Nghiên cứu vai trò của phép biến đổi logarit trong đơn giản hoá các biểu thức phức tạp của môn giải tích 1 và một số ứng dụng đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI PHÂN HIỆU TẠI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN NĂM 2019 NGHIÊN CỨU VAI TRÒ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LOGARIT T

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

PHÂN HIỆU TẠI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN NĂM 2019

NGHIÊN CỨU VAI TRÒ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LOGARIT TRONG ĐƠN GIẢN HÓA CÁC BIỂU THỨC PHỨC TẠP CỦA MÔN GIẢI TÍCH 1 VÀ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Sinh viên thực hiện

Đặng Thành Tiến Lớp: Cầu Đường Bộ 2 – K58 Khoa: Công Trình

Trương Minh Tân Lớp: Cầu Đường Bộ 2 – K58 Khoa: Công Trình

Hà Hoàng Long Lớp: Cầu Đường Bộ 1 – K58 Khoa: Công Trình

Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Thị Thái Hà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

PHÂN HIỆU TẠI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN NĂM 2019

NGHIÊN CỨU VAI TRÒ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LOGARIT TRONG ĐƠN GIẢN HÓA CÁC BIỂU THỨC PHỨC TẠP CỦA

MÔN GIẢI TÍCH 1 VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Sinh viên thực hiện

Đặng Thành Tiến Nam, Nữ: Nam Dân tộc: Kinh Lớp: Cầu Đường Bộ 2 – K58 Khoa: Công Trình Năm thứ: 2/4.5 Ngành học: Kỹ thuật xây dựng công trình giao thông

Trương Minh Tân Nam, Nữ: Nam Dân tộc: Kinh Lớp: Cầu Đường Bộ 2 – K58 Khoa: Công Trình Năm thứ: 2/4.5 Ngành học: Kỹ thuật xây dựng công trình giao thông

Hà Hoàng Long Nam, Nữ: Nam Dân tộc: Kinh Lớp: Cầu Đường Bộ 1 – K58 Khoa: Công Trình Năm thứ: 2/4.5 Ngành học: Kỹ thuật xây dựng công trình giao thông

Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Thị Thái Hà

PHÂN HIỆU TẠI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

1 Thông tin chung

- Tên đề tài: Nghiên cứu vai trò của phép biến đổi Logarit trong đơn giản hóa các biểu

thức phức tạp của môn Giải Tích 1 và ứng dụng

- Sinh viên thực hiện:

Đặng Thành Tiến Lớp: Cầu Đường Bộ 2 – K58 Khoa: Công trình

Năm thứ: 2 Số năm đào tạo: 4.5

Trương Minh Tân Lớp: Cầu Đường Bộ 2 – K58 Khoa: Công trình

Năm thứ: 2 Số năm đào tạo: 4.5

Hà Hoàng Long Lớp: Cầu Đường Bộ 1 – K58 Khoa: Công trình

Năm thứ: 2 Số năm đào tạo: 4.5

- Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Thị Thái Hà

2 Mục tiêu đề tài

Giúp sinh viên hiểu rõ và áp dụng được phép biến đổi Logarit trong việc giải quyết các biểu thức phức tạp trong môn Giải Tích 1 như tính giới hạn các dạng vô định, chuyển hàm mũ, hàm lũy thừa về các hàm tuyến tính, tính đạo hàm các hàm số

và hàm số mũ Làm nổi bậc vai trò của logarit trong việc chuyển các đại lượng có phạm vi quá rộng về phạm vi dễ kiểm soát hơn Các ứng dụng thực tế của logarit

3 Tính mới và sáng tạo

So sánh cách giải của những phương pháp khác so với sử dụng phép biến đổi logarit trong việc tính giới hạn các dạng vô định, chuyển hàm mũ, hàm lũy thừa và các hàm tuyến tính, tính đại hàm các hàm số và giải phương trình mũ Ứng dụng logarit trong việc tính cường độ âm thanh, cường độ và biên độ của 1 trận động đất Đánh giá vai trò của logarit trong thang độ đo Richter và thang độ Decibel

