Wavelet và ứng dụng của wavelet

Wavelet và ứng dụng của wavelet Wavelet và ứng dụng của wavelet Wavelet và ứng dụng của wavelet luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

-

đào hải tùng

wavelet và ứng dụng của wavelet

Chuyên ngành: điện tử – viễn thông

Luận văn thạc sĩ: điện tử – viễn thông

ng-ời h-ớng dẫn khoa học:

PGS.ts nguyễn quốc trung

Danh môc c¸c ch÷ viÕt t¾t

Danh mục hình vẽ đồ thị

***

Trang

Hình 1.1: Các hàm cơ sở của STFT 7

Hình 1.2: Các hàm cơ sở của Wavelet 8

Hình 1.3: Tính chất dịch của biến đổi Wavelet liên tục 11

Hình 1.4: Tính chất tỷ lệ với hệ số tỷ lệ bằng 2 11

Hình 1.5: Tính cục bộ về thời gian 13

Hình 1.6: Tính cục bộ của biến đổi Wavelet liên tục sử dụng Wavelet sinc 14

Hình 1.7: Wavelet Morlet 16

Hình 1.8: L-ới lấy mẫu 17

Hình 2.1: Hình chiếu trực giao vào 1 không gian con 25

Hình 2.2: Lấy mẫu giản 3 trong miền tần số 29

Hình 2.3: Thay đổi tốc độ lấy mẫu 30

Hình 2.4: Các sơ đồ t-ơng đ-ơng khi thay đổi tốc độ lấy mẫu 31

Hình 2.5: Biến đổi đa pha 32

Hình 2.6: Vùng phủ trong mặt phẳng thời gian-tần số 33

Hình 2.7: Các phép toán cơ bản đối với 1 hàm cơ sở 34

Hình 2.8: Tỷ lệ và các độ phân giải trong các dãy rời rạc 35

Hình 3.1: Băng lọc 2 kênh 41

Hình 3.2: Phân tích trong miền biến đổi của băng lọc 2 kênh 47

Hình 3.3: Phân tích trong miền đa pha 49

Hình 3.4: Băng lọc Octave J tầng 50

Hình 3.5: Băng lọc tổng hợp băng Octave 3 tầng với các bộ lọc Haar 52

Hình 3.6: L-ới lấy mẫu nhị nguyên sử dụng trong các chuỗi Wavelet rời rạc 54

Hình 3.7: Sự phân chia lý t-ởng của phổ bởi các chuỗi Wavelet rời rạc sử dụng các băng lọc sinc 56

Hình 3.8: Tất cả các kết hợp của băng lọc cấu trúc cây có độ sâu là 2 57

Hình 3.9: Phân tích thời gian-tần số đối với các cây băng con nhị phân khác nhau 57

Hình 3.10: Băng lọc phân tích/tổng hợp N kênh lấy mẫu giảm tới hạn bởi N 60

Hình 3.11: Băng lọc lấy mẫu d- 61

Hình 3.12: Sơ đồ hình tháp bao gồm 1 xấp xỉ thông thấp dạng thô và phần sai khác giữa dạng thô và tín hiệu gốc 62

Hình 3.13: Băng lọc độc lập trong không gian 2 chiều với lấy mẫu giảm 2 độc lập 63

Hình 3.14: 2 l-ới lấy mẫu th-ờng sử dụng 64

Hình 4.1: Cơ sở Haar 69

Hình 4.2: Phân tích Wavelet Haar của 1 hàm liên tục phân đoạn 71

Hình 4.3: Hàm tỉ lệ và Wavelet Haar 79

Hình 4.4: Phân tích V0 vào trong các băng Octave liên tiếp 80

Hình 4.5: Hàm tỷ lệ và Wavelet trong tr-ờng hợp sinc 81

Hình 4.6: Cấu trúc của Wavelet Meyer 81

Hình 4.7: Minh họa 82

Hình 4.8: Minh họa 83

Hình 4.9: Hàm tỷ lệ và Wavelet Meyer 84

Hình 4.10: Băng lọc lập lại tại kênh thông thấp 85

Hình 4.11: Đáp ứng biên độ tần số của 1 băng lọc lập lại 3 b-ớc với các bộ lọc thông cao và thông thấp lý t-ởng 87

Hình 4.12: Lấy mẫu nhị nguyên của mặt phẳng thời gian-tần số trong khai triển chuỗi Wavelet 94

Hình 4.13: Minh họa 94

Hình 4.14: Tính toán đối với các hệ số chuẩn Wavelet 98

Hình 5.1: Quảng bá số 106

Hình 5.2: Mối quan hệ giữa các hệ số Wavelet tại các băng con khác nhau 109

Hình 5.3: Mối quan hệ giữa các hệ số Wavelet tại các băng con khác nhau và cách thức quét chúng 111

