skkn phương pháp giải bài tập trắc nghiệm thể tích khối chóp và một số bài vận dụng thực tế

2.2 Giải pháp mới:Dạng 1: Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.. Câu 36: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặ

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP NGÀNH

Chúng tôi ghi tên dưới đây:

Ngày tháng năm sinh

Nơi công tác Chức vụ

Trình độ chuyên môn

Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo

ra sáng kiến

1 Đinh Cao Thượng 07/07/1983 Trường THPT

Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học môn Toán.

II Nội dung sáng kiến:

1 Giải pháp cũ thường làm:

Kiểm tra đánh giá là khâu không thể thiếu trong quá trình dạy học Hoạt động nàykhông chỉ nhằm ghi nhận kết quả đạt được của học sinh mà còn hướng vào việc đề xuấtnhững phương hướng đổi mới, cải thiện thực trạng, điều chỉnh và nâng cao chất lượng, hiệuquả giáo dục

Trước những yêu cầu của xã hội đối với sản phẩm của giáo dục, kiểm tra đánh giátrong dạy học môn Toán cần có những thay đổi Nếu như trước đây, trong quá trình kiểm trađánh giá định kỳ cũng như trong các kì thi tuyển sinh đại học hoặc thi THPT Quốc gia đề thimôn Toán đều thi theo hình thức tự luận, đây là một hình thức thi truyền thống đã được thựchiện nhiều năm nay, tuy nhiên hình thức này có nhiều điểm hạn chế Vì vây, từ kì thi THPTQuốc Gia năm 2017 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm Việcthay đổi này ít nhiều cũng gây khó khăn và cả sự bỡ ngỡ cho giáo viên cũng như học sinh.Cái thay đổi nhiều nhất với giáo viên đó là vấn đề ra đề thi và kiểm tra, còn với học sinh đó

là vấn đề học đều toàn bộ chương trình không còn tình trạng học tủ, cần phải chú ý đến cảnhững nội dung mà trước đây hầu như không xuất hiện trong đề thi Chẳng hạn, trong nộidung về thể tích khối đa diện, là một nội dung khó đối với học sinh vì đòi hỏi kiến thức tổnghợp và tư duy trừu tượng cao, trước đây học sinh chủ yếu học tủ một số dạng câu hỏi thườnggặp trong các đề thi.

Qua nghiên cứu và thực tế giảng dạy trong năm học 2016 – 2017, nhằm chuẩn bị tốtcho kì thi THPT Quốc gia năm 2017 đối với bộ môn Toán nói chung và với dạng bài tập trắc

nghiệm về thể tích khối chóp nói riêng chúng tôi đã viết sáng kiến “Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm thể tích khối chóp và một số bài vận dụng thực tế”.

Mục đích chính của Sáng kiến này là trình bày các phương pháp giải bài tập thể tích khối chóp trong phần hình học trung học phổ thông, đồng thời khai thác trong các bài toán thực

tế gắn với khối chóp và các khối đa diện liên quan.

2 Giải pháp cải tiến:

2.1 Cơ sở lý luận:

2.1.1 Kiến thức cơ bản

1 Công thức tính thể tích khối chóp

1 3

V = S h

Trong đó: S là diện tích đáy,

h là chiều cao khối chóp.

2 Các kiến thức cơ bản hình học phẳng

a Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông ở A ta có :

c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng.

d/ Diên tích hình thoi : S = 1

2(tích hai đường chéo)

d/ Diện tích hình thang : S 1

2 (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao

e/ Diện tích hình bình hành : S = cạnh đáy x chiều cao

f/ Diện tích hình tròn : S .R2

g/ Đa giác (H) phân chia thành các đa giác (Hi) thì

3 Khoảng cách trong không gian

a Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông

góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng)

b Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

 Bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia

và song song với đường thẳng thứ nhất

 Bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này vàsong song với đường thẳng kia

4 Góc trong không gian.

B'

A' S

C

B A

a Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một

điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b

b Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’

của nó trên mặt phẳng (P).

c Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng

đó hoặc là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giaotuyến tại một điểm

S A B C

S ABC

Phương pháp này được áp dụng khi khối chóp không xác

đinh được chiều cao một cách dễ dàng hoặc khối chóp cần tính

là một phần nhỏ trong khối chóp lớn và cần chú ý đến một số

điều kiện sau

· Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh

· Đáy hai khối chóp phải là tam giác

· Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng

2.2 Giải pháp mới:

Dạng 1: Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A với AB = AC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

+ Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Thông hiểu, tương đương Câu 36 trong đề minh

họa môn Toán của BGD.

Câu 36: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

3 trong hai công thức trên.

