Skkn 2023.Docx

MỤC LỤC NỘI DUNG TRAN G PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU 2 1 Lý do chọn đề tài 2 2 Mục tiêu nghiên cứu 2 3 Đối tượng nghiên cứu 3 4 Phương pháp nghiên cứu 3 5 Phạm vi nghiên cứu 3 PHẦN II NỘI DUNG 4 1 Cơ sở lý luận[.]

NỘI DUNG TRAN

G

4. Hiệuquả của việc áp dụng sáng kiến vào thực tiễn 22

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Quan hệ vuông góc trong không gian là một trong những nội dung cơ bảncủa hình học không gian và là chìa khóa để học sinh có thể tiếp thu kiến thứchình học không gian lớp 12 Trong chương này bài toán về khoảng cách trongkhông gian giữ một vai trò quan trọng Nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyểnsinh vào đại học, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi và các đề thi tốt nghiệp trongnhững năm gần đây

Mặc dù vậy đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc,

có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây

là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên Tuynhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiềuthời gian Mà hiện nay học sinh đang chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm đề

50 câu chỉ có 90 phút, tức là thời gian giải quyết mỗi câu hỏi là rất ít Trong sáchgiáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khá nhiều songchỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại mộtcách rõ nét các phương pháp tính khoảng cách trong không gian

Trước lí do trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang

tên: “Định hướng tư duy giúp học sinh học tốt hơn bài toán khoảng cách trong không gian” Đề tài này nhằm cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng

quát và có hệ thống về bài toán tính khoảng cách trong không gian, một hệthống bài tập đã được phân loại một cách tương đối tốt Qua đó giúp học sinhkhông phải e sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán học sinh

có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó cócách giải tối ưu cho mỗi bài toán để tốn ít thời gian nhất

2 Mục tiêu nghiên cứu

Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toánkhoảng cách trong không gian, tôi thấy cần phải tạo ra cho các em có niềm yêuthích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời.Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năngcủa mình trong quá trình học tập Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm thấy dễdàng hơn trong việc giải các bài toán khoảng cách trong không gian, tôi thấy cầnphải hướng dẫn học sinh một cách kỹ càng, đặc biệt là phân loại các dạng toántính khoảng cách với các phương pháp giải tương ứng Điều này sẽ giúp các emkhông còn “sợ” khi gặp những bài toán này

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là học sinh khối 11, 12 của năm học 2020 - 2021

4 Phương pháp nghiên cứu

Từ phương pháp lý luận xây dựng việc phân loại các bài toán khoảng cáchtrong không gian đến phương pháp nghiên cứu thực tiễn áp dụng vào quá trìnhdạy học cho học sinh từ đó rút ra được kinh nghiệm trong giảng dạy bài toán nàycho học sinh để đạt hiệu quả cao nhất

5 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của kinh nghiệm là các phương pháp tính khoảngcách trong không gian của hình học 11, 12

PHẦN II: NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận

1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của O trên  Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến

đường thẳng  Kí hiệu d (O , Δ)

* Nhận xét

- ∀ M ∈ Δ, OM ≥ d (O, Δ)

- Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  ta có thể

+ Xác định hình chiếu H của O trên  và tính OH.

1.3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

Cho đường thẳng  song song với mặt phẳng () Khoảng cách giữađường thẳng  và mặt phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của  đếnmặt phẳng () Kí hiệu d ( Δ,(α ))

* Nhận xét

- ∀ M ∈ Δ, N ∈(α), MN ≥ d ( Δ,(α))

- Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () được quy vềviệc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

1.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểmbất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Kí hiệu d ((α);(β ))

* Nhận xét

- ∀ M ∈(α ), N ∈( β), MN ≥ d ((α);(β ))

- Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việctính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

1.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Đường thẳng  cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b Đường vuông góc chung  cắt a tại M và cắt b tại N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Kí hiệu d (a ,b)

* Nhận xét

- ∀ M ∈ a , N ∈ b , MN ≥ d(a , b)

- Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b ta có những

Chú ý: Trong bài toán tính khoảng cách thì bài toán tính khoảng cách từ

điểm đến đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là mấu chốt cơ bản nhất, các bài toán tính khoảng cách khác đều đưa về một trong hai bài toán cơ bản này.