Mục lục

Trang Trang phụ bìa

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Lời mở đầu 1

Ch-ơng 1 – Những khái niệm cơ bản của Wavelet 3

1.1 Biến đổi Furier 3

1.1.1 Biến đổi Furier và các tính chất của nó 3

1.1.2 Biến đổi Furier thời gian ngắn(STFT) 6

1.2 Biến đổi Wavelet 8

1.2.1Biến đổi Wavelet liên tục 8

1.2.2Biến đổi Wavelet rời rạc 16

Ch-ơng 2 – Những nguyên tắc cơ bản của phân tích tín hiệu 18

2.1 Không gian Hilbert 18

2.1.1 Tổng quan 18

2.1.2 Không gian Hilbert 19

2.2 Xử lý tín hiệu rời rạc 27

2.2.1 Định lý lấy mẫu 27

2.2.2 Xử lý tín hiệu rời rạc nhiều tốc độ 28

2.3 Biểu diễn thời gian-tần số 33

2.3.1 Tần số, tỷ lệ và độ phân giải 33

2.3.2 Nguyên lý bất định 35

Ch-ơng 3 – Các cơ sở rời rạc và băng lọc 36

3.1 Các khai triển chuỗi của tín hiệu rời rạc 36

3.1.1 Chuỗi Furier rời rạc 37

3.1.2 Khai triển Haar của tín hiệu rời rạc 38

3.1.3 Khai triển Sinc của tín hiệu rời rạc 42

3.2 Băng lọc 2 kênh 43

3.3 Băng lọc cấu trúc cây 50

3.3.1 Băng lọc Octave và các chuỗi Wavelet rời rạc 51

3.3.2 Các chuỗi Wavelet rời rạc và tính chất 53

3.3.3 Phân tích đa phân giải của băng lọc Octave 55

3.3.4 Các băng lọc cấu trúc cây thông th-ờng và gói Wavelet 57

3.4 Băng lọc nhiều kênh 58

3.5 Sơ đồ hình tháp và khai triển d- 60

3.6 Băng lọc nhiều chiều 62

Ch-ơng 4 – Khai triển chuỗi sử dung Wavelet và các cơ sở biến đổi 65

4.1 Một số định nghĩa 65

4.1.1 Khai triển chuỗi của tín hiệu liên tục 65

4.1.2 Độ phân giải thời gian và tần số của khai triển 67

4.1.3 Khai triển Haar 68

4.2 Khái niệm đa phân giải và phân tích 73

4.2.1 Định nghĩa phân tích đa phân giải 73

4.2.2 Cấu trúc của Wavelet 75

4.2.3 Các ví dụ về phân tích đa phân giải 77

4.3 Wavelet Meyer 81

4.4 Các Wavelet đạt đ-ơc từ băng lọc lặp lại 85

4.5 Chuỗi Wavelet và các tính chất 92

4.6 Các tr-ờng hợp tổng quát trong 1 chiều 99

Ch-ơng 5 – Các ứng dụng của Wavelet 102

5.1 Các ứng dụng 102

5.1.1 Mã hoá nguồn xấp xỉ liên tiếp 102

5.1.2 Một số ví dụ của mã hóa Wavelet và băng con 102

5.2 Mã hóa Wavelet cây zêrô gắn liền 108

5.2.1 Mã hoá EZW 108

5.2.2 Cây zêrô 108

5.2.3 Nguyên tắc hoạt động 110

Kết luận 113

Tài liệu tham khảo 114

Lời nói đầu

Việc xử lý tín hiệu bằng ph-ơng pháp số (DSP-Digital Signal processing) ngày càng phổ biến hơn so với xử lý tín hiệu bằng ph-ơng pháp t-ơng tự (ASP-Analog Signal Procesing) vì những -u điểm v-ợt trội của nó Các hệ thống sử dụng DSP có tính mềm dẻo hơn so với sử dụng ASP vì dễ thực hiện, giải thuật

đơn giản Hoạt động của DSP ít bị ảnh h-ởng bởi những điều kiện bên ngoài tác động vào ( nh- nhiệt độ) Giá thành của DSP rẻ hơn so với sử dụng ASP khi công nghệ VLSI ngày càng phát triển Nh-ng nh-ợc điểm của DSP là có tốc độ bị hạn chế đặc biệt khi tần số cao

Trong việc xử lý tín hiệu số DSP thì lý thuyết Fourier luôn đ-ợc xem là nền tảng cơ sở không thể thiếu đ-ợc từ tr-ớc đến nay Nó là công cụ cơ bản của toán học và ứng dụng trong kỹ thuật đặc biệt là xử lý tín hiệu số Rõ ràng biến đổi Fourier đã trở nên phổ biến, nó đ-ợc xem là chỗ dựa chính cho việc

xử lý tín hiệu trong nhiều thế hệ Tuy nhiên trong một số tr-ờng hợp nó trở nên khá phức tạp Xét ví dụ hàm f(t) là xung vuông thì biến đổi Fourier là hàm sinc Để có đ-ợc việc biểu diễn chính xác của xung vuông trên ta cần mở rộng những thành phần tần số của hàm sinc từ - đến + Vì vậy việc biểu diễn tín hiệu đ-ợc cục bộ về mặt thời gian sẽ không hiệu quả

Một số biến đổi của Fourier sau đó nh- biến đổi Gabor còn gọi là biến đổi Fourier nhanh STFT (Short Time Fourier Transform) STFT có hàm cửa sổ tr-ợt trên trục thời gian, từ đó áp dụng biến đổi Fourier cho tín hiệu đ-ợc cửa

sổ hoá (windowed signal) STFT cho ta đ-ợc quan hệ giữa thời gian và tần số Nh-ng độ rộng cửa sổ là cố định và tr-ợt trên trục thời gian và nh- vậy không

có hiệu quả trong việc xử lý tín hiêu băng rộng

Phép biến đổi Wavelet đ-ợc phát triển nhằm khắc phục những hạn chế của biến đổi Fourier trong lĩnh vực xử lý tín hiệu Biến đổi Wavelet là một công cụ

để phân chia dữ liệu hoặc những hàm hoặc những toán tử thành những thành phần tần số khác nhau Sự khám phá của Wavelet d-ới dạng những cơ sở trực chuẩn của những không gian hàm (nh- hàm khả tích bình ph-ơng) bởi Meyer, Daubechies, Battle, Lemarié… Từ đó Mallat và Meyer đã tạo ra những khung chuẩn cho việc khai triển wavelet đ-ợc gọi là phân tích đa phân giải, và đã thiết lập ra những liên kết với những ph-ơng pháp đ-ợc sử dụng trong những lĩnh vực khác Daubechies đã xây dựng những bộ lọc Wavelet liên hệ với ph-ơng pháp bộ lọc băng (filter banks) đ-ợc sử dụng trong xử lý tín hiệu số Hiện nay Wavelet là một trong những vấn đề đang đ-ợc nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới quan tâm D-ới những góc nhìn khác nhau

Wavelet đ-ợc quan tâm nh- là cơ sở toán học mới để biểu diễn hàm, là h-ớng nghiên cứu mới của toán học giải quyết những bài toán phức tạp nh- giải ph-ơng trình vi phân, tích phân…, là kỹ thuật mới cho việc phân tích hệ trục thời gian-tần số để ứng dụng trong nhiều lĩnh vực nh- nén tín hiệu mà cụ thể là nén ảnh, khử nhiễu, xử lý tín hiệu rada, điều khiển tự động và nhiều lĩnh vực khác nữa

Để hiểu thêm về Wavelet trong phần đồ án tốt nghiệp này sẽ giới thiệu một cách tổng quan về các cơ sở để xây dựng biến đổi Wavelet và một số ứng dụng của nó

Ch-ơng 1 Những khái niệm cơ bản của Wavelet

Xử lý tín hiệu sử dụng biến đổi Wavelet là một vấn đề mới đang đ-ợc nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới quan tâm đến Biến đổi Wavelet đ-ợc tìm ra để mong muốn khắc phục một số hạn chế của biến đổi Fourier khi nghiên cứu những tín hiệu thay đổi theo thời gian Wavelet là kỹ thuật mới trong việc phân tích trong miền thời gian-tần số để ứng dụng trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác nhau nh- nén tín hiệu, khử nhiễu trong hệ thống viễn thông,

xử lý tín hiệu rađa trong hàng không, điều khiển tự động và nhiều lĩnh vực khác nữa Nội dung chính của ch-ơng này là đ-a ra những khái niệm cơ bản nhất về Wavelet nh-ng tr-ớc tiên cần nhắc lại một phép biến đổi cơ bản đã

