Chu de 1 hang dang thuc

CHUYÊN ĐỀ 1: HẲNG ĐẲNG THỨCA.. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 1... Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y... Bài 4: Giải các phương trình sau a... 0 Tính giá trị của biểu thức

CHUYÊN ĐỀ 1: HẲNG ĐẲNG THỨC

A CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

1 (a b )2 a22ab b 2 a2 2ab b 24ab(a b )24ab

2 (a b )2 a2 2ab b 2 a22ab b 2 4ab(a b )2 4ab

3 a2 b2 (a b a b )(  )

4 (a b )3 a33a b2 3ab2b3 a3b33 (ab a b ) a3b3(a b )3 3 (ab a b )

5 (a b )3 a3 3a b2 3ab2 b3a3 b3 3 (ab a b ) a3 b3 (a b )33 (ab a b )

6 a3 b3 (a b a )( 2ab b 2)

7 a3b3(a b a )( 2 ab b 2)

Bài 1:

a) Tính

100 99 98 97 2 1

b) Tính B1222 3242   1 n n2

Lời giải

a) Ta có:

2

b) Ta xét hai trường hợp

- TH1: Nếu n chẵn thì

22 12 42 32 2  12 1 2 3 4  1  1

2

n n

B     n  n        n  n 

- TH1: Nếu n lẻ thì

2

n n

B      n  n  n       n  n  

 Hai kết quả trên có thể dùng công thức: 

 1

1

2

n n n 



Bài 2: So sánh A 19999.39999 và B 299992

Lời giải

Ta có: 19999.39999 (29999 10000)(29999 10000) 29999    2100002 299992 A B

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau

a A  (2 1)(221) (2641) 1

b B  (3 1)(321) (3641) 1

c C(a b c  )2(a b c  ) 2(2 a b )2

Lời giải

a A  (2 1)(221) (2641) 1 (2 1)(2 1)(2    21) (2641) 1 2  128  1 1 2128

b

128

(3 1)(3 1) (3 1) 1 (3 1)(3 1)(3 1) (3 1) 1 (3 1) 1

c Ta có:

Ca b c   a b c   a b a b c   a b c a b c     a b c   a b c a b c   

2(a b) (a b c a b c) 2 a b c -2 a b 4(a b) 2(a b) 2c 2(a b) 2c

Bài 4: Chứng minh rằng

a (a2b2)(x2y2) ( bx ay )2ax by 2

b (a2b2c2)(x2y2z2) ax by cz  2 (bx ay )2(cy bz )2(az cx )2

Lời giải

a Ta có: VT = (a2b2)(x2y2)a x2 2a y2 2b x2 2b y2 2( )bx 2( )ay 2(ax)2( )by 2

( )bx 2 bx ay ( )ay 2 bx ay (ax) ( )by (bx ay) ax by (dpcm)

b VT = (a2b2)(x2y2) ( a2b z2) 2c x2( 2y2z2) ax by 22ax by c  z cz 2

= ax by (bx ay ) ( )az ( )bz ( )cx ( )cy ( )cz  ax by  ( )cz  2 ax cz 2 by cz

(bx ay) [(cy) 2 by cz ( ) ]+(az)bz ( )cx 2 az cx (bx ay) (cy bz) (az cx)

Nhận xét: Đây là bất đẳng thức Bunhicopski.

Bài 5: Cho

2  2 2

Chứng minh rằng:

2

(5x 3y4 )(5z x 3y 4 ) (3z  x 5 )y

Lời giải

VT = (5x 3 )y 216z225x2 30xy9y216z2

Mà: z2 x2 y2 VT 25x2 30xy 9y216(x2 y2) 9 x2 30xy25y2 (3x 5 ) (y 2 dpcm)

Bài 6: Cho (a b c d a b c d   )(    ) ( a b c d a b c d   )(    ) Chứng minh rằng: ad = bc

