Đề cương hoán vị chỉnh hợp tổ hợp xác suất

Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi tổng số của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8... Chọn ngẫu nhiên

XÁC SUÁT CỦA BIẾN CỐ

VẤN ĐỀ 3: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

lần ở sân khách Số trận đấu được sắp xếp là:

ở sân khách Số trận đấu được sắp xếp là:

Câu 6 Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là:

lượt bắt tay Hỏi trong phòng có bao nhiêu người?

Hỏi có bao nhiêu cách chọn các học sinh?

Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

câu đầu phải được chọn là:

A 8 và 4 B 8 và 3

trình nào sau đây ?

Lạt tham dự Tìm số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên

xếp hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng?

A 18720 B 1440 C 8640 D 40320

nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

Câu 27 Trong một hộp có 6 bánh nhân thịt và 4 bánh nhân đậu xanh Có bao nhiêu cách lấy ra 6 bánh để

phát cho các em thiếu nhi?

Câu 30 Trong khai triển nhị thức   6 

  , số hạng thứ 5 là:

A 35a b6  4 B 35a b6  4 C 35a b4  5 D 35a b4

Câu 35 Đa thức P x 32x580x480x340x210x1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây

8xx

x y rồi thay ,x y bởi các giá trị thích hợp Tính tổng 0 1 5

3

1xx

VẤN ĐỀ 5: PHÉP THỬ – KHÔNG GIAN MẪU

A.Gieo đồng tiền xem nó mặt ngửa hay mặt sấp

B.Gieo 3 đồng tiền và xem có mấy đồng tiền lật ngửa

C Chọn bất kì 1 học sinh trong lớp và xem là nam hay nữ

D Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi

tổng số của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8 Số phần tử của biến cố A là:

VẤN ĐỀ 6: XÁC SUÁT CỦA BIẾN CỐ

Câu 11 Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá Xác suất để được lá bích là

được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết có bi xanh:

huệ Chọn ngẫu nhiên 7 bông hoa từ 3 bó trên để cắm vào lọ hoa Xác suất để trong 7 bông hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly:

với nhau Xác suất để tích 2 số ghi trên 2 thẻ là số lẻ là:

10 C

1

20 D

2.5

Xác suất để được 3 quả cầu khác màu là:

quả cầu toàn màu xanh là:

quả cầu xanh và 2 quả cầu trắng là:

nữ Khối 11 có 2 học sinh nam Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để trao thưởng, tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam, cả nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12

thứ 2 lấy ngẫu nhiên 1 quả trong các quả còn lại Tính xác suất để kết quả của 2 lần lấy được 2 quả cầu cùng màu

Câu 30 Một hộp đựng 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ

1 đến 5, có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4, có 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3 Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp Tính xác suất để 2 bi lấy ra vừa khác màu vừa khác số

chữ số của tập A Chọn ngẫu nhiên một số từ S Tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu

xác suất để xếp được 3 học sinh lớp 12 không đứng cạnh nhau

phần thưởng, các học sinh trên được xếp thành một hàng ngang Tính xác suất để khi xếp sao cho 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau

lần ở sân khách Số trận đấu được sắp xếp là:

Lời giải Chọn B

Cứ 2 đội nếu đá cả lượt đi và lượt về sẽ có 2 trận đấu diễn ra

Vậy số trận đấu được sắp xếp khi có 10 đội là 2

10

2.C 90

ở sân khách Số trận đấu được sắp xếp là:

Lời giải

Chọn A

Cứ 2 đội nếu đá 2 trận lượt đi và 2 trận lượt về sẽ có 4 trận đấu diễn ra

Vậy số trận đấu được sắp xếp khi có 10 đội là 2

Chọn 3 màu trong 5 màu để tô vào 3 nước khác nhau thì có cách 3

Mỗi cách chọn 3 đỉnh trong 10 đỉnh ta được một tam giác

Mỗi cách chọn 2 đỉnh trong 12 đỉnh ta được một cạnh hoặc một đường chéo

Gọi n là số cạnh của đa giác đều

Khi đó số đường chéo là 2

n

C  nTheo gia thiết Cn2 n 44  n 11

lượt bắt tay Hỏi trong phòng có bao nhiêu người?

Lời giải Chọn B

Gọi số người trong phòng là n người

Vậy trong phòng có 12 người

Hỏi có bao nhiêu cách chọn các học sinh?

