L04 (2) (2).Pdf

1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA 2022 2023 ☼ BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Giảng viên hướng dẫn Đặng Văn Vinh Sinh viên thực hiện Nhóm 12 Lớp L04 Thành phố Hồ[.]

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

2022-2023

···☼···

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Giảng viên hướng dẫn: Đặng Văn Vinh

Sinh viên thực hiện:Nhóm 12

Lớp: L04

Thành phố Hồ Chí Minh – 2022

2

THÀNH VIÊN NHÓM 12

LỚP: L04

3

MỤC LỤC CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ

THUYẾT 4

1.1 Lời mở đầu: 4

1.2 Giới thiệu phương pháp SOR: 4

1.3 Khái niệm: 5

1.4 Công thức: 5

1.5 Ví dụ: 6

CHƯƠNG II ĐIỀU KIỆN HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP 7

2.1 Giới thiệu: 7

2.2 Phương pháp SOR: 7

2.3 Ma trận đối xứng : 9

2.4 Ma trận không đối xứng: 10

2.5 Kết luận 11

CHƯƠNG III CHƯƠNG TRÌNH THUẬT TOÁN 13

CHƯƠNG IV ỨNG DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 14

CHƯƠNG V THAM KHẢO

15

1 Nêu cơ sở lí thuyết của phương

pháp SOR ( successive

over-relaxation) dể giải hệ phương

trình tuyến tính

2 Nêu điều kiện hội tụ của phương

pháp

3 Viết chương trình sử dụng thuật

toán successive over-relaxation

để giải hệ

4 Nêu các ứng dụng vào các bài

toán thực tế

Đề tài:

4

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1.1 Lời mở đầu:

Đại số tuyên tính là một nhánh của toán học liên quan đến các phương trình tuyến tính, ánh xạ tuyến tính và biểu diễn của chúng trong không gian vectơ hay thông qua ma trận Đại số tuyên tính được sử dụng nhiều trong toán học, như trong đại số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích để giải các bài toán như phép quay trong không gian, nội suy bình phương nhỏ nhất, nghiệm của hệ phương trình vi phân, tìm đường tròn qua ba điểm Nó cũng có vô vàng ứng dụng trong khoa học tự nhiên (vật lý, công nghệ ) và khoa học xã hội (kinh tế ), vì các mô hình phi tuyến tính hay gặp trong tự nhiên và xã hội thường có thể xấp xỉ bằng mô hình tuyến tính Với sự đa dạng

về ứng dụng của Đại số tuyến tính trong thực tiễn thì việc am hiểu của thế hệ trẻ chúng

ta về môn học là hết sức cần thiết

1.2 Giới thiệu phương pháp SOR:

Phép giãn liên tiếp (SOR) là một trong những phương pháp quan trọng để giải phương trình hệ tuyến tính lớn Nó có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong các ứng dụng như: động lực học chất lỏng, lập trình toán học, đàn hồi tuyến tính và máy học,… Các

ví dụ về ứng dụng của SOR trong Động lực học bao gồm nghiên cứu về dẫn nhiệt ổn định, dòng chảy rối, dòng chảy lớp biên hoặc dòng chảy phản ứng hóa học Vì lý do này, phương pháp SOR rất quan trọng đối với cả nhà nghiên cứu và nhà hoạch định chính sách kinh doanh

Trong thực tế, khi nói đến việc giải các hệ phương trình thì việc tìm cho nó một phương pháp chính xác với kết quả gần đúng là một điều vô cùng mất thời gian Và đây là lúc phương pháp thư giãn quá mức liên tiếp (SOR) có thể phát huy tác dụng Tiêu chuẩn công nghiệp để tìm các phương pháp chính xác, loại bỏ Gaussian và

phương pháp SOR cho chúng ta một giá trị gần đúng và có thể cho chúng ta những giá trị gần đúng này nhanh hơn nhiều so với phương pháp loại bỏ Gaussian

