Dinh ly vi et

Tìm tất cả các giá trị của mđểphương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.. Vậy phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.. Tìm m để phương trình trên có nghiệm kép.. bC

Chuyên đề 4: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng I.Lí thuyết

1.Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn:

Phương trình bậc hai một ẩn x là phương trình có dạng:

 2

ax bx c Trong đó, a,b,c là các số cho trước và a0

2 Công thức nghiệm của phương trình (1):

a

b x

x S

2 1

2 1

Phương trình (1) có nghiệm   ' 0  (-m)2 - (m - 3).(m + 2)  0

 m + 6  0  m  -6 Vậy phương trình (1) có nghiệm với m  -6

VD2: Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Ta có

Nếu m = 3 thì phương trình (1) là p/trình bậc nhất -6x + 5 = 0 có nghiệm duy nhất x =

6 5

Nếu m 3 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất   '= 0  m + 6 = 0

 m = -6

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi m = 3 hoặc m = -6

VD3: Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

3

m m

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m  3 và m > -6

VD4: Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm kép

3

m

m

 m = -6 Vậy với m = -6 thì phương trình (1) có nghiệm kép

VD5: Tìm giá trị của m để phương trình (1) vô nghiệm

Ta có:

Nếu m = 3 thì p/trình (1) trở thành -6x + 5 = 0 có nghiệm duy nhất x =

6 5

Nếu m 3 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai

phương trình (1) vô nghiệm

3

m

m

 m < -6 Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi m  3 và m < -6

VD6: Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = -2

Thay x = -2 vào phương trình (1) ta được

Bài tập áp dụng có lời giải:

Vậy với m  8thì phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 2: Cho phương trình : 2  

2  m1 2   m 0 4 2m   2 m 0 3m  6 m 2Thay m  2vào phương trình ta được: 2 1

Bài 3: Cho x x1, 2là hai nghiệm của phươngtrình x23x 1 0.Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là  2

Bài 4: Cho phương trình 2 2

b)Chứng minh rằng với mọi giá trị của mphương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Hướng Dẫn:

a)Với m  0, ta có  1 trở thành 2

2 6 0

x  x 

   ' 7 0 phương trình có hai nghiệm x1   1 7,x2   1 7

b)Ta có ac  6 0nên với mọi giá trị của mphương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt

Bài 6: Cho phương trình bậc hai:   2  

2m1 x 2 m4 x5m 2 0 với m là tham số, 1

2

m a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2

x x m (với m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m

đểphương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Hướng Dẫn:

Ta có:   2  

' 3 m 9 m Đểphương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì9     m 0 m 9

Bài 8: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1) + m – 3 = 0 (1)

a)Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Theo chứng minh câu a thì ta có phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

Theo định lý Viet ta có: x1 + x2= 2(m-1)

Mà x1;x2 là 2 nghiệm đối nhau nên: x1+x2=2(m-1)=0m=1

Vậy m =1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm đối nhau

Bài 9: Tìm tham số m để phương trình: x2 + 2(m + 1)x + 2m2 + 2m +1 = 0 vô nghiệm

Vậy phương trình trên vô nghiệm khi m ≠ 0

Bài 10: Tìm các giá trị của m để phương trình x22(m1)x m 2 3 0 có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

  

Nghiệm kép là : x1  x2  m 1

Vậy m  - 2 thì phương trình có nghiệm kép là x1  x2   1

Bài 11:Cho phương trình ẩn x: x22mxm2  m 1 0 (với m là tham số)

Tìm m để phương trình trên có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó với m vừa tìm được

Bài 12: Cho phương trình x22(m1)x2m4m2 0 (m là tham số)

a)Giải phương trình khi m = 1

b)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Nếu:

2 1

02

102

m

VN m

Do đó ’ 0,  m Vậy p/trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 13: Cho phương trình bậc 2: x2(2m1)xm2 0(1)

a)Giải phương trình với m = 1

b)Với giá trị nào của m phương trình (2) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

m m

Vậy 1

2

m 

thì pt (1) có nghiệm

Bài 15: Cho phương trình: –3x2 + 2x + m = 0 với m là tham số

a)Giải phương trình khi m = 1

b)Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

13

x x x

Ý 2: Sử dụng định lí Vi-ét để tìm tổng và tích của 2 nghiệm

Gọi x , x1 2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình (1)

m 8m 9 0 2

Giải phương trình (2) tìm được hai nghiệm: m1 1; m2   9

Đối chiếu điều kiện (*)

