu cách chọn để tổng củacác số được ghi trên 6 quả cầu đó là số lẻ

Theo quy tắc cộng, ta có số cách lấy thỏa mãn bài toán là: 6 200 30 236  

Câu 8 (HSG ĐỀ 075)Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số đôi một khác nhau, trong đó các chữ số 1,

2, 3, 4, 5 được xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải nhưng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thì không được xếp như vậy

Lời giải

Theo yêu cầu của bài toán thì các chữ số 1, 2, 3, 4 và 6 nhất thiết phải đứng trước chữ số 5 Do đó chữ số

5 chỉ có thể đứng ở vị trí a6;7;8; 9;10

Ta xét lần lượt vị trí của 5, vị trí của 6 và vị trí của (1,2,3,4) và cuối cùng là vị trí của các chữ số còn lạiXét các trường hợp:

+) a   có 9 vị trí cho 6 và bộ (1,2,3,4) có 10 5 4

8

C cách; bốn chữ số còn lài là 0,7,8,9 có 4! cách xếp nên

có 9 .4!C84 tính cả a  Khi 1 0 a  thì có 1 0 4

Do vậy có cả thảy 22680 số

nhiêu hình lục giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho nhưng không có cạnh nào là cạnh của đa giác

Lời giải

Gọi các đỉnh của đa giác đều là A A1, , ,2 A Bài toán trở thành chọn ra 6 số sao cho không có hai số tự 108

nhiên liên tiếp nào từ các số 1, 2, ,108 và loại đi trường hợp 2 trong 6 số chọn ra là 1 và 108

Gọi 6 số được chọn là , , , , ,a b c d e f Ta có : 1   a b c d e  f 108 (1)

Do , , , , ,a b c d e f đôi một không là các số tự nhiên liên tiếp nên:

Vì mỗi cách chọn ra bộ số mới , , , , ,A B C D E F thỏa mãn (2) cho ta một cách chọn bộ số , , , , , a b c d e f thỏa

mãn (1) nên có C cách1036

Trang 11

Trường hợp có hai số là 1 và 108 và bốn số còn lại chọn từ 3, 4, ,106 sao cho không có hai số tự nhiên liên tiếp Tương tự ta có 4

101

C cách

Suy ra có : C1036  C1014 cách

Câu 7 (THPT TRIỆU SƠN 2 NĂM 2018-2019) Có hai chuồng nhốt thỏ, mỗi con thỏ có lông chỉ mang màu trắng hoặc màu đen Bắt ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng một con thỏ Biết tổng số thỏ trong hai chuồng là 35 con và xác suất bắt được hai con thỏ đen là

247

300 Tính xác suất để bắt được hai con thỏ trắng.

Lời giải

Gọi số thỏ ở chuồng thứ nhất là x thì số thỏ ở chuồng thứ hai là 35 x , x, 0x35

Số phần tử của không gian mẫu

Gọi A là biến cố "Bắt được hai con thỏ đen"

Gọi B là biến cố "Bắt được hai con thỏ trắng"

Gọi a là số thỏ đen ở chuồng thứ nhất, b là số thỏ đen ở chuồng thứ hai (a b   , , * a x , b35 x).Không giảm tính tổng quát, giả sử a b Theo bài ra ta có

x  x   x20 (thỏa mãn a x ) hoặc x 15 (loại)

Vậy xác suất bắt được hai con thỏ trắng là  

Số cách xếp A,B,C,D thành một dãy sao cho C luôn đứng ở phía bên trái D là:C42.2! 12

Số cách xếp để mỗi người luôn ngồi cạnh ít nhất 1 người cùng quốc tịch với mình là:

|E|= 12 2! 3! 2

4

12.2!.3! .2! 3.456A 3.456

( ) 0,0095

9!

p E  

Câu 7: (HSG ĐỀ 079) Rút ngẫu nhiên một tờ vé số gồm 5 chữ số khác nhau Tính xác suất để rút

được tờ vé số có chữ số 0 hoặc chữ số 5 đồng thời chữ số liền sau luôn nhỏ hơn chữ số liềntrước

Trang 12

Không gian mẫu là n(Ω) = 5

TH2: Chỉ có chữ số 5

+ a = 5 thì 4 chữ số còn lại lấy từ {1;2;3;4} có 1 cách

+ b = 5  có 4 cách chọn a

3 vị trí còn lại có C43cách chọn

C cách chọn các vị trí còn lại

+ e = 5 có C44cách chọn các vị trí còn lại

C cách chọn các vị trí còn lại

+ d = 5  có C43cách chọn các vị trí còn lại

 có 56 cách

7560

4930240

19656

7070

Câu 7: (HSG ĐỀ 081) Bạn A chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 1972, bạn B chọn ngẫu nhiên

một số tự nhiên từ 1 đến 2019 Tính xác suất để số bạn A chọn bé hơn số bạn B chọn

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu  1972.2019.

