Giáo trình Sức bền vật liệu 1: Phần 2 - Phan Xuân Bình

Phần 2 của giáo trình Sức bền vật liệu 1 tiếp tục trình bày những nội dung về: uốn ngang phẳng những thanh thẳng; xoắn những thanh thẳng có mặt cắt ngang tròn; thanh chịu lực phức tạp;... Mời các bạn cùng tham khảo!

CHƯƠNG 5 : UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG

5.1) Khái niệm:

Thanh chịu uốn là thanh có trục bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực

Thanh có trục nằm ngang chịu uốn gọi là dầm.(Thanh có trục thẳng đứng gọi là cột)

Ví dụ: Dầm chính của một chiếc cầu, trục bánh xe lửa …

Ngoại lực gây uốn có thể là lực tập trung, lực phân bố có phương vuông góc với trục dầm hoặc có thể là những momen nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm

Các định nghĩa:

- Mặt phẳng tải trọng: là mặt phẳng chứa tải trọng và trục dầm

- Đường tải trọng: là giao tuyến của mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang của dầm

- Mặt phẳng quán tính chính trung tâm: là mặt phẳng tạo bởi một trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang và trục dầm

Ví dụ: trên hình (5.3), y là trục đối xứng của dầm, z là trục dầm nên mặt phẳng

Oyz là mặt phẳng quán tính chính trung tâm

Hình 5.3: Dầm chịu uốn phẳng

- Trục dầm khi bi uốn cong vẫn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm thì gọi là uốn phẳng

Giới hạn bài toán:

- Những dầm bị uốn thường là những dầm có mặt cắt ngang là hình đối xứng qua 1 trục.Vì vậy, trong chương này ta chỉ xét các loại dầm có ít nhất 1 mặt đối xứng đi qua trục của dầm

- Ngoại lực nằm trong mặt phẳng đối xứng đi qua trục của dầm.Như vậy, mặt phẳng tải trọng là mặt phẳng đối xứng

- Đường tải trọng là trục đối xứng của mặt cắt ngang

Phân loại: ta chia uốn phẳng thành 2 loại:

a) Uốn thuần túy phẳng

b) Uốn ngang phẳng

A DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG:

Định nghĩa: Dầm chịu uốn thuần túy phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang của dầm chỉ có một thành phần momen uốn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm

Ví dụ:

Hình 5.4: Dầm chịu uốn thuần túy phẳng

Hình (5.4a), đoạn dầm AB chịu uốn thuần túy phẳng

Hình (5.4b), đoạn dầm BC chịu uốn thuần túy phẳng vì trên mọi mặt cắt thuộc đoạn BC chỉ có 1 thành phần momen uốn

5.2) Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn:

5.2.1) Quan sát biến dạng:

Hình 5.4: Biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy phẳng

Xét dầm chịu uốn thuần túy phẳng có mặt cắt ngang hình chữ nhật

Trước khi cho dầm chịu lực, kẻ những đường thẳng // trục để biểu diễn các thớ dọc và những đường thẳng ^ trục để biểu diễn các mặt cắt ngang

Khi có momen uốn tác dụng vào 2 đầu dầm, thanh bị biến dạng, các đường thẳng // trục dầm trở thành các đường cong và vẫn // trục dầm.Còn các đường thẳng ^ trục dầm bây giờ vẫn ^ trục dầm

Vậy những góc vuông trước khi biến dạng thì sau khi biến dạng vẫn là những góc vuông

5.2.2) Giả thuyết:

Từ những nhận xét trên, ta đưa ra 2 giả thuyết sau để là cơ sở tính toán cho một

thanh chịu uốn thuần túy:

- Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng (Bec-nu-li): Trước khi biến dạng mặt cắt ngang của dầm là phẳng thì sau khi biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm

- Giả thuyết về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không ép lên nhau và cũng không đẩy xa nhau

Ngoài ra, còn giả thuyết vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi, tức là tuân theo định luật Hooke

5.2.3) Công thức tính ứng suất pháp:

Quan sát biến dạng:

Hình 5.5: Biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy phẳng

Khi quan sát biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy như trên hình (5.5) thì ta thấy các thớ dọc phía trên bị co lại (bị nén), các thớ dọc phía dưới bị giãn ra (bị kéo).Như thế, từ thớ bị co sang thớ bị giãn sẽ tồn tại thớ mà chiều dài không thay đổi, gọi là thớ trung hòa