 Đề xuất: Có thể có phương án nhiễu khác, đó là: V 3

6

 , do học sinh sử dụng máytính và gán cho a = 1

 Đây là dạng toán liên quan đến hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy , do đó việc

xác định công thức tương đối dễ dàng, vấn đề chỉ nằm ở việc học sinh tính toán 2 yếu

tố trong công thức là chiều cao và diện tích đáy Cũng vì đó, các thầy cô có thể đưa racâu hỏi cùng dạng toán trên nhưng có thể mức độ khác nhau

Chẳng hạn: + Biết đáy, chưa biết chiều cao (phải tính thông qua giả thiết khác, ví dụ góc giữa cạnh bên và mặt đáy…)

+ Biết chiều cao, chưa đủ yếu tố để tính diện tích đáy (phải tính thông qua giả thiết khác, ví dụ góc giữa cạnh bên và mặt đáy…)

+ Chưa đủ yếu tố tính diện tích đáy và chưa cho chiều cao (phải tính thông qua các giả thiết của câu hỏi).

+ Thay đổi đáy là các tam giác, tứ giác mà học sinh đã biết công thức

với mặt phẳng đáy Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 600 Tính thể tích V của khối chópS.ABC.

Câu 8: (Trích đề thi TNTHPT năm 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam

giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết góc BAC bằng 1200 Tínhthể tích V của khối chóp S.ABC

Câu 9: (Trích đề thi TNTHPT năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) vàmặt phẳng đáy bằng 600 Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

Câu 9: (Trích đề thi TNTHPT năm 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

thang vuông tại A và D với AD = CD = a, AB = 3a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳngđáy và cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 450 Tính thể tích V của khối chópS.ABCD

Câu 10: (Trích đề thi TNTHPT năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặtphẳng (SAB) một góc 300 Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

Câu 11: (Trích đề thi TSĐH Khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam

giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc vớimặt phẳng đáy Biết góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính thể tích V của khối chópS.ABCD

Dạng 2: Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy.

Ví dụ: (Trích đề thi TSĐH Khối B năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

+ Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Vận dụng cơ bản.

+ Học sinh cần nắm được : Công thức tính thể tích khối chóp, công thức tính diện tíchhình vuông, cách xác định chiều cao của hình chóp

2) Lời giải:

+ Xác định công thức: Gọi H là trung điểm

AB, do tam giác SAB đều nên SH  AB Mà

(SAB)(ABCD);(SAB) (ABCD) AB;SH  (SAB)

nên: SH(ABCD) Do đó: ABCD

1

V SH.S 3

+ B : Học sinh coi chiều cao là SA.

+ C : Học sinh xác định được SH nhưng tính toán sai trong quá trình áp dụng giá trị lượng giác của góc trong tam giác vuông SAH hoặc SBH.

+ D : Học sinh quên 1

3 trong công thức tính thể tích.

 Đề xuất: Có thể có phương án nhiễu khác theo các sai lầm đã nói ở Bài 1.

 Đây là dạng toán liên quan đến hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy , do đó việc

khó khăn nhất của bài toán là xác định chiều cao của chóp Vấn đề này liên quan đếntính chất hai mặt vuông góc mà học sinh đã được học lớp 11 Ta cần nhấn mạnh rằng:

“Đường cao của hình chóp chính là đường cao kẻ từ S của tam giác là mặt bên nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy” Nói cách khác, hình chiếu của S trên mặt

phẳng đáy nằm trên đường thẳng chứa cạnh đáy, là giao tuyến của mặt bên vuông gócvới đáy và đáy Để có thể tạo ra các bài tập ở dạng tương tự ta có thể:

Chẳng hạn: + Thay đổi các giả thiết tương tự Bài 1.

+ Cho trước luôn hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là điểm cho

trước trên một cạnh đáy nào đó

Một số câu hỏi cùng dạng:

Câu 1: (Trích đề thi TSĐH Khối D năm 2014)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác

ABC vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông gócvới mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

Câu 2: (Trích đề thi TSĐH Khối D năm 2011)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác

ABC vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC).Biết SB 2a 3 và góc SBC bằng 300 Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

A.V 2 3a  3 B V 6 3a  3 C V 2a  3 D V  3a 3

Câu 3:(Trích đề thi TSĐH Khối A năm 2012)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều

ABC cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA

= 2HB Góc giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 600 Tính thể tích V của khối chópS.ABC

Câu 4:(Trích đề thi TSĐH Khối A, A1 năm 2013)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác

ABC vuông tại A, góc ABC bằng 300 , tam giác SBC đều cạnh a và mặt bên (SBC) vuônggóc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

Câu 5:(Trích đề thi TSĐH Khối A, A1 năm 2014)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình

vuông ABCD cạnh a, SD = 3a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là

trung điểm của cạnh AB Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

3

a V 2

A V 2 3a  3 B V 6 3a  3 C V  3a 3 D V 13a3

3



+ Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Thông hiểu.

+ Học sinh cần nắm được : Công thức tính thể tích khối chóp, công thức tính diện tíchtam giác đều, cách xác định chiều cao của hình chóp đều

2) Lời giải:

+ Xác định công thức: Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, do S.ABC là hình chóp đều

nên SH là đường cao của hình chóp Do đó: ABC

1

V SH.S 3

 Các phương án nhiễu: + B : Học sinh coi chiều cao là SA.