4 Kết quả nghiên cứu

Đưa ra được ưu là nhược điểm của phép biến đổi Logarit Biết sử dụng phép biến đổi Logarit để đưa ra bài toán tính giới hạn, đạo hàm về dạng đơn giản hơn Bản kiến nghị cập nhật vào nội dung giảng dạy môn Giải tích 1 tại Phân hiệu trường GTVT tại TPHCM

khả năng áp dụng của đề tài

Giải quyết những khó khăn và hạn chế của người học trong việc giải quyết các vấn đề phức tạp của môn Giải tích 1 Áp dụng khi tính độ pH của đất, mức cường độ

âm, thang độ richter,

6 Công bố khoa học của sinh viên từ kết quả nghiên cứu của đề tài: không

Ngày 04 tháng 04 năm 2019

Người hướng dẫn

Nguyễn Thị Thái Hà

PHẦN1: MỞ ĐẦU 1

PHẦN 2: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ PHÂN TÍCH ( BÀN LUẬN ) KẾT QUẢ 3

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

1.1 Định nghĩa…… 3

1.2 Tính chất, các quy tắc tính logarit và đổi cơ số của logarit 4

CHƯƠNG 2: CÁC BÀI TOÁN PHỨC TẠP VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LOGARIT 6

2.1 Tính giới hạn vô định 1∞ ,00, ∞0 6

2.1.1 Khử dạng vô định 00 6

2.1.2 Khử dạng vô định 1∞. 7

2.1.3 Khử dạng vô định ∞0 9

2.2 Tính đạo hàm… 10

2.3 Giải phương trình mũ………… 14

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LOGARIT 18

3.1 Để giải các bài toán liên quan đến lãi suất dân 18

3.1.1 Bài toán tiết kiệm 18

3.1.2 Bài toán tích lũy 19

3.1.3 Bài toán trả góp 20

3.2 Logarit trong công thức tính độ pH……… 20

3.3 Ứng dụng logarit trong việc tính cường độ, biên độ 21

3.3.1 Thang độ Richter 21

3.3.2 Vai trò của logarit trong xác định độ Richter 24

3.4 Ứng dụng logarit tính mức cường độ âm 25

3.4.1 Mức cường độ âm (Thang đo Deciben) 25

3.4.2 Vai trò của logarit trong thang đo Deciben 28

3.5 Bài toán về sự phóng xạ và tuổi thọ các chất 28

3.6 Tính độ tuổi bê tông (Yếu tố ảnh hưởng đến cường độ bê tông) 31

PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 33

1 Kết luận 33

2 Kiến nghị 33

Hình 1.1: Đồ thị của hàm số logax……….3 Hình 1 2: Đồ thị của hàm số log x……… 4 Hình 1.3: Đồ thị của hàm số ln x……… 4

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc đề tài

Logarit là một phát minh toán học vĩ đại của John Napier và ngày nay logarit được sử dụng rộng rãi trong đời sống nhân dân ví dụ như pH, mức độ âm thanh, hay thang độ richter Tuy nhiên mức độ quan tâm và tầm quan trọng của nó chưa được quan tâm thỏa đáng Logarit chỉ dừng lại vào làm nổi bật được ứng dụng giải bất phương trình

và giải phương trình mũ dạng 𝑎𝑥 = 𝑏 hay 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥) trong chương trình dạy học toán phổ thông hay cấp bậc đại học

2 Lý do lựa chọn đề tài

Dựa vào ứng dụng khi áp dụng vào việc giải quyết các công việc Toán học như biến đổi các phép phức tạp

Dựa vào các ứng dụng rộng rãi của logarit trong cuộc sống

Đề tài có thể giúp ích cho các đề tài nghiên cứu khoa học khác liên quan đến các vấn

đề Vật Lý, Khoa Học trong tương lai vì phép biến đổi có thể đơn giản hóa các phép tính

3 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Giúp sinh viên hiểu rõ và áp dụng được phép biến đổi logarit trong việc giải quyết các vấn đề phức tạp trong môn Giải Tích 1 như tính giới hạn các dạng vô định, tính đạo hàm các hàm số và hàm số mũ

Làm nổi bậc vai trò của logarit trong việc chuyển các đại lượng có phạm vi quá rộng về phạm vi dễ kiểm soát hơn