Chia bài toán thành 3 ý

Ý 1: Chứng minh phương trình có hai nghiệm

Ta có  4m24

m  m  m   m m   m Suy ra  0 m

Do đó PT (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt, với mọi giá trị m

Ý 2: Sử dụng định lí Vi-ét để tìm tổng và tích của 2 nghiệm

Gọi x , x1 2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình (1)

Giải phương trình (2) tìm được hai nghiệm: x11 hoặc x1  3

Chia hai trường hợp

3x

m4

1 x

3.x 2m

m 4

Do đó PT (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt, với mọi giá trị m

Để PT có hai nghiệm x , x1 2 khác 0 thì x0 không phải là nghiệm của PT

Tức là 2

    Do đó, PT có hai nghiệm x , x1 2 khác 0 khi m  0

Ý 2: Sử dụng định lí Vi-ét để tìm tổng và tích của 2 nghiệm

Gọi x , x1 2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình (1)

x 2 m 2 x m 0 (1) (với m là tham số) Tìm giá trị m để PT

có hai nghiệm x1x2 và thỏa mãn điều kiện x1  x2 6

Do đó PT (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt, với mọi giá trị m

Ý 2: Sử dụng định lí Vi-ét để tìm tổng và tích của 2 nghiệm

Gọi x , x1 2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình (1)

Hơn nữa x1x2 nên x10;x2 4 Do đó x1  x2  4 (không thỏa mãn)

Giả sử m0 Suy ra x x1 2 0 và x1x2 nên x10;x2 0

Do đó 2m2  6 m 5

Bài tập áp dụng có lời giải:

Bài 1: Cho phương trình bậc hai 2    

x  m x m (m là tham số) a)Chứng minh rằng phương trình  * luôn có nghiệm với mọi số m

b)Tìm các giá trị của mđể phương trình  * luôn có hai nghiệm x x1, 2thỏa mãn

Vậy m   1thỏa mãn bài toán

Bài 2: Cho phương trình 2  

a)Giải phương trình (1) khi m  1

b)Tìm giá trị của mđể phương trình  1 có hai nghiệm x x1, 2thỏa mãn:

Vậy với m  1thì phương trình có tập nghiệm S   1;3

b)Phương trình có hai nghiệm

b)Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m

c)Gọi x x1, 2là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm mđể

Vậy m381000thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 4: Cho phương trình 2  

2 2 1 0 1

x  mx m  với mlà tham số Tìm mđể phương trình

 1 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2sao cho x1x2  3x x1 2 2m1

Hướng Dẫn:

a)Ta có: 2  2

' m 2m 1 m 1

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì  2

Khi m   1phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

 1

m m m

2 2

0,044 0,044

m m

Bài 5: Cho phương trình:x2ax  b 2 0(a b , là tham số) Tìm các giá trị của tham số a b,

để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn điều kiện : 1 2

3 3

1 2

428

b)Tìm các giá trị của mđể phương trình  1 có hai nghiệm dương phân biệt x x1, 2thỏa mãn hệ thức x13x2 0

b)Phương trình  1 có hai nghiệm dương phân biệt

1 0000

a

S P

2 7

m m

b)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

c)Gọi x x1; 2là hai nghiệm của phương trình Tìm các giá trị của mđể 2 2

b)Phương trình 2  

 2  2

2 2

m  m  thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 9: Cho phương trình 2  2   2

Bài 10: Cho phương trình: 2    

x  mn x m n  (m n , là tham số) 1)Với n  0,c/minh rằng p/trình   1 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

2)Tìm m n , để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2thỏa x1 x2  1và x12  x22  13

Hướng Dẫn:

1)Với n  0ta có phương trình   2

1 x 2mx2m 1 0Phương trình có 2  2

m n

 



