Chương ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG 6.1 KHAI NIEM Ở chương 3, tính chịu lực chịu kéo ứng suất phụ thuộc vào độ lớn diện A Trong trường hợp khác, chịu uốn, không phụ thuộc vào diện tích Á mà cịn (nén) ta nhận thấy tích mặt cắt ngang xoắn ứng suất phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt nghĩa vào yếu tố khác mà người ta gọi chung đặc trưng hình học mặt cắt ngang Chẳng hạn, xét chịu uốn hai trường hợp mặt cắt đặt khác H.6.1 Quan sát biến dạng uốn, ta thấy độ cong khác đặt chiều hẹp theo phương ngang đặt chiều hẹp theo phương thẳng đứng Bằng trực giác, ta dễ dàng nhận thấy trường hợp thứ nhất, có khả chịu lực tốt trường hợp thứ hai, trong hai trường hợp diện tích Như vậy, khả chịu lực phụ thuộc vào cách đặt vị trí mặt cắt ngang phương tác dụng lực Cho nên, ngồi diện tích A ta phải nghiên cứu đặc trưng hình học khác mặt cắt để tính tốn độ bên, độ cứng, độ ổn định thiết kế mặt cắt cho hợp lý Hình 6.1 | Dâm chịu uốn hai trường hợp a) Tiết diện đứng; b) Tiết diện nằm ngang = s3 ) 94 Chương 6.2 MƠMEN TĨNH TRỌNG TÂM vị Xét hình phẳng biểu diễn mặt cắt y M ngang A H.6.2 Xác lập hệ tọa độ an vng góc Oxy mặt phẳng mặt cắt M(x,y) điểm hình chung quanh M vi phân diện tích đA A Lấy z O Mơmen tĩnh diện tích A đối uới trục x (hay y) tích phân: S = [ydA, x, y âm Hình 6.2 Hình phẳng A S, = [xdA A i x (6.1) A dương nên mơmen tĩnh có trị số âm dương Thứ ngun mơmen tĩnh [(chiêu đèi)”] Trục trung tâm trục có y mơmen tĩnh diện tích A trục khơng Trọng tâm giao điểm hai trục trung tâm mặt cắt Như vậy, ômen Yo | iid Yo ( ia aA a tĩnh Lchx⁄ƒ sài co đối uới trục qua trọng tâm khéng Tu dé, ta suy cach Xc xac dinh tam C cua dién tich Xo Yc A nhu sau: Qua C dung hệ trục xCy, Hinh 6.3 Hinh A va tam C song song với hệ trục xÓy ban đầu (H.6.3) Mối quan hệ tọa độ điểm M hai hệ trục tọa độ biểu diễn sau: te tee, Y = }c +9 Thay vào công thức (6.1), ta được: S, = [(Œe+y,)dA = yo [dA+ [x,dA = yeA +§„ A vi x, la truc trung tam nén Tương tự, ta có: A S,, =0, suy ra: A S = yoA (6.2) S, = xcA (6.3) Từ (6.2) (6.3), ta có: *c = 5y a S Y Ye =—A 6.4 (6.4) Kết luận: tọa độ trọng tâm C(xc,yc)được đầu theo mơmen diện tích A theo cơng thức (6.4) Ngược lại, tĩnh S,,5, xác định hệ trục xOy ban biết trước tọa độ trọng tâm, ta sử dụng công thức (6.2), (6.3) dé xác định mơmen tĩnh 95 Đặc trưng hình học mát cắt ngang Nhân xét 6.1: mặt cắt có trục đối xứng, trọng tâm trục mơmen tĩnh trục không nằm Chẳng hạn, trọng tâm mặt cắt có trục đối xứng x H.6.4a nằm trục x, trọng tâm mặt cắt có trục đối xứng y H.6.4b nằm trục y Nếu mặt cắt có hai trục đối xứng H.6.4c, tam nằm giao điểm hai trục đối xứng ty Lia — | | ier | Lancia] a) b) Hình 6.4 a) Mặt cắt có trục x đối xứng b) Mặt cắt có hai trục y đối xứng; c) Mặt cắt có hai trục đối xứng Trong thực tế, ta hay gặp mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp ghép từ nhiều hình đơn giản Căn vào định nghĩa, suy tính chất sau mơmen tĩnh: Tính chất: mơmen tĩnh hình phức tạp tổng mơmen tĩnh hình đơn giản Với hình đơn giản hình chữ nhật, hình trịn, tam giác mặt cắt loại thép định hình I, U, thép góc cạnh, thép góc khơng cạnh ta biết trước diện tích, vị trí trọng tâm tra theo bảng phần phụ lục Cho nên dễ dàng tính mơmen tĩnh hình phức tạp: | lđ2) c= Ay, t+ Agvet + Ayn = > Aid : n S đó: A,,x,,y; y A,X, + Az#¿ + +A x nn = ; (6.5) > Ax - diện tích tọa độ trọng tâm hình đơn giản thứ ¡, - số hình đơn giản Từ cơng thức trên, ta xác định trọng tâm hình phức tạp hệ tọa độ xy Để minh họa cách xác định trọng tâm, ta xét trường hợp đặc biệt với mặt cắt chữ L gồm hai hình chữ nhật n H.6.5 Tọa độ trọng tâm C hình là: 96 Chương6 ee Sy oA nằm tâm Trọng tâm đường _ XA, + XA, Ay tule Ở hình nối hai trọng Xx.= Ss, _ #iâi + 7242 A Mites i C hình chữ nhật, H.6.õ Tông quát hơn, ` À trường hợp hình phức tạp gồm hình = đơn giản, avs tọa độ siš Bae ol \ / tg \ X: | \, trọng tâm A, + Ay Eat A f ¥ la: C; n S Xo = _* , I\" >=1 Ay, i ; Ỷ = Y: i DA / t=1 / SA, Yo = Sy A Az kề ` \ ƒ — \i ~ TS NV.” O et stds ` Ằ : | > = Ca fee ar Vc Yz Xa x Hinh 6.5 Trong tam hinh phitc tạp ghép từ hai hình đơn giản i i=l Ví dụ 6.1 Một ghép gồm hai thép định hình hình chữ nhật H.6.6 Thép chữ Ï số hiệu N°55, thép chữ [ số hiệu N°27, mặt cắt chữ nhật kích thước 150 x 12 mm Xác định trọng tâm C mặt cắt Giải Tra bảng, ta có số liệu mặt @ cắt ngang: ba I - Đối với thép chữ I N°55: 550 mm t = 16,5 mm Ay = 113 em? y=Y C; -_ 150 x12 mm - Đối với thép chữ [N°27: hs = 270 Aa = 35,2 cm2 Z3 = 2,47 cm mm x x - Diện tích hình chữ nhật: A; = (150 mm)(120 mm) = 18 em? Nếu lấy hệ trục tọa độ xy qua gốc C; tọa độ trọng tâm ba hình là: = + TT = 981 mm; Fo =0 23 Cs Hinh 6.6 it Trọng tâm C hình ghép Đặc trưng hình học mặt cắt ngang ¥3 = 550 97 + 24,7 = 299,7 mm Diện tích mơmen tĩnh tồn mặt cắt là: A = Á¡+A¿+ 4; = 18 + 113 + 35,2 = 166,2 em? Šy = y¡4) + 724; + y;A; = (2811800)+ +0-~ (299,7X3520) = - 549144 mmŠ vi y trục đối xứng, trọng tâm € nằm điểm Clà: xe =0; Ve can ca nh trục Như tọa độ -33,04 mm Dấu (—) cho thấy tam C nim phía truc x Chú ý rằng, trục + chọn tùy ý song ví dụ ta đặt trục x qua trọng tâm C; mặt cắt chữ I cho tiện tính tốn 6.3 MOMEN QUAN TÍNH BÁN KÍNH QN TÍNH _/ 1- Mơrmen qn ', (6.14) h A Tương tự, đổi vai trò x y, ö h, ta được: I _ Abe 1a (6.15) 2- Hinh tam giúc Ta cần tính mơmen qn tính diện tích tam giác trục z qua đáy (H.6.9) Dải vi phân diện tích đA song song với đáy, có chiều dày 3y, khoảng cách đến trục x 1a y va có bề rộng ở, tính sau: b(h - y) 0y xáybao Ta có: : oTI, h Ụ [yd= [yt J ee h-y) ndy h b = ©NI [y2h - dy = 2h|b{ | y)dy hy’ 3 y4 ¿ |bh 12 100 | 3- Hinh tron - Hinh vanh _ Chương khan dp a) Hinh 6.10 a) Mémen qn tính độc cực hình trịn; b) Hình vanh khan Để đơn giản, trước hết ta tìm mơmen qn tính độc cực trọng tâm Ĩ Xét vịng trịn bán kính # H.6.10a Lấy phân tố diện tích ởA dạng vành trịn mảnh bán kính ø bề dày đø Như vạv, dA = 2npdp Mơmen qn tính độc cực tồn hình trịn: I, = P J |p?dA= R nD = nR —— = —— |2np°dp J “Or ay Be = 0,1D Do đối xứng, ta cé: I, =I, Theo tính chất mơmen qn tính độc cực, ta nhận được: I, =1,+1, = 2, = 21, SUY TA: l.=l,=——=—~ 0,057 (6.16) Theo tính chất mơmen qn tính trục biết mục 6.3, ta có mơmen qn tính mặt cắt hình trịn rễng hay hình vành khăn (H.6.10b) hiệu mơmen qn tính hai đường trịn đặc đường kính D va d: rT, = 1?) -1@ = 0,05D - 0,05đ* Nhu vay: I, = 1, = 0,05D*(1-n*), véi: n = = {rong trường hợp mặt cắt có hình dáng phức tạp hơn, việc tính mơmek qn tính khó khăn Trong trường hợp đó, phải sử dụng ng thức chuyển trục xoay trục trình bày phần sau Đặc trưng hình học mặt cắt ngang 101 6.5 CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG Giả sử ta biết mơmen qn tính hình phẳng A hệ trục tọa độ Oxy Ta cần xác định mơmen qn tính hình phẳng hệ truc O’XY song song với hệ trục cho (H.6.11) Gọi a b tọa độ O hệ tọa độ O'XY Trong hình vẽ, ta thấy tọa độ điểm hai hệ trục liên hệ với công thức sau: X=a+x,Y=bry Theo dinh nghia: Ix = |Y°dA = [(b+ y)°dA = [y°dA + 9b [ydA + [b°dA A A A = I,+2bS, +bˆA tương tự: A A (6.17a) ly = Ï, + 2œS, + a’A (6.17b) Đối với mơmen qn tính ly tâm: Ixy = [xvda = [(a+x)(b+ yA A = [xydA + b |xdA + ø [ydA A A =I, +06S, +aS,+abA A + ab [dA A A (6.18) Nếu hệ trục Oxy hệ trục trung tâm hình A cơng thức có dạng: đy =1, +b^A; ly = E; +a7A; Công thức (6.19) thường sử dụng để tính mơmen qn tính trung tâm Iyy = I, + abA Y một” Hình: phửŠ' tạp Khí 'để 'biết = Từ công thức này, ta nhận thấy: tất trục song song mơmen qn tính Tinh mémen 3) X Hình 6.11 Mặt cắt A uù trục song song Vi du 6.2 y rd mơmen qn tính trung tâm hình đơn giản trục trung tâm ln có giá trị nhỏ (6.19) quan tinh trục BB qua đáy hình chữ nhật (H.6.8) Giải Dùng công thức chuyển trục song song để tinh Iz: lạ 22)2 Ipp lớn mômen 12 of ad 2) quán tính trục x Mơmen qn tính tăng dần di chuyển trục song song xa dân trọng tâm Mômen quán tính trung tâm ï, có giá trị nhỏ 102 Chương Ví dụ 63 Xác định dụ 6.1 (H.6.6) Giải mơmen qn tính trung tâm mặt cắt ví Ta lấy lại kết ví dụ 6.1: A;=18cm*; A ,=113cm?; A;=35,2cm”:A y: = 281 mm; y; ye = 33,04 mm = 299,7 mm; Mơmen qn tính ba mặt cắt thành phần tâm chúng sau: = 166,2 cm? trục trung es ~Êh` tizo)\(a) =21600 mm =2,16 emf 'ó° de Tra bảng, ta có: If, = ð4810 cm'; I2 =262em' ; 1/7 =1350cm‘*; I" = 4100 cm4 Ta sử dụng cơng thức chuyển trục song song để tính mơmen trục X qua C, mặt cắt: quán tính Ik = 1, +(y, + yc)? x Ay = 2,16 +(31,4)? x18 = 17749,44 cm4 IZ = 1%, +y@x Ay = 54180+ (3,3) x113 = 56040,57cm4 IZ’ = 12! +(y3 - yc)? x Ag = 262+ (26,67)? x 35,2 = 35299,37 cm! Mômen quán tinh chinh trung tam J, cia toan bé mat cắt: I, = 1% + Mơmen + I = 99089,38 cm‘ qn tính trung tâm ïy: lự = f +HỆ + lT”"' = = (150)*(12) + 1350 + 4100 = 57875 cm4 Cac ban kinh quan tinh chinh: ry h = ty — tr : |J99089,38 166,2 k0 XS: a 166,2 = 24,41cm 18,66cm 6.6 CÔNG THỨC XOAY TRỤC Giả sử ta biết mơmen qn tính A hệ trục tọa độ Oxy Ta xoay hệ trục ban đầu Oxy quanh gốc tọa độ O mét géc œ ngược chiều kim đồng hồ thu hệ trục ký hiệu Ouv , ie RY yi H.6.12 Khi hệ trục quay, mơmen qn tính A hệ trục thay đổi theo a O Hình 6.12 x Xoay trục 103 Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Tọa độ điểm hệ trục hệ tọa độ cũ liên hệ u = ysina+xcosa ` v = ycosa-—xsina Sau: (6.20) Khi đó, mơmen qn tinh déi vdi truc u sé la: [era = lễ cosa —xsina)’dA R= A A = cos” a |s°4A +sin” [x°dA —2sinacosa [zvadA A A A y sau: z, trục hệ với biểu diễn theo mơmen qn tính đối I, =1, cos” a + I, sin? a — 2] SiN& COs Œ (a) Ta sử dụng công thức lượng giác: sin? a = sú —~cos 2a); 2a); cos” a = = (1+ cos 2sinacosa = sin 2a Khi biểu thức (a) trở thành: lg+dwnøôtt, 2È, : (6.21) h * cos 2œ — Ï,„ sin 2œ > ++ — l„ =— trục uv: Tương tự, thu mômen quán tính ly tâm hệ Sử dụng hệ thức lượng giác, biểu thức (b) trở thành: bi I Lặp y tương tính trình lại q (6.22) sin 2œ + Ï,„ cos 2œ tính tự mơmen I„, /, (hoặc cách trực tiép a bang mômen quán tính phuong trinh (6.21)): yt 1, ta thu a+90° (6.23) cos 2a + J,, sin 2a b Các công thức (6.21) - (6.23) gọi công thức xoay trục biểu diễn biến thiên mômen xoay trục tọa độ Bởi trình chuyển đổi mơmen bất biến mômen l„ +1, =1, + 67 VỊNG TRỊN MOHR qn tính / 0.) ¡_và # I„ uy phụ thuộc vào góc cực @ vậy, phương trình cịn gọi phương qn tính Lấy tổng (6.21) (6.23), ta nhận lại quán tính biết mục ổ.3: (6.24) lý = const QUÁN TÍNH CÁCH XÁC ĐỊNH HỆ TRỤC QTCTT CUA HINH PHANG BAT KỲ Cách xác định hệ trục quán tính Theo định nghĩa mục 6.3, hệ trục quán tính hệ trục có mơmen qn tính ly tâm không Để xác định hệ trục này, cho 1„ biểu thức (6.22) khơng, ta tìm được: 104 Chương 21 tg2q = -——” a (6.25) fs đó: ø - góc xác định trục quán tinh Phương trình (6.25) ln có hai nghiệm 2z 180° Như vậy, tồn hai nghiệm ø sai biệt