5

SOR được phát triển vào năm 1950 bởi David Young và H Frankel vào năm 1950

và được phát triển để sử dụng trên các máy tính kỹ thuật số

1.3 Khái niệm:

Phương pháp giãn quá mức liên tiếp (SOR) là một biến thể của phương pháp Gauss-Seidel để giải một hệ phương trình tuyến tính, dẫn đến hội tụ nhanh hơn, với phép phân

tách A=D+L+U trong đó D là ma trận đường chéo, L và U lần lượt là ma trận tam giác

trên hoặc dưới Đối với ma trận vuông , nó bắt buộc phải trội theo đường chéo hoặc đối xứng và xác định dương như phương pháp Gauss-Seidel Đối với một hệ thống quá mức xác định, nó sẽ tự động được chuyển thành phương trình bình thường

1.4 Công thức:

+ Cho một hệ phương trình vuông n phương trình tuyến tính với ẩn số x:

Ax = b

Sau đó, A có thể được phân tách thành một thành phần đường chéo D và các thành phần tam giác trên và dưới nghiêm ngặt L và U :

A = D + L + U

Hệ phương trình tuyến tính còn được viết lại như sau:

(𝐷+𝜔𝐿)𝑥=𝜔𝑏−[𝜔𝑈+(𝜔−1)𝐷]𝑥

đối với hằng số 𝜔>1, được gọi là hệ sô hồi phục

6

+ Phương pháp giãn quá mức liên tiếp là một kỹ thuật lặp giải quyết phía bên trái của biểu thức này cho x, sử dụng giá trị trước đó cho x ở phía bên tay phải Điều này có thể viết lại:

x(k+1) = (D + 𝜔𝐿)-1 (𝜔𝑏 – [𝜔𝑈 + (𝜔 − 1)𝐷]𝑥(𝑘)) = 𝐿𝜔𝑥(𝑘) + c

ở đâu x(k) là xấp xỉ hoặc lần lặp thứ k của x và x(k + 1) là lần lặp tiếp theo hoặc k +1 của x Tuy nhiên, bằng cách tận dụng tam giác của (D + 𝜔𝐿), các phần tử của x(k + 1)

có thể được tính tuần tự bằng cách thay thế thuận:

xi (k+1) = (1 - 𝜔)xi(k) + 𝜔

𝑎𝑖𝑖 ( bi - ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗(𝑘+1)

𝑗<𝑖

𝑗>𝑖

)

với i = 1,2,3,…,n

1.5 Ví dụ:

Giải hệ phương trình:

{

27𝑥 + 6𝑦 − 𝑧 = 85 6𝑥 + 15𝑦 − 2𝑧 = 72

𝑥 + 𝑦 + 54𝑧 = 110 Chính xác đến 3 số thập phân với 𝜔 = 1,25

+ Phương trình xấp xỉ:

zk + 1 = (1 − 𝜔) 𝑧𝑘 + 𝜔

với 𝜔 = 1,25

xk + 1 = −0,25𝑥𝑘 + 0,046 (85 − 6𝑦𝑘 + 𝑧𝑘)

yk + 1 = −0,25𝑦𝑘 + 0,083 (72 − 6𝑥𝑘+1+ 2𝑧𝑘)

zk + 1 = −0,25𝑧𝑘 + 0,023 (110 − 𝑥𝑘+1 − 𝑦𝑘+1)

Cho k bắt đầu chạy từ 0 => {

𝑥 = 2,288

𝑦 = 4,122

𝑧 = 1,906

7

CHƯƠNG II ĐIỀU KIỆN HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP

2.1 Giới thiệu:

Kết quả của một tập hợp n phương trình tuyến tính đồng thời,

Trong đó M là ma trận không suy biến và cả M và c đều thực

Để đơn giản hóa đại số, thuận tiện ta xét hệ

+ D là ma trận đường chéo được chọn sao cho các phần tử trên đường chéo chính của A bằng một

Khi đó 𝐴 có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của ba ma trận

Trong đó 𝐼 là ma trận đơn vị và 𝐿, 𝑈 lần lượt là các ma trận tam giác trên và dưới

Loại quy trình lặp được xem xét ở đây được gọi là phương pháp Gauss-Seidel ngoại suy, hoặc phương pháp giãn quá mức liên tiếp (SOR)

