Sách điện tử môn giải tích hàm số một biến

Với những ưu điểm đó,Maple đã được nhiều người trên thế giới lựa chọn và là một trong những bộ phần mềm toán học được sử dụng rộng rãi nhất hiện nay.. để giúp người sử dụng dễ dàng tra c

-Vũ Thanh Hiếu

SÁCH ĐIỆN TỬ MÔN GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.40

Người hướng dẫn khoa học PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

.

Mục lục

1 Dãy số và chuỗi số 9

1.1 Dãy số và giới hạn của dãy số 9

1.1.1 Một số khái niệm 9

1.1.2 Một số tính chất của dãy hội tụ 10

1.1.3 Một số phép toán trên giới hạn 11

1.2 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn và ứng dụng 11

1.2.1 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn 11

1.2.2 Một số giới hạn quan trọng 12

1.2.3 Sự tồn tại điểm tụ trong dãy bị chặn 12

1.2.4 Tiêu chuẩn Cauchy 12

1.3 Chuỗi số 13

1.3.1 Một số khái niệm 13

1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy 13

1.3.3 Dấu hiệu so sánh 14

1.3.4 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương 14

1.3.5 Chuỗi đan dấu và dấu hiệu Leibniz 14

1.3.6 Dấu hiệu Dirichlet và Abel 15

1.4 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 1 15

1.4.1 Giới thiệu về phần mềm Maple 15

1.4.2 Minh họa dãy số bằng lệnh vẽ dãy điểm 19

1.4.3 Tìm quy luật của một dãy số 20

1.4.4 Tính tổng hữu hạn 21

1.4.5 Tính tổng vô hạn 22

1.4.6 Tính tích của hữu hạn hoặc vô hạn thừa số 22

1.4.7 Tính giới hạn của dãy số 23

1.5 Bài tập 23

2 Hàm số 24

2.1 Các khái niệm 24

2.1.1 Khái niệm hàm số 24

2.1.2 Đồ thị của hàm số 24

2.1.3 Một số hàm có cấu trúc đặc biệt 25

2.1.4 Các phép toán trên hàm số 26

2.2 Các hàm số cơ bản 27

2.2.1 Các hàm sơ cấp cơ bản 27

2.2.2 Các hàm sơ cấp 27

2.3 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 2 27

2.3.1 Định nghĩa hàm số 27

2.3.2 Tìm tập xác định của hàm số 29

2.3.3 Vẽ đồ thị của hàm số trong không gian hai chiều 29

2.4 Bài tập 30

3 Giới hạn và tính liên tục của hàm số 31 3.1 Một số khái niệm 31

3.1.1 Giới hạn tại một điểm 31

3.1.2 Giới hạn một phía 31

3.1.3 Mở rộng khái niệm giới hạn 32

3.2 Một số tính chất của giới hạn 32

3.2.1 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 32

3.2.2 Định lý về tính duy nhất của giới hạn 33

3.2.3 Định lý về tính bảo toàn thứ tự 33

3.3 Các phép toán trên giới hạn hàm số 33

3.3.1 Các phép toán số học 33

3.3.2 Giới hạn của hàm hợp 34

3.4 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn và ứng dụng 34

3.4.1 Nguyên lý về giới hạn của hàm đơn điệu bị chặn 34

3.4.2 Nguyên lý về giới hạn của hàm bị kẹp 34

3.4.3 Áp dụng trong việc tính giới hạn của các hàm cơ bản 34 3.5 Tính liên tục của hàm số 35