góc tìm hai trục vng góc với nhất, ta lấy đạo hàm dl, không: góc xét 6.2 có trị số lớn vế phải phương trình (6.21) theo teal, -2 sin 2œ — 2Ï,„ cos 2œ = TT 90”, nghĩa ln Đó nhận phát biểu mục 6.3 Để tìm góc ø cho mơmen quán tính nhỏ sai khác ø cho (a) Dễ thấy nghiệm z (a) nghiệm (6.25) Ta nhận kết lấy đạo hàm /, (6.23) theo ø cho khơng Như hệ trục vng góc, mơmen qn tính có giá trị lớn nhỏ nhất, gọi znơmen qn tính Thế ngược lại 2ø từ (6.25) vào (6.21) (6.23), ta thu trị số mơmen qn tính chính: I = b ; y +), tú; va: I+] Inin = — : -sV4, -1y)*+41 (6.26) -1,)? +41,,? (6.27) 2- Vong tron Mohr quan tính Về mặt tốn học, ta nhận thấy có tương đồng l„ | phương trình chuyển đổi mémen trình VỚI: quan chuyển tinh phương đổi ứng suất - I, tuong ứng với o,, -T„„ tương ứng với-t+,„ - Ï, tương ứng với ơ, -I, tương ứng với ee -I,, Vì tương ứng Vdi.t,, vậy, dùng Hình 6.13 Vịng trịn Mohr qn tính hệ trục tọa độ với trục hoành biểu diễn 7„ trục tưng biểu diễn 7,„„ quan hệ ï„ I„„ tương quan đường tròn gọi ng trịn Mohr qn tính (H.6.13) Tương tự vịng trịn Mohr ứng suất, ta tìm thấy phương trục quán tính PA PB, phương trục hoành song song với trục Ox hình phẳng A Đặc trưng hình học mặt cắt ngang 105 Ở đây, khác với vòng tròn ứng suất, trục tung vịng trịn qn tính ln nằm bên phải ï„„ trục tung hướng lên ï,, ï y va 7„ dương Điểm Ä, với tọa độ I,,ï, gọi điểm gốc, bán kính CM, bán kính gốc cịn điểm P gọi điểm cực 3- Cách xác định hệ trục QTCTT hình phẳng Trong trường hợp tổng quát, diện tích A khơng có trục hệ trục QTCTTT xác định theo trình tự sau: đối xứng, - Chọn hệ trục Oxy ban đầu Xác định trọng tâm hình hệ trục - Chuyển trục song song trọng tâm hình Tính mơmen tính hệ trục trung tâm qn - Xoay trục để tìm phương qua trọng tâm Việc xác định hệ trục QTCTTT tính tốn mơmen qn tính cần thiết việc tính tốn ứng suất, chuyển vị chịu uốn, xoắn mà ta nghiên cứu chương sau h = 400 mm; = 175 mm; ¥ , bys ¢ = 28 mm ft Giải Chia mặt cắt Z làm ba hình chữ nhật: \|b x Lh Ví dụ 64 Xác định hệ trục quán tính trung tâm mơmen qn tính trung tâm mặt cắt chữ Z H.6.14, với kích thước: ie - Hình I va III (nằm ngang) bề dày ¿, x bề rộng - # —# „ - Hình II bề dày ¿, chiều cao đ Tuy khơng có trục đối xứng, song mặt = po cắt lại có điểm đối xứng (hay tâm đối xứng), trùng với trọng tâm hình II, cho đường thẳng đối xứng mặt cắt qua điểm C; điểm Dễ —| — a) Hình 6.14 thấy | Hệ trục QTCTT mặt cắt Z trọng tâm mặt cắt C trùng với tâm đối xứng Chọn hệ trục tọa độ xy để tính tốn, qua trọng tâm C Mémen tính trục x, y là: I,=1!