Lời giải

VT = a d   b c     a d   b c =a d 2 (b c )2 a2d22ad b 2 c2 2bc

VP =[(a-d)+(c-b)][(a-d)-(c-b)]=(a-d)2 (c b )2 (a d )2 (c b )2 a2d2 2ad c 2 b22bc

VT = VP  2ad 2bc2ad2bc 4ad 4bc ad bc dpcm ( )

Bài 7: Chứng minh rằng, nếu:

a a + b + c = 0 thì a3a c abc b c b2   2  3 0

b (y z )2(z x )2(x y )2 (y z  2 )x 2(z x  2 )y 2(y x  2 )z 2 thì x = y = z

Lời giải

a Ta có :





b Đặt : y z a z x b x y c  ;   ;    a b c  0 và

2 2







Từ giả thiết ta có :

2 2 2 ( )2 ( )2 ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a b c  b c  c a  a b  a b c b  bc c c  ac a a  ab b

2(a b c ) (a b c) 0

2 2 2

0

x y

z x







 



Bài 8: Chứng minh rằng không tồn tại các số thực x, y, z thỏa mãn:

a 5x210y2 6xy 4x 2y 3 0 b x24y2z2 2x 6z8y15 0

Lời giải

a VT (x 3 )y 2(2x1)2(y1)21 (dpcm)

b VT (x1)24(y1)2(z 3)2 1 1 (dpcm)

Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn

a x28y2 9 4 (y x3)

b 9x2  8xy8y2 28x28 0

c x22y25z2 1 2(xy2yz z )

Lời giải

a Ta có:

2

x  y   y x  x y  y   x   

b Ta có:

2

1









x

y

c Ta có:

2 2 2 5 2 1 2( 2 ) ( )2 ( 2 )2 ( 1)2 0 ; 2; 1

x  y  z   xy yz z  x y  y z  z   xy z

Bài 10: Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức: x22x123x224x32

Lời giải

Ta có: x22x123x224x32x22x22x13x24x44x26x9

2

10x 40x 50 x 5 3x 5 dpcm

Bài 11:Cho a x 2 x 1 Tính theo a giá trị của biểu thức A x 4 2x35x24x4

Lời giải

A x  x  x  x  x x   x  x  x x  x

Bài 12:Chứng minh x x a x a x       2aa4

là bình phương của một đa thức

Lời giải

Ta có: Ax2 ax x  2ax 2a2a4

Đặt tx2ax A t t   2a2a4  t2 2ta2a4  t a22  Ax2ax a 22  dpcm

Bài 13:

a) Cho a, b, c thỏa mãn a2010b2010c2010a1005 1005b b1005 1005c c1005 1005a Tính giá trị của biểu thức sau Aa b 20b c 11c a 2010

b) Cho a b c d Z, , ,  thỏa mãn a b c d   Chứng minh rằng a2b2c2d2 luôn là tổng

của ba số chính phương

c) Chứng minh rằng: Nếu p và q là hai số nguyên tố thỏa mãn p2 q2  p 3q2 thì

2 2

p q cũng là số nguyên tố

Lời giải

a) Ta có:

2010 2010 2010 1005 1005 1005 1005 1005 1005 2 2010 2 2010 2 2010 2 1005 1005 2 1005 1005 2 1005 1005 0

a b c a b b c c a  a  b  c  a b  b c  c a 

a1005 b1005 2 b1005 c1005 2 c1005 a10052 0 a1005 b1005 b1005 c1005 c1005 a1005 a b c

Vậy Aa a 20 b b 11c c 2010 A0

b) Ta có:

a b c d    a c d b a   b c d c d b  b c d  c d  c d b b  b c d

c) Ta có:

2 2 3 2 4 2 4 2 4 12 8 4 2 4 1 4 2 12 9 2 1 2 3

p  q  p q  p  q  p q  p  p  q  q  p  q

mà 2p  1 0 ( p nguyên tố ); 2q  3 0 (q nguyên tố ) Do đó 2p1 2 q 3 q p 1

Ta có: q3 p2 q

lẻ, do đó p chẵn  p 2 q 3 p2q2 13 là số nguyên tố

Bài 14: [ HSG – năm 2015 ]