Các thớ trung hòa sẽ tạo thành lớp trung hòa

Giao tuyến của lớp trung hòa với mặt cắt ngang tạo thành đường trung hòa Đường trung hòa là 1 đường cong, nhưng vì biến dạng nhỏ và mặt cắt ngang có chiều rộng bé nên đường trung hòa được coi như là đường thẳng và biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy là sự quay của các mặt cắt xung quanh đường trung hòa

Ta xét một đoạn dầm dz được cắt ra bởi 2 mặt cắt 1-1 và 2-2: (hình 5.6)

Hình 5.6: Biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy phẳng

Sau khi biến dạng, theo giả thuyết mặt cắt ngang phẳng thì 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm, đồng thời quay với nhau 1 góc dj

Gọi r là bán kính thớ trung hòa O1O2

Vì thớ trung hòa không biến dạng nên:

Trước biến dạng, chiều dài của thớ m-n: mn dz = d= r j

Sau biến dạng, chiều dài của thớ m-n: mn (» = r+y)dj

Þ độ biến dạng dài tỷ đối của thớ m-n: z ( y)d d y

Hình 5.7: Xác định ứng suất của dầm

chịu uốn thuần túy phẳng

Lập hệ trục tọa độ Oxyz với:

- Ox: đường trung hòa

- Oy: trục đối xứng

- Oz: song song với trục dầm

Tách 1 phân tố hình hộp bằng các mặt cắt song song với các mặt tọa độ.(hình 5.7b)

Theo giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng và các ô vuông sau khi biến dạng vẫn giữ góc vuông, nghĩa là trên các mặt cắt của phân tố không có ứng suất tiếp (t =0), chỉ có ứng suất pháp sz

Đồng thời, theo giả thuyết về các thớ dọc thì sx =sy =0

Þ trạng thái ứng suất của 1 phân tố tách ra ở 1 điểm trên mặt cắt ngang là trạng thái ứng suất đơn

Định luật Hooke biểu diễn quan hệ giữa szvàez như sau:

Quan hệ ứng suất và nội lực:

Xét 1 phân tố diện tích dF bao quanh điểm A

Nội lực tác dụng lên phân tố đó là:szdF

Quy về gốc tọa độ O của hệ trục trên mặt cắt ngang đang xét, ta có:

Trong đó: Sx là momen tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Ox

Do đó, đường trung hòa Ox º trục trung tâm của mặt cắt ngang

Trong đó, Jxy là momen quán tính ly tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục Oxy

Do đó, Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang

Jx là momen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục Ox

y là tung độ của điểm đang xét đến trục trung hòa Ox

x

MyJ

s = ±

Với:

Ứng suất kéo mang dấu (+)

Ứng suất nén mang dấu (-)

- Đường trung hòa là giao tuyến của mặt phẳng ứng suất và mặt cắt ngang

- Những điểm nằm trên đường thẳng song song với đường trung hòa (có cùng tung độ y) sẽ có sz bằng nhau

- Điểm nằm trên đường trung hòa (y=0) có sz=0

- Trên biểu đồ, ứng suất kéo mang dấu (+), ứng suất nén mang dấu (-)

ïí

ïs ïî

max

Jy

x

MWMW

* Mặt cắt ngang hình chữ nhật (bxh): (hình 5.9)

3 x

Þ Điều kiện bền: max s £ s é ù

Với é ùs là ứng suất cho phép của vật liệu dẻo

Với[ ]s k,[ ]s nlà ứng suất cho phép của vật liệu giòn khi kéo và khi nén

5.5) Khái niệm về hình dạng hợp lý của mặt cắt ngang

Mặt cắt ngang hợp lý nếu đảm bảo bền (khả năng chịu lực là lớn nhất) và tiết kiệm vật liệu

D

R

D

d

§ Vật liệu ở vùng có smax,min làm việc gần hết khả năng

§ Vật liệu càng ở gần đường trung hòa làm việc ít hơn

Þ Bố trí vật liệu ở xa đường trung hòa

B DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

Định nghĩa: Dầm chịu uốn ngang phẳng là dầm mà trên mặt cắt ngang có các

thành phần nội lực Mx, Qy nằm trong mặt phẳng nằm quán tính chính trung tâm (y0z)

