Môn giải tích chủ đề ứng dụng của đạo hàm, tích phân của hàm số một biến và cực trị của hàm số hai biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA CƠ KHÍ BÁO CÁO NHÓM MÔN GIẢI TÍCH CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN NHÓM 03 Sinh viên 29 Nguyễn Văn Hưng[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA: CƠ KHÍ

-BÁO CÁO NHÓM MÔN: GIẢI TÍCH CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN

VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN

NHÓM: 03 Sinh viên: 29 Nguyễn Văn Hưng 30 Trần Thế Hưng ( Trưởng nhóm)

31 Võ Kim Tuấn Hưng 32 Vũ Quốc Khánh

33 Phạm Gia Khiêm 34 Đồng Đức Thiên Khôi

35 Hồ Việt Lâm 36 Ngô Tiến Linh

37 Đỗ Đình Long 38 Nguyễn Thái Long

39 Quan Văn Mạnh 40 Nguyễn Quang Minh

41 Vũ Ngọc Minh

Lớp: 2021DHCODT04K16

Khóa: 16

Giáo viên hướng dẫn: NGUYỄN PHƯƠNG THẢO

Hà Nam, tháng 12 năm 2021

MỤC LỤC

PHẦN 1 MỞ ĐẦU……….Trang 3 PHẦN 2 NỘI DUNG……….Trang 4

A Ứng dụng đạo hàm và tích phân của hàm số một biến……… Trang 4

• Ứng dụng của đạo hàm trong hàm một biến trong phân tích kinh tế… Trang 4

• Ứng dụng tích phân trong hàm một biến……… Trang 4 Ứng dụng trong kinh tế xã hội………Trang 4 Ứng dụng trong tính diện tích và thể tích vật thể……… Trang 5

• Mở rộng………Trang 6

B Ứng dụng cực trị của hàm số hai biến………Trang 6

• Ứng dụng cực trị hàm hai biến trong bài toán kinh tế lợi nhuận tối đa…Trang 6

• Ứng dụng cực trị hàm hai biến trong bài toán kinh tế chi phí tối thiểu… Trang 9

• Mở rộng……… Trang 11 PHẦN 3 ĐÁNH GIÁ……….………… Trang 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO……….…… Trang 13

PHẦN I: MỞ ĐẦU

Giải tích là nhánh của toán học liên quan đến giới hạn và các lý thuyết liên quan,

chẳng hạn như đạo hàm, nguyên hàm, tích phân, vi phân, chuỗi vô hạn và các hàm giải tích… Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn" Phương tiện chủ yếu của nó là nghiên cứu đại lượng vô cùng bé và đều liên quan tới các vấn đề của chuyển động

Giải tích có ứng dụng rất rộng trong khoa học kĩ thuật để giải quyết các bài toán

mà với phương pháp đại số thông thường tỏ ra không hiệu quả Việc tính diện tích hình phẳng tính thể tích vật thể không gian, mà hình dạng chúng không thể áp dụng công thức môn hình học sơ cấp Tuy nhiên, tích phân lại có những ứng dụng rất cụ thể và hiệu quả như đo chiều dài của một đường cong, tính diện tích của một hình phẳng, tính diện tích bề mặt và thể tích của một vật thể Và hơn thế nữa, trong lĩnh vực đời sống thực tiễn luôn có rất nhiều bài toán liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt được lợi ích cao nhất , chi phí sản xuất thấp nhất

Chúng em đã khai thác được một số ứng dụng thú vị của đạo hàm, tích phân của hàm số một và cực trị hàm số hai biến thông qua các ứng dụng thực tế sau đây:

➢Ứng dụng của tích phân trong kinh tế xã hội

➢Ứng dụng tích phân để tính diện tích và thể tích vật thể

➢Ứng dụng của đạo hàm trong hàm một biến trong phân tích kinh tế

➢Ứng dụng cực trị hàm hai biến trong bài toán kinh tế lợi nhuận tối đa

➢Ứng dụng cực trị hàm hai biến trong bài toán kinh tế chi phí tối thiểu

PHẦN II: NỘI DUNG.

A ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN

1.Ứng dụng của đạo hàm trong hàm một biến trong phân tích kinh tế.

