Wavelet và ứng dụng trong nén tín hiệu

Chương 2: Giới thiệu sóng con như là một công cụ phân tích nhiều mức, miêu tả đặc tính thời gian - tần số của biến đổi sóng con và phân biệt với đặc tính của biến đổi Fourier thời gian

WAVELET VÀ ỨNG DỤNG TRONG NÉN TÍN HIỆU

LUẬN VĂN THẠC SỸ CHUYÊN NGÀNH: ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG

Hà Nội – 2004

-

TRIỆU MẠNH HOÀN

WAVELET VÀ ỨNG DỤNG TRONG NÉN TÍN HIỆU

LUẬN VĂN THẠC SỸ CHUYÊN NGÀNH: ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN PHƯƠNG

Hà Nội – 2004

Chương 2 Sóng con và phân tích sóng con đa phân giải 5

2.1 Tại sao lại cần phân tích đa phân giải? 5

2.2 Biến đổi sóng con và Biến đổi Fourier 6

2.2.1 Biến đổi Fourier thời gian ngắn 6

2.2.2 Biến đổi sóng con 10

Chương 3 Lý thuyết sóng con 13

3.1 Sóng con trực giao 13

3.1.1 Sự biểu diễn miền thời gian 13

3.1.2 Sự biểu diễn miền Fourier: 17

3.1.3 Sóng con trực giao của Daubechie 18

3.2- Sóng con lưỡng trực giao 20

3.2.1- Sự biểu diễn miền thời gian 20

3.2.2 Biểu diễn miền Fourier 21

3.3 Biến đổi sóng con trực giao rời rạc 22

3.4 Biến đổi sóng con rời rạc lưỡng trực giao 26

Chương 4 Đánh giá tích phân sóng con 30

4.1 Các hệ số hàm phân giải và sóng con 31

4.2 Mô men của các hàm phân giải và sóng con 34

5.1 Sự ngoại suy sóng con cho phương trình possion 1 chiều 43

5.1.1 Ngoại suy sóng con ở đường biên trái 46

5.1.2.Ngoại suy sóng con ở đường biên phải 52

5.2 Sự hội tụ 55

5.3 Các vấn đề ổn định 57

Chương 6 Biến đổi sóng con rời rạc không hiệu ứng biên 59

6.1 Bài toán biên 59

6.2 Ngoại suy sóng con với chuyển đối sóng con rời rạc 62

6.2.1 Ngoại suy tại biên trái 64

6.2.2 Ngoại suy tại biên phải: 70

6.3- Sự lựa chọn tham số ngoại suy 75

6.4 Lược bỏ dư thừa trong sự biến đổi sóng con rời rạc được ngoại suy 76

6.5 Biến đổi ngược sóng con rời rạc được ngoại được suy giảm 78

6.5.1 Sự khôi phục các hệ số biến đổi 78

6.5.2 Thuật toán tái tạo đa phân giải 81

Chương 7 Ứng dụng trong kỹ thuật nén ảnh 83

7.1 Giới thiệu 83

7.2 Ảnh hưởng của các biến đổi đến mã hoá ảnh 85

7.3 Cấp phát bit và lượng tử hoá 90

Chương 8 Kết luận 96

8.1 Những đóng góp của luận văn 96

8.2 Hướng nghiên cứu tiếp theo 99

Hình 2.4: Mặt phẳng thời gian – tần số trong biến đổi sóng con 11

Hình 2.5: Băng lọc cấu trúc cây của biến đổi sóng con rời 12 Hình 3.1: Đồ thị luồng tín hiệu khai triển 2 giai đoạn biến đổi sóng

con rời rạc 24 Hình 3.2- Biến đổi sóng con rời rạc 2 chiều 25 Hình 3.3 Biến đổi sóng con rời rạc ngược 2 chiều 27 Hình 5.1: Daubechies-6 sự mở rộng hàm phân giải của lời giải ở đường

biên trái 46 Hình 5.2: Daubechies - 6 mở rộng tham số theo phân giải của lời giải ở

đường biên phải 52

Hình 5.3: Hoạt động hội tụ của phương pháp ngoại suy sóng con cho

các điều kiện biên Dirichlet thuần tuý 56 Hình 5.4: Hành động hội tụ của phương pháp ngoại suy sóng con

cho Neumann hỗn hợp và các điều kiện Dirichlet 57 Hình 6.1 Daubechies-6 hàm phân giải kết hợp với dữ liệu tại mức m

xung quanh bên trái 64 Hình 6.2 Daubechies-6 hàm phân giải kết hợp với dữ liệu tại mức

m-1 xung quanh bên trái 65

Hình 6.4 Các hàm phân giải Daubechies-6 nối với dữ liệu ở phân

giải m-1 quanh bên phải 71

Hình 7.1 Ảnh Barbara 84

Hình 7.2 Ảnh Barbara 2 85

Hình 7.3 Biến đổi khối và băng lọc tương đương 86

Hình 7.4 Ảnh hưởng của Block 88

Hình 7.5 Biến đổi wavelet rời rạc bốn mức và bank lọc đa phân giai tương đương 89

Hình 7.6 Các phân bố điển hình của điều chỉnh hệ số băng con 90

Hình 7.7 Đánh giá chất lượng cảm nhận 94

IDFT : Biến đổi Fourier rời rạc ngược

1 Chương trình tính hệ số phổ theo phương pháp phổ đồ

% function a = daub(Na)

