Đa thức bernoulli và tâm số (k, l) lũy thừa

số k, l-lũy thừa của một số nguyên y ≥ 4 cho trước.Để có được các kết quả nêu trên về tâm số k, l-lũy thừa, các tácgiả đã sử dụng một số tính chất của đa thức Bernoulli và số Bernoulli.M

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————o0o————

ĐINH THỊ NGỌC ÁNH

ĐA THỨC BERNOULLI VÀ TÂM SỐ (k,l)-LŨY THỪA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————o0o————

ĐINH THỊ NGỌC ÁNH

ĐA THỨC BERNOULLI VÀ TÂM SỐ (k,l)-LŨY THỪA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên - 2019

Mục lục

Chương 1 Đa thức Bernoulli và số Bernoulli 4

1.1 Đa thức Bernoulli và số Bernoulli 4

1.2 Phân tích đa thức Bernoulli 11

Chương 2 Tâm số (k, l)-lũy thừa 17 2.1 Tâm số k-lũy thừa 17

2.1.1 Khái niệm 17

2.1.2 Trường hợp k = 1 19

2.1.3 Trường hợp k = 2 21

2.1.4 Trường hợp k > 2 29

2.2 Tâm số (k, l)-lũy thừa 31

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa Học - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS Ngô Văn Định, Trường Đạihọc Khoa Học - Đại học Thái Nguyên

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS Ngô Văn Định, người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luậnvăn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, các thầy

cô giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trườngĐại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốtquá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngườithân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hạ Long, tháng 4 năm 2019

Tác giả

Đinh Thị Ngọc Ánh

Mở đầu

Cho y, k, l là ba số nguyên dương với y ≥ 4 Ta nói rằng số nguyên

dương x (≤ y − 2) là một tâm số (k, l)-lũy thừa của y nếu

1k + · · · + (x − 1)k = (x + 1)l + · · · + (y − 1)l

Khái niệm này được Liptai và các cộng sự [6] tổng quát hóa từ kháiniệm tâm số k-lũy thừa của Finkelstein [4] Cụ thể hơn, trong trườnghợp k = l, tâm số (k, k)-lũy thừa chính là tâm số k-lũy thừa được địnhnghĩa bởi Finkelstein Trong khi đó, khái niệm về tâm số k-lũy thừađược Finkelstein giới thiệu khi nghiên cứu một bài toán thực tế (xemBài toán 2.1.1) Finkelstein đã chỉ ra rằng có vô số số nguyên dương

n có tâm số 1-lũy thừa, trong khi đó không có số nguyên n > 1 nào

có tâm số 2-lũy thừa Từ đó, Finkelstein đã đưa ra giả thuyết rằng, nếu

k > 1 thì không có số nguyên n > 1 nào có tâm số k-lũy thừa Giảthuyết này đã được chứng minh cho trường hợp k = 3 bởi Steiner [7]

và cho trường hợp k = 5 bởi Ingram [5]

Đối với trường hợp tâm số (k, l)-lũy thừa tổng quát, Liptai và cáccộng sự đã chỉ ra sự tồn tại hữu hạn các số này trong một số trườnghợp cụ thể Chẳng hạn như, trong trường hợp k ≥ l, l ∈ {1, 3} và(k, l) 6= (1, 1), các tác giả này đã chỉ ra rằng chỉ tồn tại hữu hạn tâm

số (k, l)-lũy thừa của một số nguyên y ≥ 4 cho trước.

Để có được các kết quả nêu trên về tâm số (k, l)-lũy thừa, các tácgiả đã sử dụng một số tính chất của đa thức Bernoulli và số Bernoulli.Mục tiêu của Luận văn là trình bày lại khái niệm về tâm số (k, l)-lũy thừa, một số kết quả của Finkelstein về tâm số k-lũy thừa và một sốkết quả của Liptai và các cộng sự về tâm số (k, l)-lũy thừa Trước khitrình bày các nội dung này, Luận văn trình bày lại khái niệm và một sốtính chất về đa thức Bernoulli và số Bernoulli, đặc biệt là một số kếtquả về sự phân tích đa thức Bernoulli thành hợp của hai đa thức

Cấu trúc của luận văn

Luận văn được trình bày thành 2 chương:

• Chương 1 Số Bernoulli và đa thức Bernoulli Trong chương này,chúng tôi trình bày lại khái niệm về đa thức Bernoulli, số Bernoulli,đồng thời trình bày lại một số tính chất về đa thức Bernoulli cũng như

về số Bernoulli Phần cuối của chương, chúng tôi trình bày lại một

số kết quả của Bilu và các cộng sự [3] về sự phân tích các đa thứcBernoulli thành hợp của hai đa thức

• Chương 2 Tâm số (k, l)-lũy thừa Trong chương này, chúng tôitrình bày lại khái niệm về tâm số (k, l)-lũy thừa mà trường hợp đặcbiệt là tâm số k-lũy thừa Trong mục 2.1, chúng tôi trình bày lại chứngminh của Finkelstein chỉ ra rằng tồn tại vô số số nguyên dương n cótâm số 1-lũy thừa nhưng không tồn tại số nguyên n > 1 nào có tâm số

2-lũy thừa, đồng thời chúng tôi giới thiệu lại giả thuyết của Finkelsteincũng như sơ lược giới thiệu một số kết quả liên quan đến giả thuyếtnày Trong mục 2.2, chúng tôi trình bày lại một số kết quả của Liptai

và các cộng sự về tâm số (k, l)-lũy thừa

Chương 1

Đa thức Bernoulli và số Bernoulli

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm đa thức Bernoulli,

số Bernoulli và một số tính chất của chúng Khái niệm và một số tínhchất của đa thức Bernoulli cũng đã được trình bày trong Luận văn thạc

sĩ của Nguyễn Ngọc Thiêm [1] Ở đây, chúng tôi sẽ trình bày lại kháiniệm của đa Bernoulli và trình bày các tính chất khác của nó Với cáctính chất đã được trình bày trong luận văn của Nguyễn Ngọc Thiêmchúng tôi sẽ chỉ trích dẫn những kết quả thực sự cần sử dụng trongluận văn này

1.1 Đa thức Bernoulli và số Bernoulli

Định nghĩa 1.1.1 Đa thức Bernoulli thứ n, kí hiệu Bn(x), được địnhnghĩa bởi B0(x) = 1 và

t=0, với n = 1, 2, 3, ,

trong đó ∂n

∂tn là kí hiệu đạo hàm riêng thứ n theo biến t

Từ định nghĩa của đa thức Bernoulli ta thấy rằng nếu khai triển

Mệnh đề 1.1.4 ([1, Định lý 2.2.6]) Với n ≥ 0, ta có

Bn(x) = (−1)nBn(1 − x)

Định nghĩa 1.1.5 Giá trị của đa thức Bernoulli thứ n tại x = 0 được

gọi là số Bernoulli thứ n, kí hiệu Bn, tức là

trong đó G2n là một số nguyên và tổng ở vế phải chạy trên tất cả các

số nguyên tố p (bao gồm cả 2) thỏa mãn p − 1 là ước của 2n.

Trước khi trình bày chứng minh, ta có thể minh họa công thức nêutrong Định lý qua một số số Bernoulli đầu tiên:

X

s=0

(−1)sC3ss2n,

Từ Định lý von Staudt–Clausen ta có hệ quả trực tiếp sau:

Hệ quả 1.1.8 Với n ≥ 1, mẫu số D2n của số Bernoulli B2n khi viết dưới dạng tối giản là số chẵn và chia hết cho 6 Cụ thể hơn ta có

Mệnh đề 1.1.9 ([6, Bổ đề 2]) Cho p là một số nguyên tố Giả sử số

nguyên n thỏa mãn

n = n1pα1 + n2pα2 + · · · + ntpαt,

trong đó 0 ≤ α1 < α2 < · · · < αt, n1, , nt ∈ {1, , p − 1} và

n1+ · · · + nt ≥ p Khi đó tồn tại một số nguyên dương chẵn k < n sao

cho p là ước của mẫu số của số hữu tỷ CnkBk khi viết ở dạng tối giản.