3.5.1 Khái niệm liên tục 35

3.5.2 Khái niệm gián đoạn 35

3.6 Các định lý cơ bản về hàm liên tục 35

3.6.1 Các định lý về giá trị trung gian 35

3.6.2 Các phép toán trên các hàm liên tục 36

3.6.3 Hàm số liên tục đều 36

3.6.4 Hàm liên tục trên tập compact 36

3.7 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 3 37

3.7.1 Tính giới hạn của hàm số 37

3.7.2 Tìm điểm gián đoạn của hàm số 38

3.7.3 Tính giới hạn của hàm số khi đối số dần đến một điểm nào đó 39

3.7.4 Tính giới hạn của hàm số theo từng bước 40

3.8 Bài tập 42

4 Đạo hàm 43 4.1 Khái niệm đạo hàm 43

4.1.1 Định nghĩa đạo hàm 43

4.2 Các phép toán trên đạo hàm 44

4.2.1 Các phép toán số học trên đạo hàm 44

4.2.2 Đạo hàm của hàm hợp và hàm ngược 45

4.2.3 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 45

4.3 Các định lý quan trọng về hàm khả vi 46

4.3.1 Định lý Fermat về điều kiện cực trị 46

4.3.2 Các định lý về giá trị trung bình 47

4.4 Một số ứng dụng của đạo hàm 47

4.4.1 Tính giới hạn dạng không xác định 47

4.4.2 Tìm cực trị của hàm số 48

4.4.3 Khảo sát các tính chất của hàm số 48

4.5 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 4 49

4.5.1 Tính đạo hàm của hàm số 49

4.5.2 Tính đạo hàm của hàm số theo từng bước 50

4.5.3 Khảo sát hàm số 52

4.6 Bài tập 53

5 Phép tính tích phân 54 5.1 Tích phân bất định 54

5.1.1 Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định 54

5.1.2 Các tính chất và quy tắc cơ bản 55

5.1.3 Bảng các tích phân bất định cơ bản 55

5.2 Tích phân xác định Riemann 56

5.2.1 Khái niệm tích phân xác định 56

5.2.2 Một số tính chất 57

5.2.3 Một số phương pháp tính tích phân xác định 58

5.2.4 Một số ứng dụng của tích phân 59

5.3 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 5 61

5.3.1 Minh họa và tính tổng Riemann 61

5.3.2 Tính tích phân xác định 64

5.3.3 Tính tích phân từng bước 66

5.3.4 Tính diện tích và thể tích 68

5.3.5 Tính nguyên hàm 71

5.4 Bài tập 72

Tài liệu tham khảo 74

Mở đầu

Phần mềm Maple được xây dựng bởi một nhóm các nhà khoa học thuộctrường Đại học Waterloo – Canada, và được tiếp tục phát triển tại nhữngphòng thí nghiệm ở các trường đại học, bao gồm: Phòng thí nghiệm Tínhtoán hình thức tại Đại học Waterloo; Trung tâm nghiên cứu Tính toánhình thức Ontario tại Đại học Tây Ontario; và những phòng thí nghiệmkhắp nơi trên thế giới Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy được trênnhiều hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt để tận dụng tối ưu cấu hìnhmáy và có trình trợ giúp rất dễ sử dụng Maple có môi trường tính toánrất phong phú, hỗ trợ hầu hết các lĩnh vực của toán học với khả năngtính toán trên các kí hiệu (symbolic) Từ version 7, Maple cung cấp ngàycàng nhiều các công cụ trực quan, các gói lệnh tự học gắn liền với toánhọc phổ thông và đại học Về lập trình tính toán, Maple vượt xa các ngônngữ thông thường khác trên cả hai phương diện: mạnh và đơn giản Ngoài

ra, sử dụng Maple, ta có thể dễ dàng biên soạn các sách giáo khoa điện tửvới chức năng Hyperlink tạo các siêu văn bản rất đơn giản mà không cầnđến sự hỗ trợ của bất kỳ một phần mềm nào khác Với những ưu điểm đó,Maple đã được nhiều người trên thế giới lựa chọn và là một trong những

bộ phần mềm toán học được sử dụng rộng rãi nhất hiện nay

Maple có thể trợ giúp hữu hiệu cho việc dạy và học toán Rất nhiềucông việc như giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, tínhđạo hàm, tích phân, vẽ đồ thị được thực hiện bằng những câu lệnh rấtđơn giản chứ không phải lập trình tính toán phức tạp như trước kia Nếubiết khai thác một cách hiệu quả, Maple sẽ là công cụ minh họa hoàn hảo,

hỗ trợ cho giáo viên trong việc dạy những kiến thức khó và trừu tượng(chẳng hạn như khái niệm tích phân), giúp giáo viên nâng cao chất lượnggiảng dạy và giảm thiểu thời gian đứng lớp; giúp học sinh hiểu sâu hơn

bài giảng, nâng cao kỹ năng tính toán và phát triển khả năng sáng tạo Luận văn ”Sách điện tử môn giải tích Hàm số một biến” có mụcđích hệ thống một số lệnh thông dụng bổ trợ cho phần giải tích Hàm sốmột biến Chúng tôi sử dụng Maple version 13 và đã cố gắng tận dụngnhững tính năng ưu việt của Maple như chức năng đóng gói, bookmark,hyperlink để giúp người sử dụng dễ dàng tra cứu; và viết các câu lệnhthông dụng thành nhóm lệnh, để những người chưa từng làm quen vớiMaple vẫn có thể thực hiện những lệnh đó chỉ bằng thao tác ấn phímEnter, đồng thời cung cấp mẫu cho người sử dụng có thể tự thực hiện vớibài toán của mình và phát triển thêm Hy vọng điều này sẽ tạo được hứngthú và giúp người sử dụng làm quen, khai thác Maple để làm toán mộtcách dễ dàng, nhanh chóng hơn.