%

% Generate filter coeffcients for the Daubechies orthogonal wavelets

% a = filter coeffcients of Daubechies' orthonormal compactly

% the causal and anticausal part

Rz = exp(fft(m1hat)); % Min phase spectral factor of M1(z)

% Calculate the rth derivative two-term connection coeffcients for

% the orthogonal wavelets described by the filter a[k]

% a = wavelet filter, sum(a) = 2

% r = sum of the derivatives of the scaling functions

psi''(x-% Note: works even if the filter has an odd number of coeffcients,

% e.g when filter is symmetric about origin

function [omega,alpha,beta,gamma] = concoeffs2(a,r)

[3] L Andersson, N Hall, B Jarwerth and G Peters, `Wavelets on Closed Subsets of the Real Line', in Topics in the Theory and Applications of Wavelets, Schumaker and Webb, eds., Academic Press, Boston, 1994 [4] G Battle, `A Block Spin Construction of Ondelettes Part I: Lemari_e Functions', Comm Math Phys., 110, 601-615, (1987)

[5] G Beylkin, R Coifman and V Rokhlin, `Fast Wavelet Transforms and Numerical Algorithms I', Comm Pure Appl Math., 44, 141-183, (1991) [6] G Beylkin, `On the Representation of Operators in Bases of Compactly Supported Wavelets', SIAM J Numer Anal., 29, 6, 1716-1740, (1992) [7] G Beylkin, R Coifman and V Rokhlin, `Wavelets in Numerical Analysis', in Wavelets and Their Applications, M B Ruskai ed., Jones and Bartlett, Boston, 1992

[8] G Beylkin, `On Wavelet-Based Algorithms for Solving Di_erential Equations', preprint, University of Colorado, Boulder, CO, 1993

[9] P Burt and E Adelson, `The Laplacian Pyramid as a Compact Image Code', IEEE Trans Comm., 31, 482-540, (1983)

[10] B L Buzbee, F W Dorr, J A George and G H Golub, `The Direct Solution of the Discrete Poisson Equation on Irregular Regions', SIAM J Numer Anal.,8, 4, 722-736, (1971)

[11] B L Buzbee and F W Dorr, `The Direct Solution of the Biharmonic Equation on Rectangular Regions and the Poisson Equation on Irregular Regions', SIAM J Numer Anal., 11, 4, 753-763, (1974)

[20] H C Elman, `Iterative Methods for Large, Sparse, Nonsymmetric Systems of Linear Equations', Research Report No 229, Yale University, April 1982

[21] J S Geronimo, D P Hardin and P R Massopust, `Fractal Functions and Wavelet Expansions Based on Several Scaling Functions', J Approx Th., 78,3, 373-401, (1994)

[22] R Glowinski, `Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems', Springer Verlag, New York, 1984

[23] R Glowinski, W Lawton, M Ravachol and E Tenenbaum, `Wavelet Solution of Linear and Nonlinear Elliptic, Parabolic and Hyperbolic

Square-IntegrableWavelets of Constant Shape' SIAM J Math Anal., 15, 723-736, (1984)

[26] A Haar, `Zur Theorie der Orthogonalen Funktionen-Systeme', Math Ann., 69, 331-371, (1910)

[27] W Hackbusch, `Multigrid Methods and Applications', Springer-Verlag, Berlin,Heidelberg, New York, 1985

[28] C Heil and D Walnut, `Continuous and Discrete Wavelet Transforms', SIAM Rev., 31, 628-666, (1989)

[29] A I Khinchin, `Mathematical Foundations of Information Theory', Dover, New York, 1957

[30] A Latto, H Resniko_ and E Tenenbaum, `The Evaluation of Connection Co-efficients of Compactly Supported Wavelets', proc French - USA workshop on Wavelets and Turbulence, Princeton Univ., June 1991, Springer-Verlag, 1992

[31] W Lawton, `Tight Frames of Compactly Supported Wavelets', J Math Phys.,31, 1898-1901, (1990)

[32] P G Lemari_e, `Une Nouvelle Base d'Ondelettes de L2(R) ', J de Math Pures et Appl., 67, 227-236, (1988)

[33] Y Linde, A Buzo and R H Gray, `An Algorithm for Vector Quantizer Design',IEEE Trans Commun., COM-28, 84-95, (1980)

[35] S G Mallat, `A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: the Wavelet

Representation', IEEE Trans Pattern Anal Mach Intel., 11, 7, 674-693, (1989)

[36] Y Meyer, `Principe d'Incertitude, Bases Hilbertiennes et Alg_ebres d'Op_erateurs',S_eminaire Bourbaki., No 662, (1985)

[37] Y Meyer, `Ondelettes, Fonctions Splines et Analyses Gradu_ees', Lectures Given at the University of Torino, Italy, 1986

[38] J Morlet, G Arens, I Fourgeau, and D Giard, `Wave Propagation and Sampling Theory', Geophysics., 47, 203-236, (1982)

[39] Nguyễn Quốc Trung, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội (2001)

[40] A V Oppenheim and R W Schafer, `Discrete-Time Signal Processing',Prentice-Hall, Englewood Cli_s, New Jersey, 1989