Tiêu chí hội tụ đã được thiết lập cho phương pháp này bởi Ostrowski cho trường hợp M là đối xứng Bài viết này suy ra điều kiện đủ để phương pháp hội tụ khi

áp dụng cho các bài toán liên quan đến ma trận không đối xứng

2.2 Phương pháp SOR:

𝐴𝑥 = 𝑏 Phương pháp SOR được xác định bằng:

Loại bỏ U ở phương trình trên bằng phép thế từ phương trình (1.4) ta được:

Phương trình (2.2) trở thành:

8

Đưa ra liên hệ lặp lại:

Phương trình có dạng:

và một điều kiện đủ cho sự hội tụ của các quá trình thuộc loại này được sẽ được rút ra

Định lý 1 Một điều kiện đủ cho sự hội tụ của các quá trình trong đó các vectơ dư tuân

theo phương trình 𝜖𝑖+1 = (𝐼 − 𝐵)𝜖𝑖 là tồn tại các ma trận S và G sao cho

(Ký hiệu 𝑆 > 0 có nghĩa là 𝑆 đối xứng và xác định dương, và chỉ số T biểu thị phép chuyển vị.)

Chứng minh Đặt 𝑓𝑖 = 𝜖𝑖𝑇𝑆𝜖𝑖 Theo giả thuyết, 𝑆 > 0, 𝑓𝑖 > 0 với 𝜖𝑖 ≠ 0

Ta có:

𝑓𝑖+1 = 𝜖𝑖+1𝑇 𝑆𝜖𝑖+1 = 𝜖𝑖𝑇(𝐼 − 𝐵𝑇)𝑆(𝐼 − 𝐵)𝜖𝑖 =𝜖𝑖𝑇(𝑆 − 𝐺) 𝜖𝑖

i tăng là tồn tại hằng số dương k sao cho

Vì 𝑆 > 0, tất cả các giá trị riêng của nó là thực và dương, và nếu giá trị lớn nhất là

𝜆𝑚𝑎𝑥𝑓𝑖

1

9

Hệ quả Nếu 𝑆 > 0 và 𝐺 ≦ 0, tức 𝐺 là ma trận nửa xác định âm thì quá trình sẽ không

bao giờ hội tụ

Nếu 𝐺 ≦ 0, 𝜙𝑖 ≦ 0 và 𝑓𝑖+1 ≧ 𝑓𝑖 Do đó 𝑓𝑖 không bao giờ có thể giảm về 0, và hệ quả

đã được chứng minh

Định lý 1 bây giờ sẽ được áp dụng cho phương pháp SOR Vì từ phương trình (2.3),

sao cho

Điều kiện này có thể được đơn giản hóa bằng cách sử dụng bổ đề sau

suy biến bất kì

Chứng minh Cho 𝑄𝑥 = 𝑧 Khi đó 𝑥𝑇𝑄𝑇𝑃𝑄𝑥 = 𝑧𝑇𝑃𝑧 Nhưng vì 𝑄 là ma trận không suy biến, nên với mọi 𝑥 khác 0 thì tồn tại một 𝑧 khác không và ngược lại Bổ đề tuân theo Vì (𝐼 + 𝜔𝐿) là ma trận không suy biến nên điều kiện đủ (2.7) có thể được biến đổi bởi bổ đề thành

2.3 Ma trận đối xứng :

Từ các phương trình (1.3), (1.4) và phép đối xứng giả định của ma trận 𝑀 , ta được

Cân bằng các vùng tam giác trên của hai biểu diễn này của ma trận 𝑀 ta được

Do đó phương trình (3.1) rút gọn thành

Do đó SOR sẽ hội tụ, nếu 𝑀 > 0 và 0 < 𝜔 < 2 Tuy nhiên, nếu 𝜔 < 0 hoặc 𝜔 < 2 thì ma trận 𝐺 trở thành xác định âm, do đó, theo hệ quả của định lý 1, SOR sẽ không hội tụ khi 𝜔 nằm ngoài phạm vi 0 → 2