Cho a, b, c thỏa mãn: a2b2c2 2;a b c  2.CMR M: (a21)(b21)(c21) viết được

dưới dạng bình phương của một biểu thức

Lời giải:

Cách 1:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

M  a  b  c  a b c a b a c b c a b c 

Có: a2b2c2     2 a b c (a2b2c2 2) (a b c  )2

Có:

(a b c  ) a b c 2(ab bc ca  ) 4  ab bc ca   1 a b a c b c 2(acb a bc c ab ) 1

2 2 2 2 2 2 1 2( 2 2 2) ( )2 2 ( ) 1 2 2 2 1

M  abc  abc a b c   a b c  abc a b c   dpcm

Cách 2: Ta có:

a  a ab bc ca   a b a c b    a b b c c   a c c b   M 

HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC BA

1 (a b )3 a33a b2 3ab2b3 a3b33 (ab a b ) a3b3(a b )3 3 (ab a b )

2

(a b ) a  3a b3ab  b a  b  3 (ab a b ) a  b (a b ) 3 (ab a b )

Bài 1: Cho x2 x10 Tính A x 6 3x54x4 3x32x2 x1

Lời giải

Bài 2: Tính

(2 1)(3 1) (100 1) (2 1)(3 1) (100 1)

Lời giải

Ta có:

( 1) 1 ( 2)[(k+1) -(k+1)+1] 2

Cho k chạy từ 2 đến 100, ta thu được:

3

2 1 3 1 99 1 100 1 1 2 98 99(100 100 1)

99.100.101 9.99.100.101 30300

9

1.2.3 10101 6.99.10101 20202

Bài 3: Cho x2y2  Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y 1

 6 6  4 4

A x y  x y

Lời giải

Ta có:

1

A  x  y  x y  x y x  x y y  x y  x  x y  y  x  y

Bài 4: Cho a3 3ab2 2;b3 3a b2 11 Tính a2b2

Lời giải

Ta có:

a3 3ab2 2 b3 3a b2 2 22  112  a6 6a4 2b 9a b2 4b6 6a b2 49a b4 2  4 121

Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A a 3b3c3 3abc

Lời giải

3 3 3 3 ( )3 3 ( ) 3 3

A a b c  abc a b  ab a b c  abc

A a b c  ab a b c  a b c   a b c a b c    ab a b c 

A a b c   a b c   a b c  ab

  (a b c a  )( 2b2c2 ab bc ca  )

Bài 6: Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng: a3b3c3 3abc

Áp dụng tính

2 2 3 2 2 3 2 2 3

B



Lời giải

Từ giả thiết  c(a b ) a3b3c3 a3b3 (a b )33 (ab a b ) 3 abc

+)

2 2 2 2 2 2 0 3( 2 2)( 2 2)( 2 2)

0

a b b c c a

a b b c c a





Bài 7: Cho a, b, c thỏa mãn: (a b c  )2 a2b2c2.Chứng minh rằng: 3 3 3

Lời giải

Ta có:

2 2 2 2

3 3 3

Bài 8: Cho a, b, c thỏa mãn:

1 1 1

0

a b c   Tính 2 2 2

bc ca ab A

Lời giải

Đặt

3 3 3

3 3 3

abc abc abc

Bài 9:Cho x y a b x   ; 2y2a b2 2 Chứng minh rằng x3y3a3b3

Lời giải

Ta có:

x y  x y x xy y x y a b    x y  a b  x  xy y a  ab b

Do x2y 2a2b2 2xy2ab xy ab

Thay các kết quả vào ta được: x3y3 x y x   2xy y 2 a b a   2ab b 2a3b3 dpcm

Bài 10:Cho a b m a b n  ;   Tính ab a; 3 b3 theo m và n

Lời giải

Cách 1: Từ

2 2

a b m a b n     b  a   ab    

a  b             

Cách 2: Ta có:    