[41] V Pereyra, W Proskurowski and O Widlund, `High Order Fast Laplace Solvers for the Dirichlet Problem on General Regions', Math Comput., 31, 137, 1-16,(1977)

[42] W H Press, S A Teukolsky, W T Vetterling and B P Flannery,

`Numerical Recipes in C - The Art of Scienti_c Computing', 2nd Edition, Cambridge University Press, 1992

[43] W Proskurowski and O Widlund, `On the Numerical Solution of Helmholtz's Equation by the Capacitance Matrix Method', Math Comput.,

[49] G Strang and T Nguyen, `Wavelets and Filter Banks', Cambridge Press, Wellesley, MA, 1995

Wellesley-[50] J O Stromberg, `A Modi_ed Franklin System and Higher Order Spline Systems on Rn as Unconditional Bases for Hardy Spaces', Conf in Honor

of A Zygmund,Vol II, Wadsworth Math Ser., 475-493, (1982)

[51] P Tchamitchian, `Biorthogonalit_e et Th_eorie des Op_erateurs', Rev Math.Iberoamer., 3, 163-189, (1987)

[52] P P Vaidyanathan, `Multirate Systems and Filter Banks', Hall, Englewood Cli_s, New Jersey, 1993

Prentice-[53] J Weiss, `Wavelets and the Study of Two Dimensional Turbulence', proc French- USA workshop on Wavelets and Turbulence, Princeton Univ., June 1991, Y.Maday, Ed Springer-Verlag, NY

[54] J R Williams and K Amaratunga, `Introduction to Wavelets in Engineering',Int J Num Mthds Eng., 37, 2365-2388, (1994)

[55] X Xia, C C Kuo and Z Zhang, `Wavelet Coe_cient Computation with Optimal Pre_ltering', preprint

Biểu diễn bằng sóng con trong thời gian gần đây đã hội tụ được, trở thành một công cụ mạnh trong xử lý tín hiệu số và lý thuyết xấp xỉ Giống như biến đổi Fourier thời gian ngắn, biến đổi sóng con cung cấp một phương tiện cho nghiên cứu đặc tính thời gian - tần số của dữ liệu Phương pháp sóng con mở rộng khả năng của phương pháp Fourier bằng việc cung cấp cơ

sở khung cho việc tiếp cận các vấn đề kỹ thuật Trong kiến trúc phân cấp Kiến trúc phân cấp của biểu diễn sóng con được dùng trong 2 lĩnh vực chính

là mô hình số học và nén tín hiệu Vấn đề điều kiện biên đã dẫn đến một phát triển quan trọng đó là phương pháp ngoại suy sóng con Ngoại suy sóng con

có thể coi là lời giải cho các bài toàn về sóng con trong khoảng hữu hạn và

nó dẫn theo sơ đồ số bậc cao cho các bài toán giá trị biên trong miền hình dạng tuỳ ý Sự mở rộng của phương pháp ngoại suy sóng con cho nhiều mức dẫn đến biến đổi sóng con rời rạc cho dữ liệu có độ dài hữu hạn Đây là biến đổi chính xác cho dữ liệu đa thức và nó có thể dùng để giảm ảnh hưởng biên

về bản chất trong xử lý hình ảnh

Trong thời gian thực hiện luận văn này tôi rất biết ơn các cá nhân và tổ chức đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi hoàn thành đề tài Em xin chân thành cảm ơn Tiến sỹ Nguyễn Phương, người đã gợi ý hướng đề tài và đã có những hướng dẫn vô giá trong suốt quá trình làm luận văn Em chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Điện tử - Viễn thông trường Đại học Bách khoa Hà nội cũng đã dạy dỗ, hướng dẫn em trong suốt khóa học, cảm ơn trung tâm Sau Đại học trường Đại học Bách khoa Hà nội đã tổ chức và giúp đỡ em trong suốt khóa học, cảm ơn Bưu điện tỉnh Bắc Giang và các đồng nghiệp, cảm ơn gia đình và các bạn bè đã giúp đỡ cả về vật chất lẫn tinh thần, cùng tôi đi đến thành quả hôm nay

Trong những năm gần đây, lý thuyết sóng con đã là trọng tâm của sự quan tâm nghiên cứu và xem xét Cái tên sóng con (Wavelet) được sinh ra vào những năm 80 của thế kỷ trước, trong các nghiên cứu của Morlet, Arens, Fourgeau, Giard, Grossmann Tuy nhiên, lịch sử xuất hiện của sóng con bắt đầu từ đầu thế kỷ 20 do Haar xây dựng Lý thuyết sóng con hiện đại là sự góp mặt của các tên tuổi và các công trình nghiên cứu của họ, trong đó có sự

kế thừa và phát triển Từ cơ sở Haar trực giao ban đầu đã được phát triển lên đáng kể bởi Paley, Strongberg, Meger, Tchamitchian, Ballte, Lemarié, Littlewood, Daubechies Một phát triển quan trọng đó là hệ thống hoá cơ sở phân tích đa phân giải năm 1986 do Meyer và Mallat thực hiện Cơ sở này giúp cho thiết lập được mối quan hệ giữa sóng con và các công việc tương tự trong xử lý tín hiệu số và từ đó có biến đổi sóng con rời rạc ngày nay Có rất nhiều tác giả đã đóng góp vào sự phát triển của lý thuyết sóng con và ứng dụng của nó, việc liệt kê nằm ngoài phạm vi phần giới thiệu này Một vài mốc lịch sử quan trọng sẽ được nêu ra ở đây Dạng cấu trúc sóng con lưỡng trực giao đã được Tchamitchiam giới thiệu năm 1987 Cấu trúc sóng ban đầu