Luận văn gồm 5 chương:

Chương 1 Dãy số và chuỗi số

Chương 2 Hàm số

Chương 3 Giới hạn và tính liên tục của hàm số

Chương 4 Đạo hàm

Chương 5 Phép tính tích phân

Cấu trúc của mỗi chương gồm ba phần

- Kiến thức lý thuyết: Các kiến thức cơ bản (các định nghĩa, định lý .)được đưa vào, với khả năng đóng gói và hyperlink của Maple giúp người

sử dụng có thể dễ dàng tra cứu, tham khảo để ôn lại kiến thức khi cầnthiết

- Ứng dụng Maple: Tương ứng với các kiến thức được nêu trong chương,chúng tôi giới thiệu các lệnh thông dụng của Maple dùng để hỗ trợ thựchành tính toán Ngoài các câu lệnh riêng lẻ, còn có một số chương trình(gồm nhiều câu lệnh được viết thành nhóm) thực hiện những công việcphổ biến như khảo sát hàm số, tính tích phân theo từng bước giúpngười sử dụng có thể dùng Maple giải quyết bài toán của mình mà khôngphải trực tiếp gõ các lệnh, đồng thời có mẫu để tham khảo tự viết chươngtrình khi đã quen với Maple

- Bài tập: Chúng tôi đưa vào một số bài tập nhằm giúp người sử dụngnắm được cách gõ các biểu thức toán học theo quy định của Maple, minh

họa cho khả năng tính toán của Maple Một số bài tập được nêu cả cáchgiải”truyền thống”và cách giải bằng Maple để người sử dụng có thể thamkhảo và so sánh.

Kèm theo luận văn này là một đĩa CD chứa nội dung sách điện tử đượcbiên soạn trên Maple

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Tạ DuyPhượng (Viện Toán học - Viện Khoa học Việt Nam) Tác giả xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy về sự tận tình hướng dẫn trong quá trìnhlàm luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, KhoaToán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, các thầy côgiảng dạy lớp Cao học Toán K3 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và truyềnthụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, cácthầy cô tổ Toán - Tin trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc, bạn bè đồngnghiệp cùng gia đình đã tạo điều kiện giúp đỡ, khích lệ tôi hoàn thành bảnluận văn này

Thái Nguyên 2011

Vũ Thanh Hiếu

Ta gọi an là số hạng tổng quát của dãy số, dãy số được hoàn toàn xácđịnh khi biết công thức biểu diễn số hạng tổng quát an.

Chú ý 1.1 Có nhiều phương pháp cho dãy số: cho công thức biểu diễn

số hạng tổng quát, liệt kê, mô tả tính chất, truy hồi,

Định nghĩa 1.2 (Dãy số bị chặn - giới nội) Dãy số (an) được gọi là bịchặn trên (bị chặn dưới ) nếu tồn tại số c sao cho an 6 c (c 6 an) với mọi

n Khi dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới ta nói nó là bị chặn (haycòn gọi là giới nội )

Định nghĩa 1.3 (Giới hạn của dãy số) Số a được gọi là giới hạn của dãy

số (an) nếu với mỗi số dương ε bất kỳ ta có thể tìm được một số tự nhiên

N (phụ thuộc vào ε) sao cho an ∈ (a − ε; a + ε), (tức là |an− a| < ε) vớimọi n ≥ N Khi đó ta viết

lim

n→∞an = a hay an → a, khi n → ∞

và nói rằng dãy số (an) là hội tụ (tới a) Dãy không hội tụ thì được gọi làdãy phân kỳ

Chú ý 1.2 Trong kí hiệu trên, nếu không sợ nhầm lẫn ta có thể bỏ

n → ∞, tức là, viết lim an thay cho lim

n→∞an.Mệnh đề 1.1 Nếu (an) hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

Định nghĩa 1.4 (Dãy con) Giả sử (an) là dãy số và n1 < n2 < làmột tập con những số tự nhiên xếp theo thứ tự tăng dần Khi đó dãy(ank)

được gọi là dãy con của dãy (an)

Mệnh đề 1.2 Nếu (an) hội tụ tới a thì mọi dãy con vô hạn của nó cũnghội tụ tới a

Định nghĩa 1.5 (Giới hạn trên và giới hạn dưới) Giả sử (ank) là một dãycon của (an) và lim

k→∞ank = a thì a được gọi là một giới hạn riêng của (an)

Kí hiệu A là tập tất cả các giới hạn riêng sup A được gọi là giới hạn trêncủa (an), ký hiệu lim

n→∞sup an; inf A được gọi là giới hạn dưới của (an), kýhiệu lim

Ta nhớ lại, với tập con A ⊂ R, một điểm x ∈ R được gọi là điểm tụ của

A nếu tồn tại một dãy các phần tử của A hội tụ về x Như vậy, một giớihạn riêng của một dãy chính là một điểm tụ của dãy đó Ta có mệnh đềMệnh đề 1.4 Điểm a là một điểm tụ của dãy số (an) khi và chỉ khi códãy con (ank) hội tụ tới a

1.1.2 Một số tính chất của dãy hội tụ

Mệnh đề 1.5 (Tính giới nội) Mọi dãy hội tụ đều giới nội

Mệnh đề 1.6 (Tính bảo toàn thứ tự) Giả sử a = lim

n→∞an, b = lim

n→∞bn

Khi đó

i) Nếu tồn tại n0 sao cho an ≥ bn với mọi n ≥ n0 thì a ≥ b

ii) Nếu a > b thì tồn tại n0 sao cho với mọi n ≥ n0, ta có an > bn

1.1.3 Một số phép toán trên giới hạn

Định nghĩa 1.6 (Dãy vô cùng bé) Ta nói (an) là dãy vô cùng bé nếu

1.2 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn và ứng dụng

1.2.1 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn

Định nghĩa 1.7 (Dãy đơn điệu) Ta gọi (an) là dãy không giảm nếu

an+1 ≥ an với mọi n ∈ N Nếu bất đẳng thức là chặt ta sẽ có dãy đơn điệu

tăng Tương tự như vậy ta có khái niệm về dãy không tăng và dãy đơnđiệu giảm

Định lý 1.1 (Weierstrass) Mọi dãy không giảm và bị chặn trên (haykhông tăng và bị chặn dưới) đều hội tụ