+2 811 =112 vabor 12 = ae mm‘ + _ (et)2 quán (o-2)x¢ + (186)? x 147 x 28 = 43467 cm‘ Lt 106 Chương L~17+ : : s1j~ SẺ * v3 8É 12 _ 400 x (28) AM xảo 28(147) 12 Mômen Bey v[Š) x(b—£f)xt|= + (2 12 x 147 x28 = 7858 cm* quán tính ly tâm hệ trục xy la: iT = i + 21 y= [ + + Š bt = =s-£)b-t£)= - h t b -š]- sIP 175 x 28 x 1| tơ x(372)x147 mm* = -13398 cm* Để ý rằng, mơmen qn tính hai hình I III Mơmen qn tính ly tâm hai hình âm nằm góc tọa độ thứ hai thứ tư tan an2œ = -——— 2l I,-1 x y = 0,7525 0, Phương hệ trục quán tính trung tâm so với trục Óz: 2a, SU ra: o a!’o ‘= 37° va 219" = 18°30' va a?) thé giá trị ø, vào em’ I, = 3381 cm’ = 108°30 (6.21), tính trị số mơmen qn tính J, = 47944 Như vậy, mơmen qn tính trung tâm phương hệ trục quán tính trung tâm tương ứng là: ly = 47994 cm”, dœ'”oO = 18°80 ly = 3381cm'; Hệ hình vẽ trục qn tính œ!? = 108°30 trung tâm CXY BÀI TẬP CHƯƠNG biểu cm, t = Đ cắt ngang hình chữ T biết trục ˆbes ya ae Z tâm x - x vị trí cách đáy khoang bang h/4 b = 20 —-| 2t|-— 6.1 Xác định chiều cao h mặt Cho diễn hị 1 cm Xác định mơmen qn tính trung tâm mặt cắt , NN NN oN Cae y,=h⁄4 | | SSX 33s x Siw tý Hinh 6.15 t 2! | 107 Đặc trưng hình học mặt cắt ngang 6.2 Tính mơmen qn tính trung tâm H.6.16 Kích thước ghi cm Z7 +® \ © N ⁄⁄⁄ t ` NS WY | fF = SS Ñ N NSS SQ Oy 12 pete † —¬ = Hinh 6.16 6.3 Tìm khoảng cách c mặt cắt gồm hai thép chữ [ số hiệu 30 bố trí x< H.6.17 để có 1, = 1, ⁄21⁄⁄⁄⁄⁄Z7 LZ Hinh 6.17 108 Chương 6.4 Hãy tính mơmen qn tính trung tâm H.6.18 Số 24 240 x 10 ` oxy ⁄ 100kx63x7 Số 20 Số 24 a) b) Hình 6.18 6ð Xác định mơmen qn tính trung tâm trục quán tính trung tâm hình phẳng H.6.19 = a + BCC, Hinh 6.19 6.6 Hinh 6.20 Một ghép hai thép hình chữ [ số 24 Xác định mơmen qn tính hệ trục quán tính trung tâm mặt cắt (H.6.20) Chương UỐN PHẲNG THANH THẲNG 7.1 KHÁI NIỆM CHUNG Một lăng trụ có trục bị uốn cong chịu tác dụng tải trọng nằm mặt phẳng chứa trục có phương vng góc với trục chanh Khi ta nói chịu uốn gọi dầm hay đà Như dâm (hay đà) khác với chịu kéo (hoặc nén) tâm chịu xoắn túy phương tác đụng tải trọng Thật thế, chịu kéo nén) tâm chịu tải hướng xoắn tuý chịu agoại lực gây uốn phân bố có đường tác dụng dầm ngẫu dọc theo trục thanh, dông ta tai lam cho chí Pruo phẳng Hinh 7.1 dién đầm chịu uốn; tải trọng nằm mặt phẳng chứa trục dầm chịu ngẫu lực có vectơ nằm dọc theo trục Cịn lực tập trung hay P; Ps ae vng góc với trục Me P; mặt nằm lực ta gọi zặt ea 51277 c2 Ps “th Hình 7.1 Tỏi trọng tác dụng phẳng tải trọng Giao tuyến mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang gọi đường tải trọng Trong chương khảo sát trường hợp mặt cắt ngang có trục đối xứng Mặt phẳng đối xứng mặt phẳng quán tính trung tâm, ta giả thiết tải trọng nằm mặt phẳng đối xứng H.7.2 Khi trục dầm sau bị biến dạng nằm mặt phẳng nên uốn gọi uốn phẳng y y y ỳ y `x