Trường hấp dẫn thiên văn học

Trạm vũ trụ Bulgaria Một trạm vũ trụ chuyển động quanh Trái Đất trên một quỹ đạo tròn ở độ cao h từ mặt đất.. Trên mặt đất, trong mặt phẳng quỹ đạo của trạm vũ trụ, người ta quan sát thấ

Trường hấp dẫn Thiên văn học

1.63 Khối lượng riêng của Mặt Trời (Trung Quốc)

Mặt Trời, nếu nhìn từ mặt đất, có góc mở  0.53 Cho biết 1° của kinh tuyến Trái Đất ứng với

110 km

l  dài, gia tốc trọng trường g 10 /m s2, một năm có T 365 ngày Từ các dữ liệu trên hãy tính

tỷ lệ khối lượng riêng của Mặt Trời và Trái Đất, giả thiết cả hai đều là những quả cầu đồng chất

1.64 Mặt Trời lặn hai lần trong ngày (Trung Quốc)

Ở thời điểm hiện tại, cao nhất thế giới là tòa tháp Burj Khalifa ở Dubai, độ cao 828 m Một bài báo trên Internet viết rằng người ta có thể quan sát Mặt Trời lặn hai lần trong một ngày ở tòa tháp trên

1) Mặt Trời lặn ở đỉnh và chân tòa tháp cách nhau bao lâu? Kết quả tính bằng phút Cho biết các thông số: bán kính Trái Đất 6400 km , khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời 1.5 10 m 11

2) Burj Khalifa cũng là nơi có thang máy nhanh thứ ba thế giới với vận tốc v 10 m/s Ngay sau khi

thang máy bắt đầu từ chân tháp đi lên với vận tốc v, một khách du lịch đứng bên trong thang máy để quan

sát Mặt Trời lặn Khi anh ta lên đên đài quan sát ở độ cao 452 m, anh ta thấy Mặt Trời lặn vừa hết Hãy tính góc trông Mặt Trời so với đường chân trời Kết quả biểu diễn bằng độ

1.65 Trạm vũ trụ (Bulgaria)

Một trạm vũ trụ chuyển động quanh Trái Đất trên một quỹ đạo tròn ở độ

cao h từ mặt đất Trên mặt đất, trong mặt phẳng quỹ đạo của trạm vũ trụ,

người ta quan sát thấy trạm vũ trụ như là một điểm sáng nhỏ di chuyển ánh

trên bầu trời Người quan sát đánh giá khoảng cách từ mình đến trạm vũ trụ

Trong bài toán này, có thể bỏ qua chuyển động tự quay của Trái Đất Coi

bề mặt Trái đất như một mặt phẳng Bỏ qua quang sai gây bởi khí quyển Trái

Đất

Các thông số

Bán kính Trái Đất R  E 6370 km.

Gia tốc trọng trường tại bề mặt Trái Đất g 9.81 /m s2

1) Tìm biểu thức tính chu kỳ chuyển động T của trạm vũ trụ như một hàm

phụ thuộc vào độ cao h và các thông số cơ bản Tính giá trị này cho trạm vũ trụ Quốc tế ở quỹ đạo có độ

cao 423 km từ mặt đất

2) Người quan sát sẽ nhìn thấy trạm vũ trụ trên bầu trời trong thời gian t bằng bao nhiêu? Thực hiện tính

toán cho Trạm vũ trụ quốc tế

3) Trạm vũ trụ nằm trên đường chân trời tại điểm S, bán kính véctơ từ người quan sát O là OS

tạo một góc  so với phương thẳng đứng (hình 1.65): Người quan sát nhìn thấy trạm vũ trụ chuyển động tròn

quanh điểm O với vận tốc góc  Tìm biểu thức của  theo T, R, h và góc 

4) Tìm tỷ số các vân tốc góc z

h



 tại các thời điểm, khi người quan sát nhìn thấy trạm vũ trụ vượt qua đầu mình, và khi trạm vũ trụ còn ở đường chân trời

5) Vào thời điểm trạm vũ trụ ở trên đỉnh đầu người quan sát, ở độ cao h 1 10 km một máy bay chuyển động với vận tốc v 1 300 m/s Cũng giống như trạm vũ trụ, máy bay trông giống như một điểm sáng nhỏ chuyển động Trạm vũ trụ hay máy bay sẽ chuyển động nhanh hơn?