   

 thỏa mãn Vậy m 1,n 1là các giá trị cần tìm

Bài 11: Cho phương trình x2ax  b 1 0với a b , là tham số Tìm giá trị của a b , để phương

trình trên có 1 nghiệm x x1, 2thỏa mãn điều kiện 1 2

39

b)Xác định giá trị của mđể phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2sao cho

Bài 13: Cho phương trình x22(m 1)x m 1 0   

a)Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b)Tìm m để phương tình có hai nghiệm x ;x1 2 thỏa mãn điều kiện x13x2

Bài 14: Cho phương trình x26x  m 3 0(mlà tham số) Tìm giá trị của mđể phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn    2 

Vậy m   3thỏa mãn đề bài

x  mx m  (xlà ẩn số,m:tham số)

a)Giải phương trình  1 khi m  1

b)Xác định các giá trị của mđể phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thỏa mãn điều kiện 2   12

2 2

121212

Bài 17: Cho phương trình 2x2 6x2m 5 0(mlà tham số)

1)Giải phương trình với m  2

2)Tìm mđể phương trình có hai nghiệm x x1, 2thỏa mãn:

3 112

x x

Bài 18: Cho phương trình : 2

2x 3x 1 0có hai nghiệm là x x1, 2 Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức : 1 2

2)Tìm mđể phương trình  1 có hai nghiệm x x1, 2thỏa mãn 2   2

3 2 3 1 0

9 6 2 0

m m

Bài 21: Tìm các giá trị của tham số mđể phương trình 2

Bài 22: Cho phương trình 2  

2 4 4 0 1

x  mx m  (m là tham số) a)Tìm điều kiện của mđể phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt

b)Tìm giá trị của mđể phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn điều kiện x122mx28m 5 0

Vậy với m2thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

b)Theo câu a) ta có với m2thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

m thỏa mãn điều kiện bài toán

Bài 23: Cho phương trình 2    

2x  2m1 x  m 1 0 1 , trong đó mlà tham số a)Giải phương trình  1 khi m  2

b)Tìm mđể phương trình  1 có hai nghiệm thỏa mãn: 4x124x222x x1 2 1

Theo định lý Viet ta có: 1 2

1 2

1 2212

m

x x m

 thỏa mãn bài toán

Bài 24: Cho phương trình: x2 (m3)x  m 1 0(ẩn x, tham số m) Tìm m để phương

trình có hai nghiệm phân biệtx1, x2 sao cho 1 < 1 2

Bài 25: Tìm các giá trị của tham số mđể phương trình 2   2

x  m xm  có hai nghiệm phân biệt x x1; 2thỏa mãn  2

Bài 26: Cho phương trình (ẩn 2

x x  x m

a)Tìm mđể phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

b)Tìm mđể phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn điều kiện

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì       ' 0 9 m 0 m 9

Vậy khi m  9thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

b)Với m  9,áp dụng hệ thức Vi-et ta có: 1 2

1 2

6(*)

Bài 27: Cho phương trình x2mx 3 0(mlà tham số)

a)Giải phương trình với m  2

b)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c)Gọi x x1, 2là hai nghiệm của phương trình Tìm mđể x16x262019

x x

c)Theo câu b) phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x x1, 2với mọi m, áp dụng hệ thức Vi-et ta có: 1 2

m m m

Vậy m331thỏa mãn điều kiện bài toán

Bài 28: Cho phương trình 2    

1 2 2 0 1

x  m x m  (với mlà tham số) a)Giải phương trình  1 khi m  2

b)Tìm giá trị của mđể phương trình  1 có hai nghiệm x x1, 2thỏa mãn:

Vậy với m  2,phương trình đã cho có tập nghiệm S  1;2

b)Phương trình đã cho có hai nghiệm   0

2 2

Vậy m  5thỏa mãn bài toán

Bài 29: Cho phương trình 2   2

x  m xm   (mlà tham số) Tìm giá trị nguyên của

mđể phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2sao cho biểu thức 1 2

1 2

x x P

Bài 30: Cho phương trình x24x m 0(mlà tham số)

a)Biết phương trình có một nghiệm bằng  1.Tính nghiệm còn lại

b)Xác định mđể phương trình có hai nghiệm x x1, 2thỏa mãn

Bài 31: Cho phương trình x22x  m 1 0, với mlà tham số

1)Giải phương trình với m  1

2)Tìm giá tri của mđể phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1và x2thỏa mãn