Chứng minh. Trước tiên ta xét trường hợp p là số nguyên tố lẻ Do

Pt

i=1ni ≥ pnên ta chọn các số nguyên không âm m1, m2, , mt thỏa

Do đó p không là ước của Ck

n Vậy p là ước của mẫu số của Ck

n là lẻ (theo Định lý Lucas) Mặt khác Bk có mẫu

số chẵn (theo Hệ quả 1.1.8) nên 2 là ước của Ck

nBk

Số Bernoulli được xác định qua giá trị của đa thức Bernoulli tạiđiểm x = 0 Ngược lại, đa thức Bernoulli cũng hoàn toàn được biểudiễn qua các số Bernoulli Cụ thể ta có mệnh đề sau

Chứng minh. Khai triển Taylor tại x = 0 đối với Bn(x) ta có

i

Sử dụng Mệnh đề 1.1.2 ta suy ra điều cần chứng minh

Với mỗi số nguyên k ≥ 1, ta viết

Sk(x) = 1k + 2k + · · · + (x − 1)k

Biểu thức này có liên quan chặt chẽ với các đa thức Bernoulli và cũng

có liên quan chặt chẽ đến nội dung chính của luận văn này Mệnh đềsau đây cho ta mối liên hệ đầu tiên giữa Sk(x)và các đa thức Bernoulli.Chứng minh của mệnh đề này có thể tham khảo mục 3.1.1 trong luậnvăn của Nguyễn Ngọc Thiêm [1]

Mệnh đề 1.1.11 ([6, Bổ đề 1(A)]) Với số nguyên k ≥ 1, ta có

Sk(x) = 1

k + 1 (Bk+1(x) − Bk+1)

Sử dụng tính chất này ta có thể tính được tổng lũy thừa của các số

tự nhiên liên tiếp

Ví dụ 1.1.12 Áp dụng Mệnh đề 1.1.11, với mỗi số nguyên dương n,

1.2 Phân tích đa thức Bernoulli

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày về sự phân tích đa thứcBernoulli dưới dạng hợp thành của hai đa thức khác Trước tiên tanhắc lại khái niệm về sự phân tích của một đa thức

Định nghĩa 1.2.1 Một phân tích của một đa thức F (x) ∈ C[x] là một

đẳng thức có dạng F (x) = G1(G2(x)), trong đó G1(x), G2(x) ∈ C[x]

Một phân tích như vậy được gọi là không tầm thường nếu bậc của G1

và G2 đều lớn hơn 1 Hai phân tích F (x) = G1(G2(x)) và F (x) =

H1(H2(x)) được gọi là tương đương nếu tồn tại một đa thức tuyến tính

l(x) ∈ C[x] sao cho G1(x) = H1(l(x)) và H2(x) = l(G2(x)) Đa

thức F (x) được gọi là phân tích được nếu nó có ít nhất một phân tích không tầm thường và được gọi là không phân tích được trong trường

hợp ngược lại

Bây giờ ta sẽ quan tâm đến sự phân tích của đa thức Bernoulli.Trước tiên, xét trường hợp n = 2m là một số nguyên dương chẵn

Ký hiệu ∆ là biệt thức trên vành đa thức C[x] được định nghĩa bởi

gk − hk, với mọi k = 0, 1, 2,

Định lý sau đây cho ta kết quả về sự phân tích của các đa thứcBernoulli

Định lý 1.2.3 ([3, Định lý 4.1]) Đa thức Bernoulli Bn(x) là không

phân tích được khi n là một số lẻ Nếu n = 2m là số chẵn thì mọi phân tích không tầm thường của Bn(x) đều tương đương với phân tích (1.1).

Đặc biệt đa thức ˜Bm(x) là không phân tích được.

Chứng minh. Giả sử Bn(x) = G1(G2(x)) là một phân tích không tầmthường của Bn(x) Từ Bổ đề 1.2.2 và Mệnh đề 1.1.3 ta có ∆G2(x) là

ước của ∆Bn(x) = nxn−1 Điều này có nghĩa là ∆G2(x) = λxt, với

t ≤ n − 1 và λ ∈ C∗ Tiếp tục sử dụng Mệnh đề 1.1.3 ta lại có

G2(x) = γBk(x) + µ,

trong đó γ ∈ C∗, µ ∈ C và k = t + 1 Vì vậy, phân tích Bn(x) =

G1(G2(x))tương đương với Bn(x) = P (Bk(x)), với P (x) = G1(γx+µ) Do phân tích là không tầm thường nên ta có 2 ≤ k < n

Nếu k = 2 thì phân tích này tương đương với phân tích (1.1) Giả sửrằng k ≥ 3 Do cả hai đa thức Bn(x) và Bk(x) đều có hệ số cao nhấtbằng 1 nên đa thức P (x) cũng vậy Hơn nữa, do phân tích là khôngtầm thường nên đa thức P (x) có bậc p ≥ 2 So sánh hệ số của nn−2

Đặt Φn(x) = Bn(x) − Bn Khi đó, ta có bổ đề sau:

Bổ đề 1.2.4 ([3, Bổ đề 6.3]) Nếu Φn(x) ∈ Z[x] thì n ∈ {1, 2, 4}.