đ-ợc sử dụng trong xử lý tín hiệu là biến đổi Fourier

1.1 Biến đổi Fourier

1.1.1 Biến đổi Fourier và các tính chất của nó

Cho một hàm khả tích f(t), ta có biến đổi Fourier của nó là:

hay gäi lµ c«ng thøc tæng hîp Fourier Chó ý r»ng j t

n

n

t f jt

Tích chập: Tích chập của hai hàm số f(t) và g(t) cho bởi:

Biến đổi Fourier ở trên còn gọi là khai triển tích phân liên tục Bên cạnh đó

tuỳ thuộc vào cách khai triển là tổng (một chuỗi) hay tích phân (một phép biến

đổi) mà có ba dạng khai triển Fourier nữa

(i) Khai triển chuỗi liên tục (hay còn gọi là chuỗi Fourier)

Cho một hàm f(t) có chu kì T, tức là f(t)=f(t+T), thì f(t) có thể đ-ợc biểu diễn nh- một kết hợp tuyến tính của các hàm mũ phức với tần số n0 nh- sau:

(1.17) Với:

(1.18)

Khi f(t) liên tục thì chuỗi Fourier sẽ hội tụ về f(t)

(ii) Khai triển tích phân rời rạc (hay còn gọi là biến đổi Fourier rời rạc)

* ) ( 2

1 ) ( )

t g t

2

1 )

( )

2

1)

e k F t

0

) (

1 T

T

t jk dt e

t f T k

Cho chuỗi  f n nZ, biến đổi Fourier rời rạc của nó đ-ợc định nghĩa:

(iii) Khai triển chuỗi rời rạc (hay còn gọi là chuỗi Fourier rời rạc)

Nếu một chuỗi rời rạc có chu kì N, tức là f[n] = f[n+lN], lZ thì biểu diễn

chuỗi Fourier rời rạc của nó là:

đặc biệt là xử lý tín hiệu số Tuy nhiên trong một số tr-ờng hợp nó trở nên khá

phức tạp Xét ví dụ một tín hiệu cục bộ về thời gian bất kì (chẳng hạn nh- f(t)

là hàm xung vuông hay có một thay đổi bất ngờ) thì biến đổi Fourier sẽ là hàm

sinc Để có đ-ợc việc biểu diễn chính xác ta phải mở rộng những thành phần

tần số của hàm sinc trên toàn bộ trục tần số (từ - đến +) Vì vậy việc biểu diễn những tín hiệu cục bộ về thời gian là không hiệu quả

Một cải tiến của biến đổi Fourier đã đ-ợc Gabor đ-a ra gọi là biến đổi Gabor hay biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT (Short-time Fourier Transform)

1.1.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT).

Biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT thực tế là biến đổi Fourier thông th-ờng nh-ng đ-ợc cửa sổ hoá Tín hiệu tr-ớc tiên đ-ợc nhân với một hàm cửa sổ

e n f e

nk

W n f k

nk

W k F N n f

 t e t

g , j t (1.24)

Trong đó (t)là một hàm cửa sổ thích hợp thoả mãn điều kiện có năng l-ợng

hữu hạn, khả tích Nh- vậy STFT f(  ,  )là biến đổi Fourier của f(t) sau khi đã

đ-ợc cửa sổ hoá bằng (t)thông qua dịch chuyển bằng  Một -u điểm lớn của

STFT là nếu tín hiệu có hầu hết năng l-ợng tập trung trong khoảng thời gian

[-T,T] và khoảng tần số [-,] thì STFT sẽ đ-ợc xác định trong vùng [-T,T ][-,] và gần nh- bằng 0 trong các khoảng thời gian và khoảng

Còn cửa sổ Gaussian là:

 ( )    t2  ,   0

e

t (1.28) Trong đó  điều khiển độ rộng, hay sự trải ra về mặt thời gian và  là hệ số

chuẩn hoá Biến đổi Fourier của nó W() cho bởi:

Biến đổi STFT ở trên đ-ợc hiểu là liên tục vì những thông số , là liên tục

Khi những thông số (,) đ-ợc rời rạc thành (m0 ,n0) thì biến đổi đó đ-ợc gọi là biến đổi STFT rời rạc Nếu hàm cửa sổ là một bộ lọc thông thấp với tần

số cắt b hay băng thông 2b thì 0 phải chọn nhỏ hơn 2b và 0 nhỏ hơn /b

để có đ-ợc lấy mẫu thích hợp

Một hạn chế của biến đổi STFT là do hàm cửa sổ có kích th-ớc không đổi ở mọi tần số nên độ phân giải khi phân tích là giống nhau ở tất cả các vị trí trong mặt phẳng thời gian-tần số, tức là không có khả năng thay đổi độ rộng cửa sổ ứng với các tần số khác nhau

Nh- vậy tuy đã khắc phục đ-ợc phần nào những hạn chế của biến đổi Fourier thông th-ờng nh-ng STFT vẫn còn một số nh-ợc điểm Các nh-ợc điểm này sẽ

đ-ợc loại bỏ hoàn toàn trong biến đổi Wavelet

1.2 Biến đổi Wavelet

1.2.1 Biến đổi Wavelet liên tục

1.2.1.1 Phân tích và tổng hợp

T-ơng tự nh- STFT, biến đổi Wavelet cũng biến đổi một hàm thời gian thành

hàm hai chiều của a và b (thay cho ,  trong STFT) Tham số a gọi là thang tỉ

lệ, nó chia tỉ lệ một hàm bằng cách nén hay giãn hàm đó và b là dịch chuyển

của hàm wavelet trên toàn bộ trục thời gian

1 )



Xét hàm f(t) thoả mãn điều kiện khả tích bình ph-ơng, tức là f(t)L 2 (R) thì

biến đổi Wavelet liên tục của nó đ-ợc định nghĩa nh- sau:

( , ) 1 *( )f(t)dt , (t),f(t)

a

b t a

b a CWT f       b (1.30)

trong đó aR + và bR và:

,( ) 1 ( )

a

b t a

(t) là wavelet cơ sở (hay wavelet mẹ) còn 1 ( )

a

b t a



 là các hàm cơ sở wavelet hay còn gọi là wavelet con

Nh- vậy với biến đổi Wavelet độ phân giải về thời gian và độ phân giải về tần

số có thể trao đổi với nhau Tức là tại tần số cao thì biến đổi Wavelet là tinh hơn (sharper) về thời gian trong khi ở tần số thấp thì lại tinh hơn về mặt tần số Công thức biến đổi Wavelet ng-ợc là:

1 ) (

a

dadb t b a CWT C

t f

(1.33)

Đây chính là điều kiện có thể chấp nhận đ-ợc trong (t) Để C<  thì phải

có (0)=0, tức là:

( dt t)   ( 0 )  0 (1.34) Công thức (1.32) có thể đ-ợc chứng minh nh- sau:

áp dụng tính chất của biến đổi Fourier ta có biến đổi Fourier của  ,b(t)là:

, (  ) a e jb (a )

(1.35) Theo công thức Parseval trong (1.15) có đ-ợc:

d F dt

t f t b

a CWT

jb

b b

f

)()(2

)()(2

1)

()()

,(

*

* ,

* ,

a a

db t d

e F a

a a

J

jb b a

b a jb

) ( )

( ) ( 2

) ( )

( ) ( 2

) (

1 )

b t a

db e t

t j ab

j t

j

jb jb

b a

2 ) ( 2 (1.40) Tiếp tục tính tích phân (1.32) theo a (tích phân này đ-ợc nhân với C):

F a

da a

2 2

) ( )

( 2

1 )

( (1.41) Bằng cách đổi biến a'=a thì:

a da

a

a

' '

) ' ( )

Tuyến tính: Tính chất này của CWT có đ-ợc là dựa trên tính chất tuyến tính

) ' ( ) ' ' ( 1

) ' ( ) (

1 ) , (

'

b b a CWT dt

t f a

b b t a

dt b t f a

b t a

b a CWT

f

f





Tính tỉ lệ: Nếu f(t) có CWT f (a,b) là biến đổi Wavelet liên tục của nó

a CWT b

a CWT f'( , ) f , (1.46) Chứng minh:

(1.47)

Bảo toàn năng l-ợng: CWT cũng có tính chất bảo toàn năng l-ợng giống với

công thức Parseval của biến đổi Fourier

Định lý: Cho hàm f(t)L 2 (R) và biến đổi Wavelet của nó là CWT f (a,b) thì ta

)'()

'(

)()(

1),(

'

s

b s

a CWT dt

t f a

b st a

s

dt s

t f a

b t s

a b

a CWT

Hình 1.3 Tính chất dịch của biến đổi Wavelet liên tục Một phép dịch của

hàm số kéo theo sự dịch của biến đổi Wavelet

1)

(

a

dadb b

a CWT C

dt t



Các tính chất cục bộ: Biến đổi Wavelet có một vài tính chất cục bộ Trong

tr-ờng hợp đặc biệt tại tần số cao tính cục bộ về thời gian là "tinh" hơn cho phép nó phân biệt với các phép biến đổi truyền thống nh- biến đổi Fourier

Cục bộ về thời gian: Xét một xung Dirac tại thời điểm t 0, (t-t 0 ) và wavelet

(t) Biến đổi Wavelet liên tục của xung Dirac là:

(1.53)

Với hệ số tỉ lệ a 0 cho tr-ớc, ứng với một đ-ờng nằm ngang trong miền Wavelet, thì phép biến đổi là đồng nhất với hàm wavelet đ-ợc lấy tỉ lệ và nghịch đảo về thời gian đồng thời tập trung quanh vị trí của hàm Dirac Hình

( ) ( 2

| )

, (

a

da db d

e F a a

a

dadb b

a

da db b p

a

da db d e P a

dadb b

2

2 2

) ( 2

1

) (

) ( 2

1 )

, (

a

da d F a

2 2

2 2

)(2

1)

()(2

dadb b

a CWT

2 2

2

2

) ( )

( 2

1 )

, (

b t a b a

0

1 )

( ) (

1 ) ,



1.5a chỉ ra tính chất định vị này Rõ ràng với các giá trị a nhỏ biến đổi

Wavelet đã "phóng to" hàm Dirac với khả năng cục bộ rất tốt đối với các giá trị tỉ lệ rất nhỏ Hình 1.5b vẽ tr-ờng hợp của một hàm nhảy bậc, cũng có tính

cục bộ t-ơng tự nh-ng khác nhau về biên độ

Cục bộ về tần số: Xét hàm wavelet sinc (t-ơng ứng với bộ lọc thông dải lý t-ởng) có biên độ phổ bằng 1 đối với ||(,2) Với một hình sin phức có

biên độ bằng 1 tại 0 thì wavelet có tần số cao nhất sẽ đi qua hình sin đó có hệ

số tỉ lệ a min = /0 và hệ số khuếch đại  / 0 Trong khi wavelet với tần số

thấp nhất đi qua hình sin đó có a max = 2/0 và hệ số khuếch đại 2  / 0 Hình 1.6a vẽ các bộ lọc băng octave còn hình 1.6b minh hoạ biến đổi Wavelet

liên tục của một hình sin sử dụng wavelet sinc

Thể hiện của tính chất đều: Trong tính cục bộ về thời gian chúng ta đã thấy

đ-ợc khả năng "phóng to" và "thu nhỏ" của biến đổi Wavelet Nó cho phép thể

hiện tính đều cục bộ của tín hiệu, một yếu tố làm cho

a

t  t 0

2

0 0

a

t 

2

0 0

a

t  t 0

2

0 0

-a chuộng hơn biến đổi Fourier Trong biến đổi Fourier một sự không liên tục

trong một hàm "trơn" sẽ tạo ra suy giảm hệ số1/|| trong biến đổi Fourier của

hàm đó Biến đổi Fourier cục bộ là có thể chỉ ra tính đều cục bộ trong giới hạn một cửa sổ nh-ng không thể cục bộ hơn đ-ợc Còn với biến đổi Wavelet do tính chất "phóng to", "thu nhỏ" sẽ cách ly phần không liên tục khỏi hàm và thực hiện biến đổi Wavelet cho phần còn lại

Xét hình 1.5a và 1.5b, trong tr-ờng hợp thứ nhất giá trị tuyệt đối của biến đổi

Wavelet bằng |a| -1/2 khi tiến tới hàm Dirac Trong tr-ờng hợp thứ hai, rõ ràng

biến đổi Wavelet là bằng với một hàm hình mũ có chiều cao -1/2.a 0 1/2 và rộng

từ t 0 -a 0 /2 tới t 0 +a 0 /2

Khôi phục Kernel: Nh- đã biết CWT là biểu diễn d- vì nó là khai triển hai

chiều của một hàm một chiều Xét không gian V của các hàm khả tích bình ph-ơng trong mặt phẳng (a,b) đối với dadb/a 2 Rõ ràng rằng chỉ có một không

gian con H thuộc V là t-ơng ứng với biến đổi Wavelet của các hàm thuộc

a

dadb b a F b a b a K C b a F



(1.54) trong đó

a

1       0

amax amax  amin amin 

  2  0 /2  0 2 0

Hình 1.6 Tính cục bộ của biến đổi Wavelet liên tục sử dụng Wavelet sinc

(a) Đồ thị phổ của Wavelet và các dạng tỉ lệ của nó

(b) Đại l-ợng khác 0 của biến đổi Wavelet liên tục

b b a

b a b a

K( 0, 0, , )   0,0,  , (1.55)

là công thức khôi phục Kernel

Chứng minh: Để chứng minh (1.54) cần chú ý rằng K(a 0 ,b 0 ,a,b) là liên hợp phức của biến đổi Wavelet của