Ví dụ: Dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật bxh chịu kực như hình vẽ :

5.6) Ứng suất trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng

v Xét dầm chịu uốn ngang phẳng như hình vẽ

Ø Trước khi dầm chịu lực: vạch lên

ngoài mặt dầm những đường thẳng

song song và vuông góc với trục dầm

(tượng trưng cho thớ dọc và mặt cắt

ngang)

Ø Sau khi dầm biến dạng, ta thấy:

- Những đường thẳng song song với

M.y

J (*)

- Trong uốn ngang phẳng, mặt cắt ngang không còn phẳng ® không thể sử dụng công thức (*)

- Tuy nhiên trong "Lý thuyết đàn hồi", công thức tính sz rất phức tạp và chứng minh được rằng đối với dầm chịu uốn ngang phẳng, vẫn dùng được công thức (*)

để tính sz mà sai số không lớn lắm

z x

MyJ

5.6.2) Ứng suất tiếp: (Công thức Jurapski)

Ta đi xác định phương, chiều và độ lớn của ứng

suất tiếp tzy

v Xét dầm mặt cắt ngang chữ nhật hẹp bxh (b<< h

® mặt cắt hẹp) chịu uốn ngang phẳng

Ø Phương :

Xét điểm A(x,y) thuộc mặt cắt ngang 1-1 Qua A

kẻ đường thẳng song song với Ox, cắt các biên của

mặt cắt tại B, C; cắt Oy tại D

Ứng suất tiếp tCcó chiều bất kỳ trong (1-1)

t = t + tuur uuur uuurC C

C zy zx

Theo luật đối ứng: nếu có t C

zx Þ phải có t C

xz , mặt khác: do mặt bên dầm không có lực tác dụng ( Nz = 0, Mz = 0 ) nên t = t =C C

xz zx 0 Vậy t = tC

C zy Tương tự: t = tB

§ Mặt phẳng song song với Oz đi qua

điểm D chia đoạn dz thành 2 phần,xét

cân bằng phần dưới

Þ tính t = t = zy yz ?

(biểu đồ Mx liên tục : chiều dài thay đổi dz ®

mômen thay đổi vi phân dMx)

C C

x

yz c

x F x yz

Ứng suất tiếp lớn nhất tại y=0 (thuộc đường trung hòa)

Với : Sx là momen tĩnh của nữa hình chữ

I lấy đối với trục Ox (Tra sổ tay kỹ thuật)

-2

y x zy

J d

c Mặt cắt ngang hình tròn:

zy x

Q(R y )3J

5.8) Điều kiện bền của dầm chịu uốn ngang phẳng:

Xét đoạn dầm chịu uốn ngang phẳng mặt cắt ngang chữ nhật (bxh) Nếu tách ra tại các điểm trên dầm những phân tố thì tương ứng có 3 loại trạng thái ứng suất (TTƯS) dựa vào biểu đồ sz và tzycủa mặt cắt ngang

§ Phân tố A, D có : s = sz max t =zy

min

; 0 là phân tố ở trạng thái ứng suất đơn

§ Phân tố O có : s =z 0; t = tzy max là phân tố ở trạng thái trượt thuần túy

§ Phân tố B, C có :s ¹z 0; t ¹zy 0 là phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng

Vì tại các điểm trong dầm chịu 3 loại TTƯS khác nhau nên việc kiểm tra bền cho dầm phải tiến hành kiểm tra đồng thời cho 3 loại TTƯS trên

a Trạng thái ứng suất đơn:(A&D)

- Mặt cắt kiểm tra : mặt cắt có x max

ís £ s

b Trạng thái trượt thuần túy:(O)

- Mặt cắt kiểm tra : mặt cắt có Qy max

- Điểm kiểm tra : điểm có t = t zy max

Điều kiện bền: t max £ t[ ] (2)

Ta có thể tính [ ]t thông qua [ ]s theo thuyết bền như sau :

- Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất : [ ] [ ]t = s / 2

- Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất : [ ] [ ]t = s / 3

c Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt:(B&C)

- Mặt cắt kiểm tra: mặt cắt có Q & M y x cùng lớn

- Điểm kiểm tra: điểm có s và z t cùng lớn (điểmB) zy

5.9) Các dạng bài toán cơ bản:

Từ các điều kiện bền (1a,b), (2), (3) ® Có 3 dạng bài toán :

Ø Kiểm tra bền: theo điều kiện bền (1a) hoặc (1b)

Chú ý: Mặt cắt ngang có đường trung hoà không chia đôi chiều cao

Vật liệu dòn ® phải quan tâm cả hai mặt cắt có x max

sơ bộ vừa tìm được:

+ Nếu các điều kiện bền thỏa mãn (hoặc vượt quá < ± 5% ® chấp nhận được) thì ta chọn [F] = [F]S hay [P] = [P]S

+ Nếu điều kiện nào không thỏa mãn thì ta chọn [F] hay [P] theo điều kiện đó là

đủ

Ví dụ 1: Kiểm tra bền cho dầm chịu lực như hình vẽ biết é ùs =16kN/ cm 2

§ Xác định trọng tâm O của mặt cắt trong hệ tọa độ (x1O1y1):

Ø Bước 3: Kiểm tra bền:

§ Kiểm tra phân tố trạng thái ứng suất đơn:

x

Q S 56.486

0,33kN/ cm 8 kN/ cm

§ Kiểm tra phân tố phẳng đặc biệt:

- Chọn mặt cắt kiểm tra: mặt cắt tại bên phải C có Q C = 40kN, M C = 48kNm

- Điểm kiểm tra: Điểm B (thuộc phần dưới):

c 2

Từ (1,2,3) ® dầm đảm bảo yêu cầu về bền

Ví dụ 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang cho dầm chịu lực như hình vẽ biết

M 60.10

max [ ] 16 b 2,54cm

Ø Bước 4: Kiểm tra cho hai phân tố còn lại

§ Kiểm tra cho phân tố trượt thuần túy

§ Kiểm tra cho phân tố phẳng đặc biệt:

- Chọn mặt cắt tại bên trái B: QB = 61kN, MB = 60kNm

- Chọn điểm kiểm tra: điểm D (thuộc phần trên): bc=b=2,54cm

Vậy: với kích thước đã chọn, dầm đảm bảo yêu cầu về bền P= 2qa

Ví dụ 3 : Hãy xác định giá trị tải trọng

cho phép tác dụng lên dầm như hình vẽ :

Ø Bước 4: Với q chọn sơ bộ, kiểm tra bền cho hai phân tố còn lại:

§ Kiểm tra cho phân tố trượt thuần túy:

§ Kiểm tra cho phân tố phẳng đặc biệt:

- Chọn mặt cắt kiểm tra tại C: = = 2

5.10) Quỹ đạo ứng suất chính khi uốn :

Xét dầm chịu uốn ngang phẳng Xác định

phương các ứng suất chính của những phân tố tại

các điểm khác nhau trong dầm:

§ Phân tố tại A, A’ (trạng thái ứng suất đơn):

phương chính song song và vuông góc với

Þ Quỹ đạo của ứng suất chính: là tập hợp các

đường cong mà tiếp tuyến tại điểm bất kì trùng với phương chính tại điểm ấy

Þ lập thành 2 họ đường cong:

§ Quỹ đạo ứng suất chính nén

§ Quỹ đạo ứng suất chính kéo

(xác định bằng phương pháp thực nghiệm)

Ứng dụng: Biết được quỹ đạo ứng suất chính thì cho phép bố trí vật liệu hợp lý

để tăng khả năng chịu lực của dầm

Ví dụ: Dầm bê tông cốt thép: bê tông chịu nén tốt, chịu kéo kém Cốt thép chịu

kéo tốt nên đặt theo phương quỹ đạo ứng suất chính kéo để tăng khả năng chịu uốn của dầm

5.11) Thế năng biến dạng đàn hồi của dầm chịu uốn ngang phẳng :

Năng lượng làm vật thể biến dạng đàn hồi ® gọi là năng lượng biến dạng đàn hồi Dầm chịu uốn ngang phẳng: Nói chung các phân tố tại một điểm nào đó của dầm là trạng thái ứng suất phẳng (s ¹ s ¹ s =1 3 0, 2 0)

v Thế năng riêng biến dạng đàn hồi:

2GF 2EJ

2GF 2EJ

C CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

5.12) Khái niệm đường đàn hồi:

Định nghĩa: "Đường đàn hồi là đường cong

trục dầm sau khi uốn"

