Wavelet và cơ sở wavelet trực chuẩn

Trang 1 BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU PHAM TP.HCM KHOA TOAN - TIN xì LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP Chuyên ngành: HÌNH HỌC _ WAVELETVA _ CO SO WAVELET TRUC CHUAN : ThS.. Trang 9 Wa

CO SO WAVELET TRUC CHUAN

: ThS NGUYEN QUANG HUNG

: NGUYEN NGOC YEN : TOÁN - 4B

: K31.101.102

THƯ VIỆN ˆ

Nién khoa 2005 — 2009

Thành Phô Hỏ Chí Minh - 5/2009

MUC LUC

LẦN C AM ỐNG vácccct A035 VGSEAGGVEGGUAIGIGBNIONGIGGS2DAE set 64236 < 6c — K1 ng xöc06500005009001000002910500000002/0200202090029000900180209259%23Y0 NHAN XET CUA GIÁO VIEN HƯỚNG DẢN à Hee NHÁN XÉT CUA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN 2 ecccccee CHƯNG G BIEN.ĐEN EOURIERLGcbocccscE:cc6cc0 cuc 222cc |

(Vi Ra Ra a aan aici ssscccoce cteceeeeacnenapeceerneceeassaseeseces 22

V Dah gid bien AGI Wavelet ccccccccccssesessssessessueosessuecsessecesersovessvessevevn 25

CHƯƠNG I1: MỘT SÓ HỌ WAVELET SH HS HH 28

H V1 — -d., , — 2000021007190 00000077707 2000- 07059270 000091700 S07 220000- T0 TDOOR DA 3]

HE Wavelet Daubechies Ặ ST nhe 32

CHUONG IIL: CO SO WAVELET TRUC CHUAN -cccccccccosccseccscecsesvecceeeeceeeeee 33

I Fhẩn Œch đà DRềN ĐÃ cpkiio cái cktoicii20605-i0cl0sas 33

; 7 DễằHmtÍ<šcxt601/640011A((0IGU0A020ASAGX20S/0.— 35

IH, Cor s& Wavelet trực chuẩn - 2 2S SEE S25 E52 5 ng c 42

KẾT LUẬN VÀ KIEONNON[LG0LLCS6 2000000100000 502001220 1Asadeee na PETRUS TAN TEN scans oe canarias ss ri tennant Coe nt

LOIMO DAU

Wavelet là một lĩnh vực Toán học mới trên thể giới được nghiên cứu

khoang 20 năm tro lai day Day là một lĩnh vực có nhiều ứng dụng trong cuộc

sông: như nén ảnh; nhận dạng khuôn mặt, dau vân tay:

Mue dich, yêu cầu của luận van nảy la xay dung him Wavelet va co sở Wavelet trực chuẩn trong không gian LÝ,

Luận văn bao gòm 4 chương:

% Chương 0; Giới thiểu sơ lược vẻ "Biên đôi Fourier” dé lim cơ sơ cho

những phản sau

s% Chuong |: Dua ra co so ly thuyet vẻ “Bién dé wavelet liên tục”

+ Chương II; Giới thiệu một số họ Wavelet như Wavelet Haar, Wavelet

Meyer, Wavelet Daubechies

Chương lII: Thiết lập “Co so Wavelet trực chuẩn”, Đây cũng là yêu cảu cua

bai luận vẫn nay

Luận văn chắc chăn không tránh khỏi những sai sot va nhằm lẫn, tôi rất mong

nhận được ý kiến đóng góp xây đựng của thây cô và các bạn

LOLCAM ON

Lẻ hoàn thành tỏi luận văn và đúng tiên đỏ, tôi đã nhận được rất nhiều sự

giúp đỡ cua qui thấy có, bạn bè cúng lớp Trước hết tôi xin chân thành cảm ơn

thảv hướng dẫn: thấy NGUYÊN QUANG HƯNG đã tận tỉnh chỉ dẫn đẻ tôi có

thẻ hoàn thành tốt luân văn này, Thông qua đây tôi cũng gửi lời cám ơn chan thành nhất đến tắt ca các thấy cô bộ môn đã truyền đạt những kiện thức cơ bản

dé lam nén tang cho tôi thực hiện luận văn nảy, Đây chính là bước đầu tiên cho tỏi tập lam quen với việc nghiên cứu toan học sau nay