Bài toán: Hàm cầu đối với sản phẩm của một hãng độc quyền P=1400−4 Q Tính

hệ số co giãn của cầu theo P tại mức giá P=80và nêu ý nghĩa kinh tế

Giải:

4 -P4

ε P Q = Q (P) ' ∙ P

Q = −14 ∙ P

Q = 1400−P −P

ε P Q(P=80) = −80

1400−80=−233

Tại mức giáP=80, tăng giá thêm 1% thì cầu đối với sản phẩm giảm một lượng

2

33%

Cho hàm sản xuất ngắn hạn

Q=30√L(L≥0)

a) Tìm hàm sản xuất cận biến của lao động MPL

b) Tại L0=144, nếu L tăng 1 đơn vị hỏi sản lượng sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị

Giải:

a) Hàm sản phẩm cận biến của lao động

MPL=Q (L)= 15

√L

b) MPL( 144 ) = 15

√144=1,25(đơn vị sản phẩm)

Vậy tại L0=144 nếu L tăng thêm đơn vị thì sản lượng sẽ tăng môt lượng xấp xỉ 1,25 đơn vị

2 Ứng dụng tích phân trong hàm một biến.

a) Ứng dụng trong kinh tế xã hội.

Chúng ta đã biết tích phân có rất nhiều ứng dụng trong khoa học xã hội, đặc biệt là trong kinh tế.     

Trong bài viết này chúng tôi xin giới thiệu một ứng dụng của tích phân trong kinh tế Bài toán tích phân là một bài toán ngược lại  của đạo hàm, khi người ta cho một đại lượng kinh tế như chi phí, doanh thu hay lợi nhuận thì người ta yêu cầu mình tìm hàm chi phí cận biên, doanh thu cận biên, đạo hàm cận biên thì ta đi tìm

đạo hàm của các hàm tương ứng đó Còn nếu gặp bài toán là cho hàm chi phí cận biên, doanh thu cận biên v v và yêu cầu tìm hàm chi phí, doanh thu v v thì ta dùng tích phân để giải bài toán như vậy

Bài toán:  Nếu chi phí cận biên của việc sản xuất x đơn vị sản phầm được cho

bởi C′(x) = 0.3x2 + 2x và chi phí cố định là $2,000, tìm hàm chi phí C(x) và chi phí

sản xuất 20 đơn vị sản phẩm

Giải:

Ta biết rằng chi phí cận biên là đạo hàm của hàm chi phí và chi phí cố định là chi

phí tại mức không sản phẩm Do đó để tìm hàm C(x) thì ta lấy nguyên hàm của

hàm chi phí cận biên, suy ra

C(x) = 0.1x3 + x2 + K      với  K tùy ý

Ta xác định hằng số bất kì của tích phân dựa vào C(0) = 2,000, suy ra K = 2000

Vậy chi phí sản xuất của 20 đơn vị sản phẩm là C(20)= 3200$

b) Ứng dụng trong tính diện tích và thể tích vật thể.

Bài toán: Tính thể tích của vật thể:

a) Nằm giữa hai mặt phẳng x=0 và x= π2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0≤ x ≤ π2) là một hình vuông cạnh √sin 3x

b) Nằm giữa hai mặt phẳng x=1 va x=4, biết rằng thiết diện của vật thê bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(1≤ x≤ 4) là motot tam giác đều cạnh là √x−1

Giải

a) Diện tích thiết diện S(x) được cho bởi:

S(x) = ¿

Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi:

−1

1

S(x)dx= 14∫

0

π

2 (3sinx−sin 3 x)dx= 14(−3cosx+ 13cos 3x)|π

2 0

= 23

b) Diện tích thiết diện S(x) được cho bởi:

S(x) =√3

4 (√x−1)2=√3

4 (x−2√x+1).

Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi:

−1

1

S(x)dx=√3

4 ∫

1

4 (x−2√x+1)dx=√3

4 (12 x2− 43x

3

2+x)|4

1= 7√3 24

3.Mở rộng

Bài toán: Chiếc dù lớn cho hội nghị ngoài trời có dạng mái vòm tròn cong với bán

kính là 4m va chiều cao từ mặt phẳng chứa bán kính tới đỉnh đủ dù là 2m.Ta có thể coi chiếc dù la vật thể tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường

y=2− x2

8 và y=0 quay quanh trục Oy với đơn vị hệ trục Oxy là mét

a) Tính diện tích hình phẳng trên

b) Tính diện tích vải cần thiết để may một chiếc dù

Giải:

a) Diện tích hình phẳng là:

−4

4

(2− x82)dx=2∫

0

2

(2− x82)dx=32

b) Diện tích xung quanh của chiếc dù khi quay nửa phải hình phẳng quanh trục Oy

là:

S xq =2 π∫

0

2

√16−8 y√1+ 1616−8 y dy

¿2π∫

0

2

√32−8 y dy= 32π

3 (√8−1)≈ 61,3

Vậy diện tích vải cần thiết để may chiếc dù là 61,3m2

B ỨNG DỤNG CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN

1 Ứng dụng cực trị hàm hai biến trong bài toán kinh tế lợi nhuận tối đa Bài toán 1: Cho 1 doanh nghiệp độc quyền và sản xuất kinh doanh 2 loại hàng

quần và áo, biết hàm cầu của quần và áo là:

Q D1=50−3P1+2 P2

Q D2=20−P1+P2

Hàm chi phí: Q12+Q1Q2+Q22

Trong đó: Q D1,Q D2lần lượt là lượng hàng cầu của quần và áo,P1,P2 lần lượt là giá bán của quần và áo Tìm mức sản lượng quần áo cần sản xuất để lợi nhuận doanh nghiệp đạt cực đại

Giải:

Gọi Q1,Q2 lần lượt là mức sản lượng cần tìm của quần và áo

Để doanh nghiệp bán hết hàng thì:

{Q1=Q D1

Q2=Q D2↔{Q1=50−3 P1+2P2

Q2=20+2P1−2P2

↔{ P1=70−Q1−Q2

P2=80−Q1− 32Q2

Doanh thu của doanh nghiệp là:

T =Q1P1+Q2P2=Q1(70−Q1−Q2)+Q2(80−Q1−32Q2)

T=−Q12 − 32Q22−2Q1Q2+70Q1+80Q2

Chi phí sản xuất của doanh nghiệp: C=Q12+Q1Q2+Q22

 Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được:

L=T−C=−2Q12 − 52Q22−3Q1Q2+70Q1+80Q2

Vậy bài toán trở thành tìm Q1,Q2để hàm L cực đại

{L Q ' 1=−4Q1−3Q2+70

L Q ' 2=−3Q1−5Q2+80

Ta dừng là nghiệm của hệ:

{LQ ' 1=0

L Q ' 2=0↔{−4Q1−3Q2 +70=0

−3Q1−5Q2+80=0↔{LQ ' 1=10

L Q ' 2=10

Xét các đạo hàm riêng cấp 2

L Q ' '1=−4

LQ ' '1Q2=L Q ' '2Q1=−3

L Q ' '2=−5

Ta có ma trận Hess

H=[−4 −3

−3 −5]

→{ H1=−4

H2 =|−4 −3

−3 −5|

Để hàm L đạt cực đại thì:

H1=−4<0

H2 = |−4 −3

−3 −5| = 11 > 0 Vậy hàm L đạt cực đại tại mức sản lượng Q1=10 ,Q2=10

Bài toán 2: Một công ty sản xuất 2 loại chi tiết máy với giá bán lần lượt là:

Q1 với giá bán P1=301(đơn vị tiền)

Q2 với giá bán P2=502(đơn vị tiền)

Biết hàm chi phí là:C=Q12+2Q22+Q1+2Q2 +750 Xác định cơ cấu sản xuất (Q1,Q2)

để lợi nhuận của công ty thu được là tối đa

Giải:

Ta có hàm lợi nhuận của công ty:

π=P1Q1+P2Q2−C

π=301Q1+502Q2−Q12−2Q22−Q1−2Q2−750

π=−Q12−2Q22+300 Q1+500 Q2 −750

Xét hệ:

{π Q ' 1=0

π Q ' 2=0↔{−2Q1=300=0

−4 Q2+500=0↔{Q1=150

Q2=125

Ta có: A=π Q ''1=−2,C=π Q ''2=−4,B=π Q ' '1Q2=0

→B2−AC=02 − ( −2 ) ( −4 ) =−8<0

Mà A = -2 < 0

Suy ra hàm lợi nhuận đạt cực đại tại

(Q1,Q2)= (150 ,125); π max=5300

2 Ứng dụng cực trị hàm hai biến trong bài toán kinh tế chi phí tối thiểu Bài toán 1: Xét trường hợp 1 doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất 1 loại

sản phẩm Mục tiêu của doanh nghiệp là thu lợi nhuận tối đa trên cơ sở sử dụng hợp lí các yếu tố đầu vào là lao động và tư bản (với giả thiết các yếu tố giữ nguyên) Mọi doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy phải chấp nhận giá cả thị trường, kể cả giá đầu vào và giá đầu ra Giả sử hàm lợi nhuận của 1 công ty đối với sản phẩm là:

π = R – C = P.Q – wL – rK

Trong đó: π là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là lượng lao động, w là tiền lương của 1 lao động, K là tiền vốn, r là lãi suất cảu tiền vốn, P là đơn giá bán

Giải:

Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb-Douglas dạng:

Q=L13K13,W =2, r=0,01,P=5

Khi đó ta có:

π=R – C=P Q – wL – rK =5 L13K13−2 L−0,01 K

Vậy bài toán trở thành tìm L, K sao cho π đạt giá trị lớn nhất

Điều kiện để hàm đạt giá trị cực đại tại (L,K) là:

{ π L ' =53 L

−2

3 K

1

3 −2=0

π K ' =53 L13K−23 −0,01=0

↔{ L−23 K13 =6

5

L

1

3K

−2

3 =0,006

↔{ L−2K1=216125

L1K−2 =(0,006) 3↔{ K1=L2 216125

L1 =(0,006) 3.K2

K =4,153950177 ×1012 (K , L>0)

Ta có ma trận Hesse:

H=[ π¿'' π LK ''

π KL '' π ' ' KK]=[−2

3 L

−5

3 K13 1

3 L

−2

3 K−23 1

3 L

−2

3 K−23 −2

3 L

1

3K−53 ]

Ta có: H1=−23 L−53 K13<0∀ K ,L>0(1)

H2=det(H) = 13L−43 K−43 >0∀ L,K >0(2)

Từ (1) và (2) suy ra π đạt cực đại toàn cục tại

(K, L) = (4,153950177.1012; 1550453,596)

Bài toán 2: Một cửa hàng muốn nhập về một mặt hàng mới với số lượng là

2000 sản phẩm từ 2 nguồn cung khác A và B

Tại nguồn A với số lượng x sản phẩm, hàm chi phí là:

C A =0,05 x2+25 x+225 (đồng)

Tại nguồn B với số lượng y sản phẩm, hàm chi phí là:

C B =0,1 y2+30 y+150 (đồng)

Cửa hàng cần điều phối số lượng sản phẩm nhập từ 2 nguồn A và B như thế nào để chi phí bỏ ra là thấp nhất?

Giải:

Ta có hàm chi phí của cửa hàng là:

π=C A +C B =0,05 x2+25 x+225+0,1 y2+30 y+150

với x+ y=2000

Đặt g(x, y)=x+ y−2000

Xét hàm số lagrange:

L(x, y ,λ)=0,05 x2+25x+225+0,1 y2+30 y+150+λ(x+ y−2000)

¿0,05 x2+0,1 y2+25 x+30 y+375+ λ(x+ y−2000)

Ta có hệ phương trình:

{L ' x

L ' y

L ' λ

↔{0,1 x+25+λ=0

0,2 y+30+ λ=0

x+ y=2000

y=650 λ=−160

Ta thấy:g ' x =1; g ' y =1;L ' ' x2=0,1 ; L '' y2=0,2; L xy '' =0;L ' ' yx=0

|H| =|0 g x ' g ' y

g x ' L ' ' x2 L xy ' '

g ' y L ' ' yx L ' ' y2|=|0 1 1

1 0,1 0

1 0 0,2|=−0,3<0

Nên π đạt cực tiểu tại (1350; 650), π min =187000 đồng

Vậy cửa hàng nên nhập 1350 sản phẩm từ nguồn A và 650 sản phẩm từ nguồn

B để chi phí bỏ ra thấp nhất

3 Mở rộng.

Bài toán: Một nhà thám hiểm dự định thực hiện 1 chuyến đi thám hiểm Trước

khi đi, anh ta phải chuẩn bị 1 số nhu yếu phẩm cho chuyến thám hiểm, trong đó lương khô và nước ngọt là 2 thứ được ưu tiên Nhà thám hiểm định dùng số tiền