đã trở nên phổ biến theo vô vàn cách Ví dụ: Sự mở rộng các sóng con 2- dải thành M-dải đã được đưa ra bởi các tác giả Steffen, Heller, Gopinath và Burrus, Vaidyauathan Sự mở rộng từ sóng con vô hướng thành đa sóng con

có hướng đã được đưa ra bởi các tác giả như Geronimo, Hardin, Massopust, Strang và Strela

Kỹ thuật sóng con đã có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực Từ ứng dụng đầu tiên, dùng sóng con phân tích dữ liệu động đất năm 1982 đến nay sóng con đã được dùng trong rất nhiều lĩnh vực phân tích, đặc biệt là âm thanh và hình ảnh Đồng thời với góc nhìn xử lý tín hiệu là góc nhìn lý thuyết xấp xỉ

Từ khái quát hoá về ứng dụng kéo theo nhiều lĩnh vực về phân tích và mô hình số học

1.2- Động lực, mục tiêu và phạm vi

Máy tính số ngày càng đóng vai trò quan trọng trong mô hình hoá và phân tích hệ thống, và trong quản trị thông tin Kết quả tự nhiên của xu hướng này đó là số liệu thường xuyên được biểu diễn và xử lý ở dạng số Sự lựa chọn phương thức biểu diễn số liệu hợp lý giữ vai trò cốt yếu, vì nó đánh giá khả năng của chúng ta biểu thị đặc tính bên trong và tách thông tin từ dữ liệu đó Biểu diễn miền vật lý, như mẫu dữ liệu thô, không có nghĩa là cách duy nhất Biểu diễn miền tần số, nó được thực hiện thông qua biến đổi Fourier giữ vai trò khá quan trọng Biến đổi Fourier làm lộ ra các đặc tính ẩn khá quan trọng của số liệu, nó có thể dẫn đến các phương pháp biểu diễn hiệu quả Một nhược điểm của biến đối Fourier là không biểu diễn được tính thời gian và không gian của dữ liệu Để xác định được thời gian, cần thiết phải nhờ đến hoạt động của cửa sổ miền thời gian, không gian Biến đổi sóng con là một công cụ toán học cung cấp biểu diễn dạng gần không gian - thời gian như phương pháp cửa sổ Fourier Điểm khác biệt chính đó là kích thước của cửa sổ sóng con không cố định như kích thước trong biến đối cửa sổ Fourier Do vậy, đối với rất nhiều ứng dụng trong thực tế dùng biến đổi sóng con thu được sự biểu diễn hiệu quả hơn

như là ứng dụng DWT cho dữ liệu có độ dài hữu hạn

1.3- Khái quát nội dung luận văn

Chương 1: Giới thiệu khái quát lịch sử hình thành và phát triển của lý

thuyết và ứng dụng sóng con, những động lực nghiên cứu, mục tiêu và phạm

vi của luận văn

Chương 2: Giới thiệu sóng con như là một công cụ phân tích nhiều

mức, miêu tả đặc tính thời gian - tần số của biến đổi sóng con và phân biệt với đặc tính của biến đổi Fourier thời gian ngắn

Chương 3: Cung cấp các yêu cầu cơ bản về lý thuyết sóng con, bao

gồm cả tổng kết đặc tính thời gian và tần số của sóng con trực giao và lưỡng trực giao, cũng như sự miêu tả biến đối sóng con rời rạc trực giao và lưỡng trực giao Trong chương này cũng trình bày một thuật toán nhanh để tính toán hệ số của bộ lọc sóng con Daubechies và một số bộ lọc sóng con lưỡng trực giao liên quan

Chương 4: Giải quyết vấn đề tính toán tích phân sóng con thường gặp

Đặc biệt, miêu tả kỹ thuật tính toán (a) hệ số của hàm tỷ lệ (mức) và sự mở rộng sóng con, (b) mô men của hàm tỷ lệ và sóng con, (c) hệ số kết nối như

là tích phân liên quan đến đạo hàm của hàm tỷ lệ và sóng con Trong rất

nhiều trường hợp, thuật toán hoàn toàn toán học, do vậy tích phân có thể được tính toán với sự chính xác cho phép, bằng máy tính số

Chương 5: Giải bài toán đường biên thông thường và phương trình vi

phân không toàn phần Ở đây, luận văn trình bày cách tiếp cận dựa trên ngoại suy đa thức, điều này dẫn đến sơ đồ bậc cao lợi dụng các điều kiện biên Cách tiếp cận này gọi là tiếp cận ngoại suy sóng con Tiếp cận ngoại suy sóng con có thể được coi là lời giải cho các bài toán về sóng con trong khoảng hữu hạn Chương này cũng trình bày sự khác biệt giữa phương pháp ngoại suy sóng con với một vài kỹ thuật khác lợi dụng điều kiện biên và trình bày tính chất ổn định và sự hội tụ của nó