Giúp sinh viên hiểu rõ các ứng dụng thực tế của Logarit

4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu

Dựa trên các kiến thức được học trong học phần Giải tích 1, kết hợp với việc thu thập kiến thức trong các giáo trình có liên quan đến đề tài Tìm hiểu và trình bày các kết quả theo hiểu biết Dùng phương pháp phân tích, tổng hợp đánh giá, thu thập

số liệu để thực hiện đề tài, và sự hướng dẫn của giảng viên phụ trách

5 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Học sinh tại các trường trung học Phổ Thông

Các đề tài nguyên cứu khoa học khác trong đó cần phải sử dụng phép biến đổi logarit để phục vụ công tác tính toán trong đề tài

Sinh viên khối Kỹ thuật tại Trường đại học Giao thông vận tải Phân hiệu tại Tp

Hồ Chí Minh

PHẦN 2: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ PHÂN TÍCH (BÀN LUẬN) KẾT QUẢ

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Không có logarit của số âm và số 0

Cơ số của logarit phải dương và khác 1

Hình 1.1: Đồ thị của hàm số logax

Logarit cơ số 10 của một số dương x được gọi là logarit thập phân của x và được kí

hiệu là log 𝑥 (hoặc là lg 𝑥)

Logarit thập phân có đầy đủ tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1

Hình 1.2: Đồ thị của hàm số log x

Logarit tự nhiên (hay logarit Nê-pe) là logarit cơ số e của một số dương x và được kí

hiệu là ln 𝑥 Số e = 2.718281828 Số e là một số hữu tỉ quan trọng không kém so với

số 𝜋 Số e là giới hạn lim

𝑥→+∞(1 +1

𝑥)𝑥, xấp xỉ bằng 2.718281828 ; nó xuất hiện một cách tự nhiên trong Toán học, cũng như trong đời sống Chính vì vậy logarit cơ số e

còn được gọi là logarit tự nhiên Trong máy tính bỏ túi, người ta đều thiết kế các

phím bấm cho phép tính giá trị của các biểu thức 𝑒𝑥 và log𝑒𝑥 (còn kí hiệu ln 𝑥)

Logarit tự nhiên có đầy đủ tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1

Hình 1.3: Đồ thị của hàm số ln x

1.2 Tính chất, các quy tắc tính logarit và đổi cơ số của logarit

+ Cho 2 số dương a và b và a ≠ 1 Ta có quy tắc sau:

log𝑎1 = 0 𝑎log𝑎𝑏= b log𝑎𝑎 = 1 log𝑎 𝑎∝= α

+ Cho 3 số dương a, b, c và α ≠ 1 Ta có quy tắc sau:

log𝑎(𝑏 𝑐) = log𝑎𝑏 + log𝑎𝑐 log𝑎𝑏∝ = α log𝑎𝑏

log𝑎𝑏𝑐 = log𝑎𝑏 – log𝑎𝑐 log𝑎 𝑛√𝑏 = 1

𝑛 log𝑎𝑏 + Cho 3 số dương a, b, c và α,c ≠ 1 Ta có:

CHƯƠNG 2: CÁC BÀI TOÁN PHỨC TẠP VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LOGARIT

2.1.1 Dạng vô định 0 0

Ví dụ 1: Tính lim

𝑥→0 +(sin 𝑥)tan 𝑥

Giải:

Theo logarit: Dạng toán này biến đổi rất khó chỉ có thể giải bài toán bằng

phương pháp phép biến đổi logarit

Lời giải:

Đặt y = (sin 𝑥)tan 𝑥 lấy logarit Nepe hai vế ta có:

ln 𝑦 = tan 𝑥 ln(sin 𝑥) =ln(sin 𝑥)

cot 𝑥 Mặt khác:

−1 sin2 𝑥

= lim

𝑥→0 +(− cos 𝑥 sin 𝑥) = 0

Do đó lim

𝑥→0+ln 𝑦 = 0 Vậy

lim

𝑥→0 +(sin 𝑥)tan 𝑥 = lim

𝑥→0 +𝑦 = lim

𝑥→0 +𝑒ln 𝑦 = 𝑒0 = 1 lim

𝑥→0 +(sin 𝑥)tan 𝑥 = 1

Ví dụ 2: Tính lim

𝑥→+∞(1

2x)