Giả sử bạn A chọn được số tự nhiên x , thì bạn B có 2019 x cách chọn các số lớn hơn bạn

Trang 13

Khi đó xác suất để số của A chọn nhỏ hơn số của B chọn là: 2065

4038

Câu 7: (HSG ĐỀ 082) Có bao nhiêu cách xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ “THANH HOA”

thành một hàng ngang để có ít nhất hai chữ cái H đứng cạnh nhau

Lời giải

Sắp sếp 8 chữ cái trong cụm từ THANHHOA có 8!

2!3! cách sắp xếp (vì có 3 chữ H giống nhau và 2 chữ A giống nhau)

Ta sắp xếp 5 chữ cái T, A, N, O, A vào 5 vị trí khác nhau có 5!

2! cách sắp xếpCó 3

5!.C /2! = 2160 cách

Câu 6: (HSG ĐỀ 083) Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 lập số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác

nhau Tính xác suất để số lập được chia hết cho 1111

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là 8!

Gọi số cần lập chia hết cho 1111 có dạng a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8

vậy các cặp (a ; ),( ; ),( ; );( ; )1 a5 a a2 6 a a3 7 a a được lấy từ các bộ (1;8), (2;7), (3,6), (4;5).4 8

Ta có 4! cách xếp vị trí cho 4 bộ số trên, mỗi vị trí của 1 bộ số đó thì có 2! cách đổi vị trí cho 2 chữ số tương ứng đó (chẳng hạn bộ (1;8) có 2! Cách đổi vị trí cho 1 với 8 và ngược lại) Như vậy có cả thảy 4!.24 số thỏa mãn

Vậy xác suất cần tìm là

4

4!.2 18! 105

Câu 6: (HSG THPT LAM KINH THANH HÓA NĂM 2018-2019) Cho các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 7 có mặt đúng 3

lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần.

Lời giải

Gọi số đó là A a a a a a a a a a a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Số cách chọn 3 vị trí trong 10 vị trí là 3

10

C Đặt mỗi vị trí trong 3 vị trí này một chữ số 7

Sau đó đặt các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 vào 7 vị trí còn lại Có 7! cách đặt

C số có chữ số 0 đứng đầu

Vậy số các số thỏa mãn điều kiện đề bài là: C103.7! C93.6! 544320 (số)

Trang 14

Câu 7: (HSG THPT LÊ LỢI NĂM 2018-2019) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 8 chữ số lập

được từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho trong mỗi số có đúng ba chữ số 1, các chữ số còn lạiđôi một khác nhau Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S Tính xác suất lấy được số mà không có chữsố chẵn nào đứng cạnh nhau?

Lời giải

Mỗi số thuộc tập S là một hoán vị 8 chữ số 1 1, 1, 1, 3, 5, 2, 4, 6

Số phần tử của S bằng số hoán vị 8 chữ số 1, 1, 1, 3, 5, 2, 4, 6 là 8! 6720

3!Đặt biến cố A: “lấy được số mà không có chữ số chẵn nào đứng cạnh nhau”

Số hoán vị 5 chữ số lẻ 1, 1, 1, 3, 5 là 5!

3!.Ứng với mỗi hoán vị có 6 vị trí đầu, cuối và xen kẽ giữa 2 chữ số lẻ Do đó có A36 cách sắp xếp

ba chữ số chẵn 2, 4, 6 vào 3 trong 6 vị trí để được số thỏa mãn không có chữ số chẵn nào cạnhnhau

Câu 7: (TRƯỜNG THPT LÊ LỢI NĂM 2017 - 2018) Một hộp chứa 17 quả cầu đánh số từ 1 đến 17

Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu Tính xác suất sao cho tổng các số ghi trên 3 quả cầu đó làmột số chẵn

Gọi A là biến cố “tổng các số ghi trên 3 quả cầu đó là một số chẵn”

Trong 17 quả cầu được đánh số có 9 quả cầu đánh số lẻ, 8 quả cầu đánh số chẵn

Khi đó xảy ra 2 trường hợp:

- Trong 3 quả cầu lấy ra có 2 quả cầu đánh số lẻ, 1 quả cầu đánh só chẵn

3 quả cầu lấy ra đánh số chẵn

Trường hợp 1: Số cách lấy 3 quả cầu lấy ra có 2 quả cầu đánh số lẻ, 1 quả cầu đánh só chẵn là:

Câu 7: (THPT NÔNG CỐNG - NHƯ THANH NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong buổi sinh hoạt nhóm

của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có Hoa và 8 học sinh nam trong đócó Vinh Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ.Tính xác suất để Hoa và Vinh thuộc cùng một nhóm

Hai nhóm thứ hai và thứ ba bình đẳng nên ta phải chia 2!