 Đề xuất phương án nhiễu: như Ví dụ Dạng 1, Dạng 2.

 Đây là dạng toán liên quan đến hình chóp đều vì thế cần nắm vững định nghĩa hìnhchóp đều cũng như các tính chất liên quan Đôi khi giả thiết có thể cho đáy là tam giácđều và các cạnh bên đều bằng nhau thì bản chất cũng là cho hình chóp đều Để tạo racác bài toán cùng dạng ta có thể áp dụng cách làm trong các bài toán trên

SD, tam giác SBD là tam giác vuông Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

Dạng 4: Thể tích khối chóp có hình chiếu của đỉnh không thuộc cạnh đáy.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho

AC = 4AH Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

+ C : Học sinh nhân thêm 1

2 trong công thức tính diện tích hình vuông.

+ D : Sai lầm của cả B và C

 Đề xuất phương án nhiễu: như Ví dụ Dạng 1, Dạng 2.

 Đây là dạng toán liên quan đến hình chóp mà hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy làđiểm không thuộc cạnh đáy, vị trí của nó trên mặt phẳng đáy đã chỉ rõ, vì vậy việc xácđịnh công thức là tương đối dễ dàng Để tính được nó chỉ cần dựa vào giả thiết để đưachiều cao cần tính về tính chiều cao trong tam giác mà thôi

 Một số câu hỏi cùng dạng

Câu 1:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = a, hình chiếu của Strên mặt phẳng đáy là trọng tâm G của tam giác ABC Biết SA = a Tính thể tích V của khốichóp S.ABC

Câu 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O với AC = a, cạnh bên SA

= a, SO vuông góc với (ABCD) và SO = a

2 Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

Câu 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD tâm O với AB = a và AD =

a 3, SO = a Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) Tính thể tích

V của khối chóp S.ABCD

3

8aV15

3

8aV5



Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B, AB a 3, ACB 60 0, hình

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trungđiểm AC biết SE a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, ABAC a và

M là trung điểm của cạnh AB Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt đáy (ABC) trùngvới tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC và góc giữa SA với mặt đáy (ABC) bằng 600.Tính theo a thể tích khối chóp S.BMC

Dạng 5: Thể tích khối chóp tính theo tỉ số thể tích.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a; cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = 2a Mặt phẳng qua A và vuông góc SC cắt

SB và SC lần lượt tại H và K Tính thể tích V của khối tứ diện SAHK.

+ Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Vận dụng cơ bản.

+ Học sinh cần nắm được : Công thức tính thể tích khối chóp, công thức tỷ số thể tíchcủa hai khối chóp tam giác, hệ thức lượng trong tam giác vuông

2) Lời giải:

+ Tam giác SAC vuông tại A có AK là đường

cao, nên: SK SA22 4a22 2

SC SC 6a 3.+Ta chứng minh được AH vuông góc với SB

nên tương tự trong tam giác vuông SAB ta có:

+ B : Học sinh quên 1

3 trong công thức tính thể tích.

+ C : Học sinh nhân thêm 1

2 trong công thức tính diện tích hình vuông.

+ D : Sai lầm của cả B và C

 Đây là dạng toán liên quan tính thể tích của khối chóp bằng phương pháp gián tiếp, cụthể là tỷ số thể tích Học sinh cần nắm được tỷ số thể tích của hai khối chóp tam giác:

S.A'B'C' S.ABC

V SB' SC '

V SB SC

S.ABC' S.ABC

V SCThường thì ta áp dụng công thức trên trong trường hợp 2 chóp tam giác có chung đỉnhnhưng hai đáy nằm trên 2 mặt phẳng khác nhau Còn nếu trong trường hợp hai chópchung đỉnh và hai đáy cùng nằm trên mặt phẳng thì ta quy về tính theo tỷ số diện tíchcủa hai đáy(vì cùng chiều cao)

Ví dụ: Câu 37 đề minh họa của BGD

Câu 36: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 6a, AC = 7a và AD = 4a Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD và DB Tính thể tích V của tứ diện AMNP.

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi một vuông góc với nhau,

AB = ; a AC =2a và AD =3a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD , CD Tính

thể tích V của tứ diện ADMN

A V =a3 B

3

23

a

3

34

với mặt phẳng ABC, AB a , BC a 3, SA a Một mặt phẳng   qua A vuông góc

SC tại H và cắt SB tại K Tính thể tích khối chóp S AHK theo a.

Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC =a 2 , SA vuông góc

với đáy ABC , SA a  Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( ) qua AG và songsong với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N Tính thể tích của khối chóp S.AMN

Dạng 6: Tính tí số thể tích.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm

SC, mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F Đặt V 1 =

+ Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Vận dụng cơ bản.

+ Học sinh cần nắm được : cách phân chia khối đa diện thành các khối đa diện thànhphần, công thức tỷ số thể tích của hai khối chóp tam giác