Lời giải Chọn C

Chọn 4 học sinh ngẫu nhiên từ 15 học sinh có: 4

15 1365

C  cách chọn

Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải Chọn A

Để chọn một hội đồng gồm 2 giáo viên và 3 học sinh thì ta cần:

Chọn 2 giáo viên trong 5 giáo viên có: 2

Để chọn 4 học sinh đi trực trong đó phảo có An thì ta cần:

Lời giải Chọn B

Để chọn ra các nhóm ít nhất 2 người ta có các trường hợp sau:

Từ 7 nam và 6 nữ chọn ra 4 em đi trực nhật sao cho có ít nhất 2 nữ nên xảy ra các trường hợp sau :

TH1: 4 em được chọn đi trực nhật có 2 nữ và 2 nam có: 2 2

7 6

C C TH2: 4 em được chọn đi trực nhật có 3 nữ và 1 nam có: 3 1

7 6

C C TH3: 4 em được chọn đi trực nhật có 4 nữ có: 4

6

C Vậy 4 em được chọn đi trực nhật sao cho có ít nhất 2 nữ là :  2 2  1 3 4

Chọn B

Số cách chia 10 học sinh thành 3 nhóm lần lượt gồm 2,3,5 học sinh là: 2 3 5

10 8 5

C C C

câu đầu phải được chọn là:

Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tối đa tại một điểm, nên để có nhiều nhất số giao điểm của

12 đường thẳng thì cứ hai đường thẳng bất kì trong 12 đường thẳng sẽ cắt nhau tại một điểm (không trùng nhau)

Giá trị của n và k lần lượt là 8và 2

Vì 6

8 28

C 

trình nào sau đây ?

A n n( 1)(n2) 120 B n n( 1)(n2) 720

Lời giải Chọn D

Lạt tham dự Tìm số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên

Lời giải Chọn C

Để xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên, ta làm như sau:

- Xếp các ban nhạc Nha Trang biểu diễn đầu tiên có 1 (cách)

- Sau đó số cách xếp các ban nhạc từ Huế, Đà Nẵng, Quy Nhơn, Đà Lạt là 4!(cách)

Theo quy tắc nhân, số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên là

1.4!24 (cách)

xếp hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng?

A 18720 B 1440 C 8640 D 40320

Lời giải Chọn A

- Trường hợp 3: Ông An đứng đầu, bà An đứng cuối và ngược lại Khi đó, số cách xếp ở trường hợp 3 là: 2.6! 1440 (cách)

Vậy theo quy tắc cộng, số cách xếp hàng thỏa yêu cầu bài toán là: 8640 8640 1440  18720

(cách)

Cách 2:

- Số cách xếp ông An và bà An cùng 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc là 8! (cách)

- Số cách xếp ông An và bà An không đứng ở đầu hàng và cuối hàng là: 2

6.6!

A (cách)

- Số cách xếp hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng là:

2 6

8!A 6!18720(cách)

nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

A 5!.7! B 2.5!.7! C 5!.8! D 12!

Lời giải Chọn C

Ta coi 5 sách Văn khác nhau là 1 bộ sách Văn

Xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau, ta làm như sau:

+ Xếp bộ sách Văn và 7 sách Toán khác nhau có 8! (cách)

+ Ứng với mỗi cách xếp trên thì ta sẽ xếp 5 sách Văn khác nhau trong 1 bộ sách Văn, và số cách xếp là 5! (cách)

Theo quy tắc nhân, ta có số cách xếp thỏa YCBT là: 8!.5!(cách)

Lời giải Chọn C

Số cách sắp 10 cuốn sách trong đó cuốn thứ nhất kề cuốn thứ 2 là: 9!.2! 725760.

Câu 27 Trong một hộp có 6 bánh nhân thịt và 4 bánh nhân đậu xanh Có bao nhiêu cách lấy ra 6 bánh để

phát cho các em thiếu nhi?

A 240 B 151200 C 14200 D 210

Lời giải Chọn D

Số cách chọn 6 bánh trong 10 bánh để phát cho học sinh là: 6

10 210

C  cách

Số hạng tổng quát của khai triển là

Số hạng tổng quát của khai triển là    5

Khai triển nhị thức có tất cả 17 số hạng ứng với n 7 17 n 10

Số hạng tổng quát của khai triển là  2 10  

Số hạng tổng quát của khai triển là   8  8   8

Số hạng tổng quát của khai triển là

Số hạng tổng quát của khai triển là 4  2 3 4 6 4

Phương án B:  5 0 5 1 4 2 3 3 2 4  5

1 2 x C 2x C 2x C 2x C 2x C 2x C 32x580x480x340x210x 1

Phương án C:  5 0 5 1 4 2 3 3 2 4  5

2x1 C 2x C 2x C 2x C 2x C 2x C 32x580x480x340x210x 1

Phương án D:  5 0 5 1 4 2 3 3 2 4  5

1

x C x C x C x C x C x C

x55x410x310x25x 1Chú ý: Sau khi khai triển nhị thức trong phương án C, ta có thể chọn luôn đáp án mà không cần khai triển nhị thức trong phương án D