1 x2

Đặt y = (2𝑥1)

1 𝑥2

Lấy logarit Nepe hai vế ta có:

12𝑥2 = 0

𝑥→+∞ln y = 0 Suy ra:

Tại đây ta có thể thấy lim

𝑥→0(1 + sin 2𝑥)sin 2𝑥1 có dạng lim

𝑥→0(1 + 𝑥)1𝑥 = 𝑒 nên ta suy ra: lim

𝑥→0(1 + sin 2𝑥)sin 2𝑥1 = 𝑒 Với:

𝑥→0

sin 2𝑥 2𝑥 = 1)

Do đó:

lim

𝑥→0[(1 + sin 2𝑥)sin 2𝑥1 ]

sin 2𝑥 𝑥

ln(𝑥+1𝑥+2)1 4−3𝑥

= 𝑒

lim 𝑥→∞

= lim

𝑥→∞

1 𝑥+1 − 𝑥+213 (4−3𝑥)2

= lim

𝑥→∞

(4−3𝑥)23(𝑥+1)(𝑥+2)= 3 )

= ln 2013

Suy ra: lim

𝑥→+∞𝑦 = 𝑒ln 2013 = 2013

Từ những ví dụ trên ta thấy: logarit tham gia vào kĩ thuật tìm giới hạn vô định dạng 1∞ ,00, ∞0ở góc độ tác động vào biểu thức 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) và biến nó thành g(x).ln[𝑓(𝑥)] Từ đó thay vì tính giới hạn trực tiếp, logarit chuyển hàm số y = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

về dạng đơn giản hơn g(x).ln[𝑓(𝑥)] (dạng 0.∞ ) và áp dụng công thức L’Hospital để tìm kết quả cuối cùng Một số bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều khi giải bài toán có sự góp mặt của logarit

2.2 Tính đạo hàm

Trong giải tích ta thường gặp các bài toán tính toán đạo hàm của các hàm số có dạng y = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), y = 𝑓1𝑎1(𝑥) 𝑓2𝑎2(𝑥) … 𝑓𝑛𝑎𝑛(𝑥) Chẳng hạn như hai bài tập dạng đơn giản như sau:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = 𝑥1𝑥

Giải:

Để ý rằng hàm số y = 𝑥1𝑥 không thuộc dạng 𝑎𝑥 ( vì x không phải là hằng số), cũng không thuộc dạng 𝑥𝑎 (vì 1

𝑥 không phải hằng số), do đó muốn tính y’ thì nhất thiết

phải lấy logarit của hai vế và khi đó ta có:

y’ =𝑥

1 𝑥

𝑥2(1 − ln 𝑥)

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = 𝑥𝑥2−1

Lấy logarit của hai vế ta có:

là hàm lũy thừa, kéo theo ta không thể tính đạo hàm bằng công thức thông thường

được Việc lấy đạo hàm được thực hiện bằng cách lấy logarit Nepe hai vế của phương trình y = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), biến đổi về dạng ln 𝑦 = 𝑔(𝑥) ln 𝑓(𝑥) và lấy đạo hàm theo biến x

cả hai vế Dù không trực tiếp ra đạo hàm của hàm số y = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) nhưng logarit cho phép chuyển hàm số về dạng đơn giản ln 𝑦 = 𝑔(𝑥) ln 𝑓(𝑥) và tạo điều kiện thuận lợi cho việc tính đạo hàm

Không chỉ riêng những hàm số có dạng y = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), hàm số cho bởi công thức y=𝑓1𝑎1(𝑥) 𝑓2𝑎2(𝑥) … 𝑓𝑛𝑎𝑛(𝑥) (𝑎𝑖𝜖𝑅, ∀𝑖 = 1; 𝑛) cũng có thể được tính đạo hàm thông qua sự tác động của logarit Dưới đây là ví dụ minh chứng cho điều đó:

Suy ra ln|𝑦| =13 [ln|1 + 𝑥3| − ln|1 − 𝑥3|] Lấy đạo hàm 2 vế ta có :