1.66 Giao hội sao Kim (Trung Quốc)

Giao hội sao Kim là một hiện tượng Thiên văn khi hành tinh sao Kim nằm trên đường thẳng nối Mặt trời và Trái Đất Ở hình 1.66, tại hai điểm quan sát A và B trên Trái đất, sao Kim được quan sát như hai

chấm đen ( A và B) trên đĩa Mặt Trời.

1) Giả thiết chu kỳ chuyển động của sao Kim quanh Mặt trời là 225 ngày, hãy tính tỷ số a Earth/a Venus,

trong đó a Earth và a Venus tương úng là khoảng cách trung bình từ các hành tinh đến Mặt trời.

2) Vào ngày giao hội sao Kim, hai quan sát được thực hiện ở Hong Kong và Bangkok Các địa điểm này nằm cách nhau 1800 km Bangkok nằm cách 37° phía Tây Nam tính từ Hồng Kông Hãy tính khoảng

cách A B 

3) Một quan sát khác cho thấy đường kính Mặt trời lớn gấp 290 lần khoảng cách giữa hai chấm đen Hãy tính đường kính Mặt trời

4) Tính độ chênh lệch thời gian giao hội quan sát được ở Hồng Kông và Bangkok Kết quả tính ra phút

Gợi ý: Hãy tính vận tốc tương đối của Trái đất so với Mặt trời, rồi sau đó vận tốc tương đối của Mặt

trời và sao Kim so với Trái Đất, rồi vận tốc của bóng sao Kim trên đĩa Mặt trời)

1.67 Vật lý thiên văn (Thụy Sĩ)

Sau khi luật ba Kepler được công bố vào năm 1619, người ta đã đo được khoảng cách của các hành tinh trong hệ mặt trời, lấy khoảng cách Trái Đất và Mặt Trời làm đơn vị đo (1 AU) Chỉ cần đo khoảng cách giữa một hành tinh nào đó tới Mặt trời là có thể tìm được giá trị của đơn vị thiên văn (AU)

Một trong những phép đo đầu tiên đã được thực hiện với sự trợ giúp của giao hội sao Kim vào năm

1761, theo đề xuất của nhà thiên văn học người Anh Edmond Halley Mục tiêu của việc này chỉ đơn giản

là kiểm nghiệm lại định luật 3 Kepler và để ước tính đơn vị thiên văn (AU)

Trên hình 1.67 là quỹ đạo của Giao hội sao Kim, quan sát được từ các địa điểm khác nhau trên Trái đất Nếu biết góc thị sai  của sao Kim và khoảng cách giữa các quan sát viên A và B, thì có thể tính toán được khoảng cách Trái Đất - sao Kim Halley đề xuất đo góc  một cách gián tiếp bằng cách đo chênh lệch thời gian giao hội tại hai địa điểm khác nhau A và B Để ước tính đơn vị thiên văn, trong bài toán này ta sử dụng các dữ liệu của giao hội năm 2004 tại Cairo (A) và Durban (B)

Địa điểm Bắt đầu giao hội Kết thúc giao hội

Bảng 1.67: Dữ liệu quan sát

Để giải bài toán này ta sử dụng các giả thiết sau:

i) Trái đất không quay

ii) Giao hội xảy ra khi sao Kim ở bên dưới mặt phẳng Trái Đất - Mặt Trời

1) Xác định thị sai sao Kim  , sử dụng gần đúng góc nhỏ (ví dụ

sin) Trong hình 1.67b và bảng 1.67, bán kính góc của

Mặt Trời là R 15.25 phút (góc quan sát Mặt Trời từ Trái đất)

và vận tốc góc của sao Kim nhìn từ Trái đất (tốc độ giao hội) là

0.0669

v

d  giây/s

Chú ý: 1 60 phút 3600 giây

2) Khi xác định thị sai của sao Kim trong câu hỏi trên, ta chưa

tính đến việc hai người quan sát đứng ở hai điểm khác nhau trên

Trái đất và do đó góc trông Mặt trời là khác nhau Để điều chỉnh

góc thị sai  từ câu hỏi 2), dưới đây ta sử dụng hình 1.67c Xác

định góc thị sai sao Kim chuẩn true như một hàm của góc thị

sai  và góc thị sai Mặt Trời s

3) Sử dụng giá trị sauD  AB 5840 km, và định luật thứ ba của Kepler T32 const

a  , trong đó T là chu kỳ,

và a là bán trục lớn của quỹ đạo hành tinh Đầu tiên xác định thị sai Mặt Trời s và sau đó xác định đơn