2 2

4a

4

b a b  a b m  n  ab 

Lại có:

2 2 2

4

a  b  a b a ab b  a b  a b  ab n m   

n m n m n n

Bài 11: Cho a2b2c 2m Tính giá trị biểu thức sau theo m

A a b c  b c a  c a b

Lời giải

Ta có: A2a2b2c 3c22b2c2a 3a22c2a2b 3b2

Đặt x a b c    A2x 3c22x 3a22x 3b212x212x a b c   9a2b2c2

12x 12x 9 a b c 9m

HẰNG ĐẲNG THỨC:(a + b + c)3

Ta có:

a b ab a c ac b c bc abc abc

3 ( a b ab ) (a c ac ) (ac bc ) (b c abc) =3 a b b c c a a+ b c

3 3 3 3

(a b c) a b c 3(a b b c c a)( )( )

Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: abc =1 Tính: A(a b c  )3 (b c a  )3 (c a b  )3 (a b c  )3

Lời giải

Đặt

2

2 ; 2

3 3 3 3

Bài 2: Phân tích thành nhân tử

a A8(a b c  )3 (2a b c  )3 (2b c a  )3 (2c a b  )3

b B27(a b c  )3 (2a3b 2 )c 3 (2b3c 2 )a 3 (2c3a 2 )b 3

Lời giải

a Đặt 3 3 3 3

b Ta có:

B a b c   a b c  b c a  c a b  a b b c c a

Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = a3 + b3 + c3 = 1

Tính A a nb nc n ( n là số tự nhiên lẻ )

Lời giải

Ta có:

0

0

a b

c a

 







  

+) TH1: a b  0 ab c 1 a nb nc n 1

+) Tương tự ta có: A = 1

Bài 4: Giải các phương trình sau

a 27x3(x 5)364 (4 x1)3 b (2x2 2x1)3(2x1)3 (x2 x1)3(x2 x 3)3

c (x2 2x2)3 x3(x31)(x 2)3 d

x  x  x  x   x  x 

                

Lời giải

a Ta có:

27x  (x 5)  64 (4  x 1)  (3 )x  (x 5)  64 3x x 5    4 3(3x x  5)(x 5 4)(4 3 ) 0   x 

;1;

b (2x2 2x1)3(2x1)3(x2 x1)3(x2 x 3)3

(2x 2x 1) (2x 1) (x x 1) (x x 3)

Đặt

2 2

2 2

2 3







     



2 2 2

x





c (x2 2x2)3 x3(x31)(x 2)3

(x 2x 2) x x x( 2) (2 x) 3(x x 2 )(x x 2x 2 x)(2 x x ) 0

6(x x x)( 3x 2) 0 x 0;1;2

Bài 5: Cho x y z  0;xyz0 Tính

2 2 2

A

yz xz xy

Lời giải

A

Cách 1: Nếu x y z   0 x3y3z3 3xyz A3

Cách 2:

0

(x y z) x y z 3(x y y z z x)( )( ) x y z (x y z) 3(x y y z z x)( )( ) A 3



    

Bài 6: Giải các phương trình sau:

x  x  x  x   x  x 

                

Lời giải

2 2 2

2 1

a b c







   



Bài 7: Rút gọn A(x y z  )3 (x y z  )3 (x y z  )3   ( x y z)3

Lời giải

Đặt

24







   



x y z a

x y z c

Nhận xét

- Nếu



a b c

a b c

- Nếu

3 3 3

0

  





 



a b c

a b c

Áp dụng:

Bài 1: Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn: a3b3c3 3abc Tính giá trị của biểu thức

        

M

Lời giải

Vì:

a b c

  





