Phép biến đổi wavelet và ứng dụng

Tuy nhiên trong một số trường hợp, chẳng hạn như đối với việc phân tích thời gian, tần số của tín hiệu thì phép biến đổi Fourier đã làm mất đi các thông tin về thời gian, dẫn tới việc tí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO - TRUGNG DAI HOC SU PHAM THANH PHO HO CHI MINH

LUAN VAN THAC SI TOAN HOC

PHEP BIEN DOI WAVELET VA UNG DUNG

Chuyên ngành : GIẢI TÍCH

Người hướng đẫn: — TS ĐINH NGỌC THANH

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2001

Lời Cảm Ơn

Em xin chân thành cảm cn Tién ef Dinh Ngoc Thanh mac dit rit bện rộn với

nhiều Ông việc vẫn tận tỉnh hướng dẫn, sửa chữa và giúp choem các ý tưởng khi

thực hiện đẻ tài này

Em xin bay tố kòng biết ơn đến các Thấy Cô trong Khoa Toán Trưởng DIi$P TD.Hỏ Chí Minh đã day dé em trong những năm qua

Em xin chm on các anh chị đồng nghiệp vả các bạn bẻ đã giúp đỡ Lạo diéu kiện để em hoàn thành đề tài này.

2.3 Biến đổi Fourier

2.4 Biến đổi Fourier ngược

2.5 Tích chập của hai hàm số

3 Biến đổi wavelet

3.1 Biến đổi wavelet liên tục

3.1.1 Định nghĩa và ví dụ

3.1.2 Các tính chất

3.2 Biến đổi wavelet rời rạc

4 Phân tích đa phân giải

4.1 Phân tích đa phân giải (MRA) của LỶ (R)

4.1.1 Định nghĩa

4.1.2 Tính chất

4.1.3 Xây dựng đa phần giải từ hàm chuẩn ø

4.1.4 Thuật toán

4.2 Wavelet có giá compact

4.2.1 Cơ sở wavelet trực chuẩn có giá compact

4.2.2 Haar wavelet 4.2.3 Daubechies wavelet

5 Wavelet trên một đoạn

Phép biến đối wavelet và ứng dụng _

1 Đặt vấn đề

Hiện nay xử lý tín hiệu đang là một vấn để được quan tâm và ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học và kỹ thuật như : điện, điện tử, tự động hóa, viễn thông, tin học và một công cụ được biết đến nhiều nhất để phân tích và xử lý tín hiệu là Giải tích Fourier Tuy nhiên trong một số trường hợp,

chẳng hạn như đối với việc phân tích thời gian, tần số của tín hiệu thì phép

biến đổi Fourier đã làm mất đi các thông tin về thời gian, dẫn tới việc tính

toán hết sức vất vả Đây chính là mặt hạn chế của Giải tích Fourier, đòi hỏi sự

ra đời một công cụ toán học mới hiệu quả hơn trong phân tích và xử lý tín hiệu là phân tích Wavelet

Wavelet là 1 công cụ toán học được sử dụng để phân tích tín hiệu thành nhiều thành phần tần số khác nhau và chúng ta sẽ nghiên cứu từng thành phan này với độ phân giải tương ứng với cấp độ của nó Wavelet được phát triển

một cách độc lập trong các lĩnh vực toán học, vật lý lượng tử, điện tử, tin học,

địa chấn học và trong khoảng 10 năm trở lại đây, sự liên kết giữa các lĩnh

vực này đã đem lại nhiều ứng dụng mới của wavelet trong xử lý ảnh, rađa, xử

lý âm thanh, dự báo động đất Đối với toán học, wavelet có nhiều ứng dụng trong giải thích số, lý thuyết xấp xỉ, ly thuyét fractal

Trong để tài này chúng ta sẽ khảo sát cơ sở toán học của phân tích wavelet, từ đó đưa ra kết quả ứng dụng của việc xây dựng wavelet trên một

đoạn và xấp xỉ một hàm số

Pháp biến đổi wavelet và ứng dụng `

Bố cục của luận văn :

Luận văn được trình bày thành 5 chương và một phần Kết luận:

- Chương 1: Đặt vấn dé

- Chương 2 : Kiến thức chuẩn bị - trình bày các vấn để trong các

không gian L1(R) và LXR); và một số nội dung cơ bản của Giải tích Fourier,

là cơ sở của việc xây dựng các định lý, công thức trong để tài này

- Chương 3 : Biến đổi Wavelet - trình bày các phép biến đổi

wavelet liên tục và biến đổi wavelet rời rạc, một số tính chất quan trọng của

phép biến đổi wavelet

- Chương 4: Phân tích đa phân giải - trình bày một cái nhì mới về không gian L2 (R) như là hợp của một đây các không gian cơn đóng lỗng vào

nhau, được xây dựng dựa trên một hàm chuẩn, từ đó xây đựng cơ sở wavelet

cho LXR), thuật toán phân tích và khôi phục một hàm số; cơ sở wavelet trực

chuẩn có giá compact

- Chương § : Wavelet trên một đoạn - trình bày việc xây dựng một

cơ sở wavelet trên đoạn [0,1] dựa trên cơ sở wavelet trực chuẩn có giá

compact, ung dung vào vấn để xấp xỉ một hàm số

Pháp biến đổi wavelet và ung dung

Định nghĩa ï: L? (R) là không gian cách hàm ƒ giá trị phức thỏa

Uf]? = [7 [few de <a

Dinh nghia 2: Cho f, g e L? (R) Tích vô hướng của f va g dude

định nghĩa :

Ứ.8)= [” f4) gứ) &

Tính chất ï : L? (Ñ) là một không gian Hilbert

Định nghĩa 3 : Một tập đếm được {2} „ trong L2 (R) gọi là một cơ sở

Riesz néu Vfe L? (R), f được biểu diễn một cách duy

nhất S= Valk và tổn tại các hằng số A và B thỏa :

Alffsde| <8 Uf

Tính chất 2 : Cho một cơ sở trực chufin (@,), ala L? (R) khi dé

Công thức này được gọi là đẳng thức Parseval, có khi

được viết đưới dạng :

t† “2s với c, =(ƒ,Ø,)

Phép bién d&i wavelet va tig dung

2.3 Biến đổi Fourier

Định nghĩa 4: Cho ƒe L?(R) Biến đổi Fourier của ƒ là

2.4 Biến đấi Fourier ngược

Néu f, f € L'(R) thi fi = + [Sede hk

và người ta gọi đây là công thức biến đổi Fourier ngược của ƒ

Phép biến đổi wavelet và ting dung _

3 Biến đổi wavelet

3.1 Biến đổi Wavelet liên tục

trong 46 ye L7(R) hỏa = "y(t dt=0

y được gọi là wavelet ;

Wf (a,b) =

W/ được gọi là biến đổi wavelet của ƒ lién két vGi wavelet y

Ghi chú : Nếu đặt War (f) = = ca

-*

Hình 1: Nón Mexico

Pháp biến d&i wavelet va tng dung

Theo tính chất của phép biến đổi Fourier , ta có :

War © = lal ey (ae )

Ap dung công thức Parseval, ta có thể viết :

Phép biến đổi wavelet và ứng dụng

Phép biến đổi wavelet va ung dung

Ss [` ø.()# +|/lz (h) + | f(x) Ua (t)dt

Ta có Í ø,()#<l, g,(h) + 0 khi o + 0*

Vì vậy sé tén tai 5 , sao cho néu o > 6, thi

Đối với phép biến đổi Fourier, ta biết rằng một hàm số càng “trơn” thì

biến đổi Fourier của nói triệt tiêu ở vô cực càng nhanh Với biến đổi Wavelet,

Phép biến đổi wavelet và ứng dụng _

tính chất tương tự được thể hiện như thế nào ? Chúng ta sẽ xem xét vấn để

này qua định lý :

Định lý 3 : Giả sử Wavelet ự có rực L' (R) và ƒeL? bị chặn trên R và

liền tục Hölder tại b, nghĩa là 3œec (0,1] sao cho với mọi t

thuộc lân cận của b thì |ZŒœ)- Z()|< Ckt- ð[

khi đótacó Ù#/@ ð)|< C'|a[*i

Chứng mình : Không mất tính tổng quát, ta giả sử a>0 Vì ƒ bị chặn

trên R nên ta có thể xem giả thiết:

Vậy Ma b)|< C'lla[“ với C'=C.ƒ” |y[ wiley

Chúng ta có một hệ quả trực tiếp của định lý này :

Hệ quả : Giả sử Wavelet ự có tự e L' Nếu hàm ƒ e LẺ là Lipschitz trên R thì

tổn tại hằng số € sao cho

Ws (a,b)|< Cal”

(Áp dụng định lý 3 khi œ = 1)

10

Phép biến đổi wavelet và từng dụng

3.2 Biến đổi Wavelet rời rạc :

Ta đã biết biến đổi Wavelet liên tục của một hàm feLXR) được định nghĩa bởi :

W f(a,6) = — fey (Ja, abe R,azQO0

ae a

trong đó we L’(R) thỏa [ov (ae = 0

Thi Wa, b) =f" f(thy (Od =(fova)