10

2.4 Ma trận không đối xứng:

suy biến nên 𝐴 tự động thỏa mãn điều kiện đối xứng và xác định dương Điều kiện để hội tụ trở thành

và vì 𝐴 là ma trận không suy biến nên bổ đề đưa ra

Phân tích 𝐴 theo phương trình (1.4) và rút gọn ta được

Điều kiện thứ hai, tương tự như điều kiện cho bởi phương trình (4.1) có thể suy ra bằng cách đặt 𝑆 = 𝐼 vào phương trình (2.8) Ta được

Rút gọn 𝐴 và đơn giản hóa ta được điều kiện đủ để hội tụ

(4.1) và( 4.2) đúng

Định lý 2: Nếu 𝑃 > 0 và 𝑄 = 𝑄𝑇 thì tồn tại 𝜔 dương sao cho 𝑃 + 𝜔𝑄 > 0

Chứng minh Đặt 𝑓1 = 𝑥𝑇𝑃𝑥 Vì 𝑃 > 0 nên tất cả các giá trị riêng của nó là thực và

Bây giờ Q là ma trận đối xứng, do đó tất cả các giá trị riêng là thực Biểu thị giá trị đại

𝑓2 ≧ 𝜇𝑚𝑖𝑛𝑥𝑇𝑥

và

Bây giờ xem xét hai trường hợp

Trong trường hợp này 𝑓 > 0 với mọi 𝜔 ≧ 0

11

Điều này chứng minh Định lý 2

Một điều kiện đủ nữa để hội tụ có thể suy ra từ phương trình (4.2)

Định nghĩa các ma trận 𝑃 và 𝑄 theo

Phương trình (4.2) trở thành

Do đó SOR sẽ hội tụ tại 𝜔 = 1 nếu 𝑃 > 0 Một điều kiện tương tự có thể được rút ra

từ phương trình (4.1) theo cách tương tự

2.5 Kết luận

dương và một giá trị dương đủ nhỏ của 𝜔 được sử dụng Bây giờ, bất kỳ ma trận 𝐴 nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các thành phần đối xứng và phản đối

một ma trận được phân rã theo cách này và thành phần đối xứng là xác định dương, thì

sẽ luôn có thể tìm được một 𝜔 sao cho các phép giãn quá mức liên tiếp (SOR), hoặc có thể là các phép giãn dưới mức liên tiếp, hội tụ Đây rõ ràng là một dạng tổng quát hơn của định lý Ostrowski, mà nó rút gọn trong trường hợp giới hạn khi thành phần phản đối xứng bằng không

Điều kiện (4.3) mặc dù được suy ra từ cùng một phương trình, nhưng khá khác nhau

về đặc điểm Nó chỉ ra rằng SOR sẽ hội tụ với 𝜔 = 1 nếu

Điều này dẫn đến kết luận rằng các ma trận tồn tại trong đó một yếu tố quan trọng đảm bảo sự hội tụ của phương pháp nới lỏng quá mức liên tiếp (SOR) là "thống trị tam giác thấp hơn (lower triangular dominence)" Trong trường hợp giới hạn khi U trở

12

thành 0, như (5.1), và nếu 𝜔 lấy giá trị bằng 1 thì phương trình được giải trong một bước

rõ nhất bằng các ví dụ

Trong trường hợp này, 𝐴 phản đối xứng mạnh và thành phần đối xứng của nó là xác định dương mặc dù cả 𝑃 và Q đều không có tính chất này Sự nới lỏng liên tiếp

4

1 3

Ở đây 𝐴 chiếm ưu thế tam giác thấp hơn (lower-triangularly dominant) 𝑃 xác định

Cần nhấn mạnh ở đây rằng mặc dù các điều kiện (4.1), (4.2) và (4.3) là đủ để hội tụ nhưng chúng không cần thiết Đặc biệt, giá trị lớn nhất của 𝜔 mà (4.1) và (4.2) là đúng

có thể bị vượt quá mà không cần phân kỳ quá trình (process diverging) Tuy nhiên, chúng chỉ ra rằng tồn tại khá rõ hai loại ma trận không đối xứng mà SOR sẽ luôn hội

tụ với điều kiện là một giá trị phù hợp của 𝜔 được chọn

13

CHƯƠNG III CHƯƠNG TRÌNH THUẬT TOÁN

14

CHƯƠNG IV ỨNG DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ

- Dẫn nhiệt ổn định: Dẫn nhiệt là một dạng truyền nhiệt năng từ vùng có nhiệt độ cao