Chương 6: Mở rộng tiếp cận ngoại suy sóng con cho nhiều tỷ lệ kết

quả là biến đổi sóng con rời rạc cho dữ liệu có độ dài hữu hạn, mà thực tế không làm ảnh hưởng đến biên Đặc biệt, biến đổi sóng con rời rạc được ngoại suy chính xác thao tác nên dữ liệu đa thức như là khi dữ liệu vào tương ứng với đa thức có bậc tương ứng, các hệ số biến đổi thông thấp cũng tương ứng với đa thức, trong khi đó, hệ số biến đổi thông cao chính xác bằng 0 Chúng ta so sánh tiếp cận ngoại suy sóng con với các tiếp cận truyền thống như là tích chập vòng và mở rộng đối xứng

Chương 7: Ứng dụng của phân tích đa phân giải vào nén tín hiệu Xét

tín hiệu cụ thể đối với trường hợp tín hiệu là ảnh tĩnh

Chương 8: Chương cuối cùng, tổng kết các nội dung đã trình bày

trong luận văn và chỉ ra hướng nghiên cứu tiếp theo

Chương 2

Sóng con và phân tích sóng con đa phân giải

Chương này giới thiệu sóng con như một công cụ cho sự phân tích đa phân giải và nêu lên vài yêu cầu cơ bản nhất về sóng con Chương này tập trung chủ yếu vào các sóng con trong tập rời rạc

2.1 Tại sao lại cần phân tích đa phân giải?

Phân giải đóng một vai trò quan trọng trong khoa học và kỹ thuật Nó cần thiết được quan tâm trong sự phát triển của bất kỳ mô hình khoa học nào

Ví dụ trong mô hình hệ mặt trời nó có thể được xem là hợp lý để biểu diễn trái đất như một hình cầu hoặc thậm chí như một hạt Sự biểu diễn này có thể

sẽ không thích hợp, tuy nhiên, khi phân tích sự chuyển động của xe cộ trên đường cao tốc, và thậm chí sẽ ít phù hợp hơn cho sự phân tích hoạt động của các phần tử hạt trong vật lý hạt nhân Trong tầm vĩ mô, những chi tiết nhỏ trở nên không cần thiết, trong khi đó ở tầm vi mô thì chúng trở nên rất quan trọng Một sự tiếp cận nhạy cảm để phân tích, là trước tiên quan tâm đến phát triển một mô hình cho phân giải bình thường, tiếp sau đó cải tiến mô hình liên tục đến khi mà sự thêm vào của bất cứ chi tiết nào đều không cảm nhận được sự tác động

2.2 Biến đổi sóng con và Biến đổi Fourier

Sóng con cung cấp một cơ sở toán học cơ bản nhất cho việc kiểm tra

dữ liệu ở nhiều mức phân giải (thang, bậc, mức ) Trong cơ sở này, dữ liệu được chia tách thành các bộ các phần tử, mỗi bộ tương ứng với một mức độ phân giải chi tiết khác nhau Những đặc điểm phân giải bình thường thì được tách biệt với những đặc điểm phân giải cao, và nhờ vậy thực hiện được sự phân tích đa phân giải của dữ liệu

Sự mô tả về sóng con ở trên gợi ra rằng chúng thực hiện một phân đoạn phổ tần số Sự khác nhau cơ bản giữa biến đổi sóng con và biến đổi Fourier đó là biến đổi sóng con vẫn giữ lại được thông tin trong xác định vị trí dữ liệu về thời gian, trong khi đó biến đổi Fourier làm ẩn mất hầu hết thông tin về thời gian, chúng ta không thể xác định chính xác thời điểm xuất hiện của một thành phần phổ Sự hạn chế trong xác định thời gian của biến đổi Fourier có thể được khắc phục bởi việc áp một cửa sổ lên dữ liệu trước khi thực hiện việc biến đổi Fourier Nó dẫn đến một phương pháp thường được biết đến là biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT)

2.2.1 Biến đổi Fourier thời gian ngắn

Hình 2.1 biểu diễn biến đổi Fourier trong thời gian ngắn cho tập rời rạc hóa theo thời gian

Hình 2.1: Sơ đồ nguyên lý biến đổi Fourier thời gian ngắn

Chuỗi này được cho qua biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian (DTFT) để thu được biến đổi Fourier thời gian ngắn của x[n]

Tương tự, biến đổi Fourier thời gian ngắn được tính bởi chập chu kỳ

Ký hiệu X [m,ω) phản ánh biến đổi Fourier thời gian phân tích đặc tính tần số tín hiệu x[n] xung quanh thời gian n = m

Hình 2.2(a) miêu tả sự việc lấy cửa sổ hoạt động trong miền thời gian như được miêu tả bởi phương trình (2.1).Từ sự biểu diễn này, rõ ràng là xác định thời gian đã đạt được thông qua lấy cửa sổ, vì chuỗi được lấy cửa sổ chỉ chứa thông tin về các mẫu x[m], x[m+N+1] Bằng việc tính toán X[m,ω) cho m = 0; ±N, ±2N, ±3N có thể quét hoàn toàn trục thời gian, nhờ đó nhận được các thông tin toàn bộ chuỗi x[n]