Chú ý 1.3 Nếu (an) không giảm (không tăng) và không bị chặn trên(dưới) thì lim an = +∞ (lim an = −∞)

Định nghĩa 1.8 Ta nói rằng dãy số (cn) bị kẹp giữa hai dãy số (an) và

(bn) nếu như tồn tại chỉ số n0 sao cho khi n > n0 thì an ≤ cn ≤ bn

Định lý 1.2 (Nguyên lý về dãy bị kẹp) Giả sử hai dãy (an), (bn) cùng cógiới hạn a Khi đó mọi dãy số (cn) bị kẹp giữa hai dãy (an), (bn) cũng cógiới hạn là a.

n

.1.2.3 Sự tồn tại điểm tụ trong dãy bị chặn

Định lý 1.3 (Bolzano - Weierstrass) Mọi dãy giới nội đều có điểm tụ

1.2.4 Tiêu chuẩn Cauchy

Định nghĩa 1.9 (Dãy cơ bản) Dãy (an) được gọi là dãy cơ bản (hay dãyCauchy) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho |an− am| < ε với mọi

n, m ≥ n0

Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy) Dãy (an) hội tụ khi và chỉ khi

nó là dãy cơ bản

gọi là tổng riêng thứ n của dãy Nếu dãy (Sn) hội tụ tới S (hữu hạn) thì

ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ, có tổng bằng S Ký hiệu

Nếu dãy (Sn) không hội tụ, ta nói chuỗi là phân kỳ

Nếu an > 0 với mọi n ∈ N∗ thì chuỗi (1.1) được gọi là chuỗi số dương.Định nghĩa 1.11 Chuỗi

an bán hội tụ hay hội tụ có điều kiện

1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy

Mệnh đề 1.9 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi số

∞

P

n=1

an là hội tụ khi và chỉkhi, với mỗi số ε > 0 (nhỏ bao nhiêu tùy ý), tồn tại số N ∈ N sao cho với

mọi số tự nhiên n > N và mọi m ∈N ta luôn có Snn+m < ε, trong đó

Mệnh đề 1.13 (Dấu hiệu D0lambert) Giả sử tồn tại lim

n→∞

an+1

an = d. Khi

đó nếu d > 1 thì chuỗi phân kỳ, d < 1 thì chuỗi hội tụ

Mệnh đề 1.14 (Dấu hiệu Raabe) Giả sử tồn tại lim

n→∞n an

an+1

− 1

= r

Khi đó nếu r > 1 thì chuỗi hội tụ, r < 1 thì chuỗi phân kỳ

1.3.5 Chuỗi đan dấu và dấu hiệu Leibniz

Mệnh đề 1.15 (Dấu hiệu Leibniz) Nếu dãy (an) là đơn điệu giảm, hội

tụ về 0 thì chuỗi đan dấu (1.2) hội tụ

1.3.6 Dấu hiệu Dirichlet và Abel

Mệnh đề 1.16 (Dấu hiệu Dirichlet) Giả sử rằng

i) Dãy tổng riêng (Sn) của chuỗi

Mệnh đề 1.17 (Dấu hiệu Abel) Giả sử rằng

i) Dãy tổng riêng (Sn) của chuỗi

1.4.1 Giới thiệu về phần mềm Maple

Việc cài đặt Maple 13 được thực hiện đơn giản bằng cách cho chạy fileSetup.exe có sẵn trong bộ chương trình cài đặt và thực hiện các khaibáo theo đúng trình tự Khi Maple đã được cài đặt đúng quy trình, việckhởi động Maple cũng đơn giản giống như khởi động các chương trình ứngdụng khác trên Windows: ta có thể chọn

Start → Programs → Maple 13 → Maple 13

hoặc nháy đúp chuột vào biểu tượng của Maple 13 trên màn hình:

Hình 1.1: Biểu tượng chương trình Maple 13.

Khi đó màn hình làm việc của Maple sẽ xuất hiện Giao diện của Maple

13 gồm các thành phần cơ bản như sau:

Hình 1.2: Giao diện của Maple 13.