2 Cơ sở thực tiễn

Từ năm 2008 chuyển về công tác tại trường THPT Tân Quang tôi thườngxuyên dạy ba khối 10, 11, 12 Trong chương trình toán 11 có bài toán khoảngcách trong không gian và học sinh khối 12 vẫn gặp bài toán này trong các kì thiTHPT quốc gia Đặc biệt với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay khối lượng kiếnthức của học sinh ngày càng lớn và thời gian giải quyết câu hỏi ngắn nên việcnắm vững phương pháp, nhận dạng bài toán là rất quan trọng Tôi thấy khi gặpcác bài toán liên quan đến việc tính khoảng cách trong không gian đa số họcsinh của tôi chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi làm dẫnđến việc học sinh sợ khi gặp dạng toán này hoặc nếu có giải được thì thời giangiải quyết bài toán cũng rất lâu mà chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nétcác phương pháp tính khoảng cách trong không gian Trước thực tiễn đó tôi viết

đề tài này với mong muốn giúp các em học sinh có được phương pháp tốt , tiếtkiệm thời gian nhất khi giải quyết bài toán liên quan đến khoảng cách

3 Các biện pháp giải quyết vấn đề

Để giúp học sinh học tốt hơn các bài toán khoảng cách trong không giantôi làm theo các bước sau:

Thứ nhất: Dùng nhiều hình ảnh, mô hình trực quan sao cho học sinh dễ

hình dung nhất, bên cạnh đó cố gắng cho học sinh nắm vững khái niệm, tínhchất cơ bản làm sao để học sinh phải thuộc các khái niệm, tính chất đó

Thứ hai: Cho học sinh các bài toán từ dễ đến khó, hạn chế đưa ra những

bài toán quá khó, quá phức tạp gây ra sự chán nản ở học sinh Với học sinh khágiỏi có niềm đam mê với bài toán khoảng cách thì có thể cho học sinh thêm bàitập hoặc giới thiệu sách tham khảo cho học sinh tự nghiên cứu

Thứ ba: Khi dạy mỗi bài nên phân tích kĩ cho học sinh dạng của bài đó và

phương pháp làm (sử dụng phương pháp tư duy ngược) Giáo viên nên hướngdẫn học sinh nẵm vững được những nội dung kiến thức trọng tâm nhất một cáchngắn gọn, một số bài toán mấu chốt cơ bản để các bài toán nhỏ khác có thể đưa

về nó Đây là vấn đề trọng tâm nhất giúp học sinh học tốt hơn và không còn “sợ” khi gặp các bài toán khoảng cách trong không gian nữa

Theo kinh nghiệm giảng dạy của mình trước khi đưa ra các phươngpháp giải bài toán khoảng cách tôi hướng dẫn học sinh cách xác định khoảngcách từ một điểm tới một mặt phẳng trong bài toán cơ bản sau:

Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao Xác định khoảng cách từ Atới mặt phẳng (SBC) nếu

a Tam giác ABC là tam giác thường

b Tam giác ABC là tam giác vuông tại C

c Tam giác ABC là tam giác vuông tại B

Lời giải

Trước khi giải bài toán này tôi nhắc các em một “mẹo” để xác định chânđường cao hạ từ A xuống (SBC) là : “Ngang – Xuống – Lên” tức là từ A kẻđường vuông góc AI ngang xuống BC, từ đỉnh S kéo xuống I và từ A kẻđường vuông góc lên SI

b Khi tam giác ABC là tam giác vuông tại C thì I trùng với C Khi đó ta

có cách xác định chân đường vuông góc hạ từ A như hình vẽ

A B

C

S

K

c Khi tam giác ABC là tam giác vuông tại B thì I trùng với B Khi đó ta

có cách xác định chân đường vuông góc hạ từ A như hình vẽ

Đặc biệt : Nếu tam giác ABC vuông tại A thì S ABC là tứ diện vuông để

tính khoảng cách từ A tới mặt (SBC) ta sử dụng tính chất sau của tứ diện vuông:

Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (OA ⊥OB , OB⊥OC , OC ⊥OA) và H làhình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC)

Khi đó đường cao OH được tính bằng công

OA ⊥OB , OA⊥ OC ⇒OA⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥OD Trong các

tam giác vuông OAD và OBC ta có

Sau đây tôi xin trình bày một số phương pháp để giải quyết các bài toánkhoảng cách trong không gian:

3.1 Phương pháp tính trực tiếp: Xác định hình chiếu H của O trên () và

tính OH

* Phương pháp chung.

- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ()

- Tìm giao tuyến  của (P) và ()

- Kẻ OH   ( H ∈ Δ) Khi đó d (O ,(α))=OH Đặc biệt:

+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy.+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuônggóc hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy

+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giaotuyến của hai mặt bên này

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những gócbằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chânđường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy

Ví dụ (Đề thi Đại học khối A năm 2010)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH=a√3 Tính khoảng cách giữa

hai đường thẳng DM và SC theo a.

Lời giải.

Ta có: ΔMAD= ΔNCD ⇒ g óc( ADM )=g óc (DCN ) ⇒ MD ⊥ NC

Do SH ⊥ ( ABCD)⇒ MD ⊥ SH ⇒ MD ⊥ ( SHC )

Kẻ HK ⊥ SC ( K ∈ SC )

Suy ra HK là đoạn vuông góc

chung của DM và SC nên d ( DM , SC )=HK

C B

A

S

Ý tưởng của phương pháp này là bằng cách trượt đỉnh O trên một đường

thẳng đến một vị trí thuận lợi O ', ta quy việc tính d (O ,(α)) về việc tính d (O ' ,(α))

Ta thường sử dụng những kết quả sau:

Kết quả 1 Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và M, N  

thì d (M ;(α))=d (N ;(α ))

Kết quả 2.(Quy tắc đổi điểm) Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () tại

điểm I và M, N   (M, N không trùng với I) thì:

d (M ;(α)) d (N ;(α))=MI

¿

Đặc biệt: Nếu M là trung điểm của NI thì d (M ;(α))=1

2d (N ;(α))

Nếu I là trung điểm của MN thì d (M ;(α))=d (N ;(α ))

Ví dụ 1 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a,

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh

bằng a, SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a√3 O là tâm hình vuôngABCD

a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);

b Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC);

c G1 là trọng tâm ∆SAC Từ G1 kẻ đường thẳng song song với SB cắt OBtại I Tính khoảng cách từ điểm G1 đến mp(SBC), khoảng cách từ điểm I đếnmp(SBC);

d J là trung điểm của SD, tính khoảng cách từ điểm J đến mp(SBC);

e Gọi G2 là trọng tâm của ∆SDC Tính khoảng cách từ điểm G2 đếnmp(SBC);

Từ (1) và (2) ta suy ra AH  (SBC) Khi đó d(A, (SBC)) = AH

Xét ∆SAD vuông tại A Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có1

2

b O là trung điểm của AC nên d(O, (SBC)) = 12d(A,(SBC)) hay

Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,

SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a√3 O là tâm hình vuông ABCD.

a Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC)

b Gọi J là trung điểm của SD, G2 là trọng tâm của ∆SDC Tính khoảngcách từ điểm G2 đến mp(SBC)

Ví dụ 3 (Đề thi ĐH khối B năm 2007)

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh a E

là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA M , N lần lượt là trung điểm của

Ví dụ 4 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có

cạnh bằng a, SA=a√3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

b Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC)