, , ,

0 ,

0 a b CWT

b a b a

K  a b (1.56)

0 0 0

Do đó F(a,b) là biến đổi Wavelet liên tục nếu và chỉ nếu nó thoả mãn công

thức khôi phục Kernel

1.2.1.3 Wavelet Morlet

Wavelet Morlet là một ví dụ của biến đổi Wavelet liên tục sử dụng hàm mũ phức đ-ợc cửa sổ hoá cho bởi công thức:

2 /

2 0

2

1 ) (t  ejt et



 (1.58)

và

2 / ) ( 2

) (   

 e (1.59)

Hệ số 1 / 2 để thoả mãn ||(t)|| = 1 Tần số trung tâm 0 th-ờng đ-ợc chọn

để cực đại thứ hai của Re{(t)}, t > 0 bằng nửa cực đại thứ nhất (tại t = 0):

336 , 5 2 ln

2

0   

 (1.60) Thực tế cho thấy  (  )0  0nh-ng vì 7

0 7 10 )

(    

 rất nhỏ nên vẫn đ-ợc xem là một hàm wavelet nh-ng không đ-ợc ứng dụng trong thực tế

),(),(,

),()

,(

1)

,(),,,(

1

0 0 0

0 ,

2

* 2

0 0

0 0

0 , 0

b a F b a CWT f

a

dadb b a CWT b a CWT C

a

dadb b a F b a b a

K

C

f b

a

f

b a

1.2.2 Biến đổi Wavelet rời rạc

Vì các hàm wavelet a,b (t) đ-ợc định nghĩa đối với mọi điểm trong không gian (a,b) nên rõ ràng việc áp dụng những wavelet cơ sở a,b (t) là rất d- thừa Để giảm bớt sự d- thừa đó các thông số a, b có thể đ-ợc rời rạc theo công thức

)

0

0 0 2

/ 0

a

a nb t a

m m

Hình 1.8 minh hoạ các hàm wavelet ứng với các giá trị m khác nhau: các

wavelet tần số cao và hẹp đ-ợc dịch bằng các b-ớc nhỏ hơn để phủ toàn bộ trục toạ độ, trong khi các wavelet tần số thấp và rộng thì đ-ợc dịch bằng các b-ớc lớn hơn

Ta thấy rằng khi a 0 tiến tới 1 và b 0 rất nhỏ thì có đ-ợc công thức trong tr-ờng

hợp biến đổi liên tục Tr-ờng hợp đặc biệt khi a 0 = 2 và b 0 = 1 ta đạt đ-ợc một

Hình 1.7 Wavelet Morlet

(a) Đồ thị trong miền thời gian (b) Phổ biên độ

 t dt f nb t a a

n m DPWT f m  m



),

l-ới lấy mẫu nhị nguyên Các tính chất cụ thể của biến đổi Wavelet rời rạc sẽ

đ-ợc trình bày lần l-ợt trong các ch-ơng tiếp theo

m=0 Dịch n

m=1

m=2

Tỉ lệ m

(b)

Hình 1.8 (a) L-ới lấy mẫu và (b) tập hợp các hàm (tr-ờng hợp a0 21/2,b0  1)

ứng với các giá trị m khác nhau.

Ch-ơng 2 Những nguyên tắc cơ bản của phân tích

tín hiệu

Trong ch-ơng này sẽ đ-a ra những nguyên tác cơ bản nhất trong phân tích tín hiệu dựa trên ph-ơng pháp khai triển tuyến tính của tín hiệu hay các hàm theo các hàm cơ sở Ch-ơng này cũng đ-a ra những khái niệm về không gian Hilbert, cơ sở trực chuẩn, hình chiếu trực giao, xấp xỉ tốt nhất… Đây chính là cơ sở cho các nội dung sẽ đ-ợc thảo luận trong các ch-ơng tiếp theo

2.1 Không gian Hilbert

2.1.1 Tổng quan

Chúng ta sẽ phân tích khai triển tuyến tính của tín hiệu hay hàm số Xét tín

hiệu x bất kì trong không gian S, trong đó S có thể là hữu hạn chiều hay vô hạn chiều Với một tập hợp các tín hiệu {i } iZ cơ bản trong không gian S thì x có

thể đ-ợc viết bởi một kết hợp tuyến tính nh- sau:





i i i

x   (2.1)

Tập hợp {i } là đặc tr-ng đầy cho không gian S nếu tất cả các tín hiệu xS đều

có thể khai triển đ-ợc nh- (2.1) Lúc đó sẽ tồn tại một tập hợp đối ngẫu  ~i iZ

thoả mãn các hệ số khai triển trong (2.1) có thể đ-ợc tính theo:

   





n i

khi x và  ~i là các hàm thực và liên tục Biểu diễn ở trên gọi là tích vô h-ớng

của  ~i và tín hiệu x, kí hiệu là ~i,x Tr-ờng hợp đặc biệt khi tập hợp {i } là trực chuẩn, đầy đủ thì ta có một cơ sở trực chuẩn của S và cơ sở này và đối

ngẫu của nó là đồng nhất, tức là i ~i hay:

 i j

j

i    

 , (2.4) Trong đó [i] bằng 1 nếu i = 0 và bằng 0 với các tr-ờng hợp còn lại Nếu tập

hợp là đầy đủ và các véctơ i độc lập tuyến tính nh-ng không trực chuẩn thì

chúng ta có một cơ sở nhị trực giao Có sở nhị trực giao và đối ngẫu của nó

một biểu diễn d- gọi là một frame

Phần phân tích ở trên là sử dụng cho các tín hiệu liên tục Tuy nhiên đối với tr-ờng hợp rời rạc cũng có kết quả t-ơng tự Một phân tích cục bộ có thể đạt

đ-ợc bằng cách sử dụng biến đổi khối trong đó một dãy sẽ đ-ợc phân chia

thành các khối liền kề nhau, mỗi khối gồm N mẫu và thực hiện biến đổi độc

lập với từng khối

Có một không gian thoả mãn đ-ợc các phân tích ở trên, đó là không gian Hilbert

2.1.2 Không gian Hilbert

Xét các không gian hữu hạn chiều R n (không gian thực) và C n (không gian

phức) Cho một tập hợp véctơ {v k } trong các không gian này thì sẽ có một số

câu hỏi quan trọng đặt ra:

(i) Tập hợp {v k } có bao hết không gian R n hay C n , tức là mọi véctơ trong R n

hay C n có thể viết nh- một kết hợp tuyến tính của các véctơ trong {v k }?

(ii) Các véctơ này có độc lập tuyến tính không, tức là không tồn tại một

véctơ nào trong {v k } có thể đ-ợc viết nh- một tổ hợp tuyến tính của các

véctơ còn lại ?