, |𝑥| ≠ 1

Hàm số cho trong bài toán trên không có dạng y = 𝑓1𝑎1(𝑥) 𝑓2𝑎2(𝑥) … 𝑓𝑛𝑎𝑛(𝑥) (𝑎𝑖𝜖𝑅, ∀𝑖 = 1; 𝑛) nhưng ta có thể chuyển được về y = 𝑓1𝑎1(𝑥) 𝑓2𝑎2(𝑥) … 𝑓𝑛𝑎𝑛(𝑥) nhờ các tính chất của lũy thừa mũ số thực

Từ ví dụ trên ta thấy: việc lấy logarit tác dộng vào hai vế của

y = 𝑓1𝑎1(𝑥) 𝑓2𝑎2(𝑥) … 𝑓𝑛𝑎𝑛(𝑥) không phải thực hiện 1 cách tùy ý, mà biến đổi được tiến hành trên những giá trị x mà hàm số có đạo hàm và fi (𝑥) > 0 , ∀𝑖 = 1; 𝑛 Ở ví dụ trên, tại những giá trị x≠ ±1 hàm số luôn có đạo hàm và |1+𝑥3

1−𝑥 3| > 0 nên việc lấy Nepe hai vế |𝑦| = |1+𝑥1−𝑥33|

1 3

hoàn toàn có thế thực hiện được Theo đó một cách tổng quát logarit tác động vào hai vế |𝑦| = |𝑓1𝑎1(𝑥)|𝑎1

|𝑓2𝑎2(𝑥)|𝑎2

|𝑓𝑛𝑎𝑛(𝑥)|𝑎𝑛

, biến đổi nó thành ln |𝑦| = 𝑎1ln|𝑓1(𝑥)| + 𝑎2ln|𝑓2(𝑥)| + … 𝑎𝑛ln|𝑓𝑛(𝑥)|, và việc tính đạo hàm của hàm số ban đầu đã được chuyển về tính tổng đạo hàm của hàm số đợn giản hơn Như vậy, logarit tham gia vào việc tính đạo hàm của các hàm số dạng y=

𝑓1𝑎1(𝑥)𝑓2𝑎2(𝑥) … 𝑓𝑛𝑎𝑛(𝑥) như là công cụ biến đổi hàm số cho dưới dạng tích về hàm số đơn giản hơn Thông qua biến đổi đó cho phép ta thực hiện được mục đích tính toán

√𝑥6 10

3

), √𝑥10 6 − √𝑥3 2 −1 ( √𝑥10 6 ),( √𝑥10 6 )2 . 10√𝑥6

√𝑥 2 −1 3

=

((𝑥2−1)13 )

, √𝑥 10 6 − √𝑥3 2−1 ( 𝑥 106)

, ( √𝑥10 6 )2 . 10√𝑥6

√𝑥 2 −1 3

√𝑥 2 −1 3

=

2𝑥 3.(𝑥2−1)(

2

3 ) 𝑥35

2

3 ) ( 𝑥 2 −1) 13

= 5𝑥.3(𝑥5𝑥.2𝑥2−1) - 3(𝑥

2 −1).3 5𝑥.3(𝑥 2 −1)

15𝑥.(𝑥 2 −1)

Vậy đạo hàm của𝑢 là 𝑢′ = 𝑥2+9

15𝑥.(𝑥2−1)Qua bài này ta có thể thấy rất rõ việc phân tích những bài toán bằng đạo hàm thông thường có nhiều bài rất phức tạp, dễ sai, và rất dài Ngược lại khi ta áp dụng phép biến đổi logarit thì công việc vô cùng đơn giản

Tính thời gian phân rã t của các chất phóng xạ từ công thức m = 𝑚0𝑒−𝜆𝑡 biết

𝑚0,m là khối lượng ban đầu, khối lượng còn lại sau thời gian t của chất phóng xạ

Ta có thể giải phương trình mũ 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏, 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥) bằng kĩ thuật cùng cơ

số bởi biến đổi b =𝑎log𝑎𝑏 và dẫn đến kết quả 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑏 hoặc 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) log𝑎𝑏

Tuy nhiên, ta có thể giải phương trình bằng kĩ thuật sử dụng logarit Dưới đây

là các ví dụ điển hình và lời giải tương ứng cho các dạng phương trình mũ đã nêu:

Ví dụ 4: Một nghiên cứu cho thấy 1 nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách

các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ được bao nhiêu % mỗi tháng.Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức:

𝑀(𝑡) = 75 − 20 ln(𝑡 + 1), 𝑡 ≥ 0 (đơn vị %) Hỏi sau khoảng bao lâu thì nhóm học sinh nhớ được danh sách đó dưới 10% ?