Hình 2.2 (b) miêu tả sự hoạt động cửa sổ trong miền tần số như được biểu diễn bởi phương trình (2.3) Từ sự biểu diễn này, có thể nhận thấy rằng việc xác định tần số cũng có thể đạt được Vì W(ej(ω-θ)) cơ bản là một bộ lọc thông băng với tần số trung tâm ω và độ rộng băng ∆ω Vì vậy X [m,ω) đặc tính hóa tín hiệu x(n+m) về tần số ω Bằng tính toán x(m,ω) cho m=0, ±N,

±2N, ±3N và ω = ±∆ω/2; ±3∆ω/2; ±5∆ω/2 Điều này dẫn đến một lớp xếp phân chia đồng dạng trong mặt phẳng thời gian – tần số như được miêu tả trong hình 2.3

Hình 2.2: Lấy cửa sổ thời gian tương lai tín hiệu, x[n+m]

(a) Biểu diễn miền thời gian (b) Biểu diễn miền tần số

Hình 2.3: Phân chia đồng dạng mặt phẳng thời gian - tần

số của biến đổi Fourier thời gian ngắn

Độ rộng băng của cửa sổ, ∆ω, tỷ lệ với 1/N Điều này diễn tả nguyên

lý cân đối cơ bản giữa độ chính xác về thời gian và phân giải tần số cần xác định Nếu độ dài cửa sổ, N, được giảm xuống, thì sự xác định về thời gian chính xác hơn nhưng phân giải tần số sẽ trở nên kém hơn Kết quả trên hình 2.3 sẽ làm các ô phân chia cao hơn và hẹp hơn, diện tích biểu diễn không đổi Ngược lại, nếu độ dài của cửa sổ tăng lên, phân giải tần số đạt được sẽ tốt hơn nhưng sự xác định về mặt thời gian sẽ kém đi Kết quả biểu diễn như trên hình 2.3 phân chia sẽ ngắn hơn và rộng hơn Như vậy mỗi một sự thay đổi trong chiều dài cửa sổ gây ra một sự thay đổi về mặt hình dạng phân giải của mặt phẳng thời gian – tần số Nó không thay đổi diện tích của mảnh xếp hoặc sự đồng dạng tự nhiên của tập chồng trên mặt phẳng thời gian - tần số

2.2.2 Biến đổi sóng con

Với rất nhiều ứng dụng, phân chia đồng dạng không phải là cách tốt nhất để chia mặt phẳng thời gian - tần số Ví dụ: tai người cảm nhận cường

độ tín hiệu theo thang tần số lôga Các tần số được chia thành các quãng 8 tạo ra sự tác động của phân chia không gian đều trong tần số Do vậy, trong các ứng dụng về âm thanh, biến đổi sóng con có thể cung cấp sự tiếp cận phù hợp hơn so với biến đổi Fourier thời gian ngắn Biến đổi sóng con sử dụng một cửa sổ có chiều dài thay đổi mà độ rộng băng của nó phù hợp với tần số trung tâm của cửa sổ Thay vì được tạo ra từ một sự dịch tần (điều chế) của cửa sổ, biến đổi sóng con được sinh ra thông qua phân giải tần số [52]

Hình 2.4: Biểu diễn mẫu phân chia mặt phẳng thời gian – tần số điển hình của biến đổi sóng con trong tập rời rạc Phân giải tần số đạt được thông qua một tham số phân giải m, trong khi đó sự dịch chuyển miền thời gian đạt được nhờ sự biến thiên một tham số tịnh tiến k Giá trị k/2m tương ứng với vị trí của cửa sổ có chiều dài thay đổi trong miền thời gian Hình 2.5 biểu diễn cấu trúc cây bộ lọc giải thường gặp tương ứng với biến đổi sóng con rời rạc Trong hình này, tín hiệu được biểu diễn bởi một chuỗi các hệ số cm[k], đồng thời được đưa vào một

Hình 2.4: Mặt phẳng thời gian – tần số trong biến đổi sóng con

bộ lọc thông thấp H(z) và một bộ lọc thông cao G(z) Đầu ra bộ lọc thông thấp được giảm mẫu hệ số 2 để tạo ra các hệ số cm-1[k], trong khi đó đầu ra

bộ lọc thông cao được giảm mẫu hệ số 2 để tạo ra các hệ số dm-1[k] Vì hệ số giảm mẫu giống với số lượng các kênh, tổng số các hệ số trong 2 kênh thì đúng bằng với số các số hệ số ban đầu Chúng ta có thể lại lặp lại quá trình này bằng việc đưa các hệ số cm-1[k] làm đầu vào ở giai đoạn thứ 2 Giai đoạn này cũng bao gồm một bộ lọc thông thấp H(z) và một bộ lọc thông cao G(z) Quá trình lặp tạo ra một thuật toán đệ quy cho việc tính toán biến đổi sóng con rời rạc

Hình 2.5: Băng lọc cấu trúc cây của biến đổi sóng con rời rạc, biểu diễn hai giai đoạn của thuật toán đệ quy