+) Nếu

    a b b c c a  c a b 

+) Nếu a b c   M  (1 1)(1 1)(1 1) 8  

Bài 2: Giải hệ phương trình sau:

3 3 6 8

x y





Lời giải

Ta có:

2

  





x y

x y

+) Nếu

2 0

x y

+) Nếu x y 2 ( khôn thỏa mãn )

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; -5)

Bài 3: Giải phương trình sau: 27(x 3) 38(x 2)3(x 5)3

Lời giải

27(x 3) 8(x 2) (x 5)  (3x 9) (4 2 ) x (5 x) 0 (1)

Ta có: (3x 9) (4 2 ) (5  x   x) 0 (2)

Từ (1), (2) suy ra:

3

5









 



x

x

Bài 4: Cho các số thực phân biệt a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a b c   0

Tính giá trị của biểu thức:

P

Lời giải

Ta đặt

Tương tự ta có:

c a  abc a b  abc

3 3 3

Bài 5 * : Giả sử bộ ba số a ; b ; c

b c a c a b   là nghiệm của phương trình

2 2 2

3

yz zx xy 

b c c a a b cũng là nghiệm của phương trình đó

Lời giải

Ta có:

2 2 2

3 3 3

0

 





x y z

yz xz xy

Vì nghiệm của phương trình là bộ ba số khác 0 nên các số a, b, c là ba số khác nhau và

khác 0

+) Nếu:

Từ:

2 2 2

+) Nếu:

2

Tương tự ta có:

Từ (1), (2), (3) suy ra: 2 2 2

0 (  ) (  ) (  ) 

3 3 3

Vậy bộ ba số 2 2 2

b c c a a b cũng là nghiệm của phương trình đã cho

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức

a)

3 3 3

a b c

M

 



  với a, b, c là các số thực thỏa mãn:

3 3 3 3a 0

0

a b c



  

b)

N

        

      với a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn:

3 3 3 3 3 3 3 2 2 2

a b b c c a  a b c

Bài 2: Cho

0

x y  y z z x  Tính giá trị của biểu thức

P

Bài 3: Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn a b c  a b b c c a       

Chứng minh rằng a b 3b c 3c a 3

chia hết cho 81

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau

a)

3 27 3 27 27

4

x y



 b)

2 2 2

3 3 3

0 6 6

x y z

  











CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG HAY SỬ DỤNG

1 (a b c  )2 a2b2c22ab2bc2ca

2. (a b c  )2 a2b2c2 2ab 2bc2ca

3

(a a a  a n) a a  a n 2(a a a a  a a n n)

Áp dụng:

Bài 1: Chứng minh rằng: (2a2b c )2(2b2c a )2(2c2a b )2 9(a2b2c2)

Lời giải

Ta có:









Cộng theo vế 3 đẳng thức trên ta được:

(2a2b c ) (2b2c a ) (2c2a b ) 9(a b c )

Bài toán được chứng minh

Bài 2: Cho a, b, c, d thỏa mãn: a2 + b2 + c2 + d2 = 1 Tính giá trị của biểu thức

A a b c d    a b c d    a b c d    a b c d  

Lời giải

Ta có (x y )2(x y )2 2(x2 y2)

Áp dụng ta được:

A a b  c d   a b  c d   a b  c d   a b  c d 

A  a b  c d   a b  c d    a b  a b   c d  c d 

A a b  c d 

Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a a24b25c24ab12bc6ac

b a4b4c4 a b2 2 b c2 2c a2 2 2abc a b c(   )

c a23b24c24ab8bc4ac

Lời giải

a a24b25c24ab12bc6ac(a2b3 )c 2 (2 )c 2 (a2b c a )( 2b5 )c

b a4b4c4 a b2 2 b c2 2c a2 2 2abc a b c(   )