Phương trình đường đàn hồi trong hệ (yOz) :

y = y(z)

Xét điểm K trên trục dầm trước khi uốn, sau

khi dầm biến dạng K có vị trí la K'

KK’: Chuyển vị thẳng của điểm K

Þ u: Chuyển vị thẳng theo phương ngang

v: Chuyển vị thẳng theo phương đứng

Thực tế: u << v Þ bỏ qua chuyển vị ngang u Þ KK’= v.Vị trí điểm K sau khi dầm biến dạng nằm trên đường thẳng đi qua K

v : độ võng của dầm tại K

v = v(z) = y = y(z) (1) j: góc xoay của mặt cắt ngang dầm tại K

j’: Góc giữa tiếp tuyến của đường đàn hồi tại điểm K’ với phương ngang

Þ j = j’ » tgj’=y’(z) (2)

Þ đạo hàm của đường đàn hồi là góc xoay của mặt cắt khi dầm bị biến dạng

* Trong thực tế tính toán dầm chịu uốn, ngoài điều kiện bền cho dầm, người ta còn phải kiểm tra điều kiện cứng cho dầm Nếu gọi f là độ võng lớn nhất của dầm: f=vmax

thì điều kiện cứng thường chọn là: é ù =ê úf 1 ¸ 1

l 100 1000 (3)

§ l: Chiều dài nhịp dầm

§ f/l: được quy định cụ thể tùy thuộc vào từng loại công trình

5.13) Phương trình vi phân của đường đàn hồi:

Trong chương uốn ngang phẳng ta đã thiết lập được công thức biểu thị mối quan hệ giữa bán kinh cong trục dầm r và mô men uốn Mx, ta có:

= r

x x

M 1

EJ (1) Mặt khác, vì đường đàn hồi là đường cong hình học nên theo hình học vi phân ta có:

= ±

r + 2 3 / 2

1 y '' (1 y ' ) (2) ¾¾® = ±

Vì chỉ có duy nhất một đường đàn hồi nên ta phải chọn dấu cho (3) sao cho phù hợp

Xét đoạn dầm chịu uốn trong 2 trường hợp:

Ta thấy: y’’ và Mx luôn trái dấu nên ta chọn dấu (-) cho hệ thức (3)

Theo giả thuyết 3 : Biến dạng j bé Þ nên y’ bé Þ bỏ qua đại lượng y’2

Þ Ta có phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi:

= - M x

y ''

M dz

y '(z) C

EJ

M dz y(z) C dz D

4 1 1(z ) 1 1 1

qz

6EJ qz

24EJ

ì

= + ïï

2

2 2

x 3 2

qaz

2EJ qaz

§ Điều kiện biên:

Tại C: z2 =a, ta có: y ' (a) 0;y (a) 02 = 2 =

§ Điều kiện liên tục:

Tại B: (z1 =a, z2 =0) y ' (a) y ' (0); y (a) y (0)1 = 2 1 = 2

x

M q

§ Gọi lực cắt và mômen uốn trên dầm giả tạo là Qgt, Mgt

dM (z) y(z) M (z); y '(z) Q (z)

dz (8) Trong đó, liên kết của dầm giả tạo phải tương ứng với sự làm việc của dầm thực:

y = 0, y’= 0 ® liên kết ở dầm giả tạo có : Mgt = 0; Qgt= 0

y ≠ 0, y’ ≠ 0 ® liên kết ở dầm giả tạo có : Mgt ≠ 0; Qgt ≠ 0

M q

EJ nếu EJx = const, dạng qgt giống dạng biểu đồ Mx

Ta thấy qqt và Mx ngược dấu nhau: x qt qt

v Chú ý: Phần diện tích giới hạn bởi đường cong:

3L

nHL

n 1

++

n 12(n 2)

Ví dụ: Cho hình vẽ như bên: dầm có EJx = const

chịu lực Xác định độ võng của dầm:

Giải:

Ø Vẽ biểu đồ mômen uốn Mx

Ø Chọn dầm giả tạo và đặt tải trọng giải tạo

x gt

x

M q

-5.16) Phương pháp thông số ban đầu:

v Giả sử dầm chia ra n đoạn

· Xét hai đoạn kề nhau (i) và (i+1)