vị thiên văn với T Venus 224 ngày và T Earth 365 ngày Giả thiết rằng các hành tinh chuyển động trên các

quỹ đạo tròn và các khoảng cách SA, SB, VA, VBAB

1.68 Ống vận chuyển (Trung Quốc)

Một trạm vũ trụ chuyển động trên một quỹ đạo nằm trong mặt phẳng xích đạo của Trái Đất và cách mặt đất một khoảng LR e Trạm vũ trụ này đứng yên so với một trạm tiếp tế nằm trên xích đạo Trái Đất Ở đây, R là bán kính Trái Đất,  là một hằng số, e  m, và

1/3

2 e3 1

m

e e

GM R





e

M và e lần lượt là khối lượng và tốc độ quay của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn.

Để vận chuyển hàng hóa từ trạm tiếp liệu lên trạm vũ trụ, từ một loại vật liệu cứng người ta xây dựng

một ống đồng chất khối lượng m Đầu dưới của ống gắn liền với mặt đất và ống được giữ sao cho nó luôn vuông góc với mặt đất Khi vận chuyển, người ta để hàng hóa vào những khay phẳng và cho chúng chuyển động dọc theo ống với vận tốc không quá lớn Bỏ qua ma sát giữa thành ống và khay Trong bài toán phải xét đến chuyển động tự quay của Trái Đất, nhưng bỏ qua chuyển động quay của nó quanh Mặt

Trời Khối lượng tổng cộng của hàng hóa và khay là m.

1) Lực quán tính ly tâm và trọng lực Trái đất thực hiện các công bằng bao nhiêu để đưa vật liệu từ mặt đất lên trạm vũ trụ?

2) Công nhỏ nhất mà lực ngoài cần thực hiện là bao nhiêu để đưa số hàng trên từ trạm tiếp liệu lên trạm

vũ trụ?

3) Trạm vũ trụ phải ở cách mặt đất một khoảng (ký hiệu là L ) bằng bao nhiêu để tổng công dịch chuyển0 vật liệu của trọng lực trái đất và lực quán tính ly tâm là bằng không?

4) Người ta điều chỉnh động cơ của trạm vũ trụ để nó ở độ cao LR e m và khi không có hàng hóa vận chuyển trong ống, lực tương tác giữa nó và ống vận chuyển là bằng không Hỏi khi đó trạm tiếp liệu ở mặt đất phải giữ ống một lực bằng bao nhiêu trong lực ba trường hợp L L L L 0,  0 và

0

1.69 Dự án rác thải (Estonia).

Vào năm 2014, Nghị viện Châu Âu quyết định khởi động dự án đưa rác thải phóng xạ lên Mặt Trời để tránh ô nhiễm cho Trái Đất và không gian xung quanh Trong tính toán có thể dùng các số liệu sau: một năm cóT 365.25 ngày, vận tốc của Trái Đất trên quỹ đạo quanh Mặt Trời v0 29.8km s/ , góc trông

Mặt Trời từ Trái Đất  0.5, Bán kính Trái Đất R 6400 km, gia tốc trọng trường tại bề mặt Trái Đất

2

9.81 m/s

Theo dự án này, rác được đưa lên Mặt Trời bằng tàu vũ trụ đạn đạo: động cơ chỉ hoạt động trong một thời gian ngắn, trong khoảng thời gian đó con tàu dịch chuyển được một đoạn ngắn hơn bán kính Trái Đất rất nhiều Trong hệ quy chiếu của Trái Đất, con tàu có vận tốc ngược với vận tốc của Trái Đất trên quỹ đạo quanh Mặt Trời Ngoài ra, con tàu chuyển động theo quỹ đạo đạn đạo cho đến khi nó gặp Mặt Trời Quỹ đạo được chọn sao cho tốn ít nhiên liệu nhất

1) Hãy vẽ quỹ đạo của con tàu vũ trụ

Gần đúng đầu tiên, trong tính toán hãy bỏ qua kích thước góc của Mặt Trời (lấy   0 ); Sử dụng gần đúng này trong hai câu hỏi tiếp theo

2) Con tàu phải mất bao lâu để đi từ Trái Đất đến Mặt Trời?