Chứng minh. Trước tiên ta có

6 Do đó, từ giả thiết (1.2) ta suy ra

với mọi số nguyên dương chẵn k < n Tuy nhiên, nếu n = Pr

i=12αi,trong đó α1 > α2 > · · · > αr > 0 và r > 1, thì k = Pr−1

i=1 2αi là sốchẵn, 0 < k < n và từ Định lý Lucas trong tổ hợp ta suy ra Ck

n không chia hếtcho 3 Vậy từ hai điều kiện (1.3) và (1.4) ta lại suy ra

n = 2α = 3β1 + 3β2, với β1 ≥ β2

Suy ra β2 = 0 và hoặc α = 1, β1 = 0 hoặc α = 2, β1 = 1 Tức là

n = 2 hoặc n = 4

Định lý sau đây cho ta một kết quả về phân tích của các đa thứcBernoulli và các đa thức Φn(x)

Định lý 1.2.5 Đa thức Bernoulli Bn(x) không thể biểu diễn được dưới

dạng rP (Q(x)), trong đó r là một số hữu tỷ, P (x) ∈ Z[x] là một đa thức monic (tức là đa thức có hệ số cao nhất bằng 1) với bậc lớn hơn

1 và Q(x) ∈ Q[x] Trong trường hợp n 6= 2, 4 thì khẳng định tương tự cũng đúng đối với đa thức Φn(x).

Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng tồn tại một phân tích của Bn(x)(hoặc Φn(x)) dưới dạng rP (Q(x)), trong đó r là một số hữu tỷ, P (x) ∈Z[x] là một đa thức monic với bậc lớn hơn 1 và Q(x) ∈ Q[x] Gọi d

là mẫu số của đa thức Q(x), tức là số nguyên dương bé nhất sao chodQ(x) ∈ Z[x] Khi đó, mẫu số của Q(x)m, với m là bậc của P (x),

là dm Do P (x) là đa thức monic với hệ số nguyên nên mẫu số của

hợp n 6= 2, 4) là một số nguyên lớn hơn 1 không có ước chính phương.Tức là mẫu số này không thể là lũy thừa bậc m > 1 của một số nguyên.Suy ra điều cần chứng minh.

Chương 2

Tâm số (k, l)-lũy thừa

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày những nội dung chính của

đề tài, đó là trình bày về khái niệm cũng như một số tính chất của tâm

số (k, l)-lũy thừa Cụ thể, chúng tôi sẽ giới thiệu lại khái niệm về tâm

số k-lũy thừa, chính là trường hợp đặc biệt khi k = l Khái niệm nàyđược phát biểu bởi Finkelstein [4] Sau đó chúng tôi trình bày lại một

số kết quả của Finkelstein về sự tồn tại của tâm số k-lũy thừa trongtrường hợp k = 1, k = 2 và giới thiệu sơ lược một số kết quả trongtrường hợp k > 2 Phần sau của chương, chúng tôi trình bày lại kháiniệm tổng quát về tâm số (k, l)-lũy thừa của Liptai và các cộng sự [6],đồng thời, chúng tôi trình bày lại một số kết quả của các tác giả này vềtính tồn tại của tâm số (k, l)-lũy thừa trong một số trường hợp

2.1 Tâm số k-lũy thừa

2.1.1 Khái niệm

Khái niệm về tâm số k-lũy thừa được xuất phát từ một bài toán sốhọc sau đây:

Bài toán 2.1.1 Một giáo sư nọ tìm đến chơi nhà một người bạn Khi

đến dãy phố mà người bạn của ông ở thì ông nhận ra rằng mình khôngnhớ chính xác số nhà của bạn mà chỉ nhớ rằng trên dãy phố này cónhiều hơn 200 nhà, ít hơn 500 nhà và đặc biệt tổng các số nhà từ nhàbạn ông đến một đầu của dãy phố bằng tổng các số nhà từ nhà bạn ôngđến đầu còn lại của dãy nhà Sau khi thấy rằng các số nhà trên dãy phốđược đánh số liên tiếp, tức là 1,2,3, thì giáo sư đã tìm ra số nhà củabạn mình Bạn hãy tìm số nhà của bạn của giáo sư nọ

Gọi n là tổng số nhà trên dãy phố và x là số nhà của bạn ông giáo

sư nọ thì ta có 200 < n < 500, 1 ≤ x ≤ n và:

1 + · · · + x = x + · · · + n

Như vậy việc tìm ra số nhà của bạn ông giáo sư chính là giải phươngtrình Đi-ô-phăng trên Ta sẽ xét một bài toán tổng quát hơn mà việcgiải bài toán trên chỉ là một trường hợp đặc biệt Trước tiên ta có kháiniệm sau đây:

Định nghĩa 2.1.2 ([4, Định nghĩa]) Cho trước hai số nguyên dương n

và k Ta gọi một số nguyên dương N là một tâm số k-lũy thừa của nnếu

1k + 2k + · · · + (N − 1)k + Nk = Nk + (N + 1)k + · · · + nk

Từ định nghĩa này ta thấy rằng số nhà x của bạn ông giáo sư nọtrong Bài toán 2.1.1 chính là tâm số 1-lũy thừa của tổng số nhà trênphố n

Rõ ràng rằng, với số nguyên dương k bất kỳ, số 1 luôn tâm số k-lũythừa của n = 1 Câu hỏi đặt ra là, với số nguyên dương k cho trước,

số nguyên dương n > 1 nào có tâm số k-lũy thừa? Finkelstein [4] đãchứng minh được rằng tồn tại vô số số nguyên dương n có tâm số 1-lũy thừa nhưng chỉ có duy nhất số 1 có tâm số 2-lũy thừa Đồng thờiFinkelstein cũng đã đưa ra giả thuyết rằng nếu k là số nguyên dươnglớn hơn 1 thì 1 là số nguyên dương duy nhất có tâm số k-lũy thừa.Sau đó, giả thuyết của Finkelstein đã được Steiner [7] khẳng định chotrường hợp k = 3 và Ingram [5] khẳng định cho trường hợp k = 5.Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày lại kết quả của Finkelstein vàcủa Steiner cho các trường hợp k = 1, 2, 3

2.1.2 Trường hợp k = 1

Trường hợp k = 1 ta có định lý sau đây:

Định lý 2.1.3 ([4, Định lý 1]) Tồn tại vô số số nguyên dương n có tâm

số 1-lũy thừa N Nếu đặt T = 2n + 1 thì ta có mỗi cặp (T, N ) như vậy đều là nghiệm nguyên dương của phương trình T2 − 8N2 = 1 và

Để xác định nghiệm cụ thể ta sử dụng kết quả sau đây của lý thuyếtphương trình Pell mà chúng tôi bỏ qua chứng minh của nó ở đây.

Bổ đề 2.1.4 Phương trình Pell x2 − Dy2 = 1, với D là số nguyên

dương không chính phương, có vô số nghiệm nguyên dương (x, y) Nếu (x1, y1) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất thì mọi nghiệm nguyên

dương (xq, yq) đều được xác định bởi:

xq + yq

√

D = (x1 + y1

√D)q,

với q là một số nguyên dương.

Dễ thấy rằng nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình (2.2)là

(T1, N1) = (3, 1)

Do vậy mọi nghiệm nguyên dương (Tq, Nq) của phương trình (2.2)được cho bởi

Tq + Nq√

8 = (3 +√

8)q,

với q là một số nguyên dương

Bằng tính toán đơn giản ta có

(T2, N2) = (17, 6), n2 = 8; (T3, N3) = (99, 35), n3 = 49;

(T4, N4) = (577, 204), n4 = 288; (T5, N5) = (3363, 1189), n5 = 1681;

Từ tính toán trên đây ta tìm được lời giải cho Bài toán 2.1.1 Dođiều kiện 200 < n < 500 nên ta tìm thấy một kết quả duy nhất tổng sốnhà trên dãy phố là 288 và số nhà của bạn của giáo sư nọ là 204