Cam ơn tất ca các bạn lớp Toán khóa 31 đã có những đóng góp chia sẻ,

dong vien va giup dé tan tinh dé tor co thẻ hoàn thành khoá học cũng như thực

hién luan van tot nghiép nay một cách tốt nhất.

R* := R\{O} la nhom nhân các số thực

Re := ` x 8 là nửa mặt phãng (a, b) (nữa mặt phăng phía trên trục năm

Xf) := yO Oe a k!

k=0

NHAN XET CUA GIAO VIEN HUONG DAN

eT Cee eee ree eee

CERRO HOR OH EEE EEE THREE HOT RTT OTP eee settee sheets Peewee wens * *“&e

r.g.srnstsdsts1.14919999 999999090999 9999904409999404449099604« 0490460 4vV 904490 e e9 4699 9 4494449440994 w#e#**+ £ etree eee ee eeeee

PEER EE ERE EEE HEE EHS HEHE EET EERO EEE EET HEE TTT PEEP Pee eee

SEER OEE ER RRO HERERO EO Hee * e.«

NHAN XET CUA GIAO VIEN PHAN BIEN

SAE ER ERE ESOP OH TEETH EEE EEE EEE EERE TEE EEE EERO OOO ORES ERE mR REO mm eres Ee Ee

PEPPER EER eR eRe Ree CeO ROOTS ERE OHS EEE HEHE TEE HEHE THERETO THEE HEE ERROR EERE HERRERO EER EEE EEE Come re eeeereeEeHeeeereeHe EH HHEE

eee etm emer eee 't #40940 w#494seÉ6 Se eee ORE EEE EEE EEE EEE TERT OEE TERT TEE ORE E ER ER EER ARERR Reet ee ee

FETT ETTORE EEE TEER EE REE EEE RRR ORE RR Me tee eee meee weer eee eee eEee

PERE Re RE ER ERT HEHE HOHE EEE EEE RRR 094906494 4v

Seeeetwee erste eee h.*

COCO RRR mee eee eee ene “eer ee eee eee eee ernment ne

Oe eee mee REET TEETH OTE EEE OEE DOERR eee Trt heer eee “*

SEER EERE HEHEHE HHT EEE 64646460964 vtdexeeeesseseese steer ete eee eee eee *

Wavelet va Co so Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS, Nguyén Quang Hung

a mee ee eee

CHUONG 0: BIEN DOI FOURIER

| Chudi Fourier:

Cho không gian hàm Lậ := 1?(R/2n)

Những điểm của không gian này là những hàm đo được ƒ : R —> C cé chu ki

èm tức là:

ƒ(t + 2m) = ƒ(t) vteR

Và cho tích phân sau là hữu hạn:

: ial 2x | cera 2d

0 Tích vô hướng trên L2 được định nghĩa

Với hàm khoảng cách nảy thì không gian Lậ trở thành một không gian metric

đẩy đủ, nghĩa là day Cauchy cua ham f,, € !ậ hội tụ đến điểm ƒ € Lậ

LẬ cũng là một không gian vectơ trên € nên Lÿ là không gian Hilbert (trong mặt

Wavelet va Co sé Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung

Định lí I.2: (Công thức Parseval)

Cho tùy ý ƒ, g € Lậ Khi đó:

s„ là phép chiếu trực giao của ƒ lên không gian (2N+1) chiều

Ủy := span(e_, ,1, , ey) C Lễ

Vectơ s„ trực giao với ƒ — Sy

Chuỗi Fourier của một hàm ƒ € 1$ hội tụ đến ƒ của không gian metric L?