Những thao tác cơ bản như quản lý các file hay định dạng các đốitượng trong Maple 13 hoàn toàn tương tự các phần mềm quen thuộc:Word, Excell Để tìm hiểu đầy đủ, chi tiết hơn về giao diện, môi trườnglàm việc cũng như các lệnh của Maple có thể xem trong [2] hoặc [4]

Cụm xử lý (Execution Group)

Cụm xử lý là thành phần tính toán cơ bản trong môi trường làm việccủa Maple, có thể bao gồm các đối tượng cơ bản của Maple như lệnh, kếtquả tính toán, đồ thị Có thể dễ dàng nhận biết một cụm xử lý bằngdấu ngoặc vuông bên trái dấu nhắc lệnh của Maple

Để tạo một cụm xử lý mới, ta kích chuột vào biểu tượng”[> ”trên thanhcông cụ hoặc chọn Insert → Execution Group → After Cursor (Ctrl+J)

Lệnh và kết quả của Maple

Lệnh của Maple (Maple Input) là những từ tựa tiếng Anh (gọi là từkhóa lệnh) được sử dụng theo một nghĩa nhất định và phải tuân theo cúpháp của Maple Lệnh được nhập sau dấu nhắc lệnh ”[> ” và kết thúc bởidấu ” : ” hoặc dấu ”; ” Lệnh được thực hiện nếu ta ấn phím Enter khicon trỏ ở trong dòng lệnh Nếu kết thúc lệnh bằng dấu ”; ”kết quả sẽ hiểnthị ngay ra màn hình, còn nếu kết thúc bằng dấu ” : ” thì Maple vẫn tiếnhành tính toán bình thường nhưng kết quả không hiển thị ra màn hình.Maple có hai dạng lệnh: lệnh trơ và lệnh trực tiếp, hai dạng lệnh nàyluôn đi theo cặp và cú pháp của chúng chỉ khác nhau ở chỗ chữ cái đầutiên trong tên lệnh của lệnh trơ viết in hoa Lệnh trực tiếp cho ta kết quảtính toán, còn lệnh trơ chỉ cho ta biểu thức tượng trưng

Kết quả của việc tính toán (Maple Output) hiện trên màn hình đượcngầm định có màu xanh

Hình 1.3: Ví dụ về lệnh trơ, lệnh trực tiếp và kết quả.

Mục (Section)

Một trang làm việc (worksheet) trong Maple thường bao gồm nhiềumục, mỗi mục có thể chứa những đoạn (paragraph) và những mục con(subsection) Một mục trong trang làm việc của Maple cũng tương tự nhưmột mục trong các văn bản thông thường Tuy nhiên điều đặc biệt là Maple

có khả năng đóng gói : ta có thể mở một mục ra đọc hoặc gói lại khi đãđọc xong bằng cách kích chuột vào nút chỉ mục đứng ở đầu mục

Hình 1.4: Hình ảnh các mục đóng, mở trong Maple 13.

Muốn đưa thêm một mục mới vào trang văn bản ta sử dụng chức năngInsert → Section Muốn thêm một mục con trong một mục ta chọn Insert

→ Subsection

Siêu liên kết (Hyperlink)

Một siêu liên kết là một đối tượng mà nếu ta kích hoạt vào đó thì contrỏ sẽ được di chuyển đến một đoạn, một mục hay một trang làm việckhác Để tạo siêu liên kết ta đưa con trỏ đến vị trí đặt siêu liên kết rồichọn Insert → Hyperlink Trong hộp thoại Hyperlink Properties, nhậpnhóm kí tự đại diện vào ô Link Text hoặc chọn nút check box Image rồikích chuột vào nút lệnh Choose Image để chọn hình ảnh đại diện choHyperlink; Tại hộp cuốn Type, chọn Worksheet sau đó nhập tên file cầnliên kết tới vào ô Target, hoặc chọn nút lệnh Browse .để duyệt tìm file.Nhập tên của bookmark (nếu có) vào ô Bookmark

Một số quy ước, kí hiệu trong Maple

• Các phép toán số học: phép cộng (+), phép trừ (−), phép nhân (∗),phép chia (/), phép lũy thừa (∧) được viết trực tiếp vào dòng lệnh và thựchiện theo thứ tự quen biết

• Cách viết các hàm toán học: tên hàm(đối số), ví dụsin(x), cos(x),

• Căn bậc hai của x: kí hiệu sqrt(x)

• Hàm ex: kí hiệu exp(x)

• Số π có thể dùng kí hiệu P i, số e được xem là một giá trị của hàm

mũ exp(x) tại x = 1, tức là ta có thể viết exp(1) để biểu diễn hằng số e

Chú ý 1.4 Các lệnh của Maple rất phong phú, tuy nhiên ở đây chúng tôichỉ giới thiệu một số lệnh cơ bản trong phạm vi ứng dụng khi làm việc vớihàm số một biến Nếu muốn tìm hiểu sâu hơn về một lệnh nào đó, trênmàn hình làm việc của Maple, ở chế độ gõ công thức toán (Math) hoặcsau dấu nhắc lệnh, ta chỉ cần gõ ?<tên lệnh> rồi ấn phím Enter, khi đó

cú pháp đầy đủ của lệnh này sẽ được hiển thị Ví dụ, khi muốn tìm hiểu

về lệnh tính tích phân, ta gõ ?int rồi ấn phím Enter, hướng dẫn về lệnh

sẽ hiển thị để trợ giúp cho người sử dụng

1.4.2 Minh họa dãy số bằng lệnh vẽ dãy điểm

Lệnh vẽ m phần tử đầu tiên của dãy số có số hạng tổng quát làan, mỗiphần tử được biểu diễn bởi dấu + (cross) có cú pháp như sau