Hướng dẫn:

Theo công thức tính tỷ lệ % thì cần tìm t thoải mãn:

75 − 20 ln(𝑡 + 1) ≤ 10

 ln(𝑡 + 1) ≥ 3,25  𝑡 ≥ 24,79 Vậy khoảng 25 phút thì nhóm học sinh nhớ được danh sách đó

Ví dụ 5: Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức:

Giải:

Giả sử khối lượng ban đầu của mẫu đồ cổ chứa Cacbon là 𝑚0

Tại thời điểm ta tính nó đã mất khoảng 25% lượng Cacbon ban đầu nên

𝑚(𝑡) =34 𝑚0 từ thời điểm ban đầu nên ta có:

𝑚(𝑡) = 𝑚0𝑒−5730𝑡ln 2

 3𝑚0

4 = 𝑚0𝑒−

ln 2 5730𝑡

 3

4= 𝑒−

ln 2 5730𝑡

 𝑡 =5730 ln (

34)

− ln 2 ≈ 2378 (𝑛ă𝑚) Vậy đồ cổ có tuổi khoảng 2378 năm

Ví dụ 6: Theo số liệu từ Facebook, số lượng các tài khoản hoạt động tăng một cách

đáng kể tính từ thời điểm tháng 2 năm 2004 Bảng dưới đây mô tả số lượng 𝑈(𝑥) là số tài khoản hoạt động, trong đó 𝑥 là số tháng kể từ sau tháng 2 năm 2004 Biết số lượt tải khoản hoạt động tăng theo hàm số mũ xấp xỉ như sau: 𝑈(𝑥) = 𝐴 (1 + 0,04)𝑥 với

𝐴 là số tài khoản hoạt động đầu tháng 2 năm 2004 Hỏi đến sau bao lâu thì số tài khoản hoạt động xấp xỉ là 194.790 người, biết sau hai tháng thì số tài khoản hoạt động là 108.160 người ?

Từ các ví dụ ta tổng quát được: logarit cơ số a tác động của hai vế PT 𝑎𝑓(𝑥) =

𝑏, 𝑎𝑓𝑥 = 𝑏𝑔(𝑥) và biến đổi nó thành 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑏 và 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) log𝑎𝑏 Nhờ sự tác động đó, thay vì giải trực tiếp các PT 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏, 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥) ta giải các PT 𝑓(𝑥) =log𝑎𝑏, 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) log𝑎𝑏 bằng các kỹ thuật giải PT đại số thông thường Dù chưa ra nghiệm cụ thể cho PT ban đầu, nhưng logarit được xem là một phần không thể thiếu trong kỹ thuật giải PT 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏, 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥) Qua kỹ thuật giải PT 𝑎𝑓(𝑥) =

𝑏, 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥), logarit nổi bật với ứng dụng giải hai loại PT đó nhưng quan trọng hơn

là vai trò công cụ cho phép chuyển việc tìm nghiệm của PT có dạng mũ về tìm nghiệm của PT có dạng đơn giản hơn

Nhận xét:

Trong toán học, logarit được ứng dụng để tính giới hạn các dạng vô định

1∞, 00; chuyển các hàm mũ, lũy thừa, tính đạo hàm các hàm số có dạng 𝑦 =𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), 𝑦 = ∫ (𝑥) ∫ (𝑥) … ∫ (𝑥)𝑎𝑛

𝑛

𝑎22

𝑎1

1 và giải PT mũ dạng 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏, 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥) Thông qua những ứng dụng đó, logarit thực sự nổi bật với vai trò công cụ cho phép chuyển việc nghiên cứu các biểu thức phức tạp có dạng tích, thương, lũy thừa về các biểu thức đơn giản hơn nhờ mối quan hệ giữa phép nhân và phép cộng Thông qua sự tác động của logarit, các biểu thức phức tạp được chuyển về dạng đơn giản hơn và mục đích tính toán thực hiện trên những biểu thức đơn giản đó