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2       ' 0 2 m 0 m 2

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: 1 2

1 2

21

Vậy m   1thỏa mãn bài toán

Bài 32: Tìm các giá trị nguyên của mđể phương trình 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt        ' 0 3 m 0 m 3

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình ta có: 1 2

1 2

41

m m m m

Kết hợp với điều kiện m3và mnguyên ta có 4 m 3 m  3; 2; 1;0;1;2

Vậy m    3; 2; 1;0;1;2thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 33: Cho phương trình x24x  m 1 0.Tìm mđể phương trình có hai nghiệm

Bài 34: Cho phương trình: 2  

             nên phương trình luôn

có hai nghiệm phân biệt x x1, 2với mọi m

Vì x x1, 2là hai nghiệm của phương trình nên theo định lý Vi-et ta có:

b)Chứng minh rằng p/trình  1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

c)Tìm các giá trị của mđể phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn điều kiện 2 1

Vậy phương trình  1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

c)Phương trình (1) luôn có hai nghiệm x x, với mọi giá trị của m

1 04

3( )1( )

Bài 36: Cho phương trình 2

4 0

x mx  (mlà tham số) a)Tìm điều kiện của mđể phương trình có nghiệm

b)Tìm msao cho phương trình có hai nghiệm x x1, 2thỏa mãn

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình ta có: 1 2

Vậy m   5thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 37: Cho phương trình: x2  x 3m11 0 (1) (với mlà tham số)

a)Với giá trị nào của mthì phương trình  1 có nghiệm kép

b)Tìm mđể phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2sao cho

Theo hệ thức Vi-et ta có: 1 2

1 2

1(2)

Bài 38: Cho phương trình bậc hai x2  3 x   m 0 với m là tham số

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x   2. Tính nghiệm còn lại ứng với m vừa tìm được

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho Tìm giá trị nhỏ nhất của

Vậy 9 9

Min A  m Bài 39: Cho phương trình: x2mx 1 0 (với m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phânbiệt x x1; 2 thỏa x1x2và x1  x2  6

Bài 40: Cho phương trình x2(m2)x3m 3 0(1), với x là ẩn, m là tham số

a) Giải phương trình (1) khi m   1

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 sao cho





   

 Vậy khi m 1 thì phương trình có hai nghiệm x3 và x 2

b) Yêu cầu bài toán tương đươngphương trình  1 có hai nghiệm dương phân biệt x x1, 2thỏa mãnx12 x22 25

Khi đó

2 2

Bài 41: Cho phương trình x2 2(m1)x6m 4 0 (1)(với m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn

Bài 42: Cho phương trình: x25x m 0 (*) (m là tham số)

a) Giải phương trình (*) khi m 3

b) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn 9x1  2x2  18

5 372

x x

b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 sao cho:



 m  m  m  nên phương trình có hai nghiệm x x1, 2 với mọi m

c)Vì x x1, 2 là là hai nghiệm của phương trình (1) nên ta có:

3 9 2

x x

2Theo đề ra ta có: 2 2   

m m

Bài 46: Cho phương trình: 2   2

x  m x m   (1), m là tham số

1)Tìm m để x = 2 là nghiệm của phương trình (1)

2)Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệtx x1, 2thỏa mãm điều kiện:

tx t0, phương trình thành: 2

t  mt   2 Bài toán trở thành tìm m để phương trình (2) có hai nghiêm dương phân biệ thỏa mãn

t t a

Đối chiếu điều kiện m1 thì m 1 thỏa mãn bài toán

Bài 50: Tìm m để phương trình x22mxm2 2 0 (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x13x32 10 2

Bài 51: Cho phương trình ẩnx: 2 2

x  m xm   (mlà tham số) a)Giải phương trình (*) với m2

b)Xác định các giá trị của tham số mđể phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x x1; 2

thỏa mãn điều kiện x1 2x2   1

Bài 52: Cho phương trình x2    x m 1 0 (mlà tham số)

a)Giải phương trình với m  3