Gọi độ võng, góc xoay, mômen uốn,

lực cắt, tải trọng phân bố và đạo hàm tải

trong phân bố tương ứng ở 2 đoạn này

(Ví dụ: đoạn nối 2, đoạn ray đường tàu )

· Giả sử đường đàn hồi ở đoạn i được kéo dài sang đoạn (i+1)

ÞXác định: D y(a), y '(a), y ''(a), y '''(a), y (a), , y (a) D D D D (IV) D (V)

Theo giả thiết: a

a

y(a) y

y '(a) y '

D = D ìï

i 1 i 1 i i

i 1 i 1 i i (IV)

i 1 i 1 i i (V)

EJ 1

y (z) [k q (z) k q (z)]

EJ 1

y (z) - [k q' (z) k q' (z)]

EJ

+ + + + + + + +

(IV)

i 1 i 1 i i (V)

i 1 i 1 i i

1 y''(a) - [k M (a) k M (a)]

EJ 1 y'''(a) - [k Q (a) k Q (a)]

EJ 1

y (a) [k q (a) k q (a)]

EJ 1

y (a)\ - [k q' (a) k q' (a)]

-ï ï

Ø Tại mặt cắt z = a = 0, Dyo = yo ,Dy’o = y’o , Dq’o= q’o

Ø Các đại lượng tại mặt cắt đầu nút trái dầm (z = 0):

y o , y’ o , M o , Q o, q o, q’ o ® Các thông số ban đầu

Thay i = 0 vào (*) với yo(0) = 0, y’o(0) = 0, Mo(0) = 0, Qo(0) = 0, qo(0) = 0, q’o (0) = 0

Þ(3) 1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5+

k M z k Q z k q z k q' z

y (z) = y + y' z - - - - .

2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ (4)

v Đặc biệt: Ei.Ji = Ei+1.Ji+1 = const ® ki = 1 (i =1,n)

→ DM < 0 P¯→DQ < 0 q' = tga < 0 a < 0

Chú ý :

- Nếu đoạn i và i+1 nối cứng thì : Dya = 0, Dy’a = 0

- Nếu đoạn i và i+1 nối khớp thì : Dya = 0, Dy’a ¹ 0

- Nếu đoạn i và i+1 nối bằng liên kết trượt thì : Dya ¹ 0, Dy’a = 0

Ví dụ : Cho dầm chịu lực như hình vẽ,

M0 = 0

Q0 = 3qa

q0 = -q q’0= 0

Dy = 0 Dy' = 0

DM = 2qa2

DQ = -P= -2qa

Dq = q

2q q' 3a

ïî

(2)

4 Xác định thông số chưa biết y'0 = ?

Để xác định y’0 ta dùng điều kiện biên:

Tại z = 5a ta có y2(5a) = 0

y (5a) y ' 5a2 0 3qa.(5a)3 q.(5a)4 2qa (3a)2 3 2qa.(3a)3 q.(3a)4 q.(3a)5 0

3!EJ 4!EJ 6EJ 6EJ 24EJ 180EJ.a

t¹i C

C 1 1

6EJ EJ

ì ï ï í

ïî

5) Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm chịu lực như hình vẽ bằng phương pháp tích phân và phương pháp thông số ban đầu.Viết công thức góc xoay lớn nhất? EJ=const

q

L

CHƯƠNG 6: XOẮN NHỮNG THANH THẲNG CÓ MẶT CẮT

NGANG TRÒN

6.1 Khái niệm chung:

Định nghĩa: Thanh chịu xoắn thuần tuý là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang chỉ tồn

tại momen xoắn Mz

Ví dụ : trục động cơ, máy cắt, lò xo…

M1, M2, M3, m gọi là momen xoắn ngoại lực

Hình 6.1 : a) Thanh chịu xoắn

6.2 Momen xoắn và biểu đồ momen xoắn:

Phương pháp xác định momen xoắn Mz: phương pháp mặt cắt

Quy ước dấu của Mz:

Mz > 0 khi nhìn vào mặt cắt ta thấy Mz quay cùng chiều kim đồng hồ

Mz < 0 khi nhìn vào mặt cắt ta thấy Mz quay ngược chiều kim đồng hồ

Hình 6.2: Quy ước dấu của Mz

Biểu đồ nội lực Mz: biểu diễn sự thay đổi của momen xoắn Mz

Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh chịu lực như hình vẽ

Hình 6.3: Biểu đồ momen xoắn Mz