Chương 3

Lý thuyết sóng con

Chương này cung cấp nội dung cơ bản cần thiết về lý thuyết sóng con

và nó còn giúp để thiết lập quy ước ký hiệu Trọng tâm là sóng con trực giao

và lưỡng trực giao

3.1 Sóng con trực giao

3.1.1 Sự biểu diễn miền thời gian

Ở đây, chúng ta miêu tả sóng con trực giao ở trong miền thời gian Chúng ta sử dụng biểu tượng (t) để chỉ thời gian Mặc dù ở đây chỉ đề cập đến miền thời gian, nhưng kết quả có thể áp dụng tương ứng với miền không gian

Với sóng con trực giao, mục đích là để tạo ra xấp xỉ đa phân giải cho một hàm f(t) hàm thường được giả định thuộc về không gian L2(R)

Xét chuỗi của miền không gian con

V

L2 R

Có những tính chất dưới đây:

1) Uj ∈z Vj phủ kín L2(R)

2) ∩j ∈z Vj = {0}

3) Không gian con có liên quan bởi một luật phân giải

4) Mỗi không gian con, với mỗi hàm đơn g(t)

Điều kiện 4 cho thấy chúng ta có thể tìm 1 hàm số φ(t) ∈ V0 mà biến

số nguyên của nó tạo cơ sở V0 Tiếp theo sau bởi điều kiện 3 mà hàm φ(2t-k) phải được mở rộng ra trên V1 Đặc biệt, vì V0 ∈ V1, chúng ta có thể viết phương trình sai phân mức 2 có dạng

Ở đây {a[k]; k∈2} là một chuỗi hệ số là hằng số có thể được coi như một bộ lọc số Thường những hệ số lọc a[k] là giá trị thực, mặc dù bộ lọc sóng con phức cũng có thể được thực hiện Đáp ứng xung của bộ lọc hoặc có thể IIR (nghĩa là nó có chiều dài vô hạn) hoặc FIR (nghĩa là có chiều dài hữu hạn)

Một máy tính kỹ thuật số chỉ có thể biểu diễn chiều dài dữ liệu hữu hạn Điều này có nghĩa là một bộ lọc IIR phải được biểu diễn bằng một phương trình sai phân hồi quy hoặc nó phải được xấp xỉ như một bộ lọc FIR Hầu hết các bộ lọc được quan tâm ở đây là bộc lọc FIR và chúng ta thường coi a[k] có độ dài hữu hạn N Điểm lưu ý là phương trình sai phân mức 2 định nghĩa một hàm liên tục của một bộ lọc rời rạc Vì những lý do đó, hàm φ(t) thường được coi như là một hàm phân giải (mức, tỷ lệ, bậc )

hàm f(t) ∈L (R) chúng ta có thể tạo ra được chuỗi xấp xỉ liên tục cho f(t) bằng việc ánh xạ vào không gian con Vm Chúng ta sử dụng ký hiệu Pmf(t) để biểu diễn ánh xạ f(t) vào Vm và chúng ta có thể nhận thấy rằng có thể viết

Pmf(t) ở dạng

Việc định nghĩa đặc tính của sóng con trực giao là {φm, k(t); k∈Z} là một tập thực giao Điều này có nghĩa là các hệ số mở rộng trong công thức (3.3) được cho bởi nội tích

Điểm lưu ý là Pmf(t) tiến tới f(t) tại khi m -> ∞ Vì hàm này thường có tích phân không triệt tiêu Tích phân của hàm phân giải φt không thể bằng 0 được Điều này kết hợp với phương trình (3.1) dẫn đến 1 điều kiện chuẩn hóa của hệ số lọc

Một cưỡng bức khác đối với hệ số bộ lọc được thực hiện bởi tính trực giao của hàm phân giải đối với tịnh tiến nguyên của nó Điều kiện này được biết như điều kiện O và cho bởi công thức

Sự khác nhau giữa không gian con Vm+1 và Vm là phần chênh lệch, vì

nó chứa bộ phận phải được thêm vào Pmf(t) để nhận được Pm+1f(t) Chúng ta

sử dụng ký hiệu Wn để minh hoạ không gian bộ phận này và chúng ta sử dụng Qmf(t) để chỉ ánh xạ của f(t) lên Wm Với sóng con trực giao, những không gian Wm và Vm là trực giao và Vm được nhắc đến là bù trực giao của

Vm trong Vm+1 Điều này được viết là:

Tương tự, ánh xạ cho ta:

Chúng ta có thể xây dựng một hàm số ψ(t), mà tịnh tiến biến nguyên của nó tạo ra cơ sở cho W0, thỏa mãn (a) ψ(t) phải thuộc V1 (b) trực giao với φ(t-k) Những yêu cầu này được thực hiện bởi việc chọn:

Với

Hàm ψ(t) được coi như một sóng con Nó có quan hệ với hàm phân giải: xét sự tương tự giữa phương trình (3.1) và (3.9) Chỉ hàm phân giải được đặc tính hóa bởi bộ lọc a[k], sóng con được đặc tính hóa bởi bộ lọc b[k] Đối số phân giải và tịnh tiến cũng áp dụng được cho sóng con, nên chúng ta có thể định nghĩa một hàm

Nó tạo ra một cơ sở cho không gian con Wm

Có thể dễ nhận thấy là sóng con trực giao và một dạng của hàm phân giải trực giao bằng việc thực hiện nội tích < ψ(•), ψ(•-k)> và sau đó thay