Phân tích: Do OA ∩(SBC )=C, nên thay vì việc tính d(O ,( SBC))ta đi tính

d(A , (SBC )), tương tự như vậy ta có thể quy việc tính d(G , (SAC))thông qua việctính d(E , (SAC )) hay d(B ,( SAC))

⇔ d(O , (SBC ))= 1

2d(A , (SBC ))Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có:

D

C B

A S

a

a M

N

P

O C

B

S E

đi tính V và S

Ví dụ 1 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a√2 Gọi

M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD Tính khoảng cách từ Pđến mặt phẳng (AMN)

Phân tích Theo giả thiết, việc tính

thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC

hay AMNP là dễ dàng Vậy ta có thể nghĩ

đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến

mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích của

các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến

(AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C

Ta có thể sử dụng quy tắc đổi điểm để làm như sau:

CO∩( AMN )=A

nên d(C , ( AMN ))

d(O ,( SBC)) =

CA

OA=2⇔ d(C ,( AMN ))=2 d(O , ( AMN ))

3.4 Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông

Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O ( OA ⊥OB , OB⊥OC , OC ⊥OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức

O B

D

C

A

S

Ví dụ 1 Cho lăng trụ đều ABC A ' B' C ' có tất

cả các cạnh đều bằng a Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của AA ' và BB' Tính khoảng cách giữa B' M và

CN

Phân tích Để tính khoảng cách giữa B' M và

CN ta tìm một mặt phẳng chứa CN và song song với

B' M, tiếp theo ta dùng các phép trượt để quy việc

d (B ' M , CN )=d (B ' M ,( ACN ))=d(B ' ,( ACN ))=d (B ,( ACN ))=2 d (O ,( ACD))=2 h

Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta được

trọng tâm của tam giác ADD '

Do đó d (M ,(A ' DE)) d (A ,( A ' DE))=GM

O G

E

N M

B

B' A'

C'

D

C D'

A

Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ

d (M , Δ)=¿ ¿ với  là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương u⃗

d ( Δ, Δ')=¿ ¿ với Δ' là đường thẳng đi qua A ' và có vtcp ⃗u '

Ví dụ 1 Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1 Một mặt

phẳng (α )bất kì đi qua đường chéo B’D

a Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’)

b Xác định vị trí của mặt phẳng (α ) sao cho diện tích của thiết diện cắtbởi mp(α ) và hình lập phương là bé nhất

Phân tích: Với một hình lập

phương ta luôn chọn được một hệ toạ độ

thích hợp, khi đó tạo độ các đỉnh đã biết

nên việc tính khoảng cách giữa hai mặt

phẳng (ACD’) và (A’BC’) trở nên dễ

dàng Với phần b, ta quy việc tính diện

tích thiết diện về việc tính khoảng cách từ

a Dễ dàng chứng minh được (ACD’) // (A’BC’)

DM và DN//MB’ Vậy thiết diện là hình bình hành DMB’N

Gọi H là hình chiếu của M trên DB’ Khi đó:

B A

Vậy diện tích S DMB ' N nhỏ nhất khi M là trung điểm D’C’ hoặc M là trungđiểm D’A’

Ví dụ 2 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.

SA ⊥ ( ABCD) , SA=a Gọi M là điểm di động trên cạnh CD Xác định vị trí của M

Từ bảng biến thiên ta có min

[0 ;1]

f (t )=3

2, đạt được khi t = 0 max[0 ;1] f (t )=2, đạt được khi t = 1

Do đó d (S , MB ) lớn nhất khi M ≡ C∧d (S , BM )=√2

d (S , MB ) nhỏ nhất khi M ≡ D∧d ( S , BM )=√32

3.6 Sử dụng phương pháp véc tơ.

Ví dụ (Đề thi ĐH khối B năm 2007)

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh a E

là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA M , N lần lượt là trung điểm của

N

P

O C

B

S E