3 1 3

Số hạng chứa x tương ứng với 6 4k10 6  k 4

Vậy hệ số của x trong khai triển là 6 4

Số hạng chứa x tương ứng với 7 2n3k 7 10 3 k  7 k 1

Vậy hệ số của x trong khai triển là 7 1  4

5 2 3 810

C   

Câu 38 Trong khai triển

9 2

8xx

nnn

P x  x  x   x :

Lời giải Chọn C

Ta thấy các biểu thức 1x; 2 1 x2 ;3 1x3 ; 4 1x4 không chứa số hạng có x 5

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 5 1 x  5 là : 5

Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5 7 1 x  7 là : 5

5C 6C 7C 8C 636 Vậy chọn đáp án C

x y rồi thay ,x y bởi các giá trị thích hợp Tính tổng 0 1 5

S C C  C

Lời giải Chọn A

Ta thấy với x1;y ta có 1 0 1 5  5 5

S C C  C     Vậy chọn đáp án A

x C xC x C x C   x CThay x ta được 1, 2n 0 1 2 3 n

Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn cho khai triển:

Câu 49 Kết quả nào sau đây sai?

Chọn C

Ta có C1n  Vậy C sai n.

18 3

3

1xx

    ( vì n5)

12n

VẤN ĐỀ 5: PHÉP THỬ – KHÔNG GIAN MẪU

A.Gieo đồng tiền xem nó mặt ngửa hay mặt sấp

B.Gieo 3 đồng tiền và xem có mấy đồng tiền lật ngửa

C Chọn bất kì 1 học sinh trong lớp và xem là nam hay nữ

D Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi

Lời giải Chọn D

Đây không phải là phép thử ngẫu nhiên vì đã biết trước kết quả xảy ra

Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể xảy ra

Đồng xu có 2 trường hợp khi gieo: Sấp (S) hoặc Ngửa (N)

Gieo đồng tiền 1: 2 kết quả, đồng tiền 2: 2 kết quả, đồng tiền 3: 2 kết quả

Quy tắc nhân ta có 8 kết quả

Lời giải Chọn B

Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể xảy ra

Gieo một đồng tiền có 2 kết quả (N hoặc S)

Gieo một con súc sắc có 6 kết quả

Quy tắc nhân: 12 kết quả

Câu 4 Gieo hai con súc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích số hai nút ở mặt trên Số phần tử của không

gian mẫu là

Lời giải Chọn B

Xét phép thử gieo hai con súc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích số hai nút ở mặt trên

Không gian mẫu của phép thử là  1;2;3; 4;5;6;8;9;10;12;15;16;18; 20;24; 25;30;36 Vậy số phần tử của không gian mẫu là n  18

Xét phép thử gieo con súc sắc hai lần Gọi A là biến cố “Để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt

6 chấm” Kết quả của biến cố A là

Xét phép thử Gieo đồng tiền 2 lần Gọi B là biến cố “Để mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần”

Số kết quả của biến cố B là BSN NS, 

Lời giải Chọn D

+ Số phần tử không gian mẫu là 2.2 4. (Bài toán có thể hiểu cho tập  có 4 phần tử hỏi tập

 có bao nhiêu tập con?)

+ Số biến cố không có phần tử nào (biến cố không thể) có 0

+ Vì E  F

tổng số của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8 Số phần tử của biến cố A là:

Lời giải Chọn C

+ Ta có các trường hợp có lợi cho biến cố A là: 1, 2, 3 ; 1, 2, 4 ; 1, 2, 5 ; 1, 3, 4       

VẤN ĐỀ 6: XÁC SUÁT CỦA BIẾN CỐ

Lời giải Chọn D

Số phần tử của không gian mẫu là 1

nC  Gọi A là biến cố “Mặt chấm chẵn xuất hiện”

nP

Số phần tử của không gian mẫu là 1

52 52

nC  Gọi A là biến cố “Lá bài rút ra là lá bích”

Số phần tử của biến cố A là 1

13 13

A

n C  Vậy xác suất của biến cố A là 13 1

52 4

A A

nP

Số phần tử của không gian mẫu là 4

13 715

nC  Gọi A là biến cố “Trong 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ”

Vì trong 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ nên có 2 trường hợp xảy ra:

TH1: 4 người được chọn gồm có 3 nữ và 1 nam có 3 1

715 143

A A

nPn

Câu 13 Một hộp có 5 bi xanh, 6 bi đỏ và 7 bi vàng Chọn ngẫu nhiên 5 bi trong hộp Xác suất để 5 bi