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là ( ) 42 82 21 63

3360 2!

C C C C

Trang 15

Gọi A là biến cố ''Hoa và Vinh cùng một nhóm'' Ta mô tả các khả năng thuận lợi cho biến cố

Suy ra số phần tử của biến cố A là ( )n A =420 630 1050 + =

Vậy xác suất cần tính 1050 0,3125.

3360

Câu 7 Một hộp đựng 50 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 50 Chọn ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ

Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3

Lời giải

+) Số phần tử của không gian mẫu là n  C502

+) Gọi A là biến cố hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3

Giả sử 2 số được chọn là a,b Theo giả thiết        

6811225

Câu 7 (HSG ĐỀ 095) Một nhóm 10 học sinh gồm 6 nam trong đó có Quang, và 4 nữ trong đó có

Huyền được xếp ngẫu nhiên vào 10 ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học Tínhxác suất để xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang khôngngồi cạnh Huyền

Lời giải

Ta có: n    10!.

Giả sử các ghế được đánh số từ 1 đến 10

Để có cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ có đúng 2 bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh số 1,

4, 7 , 10 Có tất cả số cách xếp chỗ ngồi loại này là 6!.4! cách

Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau

Nếu Huyền ngồi ở ghế 1 hoặc 10 thì có 1 cách xếp chỗ ngồi cho Quang Nếu Huyền ngồi ở ghế 4 hoặc

7 thì có 2 cách xếp chỗ ngồi cho Quang

Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là 2 2.2 6 

Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho 10 người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là: 6.3!.5!

Gọi A: “ Giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền”

Trang 16

  4!.6! 6.3!.5! 12960

 

12960 110! 280

C ; số phần tử của không

gian mẫu là   9

Giá trị nhỏ nhất của x là 6 Vậy số quả cầu phải rút ra ít nhất mà ta phải tìm là 6

Câu 7 Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh (n³ 2, nÎ ¥) Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n

đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là 1

đỉnh còn lại của đa giác Đa giác có 2n đỉnh nên có 22n=n đường kính

 Số cách chọn 1 đường kính là 1

Do đó xác suất của biến cố A là ( ) ( 3 )

2

2 2

Vậy n=8 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 8 Xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ “THANH HOA” thành một hàng ngang Tính xác

suất để có ít nhất hai chữ cái H đứng cạnh nhau

Lời giải Cách 1:

Trang 17

 Xét trường hợp các chữ cái được xếp bất kì, khi đó ta xếp các chữ cái lần lượt như sau

C cách chọn vị trí và xếp có 2 chữ cái A

- Có 3! cách xếp 3 chữ cái T, O, N

- Do đó số phần tử của không gian mẫu là 3 2

( ) 3! 3360

n  C C 

 Gọi Alà biến cố đã cho

- Nếu có 3 chữ H đứng cạnh nhau thì ta có 6 cách xếp 3 chữ H

- Nếu có đúng 2 chữ H đứng cạnh nhau: Khi 2 chữ H ở 2 vị trí đầu (hoặc cuối) thì có 5 cách xếp chữ cái H còn lại, còn khi 2 chữ H đứng ở các vị trí giữa thì có 4 cách xếp chữ cái H còn lại

Do đó có 2.5 5.4 30  cách xếp 3 chữ H sao cho có đúng 2 chữ H đứng cạnh nhau

Như vậy có 30 6 36  cách xếp 3 chữ H, ứng với cách xếp trên ta có 2

Gọi Alà biến cố đã cho, ta sẽ tìm số phần tử của A

Đầu tiên ta xếp 2 chữ cái A và 3 chữ cái T, O, N, có 5! 60

Câu 7 Biển số xe là một dãy kí tự gồm hai chữ cái đứng trước và bốn chữ số đứng sau Các chữ

cái lấy từ 26 chữ cái A, B , Z ; các chữ số được chọn từ 10 chữ số 0, 1,2 , 9 Hỏi có bao nhiêu biển số xe có hai chữ số đầu (sau 2 chữ cái) khác nhau, đồng thời có đúng 2 chữ số chẵn và hai sốchẵn đó giống nhau ?