(a b c ) (ab bc ca) (a b c ab bc ca a)( b c ab bc ac)

c a23b24c24ab8bc4ac(a2b2 )c 2 b 2(a b 2 )(c a3b2 )c

Bài 4: Tìm x, y, z thỏa mãn

a 5x25y2z28xy4yz4zx2x 2y  2 0

b x2y22z2xy2yz2zx x y   1 0

c.2x25y28z2 6xy8yz4zx 4z 1 0

d 5x211y228z214xy16yz8zx 20z 5 0

e 3x28y223z26xy 22yz12zx12z 6 0

Lời giải

a 5x25y2z28xy4yz4zx2x 2y 2 0

2 2 2

(x 1) (y 1) (2x 2y z) 0 ( ; ; ) ( 1;1;0)x y z

b x2y22z2xy2yz2zx x y   1 0

2x 2y 4z 2xy 4yz 4zx 2x 2y 2 0 (x 1) (y 1) (x y 2 )z 0 ( 1; 1;1)

c 2x25y28z2 6xy 8yz4zx 4z 1 0

(4z 4z 1) 2x 5y 4z 6xy 8yz 4zx 0 (2z 1) (x y) (x 2y 2 )z 0

d 5x211y228z214xy16yz8zx 20z 5 0

5(4z  4z1) 5 x 11y 8z 14xy16yz8zx 0 5(2z1) 3(x y ) 2(x 2y2 )z  0 (1;1;1)

e 3x28y223z26xy 22yz12zx12z 6 0

3(x y 2 )z 5(y z) 6(z 1) 0 ( ; ; ) (1;1;1)x y z

Bài 5: Chứng minh rằng không tồn tại số thực x, y, z thỏa mãn:

a x226y210xy14x 76y59 0 b x25y22x 4xy10y14 0

Lời giải

a Ta có:VT (x210xy25 )y2 y214x 76y59 ( x 5 )y 22.7.(x 5 ) 6y  y y 27210

 x y  x y   y   x y  y   dpcm

b VT (x 2y1)2(y 3)2 4 4(dpcm)

Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2 Tính a4 + b4 + c4

Lời giải

Ta có:

(a b c  )  0 a b c 2(ab bc ca  ) 0  2 2( ab bc ca  ) 0  ab bc ca  1 (1) Có: (a2b2c2 2)  2 a4b4c42(a b2 2b c2 2c a2 2) 4 (2)

Từ (1) suy ra: a b2 2b c2 2c a2 22a bc2 2ab c2 2abc2  1 a b2 2b c2 2c a2 2 1

Thay vào (2) ta được: a4b4c4  4 2 2

Bài 7: Chứng minh rằng, nếu:

1 1 1

(2)







   



a b c

a b c abc

thì 2 2 2

2

a b c 

Lời giải

Từ (1) suy ra:

2

a b c

HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG ( tiếp )

1 a3b3 (a b a )( 2 ab b 2)

2 a5b5 (a b a )( 4 a b a b3  2 2 ab3b4)

3 a n b n (a b a)( n1 a b a b n2 n3 2 ab n2 b n1)

4 a5 b5 (a b a )( 4a b a b3  2 2ab3b4)

5 a n b n (a b a)( n1 a b a b n2 n3 2 ab n2 b n1)

        ( với n lẻ )

Áp dụng:

Bài 1: Giải hệ phương trình sau

a

4

( 1)

x y y







b

2

x y







c

5

2

  







Lời giải

a Ta có:

5

1

1







y

y

b Ta có:

c Ta có: x4 x y x y3  2 2 xy3y4  1 2x5x5y5  x y 1

Bài 2: Chứng minh rằng : 292 100 4.2599 

Lời giải

Ta có:



4 25

2 2 2 (1 2 ) 2 [(2 )  1] 2 (1024 1) 2 (1024 1) (1024  1024 1024  1)  A100



   

Bài 3: Chứng minh rằng: Ta có: A20n16n 3n1 323  n N* , n chẵn

Lời giải

Vì n chẵn, đặt n = 2k ( k thuộc N* ), ta có: 323 = 17.19