160 USD để mua 2 loại này, biết rằng giá 1 kg lương khô là 6 USD và 1 lít nước ngọt là 5 USD Giả sử nhà thám hiểm mua x kg và y lít nước ngọt thì thời gian sử dụng 2 loại này được tính bằng biểu thức:

T(x , y)=4 xy−50 x−35 y+149(giờ )

Hãy xác định số lượng từng loại yếu phẩm mà nhà thám hiểm cần mua sao cho thời gian sử dụng lâu nhất

Giải:

Theo yêu cầu bài toán thì ta sẽ đi tìm cực trị của hàm:

T(x , y)=4 xy−50 x−35 y+149 với6 x+5 y=160

Xét: L(x, y ,λ)=4 xy−50 x−35 y+149+λ (160−6 x−5 y)

→{L x ' =4 y−50−6 λ=0

L ' y =4 x−35−5 λ=0

L ' λ =160−6 x−5 y=0

↔{x=12,5

y=17 λ=3

Vì|H|=|0 6 5

6 0 4

5 4 0|=240>0

→ Hàmsố đạt cực đạitại{x=12,6

Do hàm số chỉ có 1 cực đại suy ra giá trị cực đại là GTLN

→{12,5kglương khô

17 lít nước

PHẦN 3: ĐÁNH GIÁ

- Lĩnh vực toán học ngày càng được con người nghiên cứu và khai thác nhiều hơn Ứng dụng đạo hàm, tích phân của hàm một biến và ứng dụng cự trị của hàm hai biến được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống Từ những bài toán kinh tế cũng như những bài toán về kĩ thuật ta đều có thể áp dụng đạo hàm, tích phân và cực trị, nó sẽ cho ta thấy cái nhìn tổng quan khái quát về các vấn đề trong cuộc sống Từ những vấn đề khó giải quyết thì qua các phương pháp trên sẽ được

sử lý một cách dễ dàng Qua quá trình tìm tòi và học hỏi, tất cả thành viên đã hiểu

rõ và nắm chắc hơn về đạo hàm, tích phân của hàm một biến cũng như cực trị của hàm hai biến nhờ đó có thể vận dụng sáng tạo vào các bài toán thực tiễn cùng với

đó các bạn trong nhóm đã tham gia sôi nổi, tích cự đóng góp ý kiến xây dựng bài nâng cao hiệu quả làm việc nhóm

TÀI LIỆU THAM KHẢO:

[1]https://www.academia.edu/29336415/%C4%90%E1%BA%A1o_h

%C3%A0m_t%C3%ADch_ph%C3%A2n_%E1%BB%A9ng_d

%E1%BB%A5ng_%C4%91%C6%B0%E1%BB%A3c_g%C3%AC [2]https://kienthucnews.com/ung-dung-cua-dao-ham-trong-cuoc-song/ [3]https://iconfb.net/dao-ham-la-gi-ung-dung-cua-dao-ham.html/amp [4]https://123docz.net/timkiem/%E1%BB%A9ng+d%E1%BB%A5ng+c

%E1%BB%A7a+%C4%91%E1%BA%A1o+h%C3%A0m+trong+

%C4%91%E1%BB%9Di+s%E1%BB%91ng.htm

[5]http://c3giongrieng.edu.vn/news/966/Ung-dung-cua-dao-ham-trong-cuoc-song?.html

[6]https://123docz.net/document/2747286-ung-dung-dao-ham-trong-toan-kinh-te.htm

[7]https://vted.vn/tin-tuc/ung-dung-cua-dao-ham-trong-phan-tich-kinh-te-4919.html

[8]https://123docz.net/document/4298349-mot-so-ung-dung-cua-tich-phan-ham-mot-bien-so-lv-tot-nghiep.htm

[9] https://tieuluan.info/mt-s-ng-dng-ca-cc-tr-hm-hai-bin-s-vo-trong-cc-bi-ton-kinh-t-th.html

[10] http://hict.edu.vn/khoa-hoc-co-ban/cuc-tri-ham-hai-bien-va-mot-so-ung-dung-trong-kinh-doanh.htm