Trường hợp 2 số chẵn đã sắp vào các vị trí a1a3, a1a4, a2a3, a2a4 : Có 4 5 cách sắp 2 chữ số chẵn giống nhau vào 4 vị trí đó, sau đó có 5 5 cách sắp 2 chữ số lẻ vào hai vị trí còn lại Do đó số cách chọn là: n     2 4 5 5 5 500

Trường hợp 2 số chẵn đã sắp vào vị trí a3a4 : Có 5 cách sắp 2 chữ số chẵn giống nhau vào vị tríđó, còn lại vị trí a1a2 để sắp vào 2 số lẻ khác nhau Do đó số cách chọn là: 2

n  A  Theo quy tắc cộng, ta có n4 n2n3600 cách chọn 2 chữ số chẵn giống nhau, sau đó chọn 2chữ số lẻ vào hai vị trí còn lại

+ Theo quy tắc nhân, số các biển số xe thỏa mãn yêu cầu của bài toán là:

Trang 18

1 4 676 600 405600

Câu 7 Xung quanh bờ hồ hình tròn có 17 cây cau, người ta chặt bớt đi 4 cây Tính xác suất để 4

cây chặt đi đó không có 2 cây nào cạnh nhau

Lời giải

Chặt 4 cây từ 17 cây thì số cách chặt là   4

n  C  Chọn 1 cây bất kì trong hàng cây, đánh dấu là cây A Có hai trường hợp sau xảy ra:

+) Trường hợp 1: Cây A không bị chặt Khi đó xét hàng cây gồm 16 cây còn lại

Ta sẽ chặt 4 cây trong số 16 cây đó sao cho không có hai cây nào kề nhau bị chặt

Giả sử đã chặt được 4 cây thỏa yêu cầu nói trên, lúc này hàng cây còn lại 12 cây (không kể câyA) Việc phục hồi lại hàng cây là đặt 4 cây đã chặt vào 4 vị trí đã chặt, số cách làm này bằng vớisố cách đặt 4 cây vào 4 trong số 13 vị trí xen kẽ giữa 12 cây (kể cả 2 đầu), nên:

Số cách chặt 4 cây ở trường hợp 1 là: 4

C  (cách)

+) Trường hợp 2: Cây A bị chặt Khi đó hàng cây còn lại 16 cây Ta sẽ chặt 3 cây trong số 16

cây còn lại sao cho không có hai cây nào kề nhau bị chặt ( hai cây ở hai phía của cây A cũng không được chặt)

Giả sử đã chặt được 3 cây thỏa yêu cầu nói trên, lúc này hàng cây còn lại 13 cây Do hai cây ở haiphía cây A vừa chặt không được chặt nên ta xét hàng cây gồm 11 cây còn lại Lập luận tương tự như trường hợp 1, ta có số cách chặt cây là: 3

C  (cách)

Suy ra: số cách chặt cây thỏa yêu cầu đề bài là: 715 220 935  (cách)

Vậy xác suất cần tìm là 935 11

2380 28

Câu 7 (HSG THPT YÊN ĐỊNH 1 NĂM 2017-2018) Một đoàn tàu có 4 toa chở khách với mỗi toa cònít nhất 5 chỗ trống Trên sân ga có 5 hành khách chuẩn bị lên tàu Tính xác suất để trong 5 hành khách lêntàu đó có một toa có 3 khách lên, hai toa có một khách lên và một toa không có khách nào lên tàu

Lời giải

Gọi A là biến cố cần tính xác suất

Số cách xếp 5 khách lên 4 toa là  45

Số cách chọn ba khách để xếp lên cùng một toa là 3

Câu 7 Xác xuất để vận động viên bắn súng bắn cả ba viên đạn đều vào vòng 10 là 0,008, xác suất để vận

động viên đó bắn một viên vào vòng 8 và dưới 8 lần lượt là 0,15 và 0,4 Tính xác suất để trong ba lần bắnvận động viên đạt được ít nhất 28 điểm

Lời giải

+ Gọi A B C D, , , lần lượt là biến cố vận động viên bắn một viên đạn trúng các vòng 10, 9, 8, dưới 8 điểm.+ Theo bài ra ta có ( ( ))P A 3 0.008 P A( ) 0, 2 ; P C   0,15 và P D   0, 4

Tiêu đề	Tổ hợp xác suất
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	bài tập
Năm xuất bản	2014-2015
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	37
Dung lượng	2,77 MB