[> pointplot([seq([n, an], n = 1 m)], symbol = cross);

Chú ý 1.5 - Các tính toán với đồ họa thường yêu cầu bộ nhớ lớn, vì vậytrước tiên ta nên khởi tạo lại bộ nhớ bằng lệnh

[> restart :

- Trước khi dùng lệnh vẽ cần nạp gói chức năng chuyên dụng cho vẽ đồthị bằng lệnh

[> with(plots) :

Ví dụ 1.1 Đoạn lệnh sau vẽ 200 phần tử đầu tiên của dãy số

Hình 1.5: Minh họa dãy số bằng lệnh vẽ dãy điểm.

Nhận xét 1.1 Maple thực hiện rất dễ dàng và nhanh chóng công việc

mà chúng ta khó có thể làm bằng tay Chúng ta có thể sử dụng phươngpháp này để minh họa cho khái niệm giới hạn của dãy số, hay dự đoándãy hội tụ, dãy phân kỳ

1.4.3 Tìm quy luật của một dãy số

Để tìm số hạng tổng quát của một dãy số được cho bởi các điều kiệnđk1, đk2, ., đki, ta thực hiện lệnh sau

[> rsolve({đk1,đk2, .,đki}, a(n));

(rsolve: recurrence equation solver : giải phương trình truy hồi)

Ví dụ 1.2 Tìm số hạng tổng quát của dãy số (an) biết

a1 = 1, a2 = 2, an+1 = n · (an+ an−1)[> rsolve({a(1) = 1, a(2) = 2, a(n + 1) = n · (a(n) + a(n − 1))}, a(n));

Kết quả hiển thị: Γ(n + 1), trong đó Γ là ký hiệu của hàm Gamma đượcxác định như sau



Γ(1) = 1Γ(n + 1) = n!

1.4.4 Tính tổng hữu hạn

Để hiển thị biểu thức biểu diễn tổng dãy số cần tính, sử dụng dòng lệnh

có cú pháp như sau:

[> Sum(an, n = k m);

trong đó an là số hạng tổng quát của dãy, n chạy từ k đến m

Để hiển thị giá trị của tổng cần tính, sử dụng dòng lệnh:

i · (i + 1) · (i + 2), i = 1 n



;

1.4.6 Tính tích của hữu hạn hoặc vô hạn thừa số

Thao tác giống như đối với tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn, chỉ thaytên lệnh Sum bằng P roduct, hoặc sử dụng nút công thức

n

Q

i=k

f rồi nhậpcác giá trị thích hợp vào vị trí của i, k, n và f

Chú ý 1.6 Ở trên ta sử dụng thêm hai lệnh: lệnh gán tên cho biểu thức,

cú pháp <Tên>:=<Biểu thức>; và lệnh đơn giản hóa biểu thức, cú phápsimplify<Biểu thức>;

Lệnh gán tên cho biểu thức thường được dùng khi biểu thức cồng kềnhhoặc được dùng nhiều lần, việc gán tên sẽ giúp ta đỡ bị nhầm lẫn và mấtcông viết lại biểu thức Lệnh simplify (đơn giản hóa) giúp thu gọn biểuthức

1.4.7 Tính giới hạn của dãy số

Dãy số cần tính giới hạn có số hạng tổng quát là an

hoặc chọn nút công thức lim

x→af , sau đó thay x bởi n, thay a bởi ∞ vànhập an vào vị trí f để hiển thị kết quả tính giới hạn của dãy

Ví dụ 1.8 Tính giới hạn lim

n→∞

n + sin(n)2

n + cos(n)[> Limit n + sin(n)

Chương 2

Hàm số

2.1 Các khái niệm

2.1.1 Khái niệm hàm số

Giả sử D ⊂R là tập hợp các số và giả sử theo một quy luật hoàn toàn

xác định nào đó, mỗi số x ∈ D đều tương ứng với số duy nhất y ∈ R thì

ta nói rằng trên D đã cho hàm (đơn trị) và ký hiệu là y = f (x), x ∈ D

hay x → f (x), x ∈ D Đại lượng biến thiên x được gọi là đối số hay biếnđộc lập Tập hợp D gọi là miền xác định của hàm Đại lượng biến thiên y

gọi là hàm số hay đại lượng phụ thuộc Tập hợp

2.1.3 Một số hàm có cấu trúc đặc biệt

Định nghĩa 2.1 (Hàm đơn điệu) Hàm f xác định trên tập X được gọi

là không giảm (không tăng) trên X nếu với mọi x1, x2 ∈ X, x1 < x2, ta có

Định nghĩa 2.2 (Hàm tuần hoàn) Hàm f được gọi là tuần hoàn nếu tồntại số T > 0 sao cho f (x + T ) = f (x) với mọi x sao cho x, x + T cùngthuộc miền xác định của hàm số