Dinh li 1.4: (Dinh li Carleson)

Tong riéng sy(t) cua hàm f € L2, hoi tu dén f(t) với mọi t

Wavelet va Co so Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung

Su bién đôi tong V(f) cia ham f chu ki 27 là cận trên của những tong nay trén

tat ca các sự phân hoạch T Nếu V(ƒ) là hữu han thi f duge goi là hàm có biến phân bị chặn Ta xét hàm £ + ƒ(£) như một biểu điển tham số của một đường cong đóng y trong mặt phẳng phức V(ƒ) là độ đài 1(y) của đường cong nảy

Nếu f kha vi lién tục thi:

Đặt (7) là đạo hàm thứ r (r > 0) cia ham f : R/2m — C Néu f lién tuc

và V(ƒ )) =: V là hữu han thi

Wavelet va Co sé Wavelet truc chuẩn GVHD: ThS Nguyễn Quang Hưng

c„(ik)P = 0| Em) (Ik| +)

chỉ ra răng chuỗi kết quả là hội tụ đều (đối với một hàm liên tục) khi p < r Nói chung ta có: ƒ € C”

Định lí 1.8:

Cho ƒ : R — C là một hảm chu kỉ 1 > 0 và giả thiết ƒ |ƒ(x)|2dx < œ Khi đó

chuỗi Fourier của ƒ được cho bởi:

pat ham g(t) := f (—t) c6 chu ki 2m, vi thé bing vige đổi biến đơn giản ta

nhan dure (4) Tir (1.2) dan dén dang thire sau cho nhitng ham cé chu ki L:

7)

3 lal? =c J WG Pads

k=-«

Hàm đặc biệt ƒ(£) := 1 có hệ số Fourier cy = Spx, dan dén C = =

Il — Biên đôi Fourier trên R;

Cho ƒ/: R —>C€ (I)

- Không gian LÌ gồm những hàm đo được (1) thỏa: ƒ|ƒ(£)|ldt =: ||fl|, hữu

hạn

- _ Không gian LỶ gồm những hàm (1) thỏa: ƒ|ƒ(t)|?dt =: ||ƒl|? hữu hạn

- _ Không gian thứ 3 được gọi là không gian Schwartz S gồm những hàm (I)

với các tính chất sau:

+ £ có đạo hàm đến mọi bậc (ƒ €”())

Wavelet và Cơ sở Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung

MOT SO DINH Li VA QUY TAC:

Định lí I.9: Biến đổi Fourier f cua ham f € L} là liên tục Hơn nữa, ta có

Nếu h đương thì T„ dịch đồ thị của ƒ một khoảng A vé bén phai (xem hinh 1)

Cho £ € L* và g(£) := T„ƒ(t) Khi đó biến đối Fourier của g được tính như sau:

` — hy\e-iftae = —— ( reere-ik(t"*M ae! = omit

ae) = | re h)e~tật =| rere t“th)át' = e~l#®ƒ (£)

Từ đó ta có quy tắc sau:

Quy tắc 1: (Tƒ)(£) = e~**ƒ (£)

* Xét hảm bắt kì ƒ € L* vả điều chỉnh f voi dao d6ng thuan e,,,w € R

Ta xét hàm g(£) := e““t£(t) Khi đó biến đổi Fourier của g 1a:

wists tat “kt -_ ~i(f-w)t dt = ƒ (£ —

0) == [ eter pene ae = | f(ne ae = 7 & - a)

Wavelet va Co so Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung

a a re Oe ee

p,ƒ():= ƒ (

Tác động của Ø„ lên đồ thị của hàm ƒ như hình 2 cho trường hợp a := 3 Nếu la] > 1 thì đồ thị của ƒ được trải ra trên trục hoảnh bởi hệ số |a|, và |a| < 1 thi

đồ thị bị nén trên trục hoành bởi hệ số |a| Nếu có thêm điều kiện a < 0 thi đỗ

thị của £ được lấy đối xứng qua trục tung

=—L_ [ ¢ (2) e-ittae = IAL [ rgrys-#anae' =

0() =—C | f() tát = | pene erat’ = half (ak)