(iii) Cách thức để tìm các cơ sở bao hết không gian cho tr-ớc, đặc biệt là cơ

sở trực chuẩn

(iv) Cho tr-ớc một không gian con của R n hay C n và một véctơ bất kì , làm

thế nào để xác định đ-ợc một bình ph-ơng xấp xỉ gần nhất của véctơ đó trong không gian con?

Có hai khái niệm sẽ đ-ợc dùng khi thảo luận về các câu hỏi này là:

(i) Độ dài hay chuẩn của một véctơ (ví dụ trong không gian R n ):

2 / 1

x

x (2.6) (ii) Tính trực giao của một véctơ với một véctơ khác (hay một tập hợp các

véctơ):

0 ,y 

x (2.7)

Với tích vô h-ớng đ-ợc định nghĩa nh- sau:





 n

i i

i y x y

x

1

, (2.8) Tr-ớc đây các lý thuyết đ-ợc xây dựng trên không gian hữu hạn chiều, tuy nhiên các khái niệm vẫn đ-ợc tổng quát cho không gian vô hạn chiều nh-ng cần hạn chế độ dài các véctơ Điều này dẫn tới khái niệm về không gian

Hilbert Ví dụ không gian của các chuỗi khả tích bình ph-ơng, kí hiệu là l 2 (Z)

là không gian véctơ "C" với độ dài hữu hạn Hay một tập hợp các véctơ bao

l 2 (Z) là n ,k kZ Khái niệm chuẩn và tính trực giao có thể mở rộng cho các hàm khi thoả mãn tồn tại một tích vô h-ớng giữa các hàm Ví dụ của các

véctơ trực giao là tập hợp các hàm sin và cos, sin(nt) và cos(nt), n=0,1… trong khoảng [-,]

Trong phần tiếp theo sẽ giới thiệu các không gian véctơ, đặc biệt là không gian Hilbert

2.1.2.1 Không gian véctơ và tích vô h-ớng

Chúng ta bắt đầu với một định nghĩa cơ bản về không gian véctơ

Đinh nghĩa: Một không gian véctơ của tập hợp các số thực hay phức (R hay C)

là một tập hợp của các véctơ E cùng với phép cộng và phép nhân vô h-ớng, và nếu với các véctơ x, y bất kì trong E và ,  thuộc C hay R thì thoả mãn các

tính chất d-ới đây:

(i) Giao hoán: x + y =y + x

(ii) Kết hợp: (x+y)+z=x+(y+z), ()x=(x)

(iii) Phân phối: (x+y)=x+y, (+)x=x+x

(iv) Cộng đồng nhất: tồn tại véctơ 0 trong E thoả mãn x+0=x với mọi x

trong E

(v) Cộng với nghịch đảo: với mọi x trong E tồn tại một véctơ (-x) cũng trong

E thoả mãn x+(-x)=0

(vi) Nhân đồng nhất: 1.x=x, với mọi x thuộc E

Thông th-ờng x, y là các dãy hay các bộ n phần tử và:

x+y = (x 1 ,x 2 ,…)+(y 1 ,y 2 ,…) = (x 1 +y 1 ,x 2 +y 2 ,…)

x = (x 1 ,x 2 ,…) = (x 1 ,x 2 ,…)

Một tập hợp con M của E là một không gian con của E nếu:

(i) Với mọi x, y thuộc M thì x+y cũng thuộc M

(ii) Với mọi x thuộc M và  thuộc C hay R thì x thuộc M

Cho S  E, bao (span) của S là không gian con thuộc E chứa chứa tất cả các kết hợp tuyến tính của các véctơ trong S:

i i

i

i x C hay R x S S

span

1

,

| )

(   (2.9)

Các véctơ x 1 ,… x n gọi là độc lập tuyến tính nếu 1  0

n

i i x i đúng chỉ khi i =0 với mọi i Còn không chúng gọi là phụ thuộc tuyến tính Một tập hợp vô hạn các véctơ x 1 , x 2 … là độc lập tuyến tính nếu mọi tập hợp k véctơ trong đó là độc

lập tuyến tính

Một tập hợp con {x 1 ,…, x n } của không gian véctơ E đ-ợc gọi là một cơ sở của E khi E = span(x 1 ,…, x n ) và x 1 ,…, x n là độc lập tuyến tính Khi đó E có n chiều

Định nghĩa: Một tích vô h-ớng trong không gian véctơ E là một hàm đầy đủ

các giá trị .,. đ-ợc định nghĩa trong EE và thoả mãn các tính chất sau:

(i) x+y,z=x,z+y,z

(ii) x,y=x,y

(iii) x,y*=y,x

(iv) x,x 0 và x,x = 0 khi và chỉ khi x  0

Từ (i) và (ii) rõ ràng tích vô h-ớng là độc lập tuyến tính Đối với các hàm phức thì tích vô h-ớng đ-ợc định nghĩa:



 f t g t dt g

x, * (2.11)

Và chuẩn của một véctơ đ-ợc định nghĩa theo tích vô h-ớng là:

x x

x  , (2.12)

Khoảng cách giữa hai véctơ x và y chính là chuẩn của hiệu hai véctơ, ||x-y|| Một véctơ x đ-ợc gọi là trực giao với tập hợp véctơ S={y i } nếu x,y i = 0 với mọi i và kí hiệu là xS Mở rộng ra, hai không gian con S 1 và S 2 gọi là trực

giao nếu tất cả các véctơ trong S 1 là trực giao với tất cả các véctơ trong S 2 và

viết là S 1S 2 Một tập hợp các véctơ {x 1 , x 2 ,…} đ-ợc gọi là trực giao nếu x ix j khi i  j Nếu các véctơ đ-ợc chuẩn hoá để có chuẩn đơn vị thì chúng ta sẽ có một hệ thống trực chuẩn, hệ thống này thoả mãn:

x i ,x j = i-j

Các véctơ trong hệ thống trực chuẩn là độc lập tuyến tính vì khi i x i =0 thì 0=x j ,i x i = ix j ,x i = i Một hệ thống trực chuẩn trong không gian véctơ

S là một cơ sở trực chuẩn nếu nó bao hết S

tụ về một véctơ trong E thì E đ-ợc gọi là đầy đủ

Nh- vậy một không gian tích vô h-ớng đầy đủ đ-ợc gọi là không gian Hilbert Cho một không gian Hilbert E và không gian con S, phần bù trực giao của S trong E đ-ợc định nghĩa là tập hợp {xExS}và kí hiệu là S Giả thiết rằng S

là đóng, tức là tất cả các dãy véctơ trong S là hữu hạn, thì nếu cho tr-ớc một véctơ y trong E sẽ tồn tại duy nhất một véctơ v trong S và một véctơ w trong Sthoả mãn y = x + w Nh- vậy chúng ta có thể viết:

E = S S

hay E chính là tổng trực tiếp của không gian con và phần bù trực giao của

không gian con đó

Sau đây sẽ là một vài ví dụ của không gian Hilbert

Các không gian thực (phức): Không gian phức C n là tập hợp của tất cả các bộ

x=(x 1 ,…, x n ), với x i hữu hạn trong C Tích vô h-ớng đ-ợc định nghĩa nh- sau:





 n

i i

i y x y

x x

x x

Không gian của các dãy khả tổng bình ph-ơng: Trong xử lý tín hiệu rời rạc

chúng ta th-ờng nhắc đến các dãy x[n] có tổng bình ph-ơng hữu hạn hay năng l-ợng hữu hạn, trong đó x[n] th-ờng có giá trị phức và n thuộc Z Một dãy

x[n] nh- vậy chính là một véctơ trong không gian Hilbert l 2 (Z) Tích vô h-ớng

n x x

Không gian của các hàm khả tích bình ph-ơng: Một hàm f(t) định nghĩa

trong R đ-ợc gọi là thuộc không gian Hilbert L 2 (R) nếu f (t)2 khả tích và:

f

f , ( )2 (2.19) Không gian này là vô hạn

2.1.2.3 Cơ sở trực chuẩn

Trong tất cả các cơ sở của một không gian Hilbert, cơ sở trực chuẩn đóng một

vai trò rất quan trọng

Trực giao hoá Gram-Schmidt: Cho một tập hợp các véctơ độc lập tuyến tính

{x i } thuộc E, có thể xây dựng một tập hợp trực chuẩn {y i } dựa trên {x i } nh- sau:

Bắt đầu từ:

1

1 1

x

x

y  (2.20) Các véctơ còn lại đ-ợc tính nh- sau:

v x y

k k

k k

k (2.21) Trong đó :

i k i

k y x y

v (2.22)

Véctơ v k chính là hình chiếu trực giao của x k vào không gian con đ-ợc tạo nên bởi các véctơ đã đ-ợc trực giao tr-ớc đó

Bất đẳng thức Bessel: Cho một hệ thống các véctơ trực chuẩn trong E, thì mọi

véctơ y thuộc E đều tuân theo bất đẳng thức d-ới đây, gọi là bất đẳng thức Bessel:





k

k y x

y 2 , 2 (2.23)

Nếu hệ thống trực chuẩn là đầy đủ thì chúng ta có một cơ sở trực chuẩn và

quan hệ Bessel trở thành đẳng thức

Cơ sở trực chuẩn: Một tập hợp các véctơ S = {x i } đ-ợc coi là cơ sở trực chuẩn

nếu nó là trực chuẩn và đầy đủ, nghĩa là tất cả các véctơ trong không gian đều

có thể đ-ợc biểu diễn nh- một kết hợp tuyến tính của các véctơ thuộc S Hay nói cách khác một hệ thống trực chuẩn {x i } đ-ợc gọi là một cơ sở trực chuẩn của E nếu với mọi y thuộc E đều có:





k k

k x

y  (2.24) Các hệ số k trong khai triển đ-ợc gọi là các hệ số Fourier của y (đối với {x i })

là x nx và y ny thì x n ,y nx,y) và tính trực giao của các véctơ x k Cho y

biểu diễn nh- (2.24) thì:

k

n i i i k n

Với không gian hữu hạn chiều (C n hay R n) một tập hợp trực chuẩn có kích

th-ớc n chính là một cơ sở trực giao Định lý d-ới đây sẽ nêu ra một số phát

biểu cho phép xác định một hệ thống trực chuẩn là một cơ sở

Định lý: Cho một hệ thống trực chuẩn {x 1 , x 2 ,…} trong E, các phát biểu sau đây

là t-ơng đ-ơng:

(i) Tập hợp các véctơ {x 1 , x 2 ,…} là một cơ sở trực chuẩn của E

(ii) Nếu x, y = 0 với i = 1, 2,… thì y = 0

(iii) Span({x i }) bao hết E, tức là mọi véctơ trong E đều là giới hạn của các

dãy véctơ trong span({x i })

(iv) Với mọi y trong E đều có:



i

i y x

y 2 , 2 (2.26)

Đây gọi là đẳng thức Parseval

(v) Với mọi y 1 và y 2 trong E thì:



i

i

i y x y x

y

y1, 2 , 1 * , 2 (2.27)

và th-ờng gọi là đẳng thức Parseval tổng quát

Hình chiếu trực giao và xấp xỉ bình ph-ơng gần nhất: Một véctơ trong

không gian Hilbert E th-ờng đ-ợc xấp xỉ bằng một véctơ nằm trong không gian con S Giả thiết rằng E là có thể phân chia và S chứa một cơ sở trực chuẩn {x 1 , x 2 ,…} thì hình chiếu trực giao của yE vào trong S sẽ là:



i

i

i y x x

yˆ , (2.28) Chú ý rằng phần sai khác d  yyˆ thoả mãn dS và trong tr-ờng hợp đặc biệt thì dyˆ và khi đó:

y 2  yˆ 2  d 2

Hình 2.1 minh hoạ tr-ờng hợp này

Một tính chất quan trọng trong khái niệm xấp xỉ là ý nghĩa về bình ph-ơng gần nhất, tức là:

bởi {x 1 , x 2 ,…, x k }với các hệ số {1 , 2 ,…k } trong đó i =x i ,y thì xấp xỉ ˆ (k 1 )

y

đ-ợc xác định nh- sau:

1 1

) ( ) 1 (

, ˆ

ˆ k  k  k k

x y x y

y (2.29) Công thức này chính là phần xấp xỉ tr-ớc đó cộng với hình chiếu lên véctơ

đ-ợc thêm vào

2.1.2.4 Các cơ sở thông th-ờng

Nh- đã biết các cơ sở trực chuẩn là rất tiện lợi khi sử dụng, tuy nhiên các tr-ờng hợp khác nh- cơ sở không trực giao hay nhị trực giao cũng rất quan trọng Một hệ thống x ~ i,x i tạo nên một cặp cơ sở nhị trực giao của không gian Hilbert E khi và chỉ khi:

(i) Với mọi i, j trong Z thì:

 i j x

x i,~j    (2.30) (ii) Với mọi y thuộc E, tồn tại các hệ số d-ơng A,B,A~,B~thoả mãn:

2 2

2

x y

A

k

 (2.32) Khi đó công thức khai triển tín hiệu trở thành:

k

k y x x y x x

vậy gọi là frame

Một họ các hàm {x k } trong một không gian Hilbert H đ-ợc gọi là một frame nếu tồn tại hai hằng số A > 0, B <  thoả mãn rằng với mọi y trong H thì:

A y 2 x ,y 2 B y 2

k

A, B gọi là các giới hạn frame Khi dấu bằng xảy ra chúng ta có frame kín và

k k

k y x x A

y 1 , (2.35) Công thức này gần giống với công thức khai triển trong tr-ờng hợp cơ sở trực chuẩn Nhìn chung một frame không tạo nên một cơ sở trực chuẩn vì các véctơ

là không độc lập tuyến tính Nếu tất cả các véctơ trong một khung kín có

chuẩn đơn vị thì hệ số A cho biết tỉ lệ d- (ví dụ khi A=2 thì số véctơ trong

frame nhiều gấp 2 lần số véctơ cần thiết để bao hết không gian) Đặc biệt khi

A=B=1 và ||x k ||=1 với mọi k thì {x k } tạo nên một cơ sở trực chuẩn

Do phụ thuộc tuyến tính nên các khai triển là không duy nhất Xét tập hợp

{x 1 ,x 2 ,…}, do phụ thuộc tuyến tính nên có  

ii x i 0 với không phải tất cả các

i đều bằng 0 Nếu viết y theo:



 i i x i

y  (2.36) thì có thể cộng i vào i mà không hề làm thay đổi giá trị của khai triển Khai triển (2.35) chỉ là duy nhất với ý nghĩa khi tối thiểu hoá chuẩn của các khai triển Mỗi frame đều tồn tại duy nhất một frame đối ngẫu (trong tr-ờng hợp frame kín thì frame và đối ngẫu của nó là trùng nhau)

Các giới thiệu về khai triển tín hiệu trên đây chỉ có ý nghĩa khái quát, các khai triển đặc biệt nh- khai triển wavelet hay khai triển Fourier sẽ đ-ợc xét tới ở phần sau

2.2 Xử lý tín hiệu rời rạc

Việc xử lý tín hiệu là bao gồm cả xử lý tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc nh-ng trong phần này sẽ tập trung vào tín hiệu rời rạc đồng thời chỉ xét đối với các hệ thống biến đổi theo thời gian có chu kì hoặc bất biến về mặt thời gian

Biến đổi Fourier của dãy xung này là:

T

k T

k T

F

* ) ( )

Từ công thức này chúng ta có định lý lấy mẫu Nếu tần số lấy mẫu s =2/T s lớn hơn 2m (trong đó F() bị giới hạn bởi m) thì có thể trích ra một phần của phổ mà không hề có hiện t-ợng chồng lấn Ng-ợc lại nếu s nhỏ hơn 2m thì

ví dụ với k=0 và k=1, F() và F(-2/T) sẽ chồng lên nhau và không thể khôi

phục đ-ợc

Định lý lấy mẫu: Nếu hàm f(t) liên tục và có giới hạn dải thông là m thì f(t)

đ-ợc định nghĩa duy nhất bởi các mẫu của nó đ-ợc lấy tại 2 lần m hay

f(n/m ) Tần số lấy mẫu nhỏ nhất là s =2m và T=/m làchu kì lấy mẫu lớn

nhất Khi đó f(t) có thể đ-ợc khôi phục theo công thức nội suy nh- sau:

nT f t

f( ) ( ) sin ( ) (2.41) trong đó:

T t

T t t

c T

/

) / sin(

) ( sin

Có hai ph-ơng pháp thay đổi tốc độ lấy mẫu là lấy mẫu tăng (upsampling) và lấy mẫu giảm (downsampling)

2.2.2 Xử lý tín hiệu rời rạc nhiều tốc độ

Xử lý tín hiệu rời rạc nhiều tốc độ cho phép tạo ra các dãy rời rạc tại các tốc độ lấy mẫu khác nhau

2.2.2.1 Thay đổi tốc độ lấy mẫu

Lấy mẫu giảm đối với một dãy x[n] bằng hệ số nguyên N sẽ tạo ra một dãy y[n] nh- sau:

y[n] = x[Nn] (2.43) Nghĩa là tất cả các mẫu có chỉ số không chia hết cho N sẽ bị loại bỏ Trong

1 ) (

N k

N k j j

e X N e

Y    (2.44)

Nh- vậy phổ đã bị giãn ra N lần và xuất hiện thêm (N-1) phiên bản alias tại các số nguyên lần của 2 Các phiên bản này chính là bản sao của phổ gốc nh-ng bị dịch đi về tần số Nghĩa là các thành phần tần số thấp sẽ đ-ợc sao lại tại các tần số alias i = 2i/N giống nh- ở tần số cao (với một dịch chuyển thích hợp) Do vậy một số hình sin tần số cao có thể có một alias tần số thấp Trong miền z công thức lấy mẫu giảm là:

) (

1 ) (

N k

N k

N z W X N z

Y (2.45)

N e

W   2/ Để chứng minh công thức này ta cần chú ý rằng biến đổi

Fourier chính là biến đổi z thực hiện trên vòng tròn đơn vị nên chỉ cần thay e j

bằng z trong (2.44) ta sẽ có đ-ợc (2.45)

1

(a)  j

e X

  2 3 4 5 6

5/9 Y e j

(b) 1/3 X e j/3/ 3 ( 2 3 / 3

Hình 2.2 Lấy mẫu giảm 3 trong miền tần số

(a) Phổ gốc (b) 3 bản sao bị trải ra và tổng  j

e

Y

Hình 2.2 vẽ cho tr-ờng hợp N = 3 Rõ ràng để tránh đ-ợc alias thì lấy mẫu giảm N phải đ-ợc đặt tr-ớc bởi bộ lọc thông thấp lý t-ởng có tần số cắt /N

nh- trong hình 2.3a Đáp ứng xung của bộ lọc này là:

   N 

N n j

N n

N n d

e n

/ sin 2

Ng-ợc với lấy mẫu giảm là lấy mẫu tăng bởi hệ số nguyên M Lấy mẫu tăng

đạt đ-ợc bằng cách chèn thêm M-1 giá trị 0 vào giữa các mẫu liên tiếp của dãy

Z k kM n M n x n y

'

0

, /

(2.47)

Trong miền Fourier:

) ( ) (e j X e jM

Y  (2.48)

Và trong miền z là:

) ( ) (z X z M

Y  (2.49)

Đối với lấy mẫu tăng phổ bị nén lại M lần Bên cạnh các phổ tại số nguyên lần

2 còn có các ảnh phổ xen giữa xuất hiện do việc chèn thêm các mẫu 0 Để

loại bỏ các ảnh phổ này cần sử dụng một bộ lọc thông thấp có tần số cắt /M

nh- trong hình 2.3b Đáp ứng xung của bộ lọc này là:

 

M n

M n n

h

/

/ sin

Thay đổi tốc độ lấy mẫu bởi M/N có thể thực hiện đ-ợc bằng cách lấy mẫu

tăng và lấy mẫu giảm đồng thời với một bộ lọc nội suy đặt ở giữa nh-