Dễ thấy, nếu f là hàm tuần hoàn thì tồn tại nhiều giá trị T > 0 saocho f (x + T ) = f (x) Số T > 0 bé nhất (nếu có) thỏa mãn tính chất nàyđược gọi là chu kỳ của f

Định nghĩa 2.3 (Hàm bị chặn) Ta nói rằng hàm f bị chặn trên trongtập X nếu tồn tại số M sao cho f (x) ≤ M với mọi x ∈ X

Tương tự như vậy, ta nói rằng hàm f bị chặn dưới trong tập X nếutồn tại số m sao cho f (x) ≥ m với mọi x ∈ X

Nếu f vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới trong tập X thì ta nói rằng

f bị chặn (hay giới nội ) trên X

Dễ dàng nhận thấy f giới nội trên X khi và chỉ khi tồn tại số dương

M sao cho |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ X

Định nghĩa 2.4 (Hàm chẵn, lẻ) Cho hàm sốf xác định trên tập X Hàm

f (x) được gọi là hàm số chẵn (tương ứng hàm số lẻ) nếu nó thỏa mãn haiđiều kiện

1) Với mọi x ∈ X thì −x ∈ X.

2) f (−x) = f (x) (tương ứng f (−x) = −f (x)), với mọi x ∈ X

Định nghĩa 2.5 (Hàm lồi, lõm) Hàm f xác định trên tập X được gọi làhàm lồi nếu, với mọi x1, x2 ∈ X và mọi α ∈ [0; 1], ta luôn có

Ta nói rằng f lớn hơn hay bằng g trên X nếu như f (x) ≥ g(x) với mọi

x ∈ X Khi không tồn tại x để dấu bằng xảy ra thì ta nói f lớn hơn g.Các phép toán số học

Với hai hàm số f, g cùng xác định trên tập X, ta có thể xác định đượccác hàm f, f + g, f − g, f · g,f

g theo các công thức tương ứng như sau:

Hàm ngược

Cho hàm số f : X → Y Nếu ta xác định được hàm số f−1 : Y → X

theo quy tắc tương ứng như sau: với mỗi y ∈ Yđược ứng với x thỏa mãn

f (x) = y, nghĩa là

f−1(y) = x ⇔ f (x) = y,

thì hàm số f−1 được gọi là hàm ngược của f Rõ ràng, miền xác định của

f−1 cũng chính là miền giá trị của f

2.3 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán

2.3.2 Tìm tập xác định của hàm số

Việc tìm tập xác định của hàm số thực chất là việc giải phương trình,bất phương trình hoặc hệ phương trình, hệ bất phương trình Ta dùnglệnh:

[> solve({danh sách},{biến});

trong đó {danh sách} chứa các phương trình hoặc bất phương trình cầngiải

[> plot(f (x), x = a b, y = c d, {các tùy chọn});

Có thể vẽ đồ thị của nhiều hàm trên cùng một miền xác định và miềngiá trị với các màu khác nhau

Một số tùy chọn thông dụng:

- Đặt màu cho đồ thị: color= [color1, color2, .]

- Đặt độ dày k cho nét vẽ: thickness = k

- Đặt số điểm vẽ: tăng độ chính xác để hình vẽ trung thực hơn bằngtùy chọn đặt số điểm vẽ nhiều hơn (tuy nhiên thời gian tính toán sẽ lâuhơn): numpoints = n

- Đặt tiêu đề cho đồ thị: title = ‘y = f(x)‘

- Khi vẽ đồ thị của hàm số có điểm gián đoạn, phải có thêm tùy chọndiscont=true để đồ thị được vẽ chính xác hơn

Chương 3

Giới hạn và tính liên tục của hàm số

3.1 Một số khái niệm

3.1.1 Giới hạn tại một điểm

Giả sử f là một hàm số xác định trên tập X ⊂ R và a là một điểm tụcủa tập X Ta nói hàm số f có giới hạn là số L khi x dần tới a nếu vớimỗi ε > 0 bất kỳ, có thể tìm được số δ > 0 sao cho với x ∈ X thỏa mãn

0 < |x − a| < δ thì ta có |f (x) − L| < ε Khi ấy ta cũng nói L là giới hạncủa hàm f tại a và ký hiệu

Khái niệm giới hạn trái được định nghĩa tương tự Giới hạn trái của f

tại a được ký hiệu là lim

x→−af (x) = f (a−)

Dễ thấy f có giới hạn tại a khi và chỉ khi nó có giới hạn trái, giới hạnphải tại a và chúng bằng nhau