Suy ra điều phải chứng minh

Wavelet va Co so Wavelet true chuan GVHD: ThS Nguyén Quang Hung

Suy ra diéu phai chimg minh

Trên LÝ người ta định nghĩa tích vô hướng:

Wavelet va Co sé Wavelet tryc chuan GVHD: ThS Nguyén Quang Hung

* Cho ƒ €C!; ƒ,ƒ' 6 L1 Khi đỏ: lim,.,+„ f(t) = 0

Và tích phân từng phân của tích phân Fourier (2) :

| ƒ'()e"#tát = ƒ(t)e"RtÍ, _ + lệ | ƒ(t)e”'*tdt

Wavelet va Co sé Wavelet truce chuan GVHD: Th§ Nguyễn Quang Hưng

Wavelet va Co so Wavelet truc chuan GVHD: ThS Nguyén Quang Hung

TT

(1¡_aa¡)() = Ệ asinc(aé) (8)

Ta tính biến đổi Fourier của wavelet Haar Duge xét nhu mét thanh phan của LÌ,

wavelet Haar được viết như sau :

Go(t) == M,o(t) =e? V2n

Được tính để dàng qua các phương pháp của lý thuyết hàm phức Vì gạ là hàm thực vả chẵn nên biến đổi Fourier đạ của nó cũng là một hàm thực và chẵn Xét £ > 0 và hàm ƒ(2) := e~”⁄? là hảm chỉnh hình trong mặt phẳng phức z.Ta

vẽ hình chữ nhật # như hỉnh 5 Giá sử a > £ > 0 (£ có định)

Wavelet và Cơ sở Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung

Wavelet va Co sé Wavelet true chuan GVHD: ThS Nguyén Quang Hung

Wavelet va Cơ sở Wavelet trực chuân GVHD: Ths, Nguyễn Quang Hưng

CHUONG I: BIEN DOI WAVELET LIEN TUC

Định lí H.1 :

Cho hảm t € LẺ thỏa tự € ` nghĩa là ƒ|t| lự(t)|dt < œ, điều kiện (2) tương

đương với

| J(t)dt=0©ÿ(0)=0 (3)

Theo định lí này, hàm wavelet có giá trị trung bình là 0

Tử đó suy ra rằng đỏ thị của có dạng sóng, một phần năm trên và một phân năm đưới trục £

"

Hàm t được mô tả là trong (3

* Chiều suy ra:

Ta có ;

ÿ(0)=~= | w(e)dt

Theo định lí I.9, biến đổi Fourier ý là liên tục

Khi đó tích phân (2) chỉ có thể hội tụ nếu ý (0) = 0

* Chiều ngược lại:

mel’ =p EC! (do djnhli 1.13)

Wavelet va Co so Wavelet truc chuan GVHD: Ths Nguyễn Quang Hung

* Chon mét ham wavelet w

Cho a # 0 bat ki, dat:

vale) = 0 (=) =o

| lJa(t)lZdt = mT | lv (-) “t= “i | l(t')I@laldt’ = 1

Nêu sau quá trình làm dăn này, hảm t⁄„ bị địch dọc trục thời gian bởi lượng b

(sang phải nếu b > 0) ta nhận được hàm (xem hình 7):

Hiển nhiên: |lU„;||=1 v(a,b) e R

Ta có thẻ viết định nghĩa (4) của biến đôi wavelet về đạng tích vô hướng:

Wavelet va Cơ sở Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung

Ta sẽ tính biển đổi Fourier cua ham Wa»

Theo quy tắc 3 ta có: „(£) = la|1/2j (a‡)

Sử đụng quy tắc 1 và áp dụng công thức 5, ta có:

Ù a»($) = |a|!⁄2e*'*'ÿ (a‡) (8)

Đo định li L.!I (công thức Parseval) và công thức 6 nên:

Wf (a,b) = (Fay) = lal”? | Fe Pade (9)