đến vùng có nhiệt độ thấp do sự truyền động năng hoặc va chạm của các phân tử và nguyên tử của một chất á những nhiệt độ khác nhau Áp dụng phương pháp sor vào phương trình nhiệt kết hợp với matlab, có thể giải quyết bài toán 1 cách nhanh hơn, tiện hơn và hiệu quả cao hơn

- Dòng chảy rối: Đối với dòng chảy qua đập tràn của các công trình thủy lợi, dòng

chảy thường có tính nhớt và độ rối tương đối cao Việc mô phỏng dòng chảy qua đập tràn trước đây bằng phương pháp số thường áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn với tính chất của chất lỏng là không nhớt, dòng không xoáy… Với sự phát triển của máy tính hiện nay cũng như sự phát triển của các nghiên cứu về mô hình dòng chảy rối, việc mô phỏng dòng chảy qua đập tràn nói riêng và dòng chảy tự do nói chung bằng

mô hình toán đã có những bước phát triển đáng kể và phương pháp SOR vào việc mô phỏng và tính toán dòng chảy tự do qua đập tràn mặt cắt WES

-Dòng chảy lớp biên: Vật thể có cấu trúc hình nón hoặc tròn xoay thường gặp trong

các thiết bị bay như máy bay, tên lửa do có ưu điểm về khí động lực học ở tốc độ trên

âm Vì vậy những ứng dụng quan trọng nhất của lý thuyết lớp biên cho các vật thể như vậy là trong lĩnh vực chế tạo vũ khí đạn dược Lý thuyết lớp biên trong cơ học chất lỏng có một vị trí đặc biệt cả trong nghiên cứu lý thuyết lẫn ứng dụng thực tiễn

Một trong những kết quả nổi bật nhất của lý thuyết lớp biên là sự tồn tại của nghiệm đồng dạng trong nhiều trường hợp mà trường hợp vật thể hình nón là một điển hình Đối với nghiệm đồng dạng hệ phương trình lớp biên cho trường hợp hai chiều dẫn đến một phương trình vi phân thường Từ đó, phương pháp SOR có thể nghiên cứu các tính chất chung của nghiệm hoặc tính toán nó một cách khá dễ dàng

- SOR đối với các bài toán bổ sung tuyến tính đối xứng và các chương trình bậc hai được sử dụng để đào tạo một máy vectơ hỗ trợ (SVM) để phân biệt giữa các phần tử của hai bộ dữ liệu lớn, mỗi bộ có hàng triệu điểm Bởi vì SOR xử lý một điểm tại một thời điểm, SOR có thể xử lý các bộ dữ liệu rất lớn không cần nằm trong bộ nhớ Thuật toán hội tụ tuyến tính đến một giải pháp Các kết quả số đáng khích lệ được trình bày trên bộ dữ liệu có tới 10 000 000 điểm Các vấn đề phân biệt đối xử lớn như vậy không thể được xử lý bằng các phương pháp lập trình tuyến tính hoặc bậc hai thông

thường Đối với các vấn đề nhỏ hơn, SOR xử lý nhanh hơn

15

CHƯƠNG V THAM KHẢO

1 http://pubs.sciepub.com/ajams/4/4/3/index.html?zarsrc=1303

&utm_source=zalo&utm_medium=zalo&utm_campaign=zal

o&gidzl=oTO0OFdPgNxFpGLZ-

iUWVSt52sVXdQ9yWfS9R-7BzYRRabe-k9pp8zx3NclkmVDvZPzUDcK2Efqh-jckVG

2 https://en.m.wikipedia.org/wiki/Successive_over-relaxation

3 https://ieeexplore.ieee.org/document/788643