3) Vận tốc của con tàu trong hệ quy chiếu Trái Đất bằng bao nhiêu khi khoảng cách từ nó tới Trái Đất lớn hơn rất nhiều bán kính Trái Đất nhưng vẫn nhỏ hơn nhiều so với khoảng cách tới Mặt Trời?

4) Làm lại câu hỏi trước nhưng bây giờ không sử dụng phép gần đúng   0

5) Vận tốc của con tàu vũ trụ trong hệ quy chiếu Trái Đất bằng bao nhiêu khi khoảng cách từ nó tới Trái Đất nhỏ hơn nhiều bán kính Trái Đất?

1.70 Làm chệch hướng thiên thạch (Ba Lan)

Một tiểu hành tinh đường kính D 10 km khối lượng M 10 kg15 đang tiến lại gần Trái Đất Theo tính toán, nếu không kể đến lực cản của khí quyển, khoảng cách nhỏ nhất giữa tâm Trái Đất và tâm tiểu hành tinh sẽ là r l  6400 km, và vận tốc tương đối lớn nhất sẽ bằng v  l 20 km/s Để giảm nguy cơ va chạm, người ta bắn vào tiểu hành tinh một rocket mang đầu đạn nhiệt hạch Đầu đạn cắm sâu vào bề mặt tiểu hành tinh và sau đó phát nổ Kết quả là phần đất phía trên đầu đạn sẽ bị phá nát thành những vụn nhỏ

và bắn ra khỏi hành tinh, phần còn lại của hành tinh còn nguyên khối Tổng năng lượng của đầu đạn nhiệt hạch là E  4 10 18 J 1000 Mt (megaton) TNT Theo tính toán, khối lượng các mảnh vụn sẽ là 14

10 kg

m  , phần còn lại của tiểu hành tinh sẽ nhận được động lượng P x mE.2  , trong đó x 0.2,

và có hướng vuông góc với bề mặt tiểu hành tinh Tên lửa có thể tiếp cận tiểu hành tinh sớm hơn, khi nó

ở cách Trái Đất 200000 km

1) Xét 4 phương án đáp tên lửa xuống tiểu hành tinh (hình 1.70), nơi mà chúng sau đó sẽ phát nổ, và ba thời điểm kích nổ khác nhau: sớm nhất có thể tức là khi tiểu hành tinh ở xa Trái Đất nhất; muộn nhất có thể tức là khi nó lại gần Trái Đất nhất; và khi tiểu hành tinh đến khoảng cách tối ưu, là lúc nó cách Trái Đất 12.000 km từ tâm Trái Đất Phương án nào trong số trên sẽ khiến tiểu hành tinh sượt qua Trái Đất với khoảng cách lớn nhất?

2) Khoảng cách gần nhất giữa Trái Đất và tiểu hành tinh được nâng lên bao nhiêu nhờ vụ nổ trên? Bỏ qua ảnh hưởng của Mặt Trời, Mặt Trăng và các thiên thể khác Khối lượng Trái Đất M   E 6 10 kg24 , bán kính Trái Đất R  E 6370 km.

Trên hình 1.70, các mũi tên chỉ hướng vận tốc trung bình của các mảnh vỡ so với tiểu hành tinh, xuất phát, từ các địa điểm xảy ra vụ nổ Mũi tên 1 và 3 hướng song song với trục nối Trái Đất - Tiểu hành tinh; Mũi tên 2 và 4 hướng vuông góc với trục nối

1.71 “Phi thuyền hấp dẫn” (Kazhakstan)

Bài toán này nghiên cứu hoạt động của phi thuyền hấp dẫn Đó là một loại phi thuyền hoạt động trên nguyên lý làm yếu hấp dẫn Điểm đặc biệt ở chỗ là nó được cấu tạo từ hai phần nặng mà khoảng cách giữa chúng có thể thay đổi được Ngoại hình nó giống như một quả tạ có thanh rất dài

Ta mô hình hóa phi thuyền bằng hai vật có khối lượng / 2m mỗi vật Khoảng cách từ mỗi vật tới tâm

Trái đất là R Góc giữa các đường thẳng nối hai vật với tâm Trái đất bằng  Hằng số hấp dẫn G và khối lượng M của Trái đất là các hằng số đã biết.