3.1.3 Mở rộng khái niệm giới hạn

Định nghĩa 3.1 (Giới hạn vô cùng) Cho hàm số y = f (x) xác địnhtrên tập X và a là một điểm tụ của X Nếu với mỗi số E > 0 tồn tại

số δ > 0 sao cho f (x) > E (f (x) < −E) với mọi x thỏa mãn bất đẳngthức 0 < |x − a| < δ thì ta nói f có giới hạn bằng +∞ (tương ứng giớihạn bằng −∞) khi x dần tới a và ký hiệu là lim

x→+∞f (x) = L.Tương tự, ta cũng có khái niệm về giới hạn của f khi x dần tới −∞,

ký hiệu lim

x→−∞f (x) = L

Định nghĩa 3.3 (Giới hạn vô cùng tại điểm vô cùng) Nếu với mỗi số

E > 0, tồn tại số M > 0 sao cho f (x) > E với mọi x ∈ X thỏa mãn

x > M thì ta nói hàm f có giới hạn bằng +∞ khi x dần tới +∞ và kýhiệu lim

3.2.1 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn

Định lý 3.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Giới hạn của f tại a tồn tại và hữuhạn khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho

|f (x1) − f (x2)| < ε

với mọi x1, x2 ∈ X thỏa mãn x1, x2 ∈ (a − δ; a + δ)

3.2.2 Định lý về tính duy nhất của giới hạn

Định lý 3.2 (Tính duy nhất của giới hạn) Nếu hàm số f có giới hạn tại

Hệ quả 3.1 Nếu có hai số A và B thỏa mãn A < f (x) < B với mọi x

trong lân cận nào đó của điểm a và nếu tồn tại lim

x→af (x) = L thì A ≤ L ≤

B Đảo lại, nếu tồn tại lim

x→af (x) = L và A < L < B thì tồn tại số δ > 0

sao cho A < f (x) < B với mọi x ∈ X, |x − a| < δ

3.3 Các phép toán trên giới hạn hàm số

• Nếu f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ J \ {a}, trong đó J là một khoảng nào

3.4 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn và ứng dụng

3.4.1 Nguyên lý về giới hạn của hàm đơn điệu bị chặn

Định lý 3.6 Giả sử f là một hàm đơn điệu trên khoảng (a; b) và c làmột điểm nằm trong khoảng đó Nếu f bị chặn thì các giới hạn từng phía

lim

x→c−f (x), lim

x→c+f (x) tồn tại (và hữu hạn)

3.4.2 Nguyên lý về giới hạn của hàm bị kẹp

Ta nói rằng hàm f bị kẹp giữa hai hàm g, h trên tập X nếu như g(x) ≤

f (x) ≤ h(x) với mọi x ∈ X

Định lý 3.7 Giả sử tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X thỏa mãn

0 < |x − a| < δ, hàm f (x) bị kẹp giữa hai hàm g(x), h(x) có cùng giới hạntại a là

3.4.3 Áp dụng trong việc tính giới hạn của các hàm cơ bản

Giới hạn của các hàm lượng giác

3.5.1 Khái niệm liên tục

Giả sử hàm f xác định trên một khoảng chứa x0 Ta nói rằng hàm f

là liên tục tại điểm x0 nếu thỏa mãn hai điều kiện sau

i) Tồn tại giới hạn hữu hạn lim

x→x0f (x);

ii) f (x0) = lim

x→x 0

f (x)

3.5.2 Khái niệm gián đoạn

Những điểm mà tại đó hàm số f không liên tục được gọi là điểm giánđoạn của f

3.6 Các định lý cơ bản về hàm liên tục

3.6.1 Các định lý về giá trị trung gian

Định lý 3.8 (Bolzano - Cauchy I) Nếu f liên tục trên [a; b] và

f (a) · f (b) < 0

thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0

Định lý 3.9 (Bolzano - Cauchy II) Giả sử f liên tục trên [a; b] và f (a) =

A 6= B = f (b) Khi đó f nhận mọi giá trị trung gian giữa A và B (Tanói: f lấp đầy [A; B])

3.6.2 Các phép toán trên các hàm liên tục

Mệnh đề 3.3 Nếu f liên tục tại điểm x0 vàg liên tục tại điểm y0 = f (x0)

thì g ◦ f cũng liên tục tại điểm x0

Tính liên tục của hàm ngược

Mệnh đề 3.4 Giả sử hàm y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng

X, đơn điệu tăng (giảm) chặt trên X Khi đó tồn tại hàm ngược đơn trị

x = f−1(y) liên tục và đơn điệu tăng (giảm) trên Y = f (X)

3.6.3 Hàm số liên tục đều

Định nghĩa 3.4 Hàm số f được gọi là liên tục đều trên tập X ⊂ R nếu

như với mỗi số dương ε, ta tìm được số dương δ sao cho

∀x, y ∈ X, |x − y| ≤ δ, ta có |f (x) − f (y)| ≤ ε

Nhận xét 3.1 Nếu hàm là liên tục đều trên tập X thì liên tục tại mọiđiểm trên tập đó Điều ngược lại nói chung là không đúng

3.6.4 Hàm liên tục trên tập compact

Một tập con đóng và bị chặn trên R được gọi là tậpcompact Ta có cáckết quả sau đây về tính chất của hàm số liên tục trên tập compact

Định lý 3.10 (Cantor) Hàm liên tục trên tập compact K thì cũng liêntục đều trên tập đó