C C C TH2: 2 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh, có: 6 5

2 2 1 7

được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết có bi xanh:

1 2 1 3

C C C TH3: 2 xanh - 2 đỏ, có: 4 5

huệ Chọn ngẫu nhiên 7 bông hoa từ 3 bó trên để cắm vào lọ hoa Xác suất để trong 7 bông hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly:

Lời giải Chọn D

TH2: 2 hồng - 2 ly – 3 huệ, có: 8 7

2 2 3 6

TH3: 1 hồng - 1 ly – 5 huệ, có: 8 7

1 1 5 6

Lời giải Chọn C

Gọi A là biến cố “lấy được một số nguyên tố”

Gọi A là biến cố “tổng số chấm xuất hiện ở hai mặt chia hết cho 3”

Không gian mẫu: n  6.6 36

Trường hợp 1: Số chấm trên hai mặt đều chia hết cho 3:        3;3 ; 3;6 ; 6;3 ; 6;6

với nhau Xác suất để tích 2 số ghi trên 2 thẻ là số lẻ là:

Chọn B

Không gian mẫu:   2

9

n  C

Gọi A là biến cố “tích 2 số ghi trên 2 thẻ là số lẻ”

Để tích hai số là số lẻ thì hai số đó phải là 2 số lẻ, lấy ra 2 số lẻ từ các số 1;3;5;7;9 có 2

5

C cách lấy nên   52

2 9

518

10 C

1

20 D

2.5

Lời giải Chọn B

Số cách xếp 6 quyển sách lên một kệ dài là 6! 720 cách   720

Gọi A là biến cố: “Để 2 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau”

Xác suất để được 3 quả cầu khác màu là:

Gọi A là biến cố: “Được 3 quả cầu khác màu”

  25

n  

Gọi A là biến cố: “ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp”

A là biến cố: “Tất cả các đồng tiền xuất hiện mặt ngửa”

  1   15   1 15 31

32

quả cầu toàn màu xanh là:

130

C

P A

C

quả cầu xanh và 2 quả cầu trắng là:

Câu 28 Có 13 học sinh của trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối 12 có 8 nam, 3

nữ Khối 11 có 2 học sinh nam Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để trao thưởng, tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam, cả nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12

Chọn A

Ta có:   3

13 286

n  C Gọi A là biến cố: “Có cả nam, cả nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12”

TH 2: Có 1 học sinh nữ lớp 12, 1 nam lớp 12 và 1 nam lớp 11

Chọn 1 học sinh nữ lớp 12 có 3 cách chọn, chọn 1 nam lớp 12 có 8 cách chọn, chọn 1 nam lớp

thứ 2 lấy ngẫu nhiên 1 quả trong các quả còn lại Tính xác suất để kết quả của 2 lần lấy được 2 quả cầu cùng màu

Ta có: n  20.19 380

Gọi A là biến cố: “Lấy được hai quả cầu cùng màu”

TH 1: Hai quả cầu màu trắng có 2

1 đến 5, có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4, có 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3 Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp Tính xác suất để 2 bi lấy ra vừa khác màu vừa khác số

Ta có:   2

12 66

n  C  Gọi A là biến cố: “Hai bi lấy ra vừa khác màu vừa khác số”

TH 1: Chon 2 bi màu xanh, đỏ: 1 1

chữ số của tập A Chọn ngẫu nhiên một số từ S Tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu

Gọi B là biến cố “chọn từ S một số được số có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu”

Trường hợp 1: a 1,c  , khi đó 2 b có 4 cách chọn Suy ra có 4 số thỏa mãn biến cố B Trường hợp 2: a 2,c , khi đó 4 b có 4 cách chọn Suy ra có 4 số thỏa mãn biến cố B

Ta được: n B   4 4 8 Vậy xác suất cần tính:   8 2

100 25

xác suất để xếp được 3 học sinh lớp 12 không đứng cạnh nhau

phần thưởng, các học sinh trên được xếp thành một hàng ngang Tính xác suất để khi xếp sao cho 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau

Chọn D

Chọn 4 học sinh ngẫu nhiên từ 15 học sinh có: 4

15 1365

C  cách chọn

Xếp 12 học sinh ngẫu nhiên thành 1 hàng ngang có: 12! cách xếp Suy ra n  12!

Gọi A là biến cố: “Xếp sao cho 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau”

Xếp 8 học sinh nam thành một hàng ngang có: 8! cách xếp

8 học sinh này sẽ tạo thành 9 vị trí có thể xếp học sinh nữ vào để 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau (2 vị trí đầu và cuối, 7 vị trí ở giữa các bạn nam)

Xếp 4 học sinh nữ vào 9 khoảng trống đó có: 4