Về phương diện vật lý, phép biến đổi Wavelet có tính chất địa

phương về thời gian-tẩn số của một tín hiệu là rất tốt Trong phẩn này

chúng ta sẽ khảo sát một tập con rời rạc cửa tập các wavelet {ự› /

(ab)eR”xR] là một cơ sở của L%R) và vẫn giữ nguyên được tính địa

phương vềể thời gian - tấn số của họ liên tục các wavelet {ựW;y

(ab)eR”xR| ban đầu Bản chất của vấn để chỉ là sự “rời rạc hóa” phép biến đổi wavelet liên tục mà trong đó một hàm số feL*(R) được biểu thị

qua một tập hợp rời rạc các hệ số wavelet của nó Diéu nay có nghĩa LXR)

được "sinh” bởi một tập hợp rời rạc các wavelet { ự„x/j,ke2Z } với wavelet

ự được lựa chọn thích hợp Như vậy từ định nghĩa của biến đổi wavelet liền tục, chúng ta làm “rời rạc hóa" nó bằng cách thay :

Pháp biến đổi wavelet và ứng dụng

Trong chương kế tiếp chúng ta sẽ chứng minh một kết quả

quan trọng trong phép biến đổi Wavelet rời rạc là : với sự lựa

chon wavelet ự thích hợp, họ

i {t'v@'x—k, J,k€ z|

sẽ rở thành một cơ sở trực chuẩn của không gian L`(R)

12

Phép biến đổi wavelet va ing dung

4 Phân tích đa phân giải

Trong chương này chúng ta sẽ khảo sát một lớp các wavelet trong cấu trúc của L2{R) là Phân tích đa phân giải Các wavelet này tạo ra một họ các

phép co giãn và tịnh tiến và là một cơ sở trực chuẩn cla LR)

4.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis— MRA) của LXR)

4.1.1 Định nghĩa :

Một phân tích đa phân giải (MRA) của L2(R) là một dãy các không

gian con đóng (V,}¿„; của LXR) thỏa các điểu kiện sau :

(a) Vic V,, Vez

(b) UV, =L(R)

(c) NV, = {0} ez

(4) f«)eV, © ƒ(2x)eV, ,WeEZ

(e) /(x)e V, « ƒ(x-n)e V,,Vnc Z

(ƒ) 3ø c V, saocho { ó,„ } là một cơsở trực chuẩncủa V,,

Phép biến đổi wavelet và ứng đựng

Định lý 1: Nếu một dãy các không gian con đóng { V,} „; thỏa các

điểu kiện a, b, c, trong định nghĩa 4.1.1 và các không gian cơn

tương ứng W, là trực giao đôi một thì

@W =LU() yet

Ching minh :

Trước hét ta chi ¥ ring néu j #j’ thi W\1 W,.-

Ta sẽ chứng minh định lý bằng cách chứng minh nếu ƒ e L3R) va

ƒ1W,, Vị Z thi f=0

Cho s >0 tùy ý Do điều kiện b, nên tổn tại j, và h, 6V,

sao cho |ƒ-h„|<e Khi đó tổn tạ heV, va g,eW, |

sao cho fh, =h, +@,

i4

Phép bién d6i wavelet va ing dung

Tương tự tổn tại he Vio vA g,€ Wa sao choh, =h, +g,

Tiếp tục n bước như vậy ta sẽ được :

với je2 Vn> js - j tacó j> j, -nhay h,eV, ,cCYV,

Do Vị đóng nên he Vị Điểu này đúng với mọi j nên đo điểu kiện c)

Doe là tùy ý nên ta phải có f = 0 (đpcm)

Chúng ta ký hiệu P, là phép chiếu trực giaotừ L?*(R) lên V và Q,

là phép chiếu trực giao từ L?(R)lên W

Khi đó ta có P.,,=P,+Q, Đối với phép chiếu P,, ta có

P/=3 <ƒf 0, >Ø,, và tasẽ tìm được mét wavelet y sao

kez

cho họ các y,,(x) = 2 w(2'x - k) là một cơ sở trực chuẩn của

L%R) và Q, có thể biểu diễn qua các ự„, này

15

Pháp bién dt wavelet vd ing dung

Định lý sau đây sẽ chứng tỏ điều đó:

Định lý 2 :

Nếu dãy các không gian cơn đóng {V,} „; là một đa phân giải của

LXR) thì tổn tại wavelet /e LXÑ) sao cho họ

Và như vậy { x}x.; là một cơ sở trực chuẩn của W, Dựa vào một tính

chất của W, là nếu f(x)eW, thì f(2x)ceW,.; (được suy ra từ đk d, của định

Ta đã có @øeV, cV, va oe là một cơ sở trực chuẩn của V,,

vi vay g= ch, ¿,„trong đó h, =<ø,ø,, >và Đ|h,|| =1 (do<ø,ø>=1)

Phép biến đổi wavelzt và ung dung

Suy ra [fe lô \e* de =0, VkeZ

= [LIE + 2mm) GE + 2m }e* & =0, VkeZ

Như vậy >7 +2m )ðK + 2m )= 0, hin

17

Phép biến đổi wavelet và ứng dụng

Pháp biến đổi wavelet va ứng dụng

Vivay wlV, nêntacó weW, (doweV,)