1) Tìm hợp lực F mà Trái đất hút phi thuyền về phía tâm nó bằng bao nhiêu? p

2) Tìm thế năng W của hệ này?

Giả sử phi thuyền chuyển động theo quỹ đạo ellips và hai vật thu lại sát nhau Tại điểm cực cận, hai vật rất nhanh chóng duỗi ra thành góc  Khi di chuyển đến điểm cực viễn các vật lại nhanh chóng thu lại Khi nó đến cực cận mới, phi thuyền lại duỗi ra và bắt đầu quỹ đạo mới Cứ như vậy, bằng cách thay đổi khoảng cách giữa các vật, phi thuyền liên tục thay đổi quỹ đạo, mỗi quỹ đạo bao gồm hai nửa đường ellips

Gọi v là vận tốc của phi thuyền ở điểm cực cận của quỹ đạo thứ nhất, khoảng cách tới Trái đất là 0 r 0

Hãy tìm:

3) Vận tốc v của phi thuyền tại điểm cực cận của quỹ đạo thứ hai.1

4) Vận tốc u của phi thuyền tại điểm cực viễn của quỹ đạo thứ hai.1

5) Khoảng cách r từ cực cận của quỹ đạo thứ hai tới Trái Đất1

6) Khoảng cách R từ cực viễn của quỹ đạo thứ hai tới Trái Đất1

7) Vận tốc v của phi thuyền tại điểm cực cận của quỹ đạo thứ n n  1

8) Vận tốc u của phi thuyền tại điểm cực cận của quỹ đạo thứ n n  1

9) Khoảng cách r từ cực cận của quỹ đạo thứ n n  tới Trái Đất.1

10) Khoảng cách R từ cực viễn của quỹ đạo thứ n n  tới Trái Đất.1

Trong bài toán này ta giả thiết khoảng cách giữa các vật nhỏ hơn rất nhiều so với khoảng cách tới Trái Đất Khoảng cách và hướng của phi thuyền được thay đổi sao cho góc  là hằng số Như vậy, mọi định luật vật lý áp dụng cho chất điểm trong trường hấp dẫn của Trái Đất cũng sẽ thỏa mãn với phi thuyền ở trạng thái duỗi

1.72 Tuổi của Vũ trụ (Trung Quốc)

Hubble phát hiện ra rằng vận tốc v mà các thiên hà chuyển động ra xa Trái Đất tỷ lệ thuận với khoảng cách d giữa chúng và Trái Đất

0

v H d , trong đó H là hằng số Hubble tại tuổi hiện nay của vũ trụ Gần đây nhất người ta đo được giá trị của nó0

là 68 km/s/Mpc

1) Giả sử vũ trụ giãn nở từ ban đầu cho đến thời điểm hiện tại với vận tốc không đổi, hãy tính tuổi của vũ trụ Kết quả tính bằng đơn vị tỷ năm

Các thông số: 1 Mpc 3.26 10  6 năm ánh sáng, vận tốc ánh sáng 300 000 km/s

2) Thực tế, vũ trụ không giãn nở với vận tốc không đổi theo thời gian vì sức hút hấp dẫn của vật chất Friedmann mô hình hóa vũ trụ như một quả cầu vật chất có khối lượng phân bố đều với mật độ  t tại

thời điểm t Xét một khối lượng thử m trên bề mặt của một hình cầu bán kính r t tại thời điểm t Tổng 

năng lượng của khối lượng thử là mU Hãy tìm mối liên hệ giữa vận tốc giãn nở v t và bán kính   r t 

tại thời điểm t dựa trên cơ học Newton Sử dụng G để ký hiệu hằng số hấp dẫn.