Tích phân cuối cùng có thể được xem như một tích phân Fourier; chính xác nó đưa ra biến đối Fourier của hàm trên L},

F„(() := V2m |a|*2ƒ (@)ÿ (a£) (10)

được viết như một hàm của biến b

Nói chung ta đã chứng mình được định lí sau:

Cho a # 0 cố định, hàm Wƒ(a, b) : b + Wƒ(a, b) có thể được xem như biến

đổi Fourier cia ham Fy

0 (noi khac)

Va hé qua:

b+a/2 b+a

wf(a,b) = —=( J f(t)dt - J 74t)

Wavelet va Cơ sở Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung

as SS eee

Va 2 b+a/2 2 bea

+a/2

Ta cũng có thẻ xem lượng Wƒ(a, b) theo cách khác:

Wƒ(a,b) = = J mere (rw —f (e+ 3) dt

Thỏa ||l|| = 1 Đồ thị của nó có hình dạng một cái mũ của người Mexico nên

hàm nảy được gọi là hàm mũ (nón) Mexico (xem hình 8)

+ +1 ì

Wavelet va Cơ sở Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung

a ee en —-———¬—————

Il Công thire Plancherel:

Khong gian Hilbert:

Wavelet va Co so Wavelet truc chuan GVHD: ThS Nguyễn Quang Hưng

> Trong một số trường hợp ta xét hệ số tỉ lệ œ > 0 nghĩa là biến đổi wavelet

W/ƒ bị giới hạn bởi nửa mặt phẳng phía trên:

RS := {(a,b)| a € Ryo, b € R}

Đặt H" := I2(R3, du) = 12 (Ryo x x RS) là không gian Hilbert Khi đó

wavelet ' thỏa điều kiện đối xứng:

Cho là một wavelet thỏa điều kiện đối xứng (4) và đặt W kí hiệu biến đổi

wavelet tương ứng Khi đó Vƒ, g € LẺ ta có:

(Wƒ,Wqgì„, = Cụ(ƒ 8)

o

Tuong tu chudi (3):

Wavelet va Cơ sở Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyễn (Quang Hưng

Wavelet va Cơ sở Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyễn Quang Hưng

Đặt go(t) = exp (~ <—) là hàm phân phổi chuẩn với biến ø và giả thiết

rằng hàm f € L} là liên tục tại một vải điểm x cho trước Khi đó:

Wavelet va Co so Wavelet true chuan GVHD: ThS Nguyén Quang Hung

Tích phân đâu tiên của về phái có giá trị bé hon | va g,(h) cũng như tích phân

cuỗi tiên tới 0 với ø —= 0† (xem hình 9) Do đó ta có thé tim dy dé Va < ap ta

Về phải của (1) cũng tương tự vi g„ là một hàm đối xứng thực

Công thức Plancherel trong định lí H.3 được viết như sau:

Wavelet va Co so Wavelet trực chuẩn GVHD: Ths Nguyén Quang Hung

Cho a — 0 và dùng định lí II.6 đẳn đến công thức sau cho hàm f:

ƒ():=e " W f(a, b)Wa p(x) (4)

Công thức (4) có thể được viết gon:

1

f Er [ a Wƒf(a.b)„„() (5)

Ử ge Dinh li 11.8:

Nếu 1 thỏa mãn điều kiện đối xứng IH.(4) thì:

Wavelet va Co so Wavelet tric chuan GVHD: ThS Nguyén Quang Hung

u(a,b) = (ƒ,Ua») = —(WƑ,WW¿s)u = —(u,WWs)y ((a,b) € R2) (2) C GC,

Nếu ta muốn biểu diễn về phải của (2) dưới dạng một tích phân, ta phải biểu

diễn ham Wy, , nhu mét ham véi biển mới là a", b* Từ [.(6) suy ra sự biểu diễn

Ham K (a,b, a’, b') = (bq, Wa») được xác định tại mọi điểm

(a,b,a’,b’) € R* x RẺ và được gọi là một hạt nhân cho hàm u € U