Tiếp theo ta chứng minh { x}¿«z là một hệ trực chuẩn :

Pháp biến đổt wavelet và ung dung

Vì vậy ( wxÌxez © Wo

Cuối cùng ta sẽ chứng minh { ¿x} là một cơ sở của W¿ nghĩa là

VƒeWo

f= Zh Vox VOI Lh! <©

Diéu này tương đương với ƒŒ )=2( £)./(£)

véi A eœ L?(0,2z ])

Phép biến đấi wavelzt và ứng dụng

Ta dacd fe )= °& WE) voi

[" Jae Vag = 20 | ale a

Khi định nghĩa phân tích đa phân giải, ta phải có sự tổn tại của một

hàm @œVọ sao cho {@,},.„ là một cơ sở trực chuẩn của Vọ (điểu kiện ƒ,)

Trong thực tế chúng ta chỉ cẩn { gsx} ,.„ là một cơ sở Riesz của Vọ

Sau đây chúng ta sẽ chỉ ra cách xây dựng một cơ sở trực chuẩn

(Ø*osx]vez của Vạ từ một cơ sở Riesz { @ox]vczcủa Vạ Giả sử { @œx}xez là một

cơ sở Riesz của Vọ : Khi đó tổn tại 0 < A, B < œ sao cho :

21

Pháp biến đổi wavelet và ung dung

Định nghĩa ` € L{R) bdi:

of )= | She + ken y | 66) tel

Khi đó 5`lô'Œ + kx) = —— hh nghĩa là các ø;, là trực chuẩn

Ta định nghĩa không gian V¿sinh bởi É;, } ta có:

V„ ={/: ƒ=}/2ø„với (/?),„„ ePF(Z))

=[ƒ: =vệ` với ve LA{0,2z]) và tuân hoàn có chu kỳ 2x}

= ƒ: =v, ô với v, e L^((0,2z]) và tuần hoàn có chu kỳ 2a}

=(ƒ: f= LS VOCS, az e I2)

= V, (do(ø,,),„„là một cơ sở Riesz của V, )

4.1.3 Xây dựng đa phân giải từ một hàm chuẩn ø:

Như đã để cập, một phân tích đa phân giải bao gồm một đãy các không gian co (V,);„; và một hàm øeVạ thỏa các điểu kiện trong định nghĩa 4.1.1

Để xây dựng một đa phân giải, người ta có thể bắt đẩu từ sự lựa chọn hàmchuẩn @ vA Vo dude sinh bai {@nvÌv‹z„ từ đó xây đựng được các không gian V, khác Người ta thường chọn hàm chuẩn øthỏa :

Phép biến đất wavelet và ứng dung

Sau đó định nghĩa V, là không gian con đóng sinh bởi gy, keZ

vdi Py = 2? @(2/x-k)

Cac diéu kién trén 1a các điều kiện cẩn và đử để (ø,y, keZ}

là một cơ sở Riesz trong mỗi V,, các V, thỏa mãn các điểu kiện a-d-c-f

của định nghĩa 4.1.1 các điểu kiện b,c cũng được thỏa mãn ({2].|4])

Phép bién dot wavelet va img dung

P.f= > Bone Por

kez

YE Oye Biak Ouse}

cm Die Pre Pred De FeV see P ine)

24

Phép biến déi wavelet va ứng dung

Từ đó ta có sơ đổ thuật toán tổng hợp wavelet như sau :

Ris ay es a hk Ss eece oil

42 Wavelet cé gid compact :

4.2.1 Cơ sở wavelet trực chuẩn có gía compact:

Giả sử hàm chuẩn øvà wavelet có giá cơmpact Khi đó họ { W4xÌ ;¡x«z với

Vì ø có giá compact nén chỉ có một số hữu hạn hy khác không Đây là

một tính chất quan trọng của wavelet có giá compact Tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát việc xây dựng hai loại wavelet có giá compact được sử dụng tương

đối phổ biến là Haar wavelet và Daubechies wavelet

Phép biến đổi wavelet và ứng dụng

Khi đó ta xây dung dude da ph4n gidi {Vj} j-z trong d6

Vj= f €L*R): f bing hing s6 trên đoạn (24k, 2!(k + DỊ |

Phép biến đổi wavelet và ứng dụng

Daubechies [2] đã xây dựng các wavelet bắt đầu bing ham m, cho Số

tự nhiên N> 2 Khi đó m„ có dang:

l+e**

2

m.(©*| MS)

Trong đó 2(š) là một đa thức lượng giác thỏa lA(£} = Pf sin’ ‘)

với P là một đa thức sao cho :

2

¥i(N+k-1 trong 46: Pao= 3 = }"