Cuối cùng, sự đệ quy cho bởi công thức (3.7) và (3.8) có thể được áp dụng để đưa ra một sự phân tách sóng con hoàn toàn có dạng:

Tóm lại, sóng con trực giao được phải thỏa mãn những điều kiện sau:

3.1.2 Sự biểu diễn miền Fourier:

Biểu diễn miền Fourier của sóng con trực giao có giá trị thông tin ít nhất là bằng với biểu diễn miền thời gian Thực tế, khi thiết kế sóng con thì phần lớn được tiến hành ở trong miền Fourier

Để thống nhất ký hiệu, chúng ta định nghĩa biến đổi Fourier liên tục theo thời gian (CTFT) của f(t) là

Đây là một công thức phân tích Công thức tổng hợp như biến đổi ngược CTFT được cho bởi

Bằng việc biến đổi Fourier của quan hệ phân giải, phương trình (3.1) chúng ta được

Trong đó

Theo định nghĩa A(ejω) là biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian của

bộ lọc a[n] Tương tự như vậy bằng việc lấy biến đổi Fourier của phương trình (3.9) chúng ta đi đến sự biểu diễn Fourier cho sóng con

Trong đó

Dấu sao (*) trên được sử dụng để biểu thị cho liên hợp phức

Điều kiện trực giao (điều kiện O) trong miền Fourier có thể rút ra từ điều kiện trực giao trong miền thời gian, công thức (3.15), áp dụng định lý Parseval Kết quả là:

3.1.3 Sóng con trực giao của Daubechie

Một lớp đặc biệt của sóng con trực giao được đưa ra bởi Daubechie [17] Những sóng con này có đặc điểm chung là chúng có chiều dài hữu hạn

thức bậc N/2-1 có thể biểu diễn một sự kết hợp tuyến tính của hàm phân giải, φ(t-k), với sai số xấp xỉ 0 Góc độ là điều kiện của chính sóng con, có thể phát biểu rằng sóng con có số lượng khả năng cực đại mô men triệt tiêu (với

N đã cho)

Là điều kiện của hệ số bộ lọc, điều kiện A được phát biểu:

Ở trong miền biến đổi Fourier, điều kiện A phát biểu là A(ejω) ở dạng

Trong đó R(ejω) thỏa mãn điều kiện O, ở miền biến đổi Z, có nghĩa là A(2) không có bậc φ = N/2 tại Z = -1

Thực tế là hàm số phân giải của Daubechie có thể biểu diễn chính xác bằng những đa thức có giá trị bậc xác định Nghĩa là họ sóng con của Daubechie đặc biệt phù hợp cho các ứng dụng như nén ảnh và lời giải cho phương trình sai phân và toàn phần Vì sóng con của Daubechie là đáng quan tâm trong những ứng dụng thực tế Một chương trình đơn giản được phát triển cho sự tính toán của bộ lọc Daubechie, a[k], cho chiều dài bộ lọc cho

trước là N Sự tính toán liên quan đến sự tính toán hệ số hóa phổ để xác định hàm số R(ejω) từ |F(ejω)|2

Cấu trúc của Daubechie dẫn đến bộ lọc pha tối thiểu và vì vậy chúng

ta có thể tính toán những hệ số phổ yêu cầu sử dụng phương pháp phổ đồ (Xem Oppenheim và schaper[40]) Chương trình được thực hiện trên Matlab được đính kèm trong phần mục lục

3.2- Sóng con lưỡng trực giao

3.2.1- Sự biểu diễn miền thời gian

Sóng con lưỡng trực giao có thể được xem như sự khái quát hóa sóng con trực giao với sóng lưỡng trực giao, có 2 chuỗi không gian con

Hai hàm phân giải được yêu cầu là: hàm phân giải chính φ(t) với không gian con Vm và một hàm phân giải phụ φ(t), với không gian con là Vm Không gian con Vm và Vm có phần bù lần lượt là: Wm và Wm, như vậy:

và Tuy nhiên, những không gian này nói chung không phải là bù trực giao Nhưng chúng lại thỏa mãn với điều kiện

và Không gian Wm và Wm được tạo ra từ 2 sóng con ψ(t)∈W0 và ψ(t) ∈

W0 một cách tương ứng Vì vậy điều kiện (3.30) nghĩa là:

Thêm vào đó hàm chính, hàm phụ thỏa mãn:

3.2.2 Biểu diễn miền Fourier

Biến đổi Fourier của phương trình (3.33) và 3.34), kết quả có mối quan hệ phân giải miền tần xuất sau đây:

Hơn thế nữa, phương trình (3.32) suy ra điều kiện lưỡng trực giao sau đây trong miền Fourier

3.3 Biến đổi sóng con trực giao rời rạc

Trong một tập hợp trực giao, biến đổi sóng con trực giao rời rạc là một hoạt động lấy một tập hợp hệ số mở rộng Cm[k] như công thức (3.3) và đổi chúng thành hệ số

Cm-1[k] và dm-1[k] Điều này có tác dụng tác giống như trong công thức (3.8) Ngoại trừ biến đổi sóng con này hoạt động trực tiếp với sự mở rộng hệ

số thay vì ánh xạ liên tục Điểm lưu ý rằng quá trình tách này là một quá trình lặp vì cùng quá trình tách có thể áp dụng đối với Cm-1[k] để đạt được