3) Các dữ liệu từ vệ tinh gần đây cho thấy U nhỏ không đáng kể Trong trường hợp này sự giãn nở của vũ

trụ được mô tả bởi hàm lũy thừa  

n

 

 

  , trong đó r và 0 t tương ứng là các giá trị hiện tại của 0 r t 

và t Hãy tìm n và t Kết quả biểu diễn theo G và mật độ 0 0 của vũ trụ hiện

4) Biểu diễn tuổi hiện tại của vũ trụ theo giá trị hiện tại của hằng số Hubble Đánh giá tuổi của vũ trụ trong bức tranh Newtonian Kết quả tính theo đơn vị tỷ năm Dựa vào hiểu biết của em về tiến bộ của các nghiên cứu vật lý hiện nay, kết quả này khác lệch bao nhiêu so với đánh giá hiện nay về tuổi của vũ trụ?

LỜI GIẢI

1.63 Khối lượng riêng của Mặt Trời (Trung Quốc)

Khi Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời, định luật II Newton cho

s e

c

M M



 

 

2 2

Ở đây, G là hằng số hấp dẫn, M , M lần lượt là khối lượng của Trái Đất và Mặt Trời, r là khoảnge s cách giữa chúng, T là chu kỳ quay của Trái Đất quanh Mặt Trời.

Gọi R là bán kính Mặt Trời, ta cós

s R r

 2

(2)

s

M G



   

    



   

3

Khi một vật có khối lượng m ở trên mặt đất, định luật vạn vật hấp dẫn tạo ra trọng lực

e e

M m

Gọi R là bán kính Trái Đất, từ đề bài e 2Re 360l (5)

Thay vào phương trình trên e

e

G





Khối lượng riêng  S, ecủa Mặt Trời và Trái Đất

S

e

,

(7)

Từ (3), (6), (7) ta có

S

l



2 3

180 32

Thay số vào được

S

e





1.64 Mặt trời lặn hai lần trong ngày (Trung Quốc)

1) Giữa hai lần Mặt trời lặn ở chân và đỉnh tháp, Trái Đất xoay được một góc

sin

 



R

 3

6400 10 radian Thời gian giữa hai lần Mặt Trời lặn

,

( )( ) min min



2

2) Thời gian để đi đến đài quan sát t h

v



Vận tốc góc của Trái Đất

( )( )( )



24 60 60

( )( )( )

Sự thay đổi ở đường chân trời cos R

R h

 

 , từ đây tính ra

2

3

Góc cao của Mặt Trời    00119 00033 00086   raidan049 o

Nhận xét : Kết quả này bằng góc trông Mặt trời nên khách du lịch có thể quan sát toàn bộ Mặt Trời lặn

1.65 Trạm vũ trụ (Bulgaria)

1) Vì g

r

 12

, trong đó r là khoảng cách từ tâm Trái Đất, nên :

g R g

(R h)





2 0 2

Chuyển động theo quỹ đạo tròn g v

R h



 2

Từ đây : v R g

R h





/

h

T



3

3 2

1 2

1

Tính số với trạm vũ trụ quốc tế : T = 5.58 × 103 s

2) Người quan sát nhìn thấy phần quỹ đạo nằm phía trên mặt phẳng chứa đường chân trời Đó là một cung tròng nhìn tâm dưới góc:

R arccos

R h



2

Thời gian mà trạm vũ trụ bay ở phía trên đường chân trời là

/ /

3 2

1 2

2 Tính toán cho trạm vũ trụ Quốc tế t = 630 = 10.5 phút

3) Vận tốc góc của trạm vũ trụ mà người quan sát thấy:

v d



  Trong đó dOS là khoảng cách từ người quan sát đến trạm vũ trụ, còn vlà thành phần vận tốc theo phương vuông góc với hướng nhìn Từ hình 1.65S ta có :

(R h) cos( )

v v cos( )

T



    2 (R h) 2d2R22dR cos

sin( ) sin

   



 Biến đổi và cuối cùng tìm được

 

2 4) Khi trạm bay qua đỉnh đầu θ = 0 và

z

(R h) Th

 2 Khi trạm còn ở đường chân trời θ = π/2 và :

h T



 2

Suy ra z

h

R h



 

5) Vận tốc góc khi trạm ở đỉnh đầu người quan sát

z

(R r)

Th



18 10 (m/s) Vận tốc góc mà người quan sát thấy máy bay

v

h



 1 1  2

1

30 10 m/s Như vậy nhìn từ mặt đất người quan sát sẽ thấy máy bay chuyển động nhanh hơn trạm vũ trụ

1.66 Giao hội sao Kim (Trung Quốc)