Hàm lồi và tính chất cực trị của chúng

Hàm lồi và tính chất cực trị của chúng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Möc löc

Möc löc 2

Líi mð ¦u 3

1 C¡c ki¸n thùc cì b£n v· tªp lçi v  h m lçi 6 1.1 Tªp lçi 6

1.2 H m lçi 17

1.2.1 ành ngh¾a v  c¡c v½ dö 17

1.2.2 T½nh li¶n töc cõa h m lçi 22

1.2.3 C¡c ph²p to¡n b£o to n t½nh lçi 23

1.2.4 B§t ¯ng thùc lçi 25

1.2.5 D÷îi vi ph¥n cõa h m lçi 26

2 T½nh ch§t cüc trà cõa h m lçi 30 2.1 ành ngh¾a cüc trà cõa mët h m lçi 31

2.2 T½nh ch§t cüc trà cõa h m lçi 31

2.2.1 T½nh ch§t cüc tiºu cõa h m lçi 31

2.2.2 T½nh ch§t cüc ¤i cõa h m lçi 32

3 B i to¡n cüc trà h m lçi 36 3.1 B i to¡n tèi ÷u lçi khæng câ r ng buëc 36

3.2 B i to¡n tèi ÷u lçi vîi r ng buëc ¯ng thùc 37

3.3 B i to¡n tèi ÷u lçi vîi r ng buëc b§t ¯ng thùc 40

3.4 èi ng¨u Lagrange 46

3.5 iºm y¶n ngüa 49

3.6 Ph÷ìng ph¡p Frank - Wolfe 51

K¸t luªn 55

Líi nâi ¦u

Gi£i t½ch lçi l  mët bë mæn quan trång cõa gi£i t½ch phi tuy¸n Gi£it½ch lçi nghi¶n cùu v· tªp lçi v  h m lçi C§u tróc lçi l  mët sü mð rëngtrüc ti¸p cõa c§u tróc tuy¸n t½nh C§u tróc lçi g°p r§t nhi·u trong nhúngl¾nh vüc kh¡c nhau cõa to¡n håc gi£i t½ch Trong â, cüc trà cõa h m lçi

l  mët trong nhúng · t i quan trång cõa gi£i t½ch lçi, lþ thuy¸t n y l¤i

c ng trð n¶n phong phó nhí nhúng t½nh ch§t cõa tªp lçi v  h m lçi Tø

â, ng÷íi ta ÷a ra nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i quy¸t kh¡c nhau cho méi

b i to¡n t¼m cüc ¤i hay cüc tiºu cõa mët h m lçi tr¶n mët tªp lçi Cüctrà cõa h m lçi câ vai trá quan trång trong gi£i t½ch hi»n ¤i, çng thíi

câ nhi·u ùng döng trong c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau cõa To¡n håc, °c bi»t

l  trong bë mæn To¡n ùng döng nh÷: Tèi ÷u hâa, b§t ¯ng thùc bi¸nph¥n

Möc ½ch cõa luªn v«n nh¬m tr¼nh b y mët c¡ch câ h» thèng c¡c ki¸nthùc cì b£n v  quan trång nh§t v· cüc trà cõa h m lçi çng thíi, giîithi»u mët sè b i to¡n tèi ÷u lçi v  c¡c lþ thuy¸t li¶n quan cho b i to¡n

n y, nh÷ l  c¡c i·u ki»n tèi ÷u, lþ thuy¸t èi ng¨u,

Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v  danh möc t i li»u tham kh£o, luªnv«n gçm câ 3 ch÷ìng

Ch÷ìng mët cõa luªn v«n vîi ti¶u · "C¡c ki¸n thùc cì b£n v· tªp lçi

v  h m lçi" nh¬m giîi thi»u mët sè kh¡i ni»m cì b£n v· tªp lçi v  h m

lçi còng vîi nhúng t½nh ch§t °c tr÷ng cõa nâ Do ph¦n n y ch¿ mangt½nh ch§t bê trñ, n¶n ta s³ khæng chùng minh c¡c k¸t qu£ ÷a ra ð ¥y.Vîi ti¶u · "T½nh ch§t cüc trà cõa h m lçi", ch÷ìng hai nh¬m giîithi»u nhúng kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n, quan trång v· cüc trà cõa h mlçi Ch÷ìng n y ÷ñc chia l m hai ph¦n Ph¦n ¦u tr¼nh b y c¡c kh¡ini»m v· cüc ¤i v  cüc tiºu cõa h m lçi Ph¦n ti¸p theo · cªp v· c¡ct½nh ch§t cì b£n v  quan trång v· cüc ¤i, cüc tiºu cõa h m lçi.

Düa tr¶n c¡c k¸t qu£ ¢ n¶u ð c¡c ch÷ìng tr÷îc â, ch÷ìng ba cõaluªn v«n "B i to¡n cüc trà h m lçi", ÷ñc d nh º tr¼nh b y v· ùngdöng cõa cüc trà h m lçi trong vi»c x¥y düng i·u ki»n tèi ÷u cho b ito¡n t¼m cüc tiºu cõa mët h m lçi tr¶n mët tªp lçi Cö thº ð ¥y l nhúng i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c b i to¡n tèi ÷u lçi khæng câ r ng buëc,

r ng buëc ¯ng thùc v  r ng buëc b§t ¯ng thùc çng thíi, tr¼nh b yv· b i to¡n èi ng¨u Lagrange v  iºm y¶n ngüa Ph¦n cuèi cõa ch÷ìng

n y tr¼nh b y v· mët thuªt to¡n cì b£n º gi£i b i to¡n qui ho¤ch lçi

â l  ph÷ìng ph¡p Frank - Wolfe

Trong qu¡ tr¼nh ho n th nh cuèn luªn v«n n y, tæi xin b y tä láng bi¸t

ìn ch¥n th nh nh§t ¸n ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc cõa tæi l  GS.TSKH.L¶ Dông M÷u Th¦y ¢ tªn t¼nh ch¿ b£o, h÷îng d¨n tæi trong suèt qu¡tr¼nh thüc hi»n luªn v«n

Tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c Th¦y, cæ trong khoa To¡n, tr÷íng

H S÷ ph¤m ¢ nhi»t t¼nh truy·n thö cho tæi nhúng ki¸n thùc quþ gi¡,c£ v· ph÷ìng ph¡p håc tªp công nh÷ c¡c ph÷ìng ph¡p gi£ng d¤y, nghi¶ncùu tr¶n gi£ng ÷íng C¡m ìn gia ¼nh, b¤n b± ¢ luæn t¤o i·u ki»ncho tæi ph§n §u, gióp ï v  ëng vi¶n tæi trong suèt thíi gian qua.M°c dò ¢ câ r§t nhi·u cè g­ng, nh÷ng do h¤n ch¸ v· nhi·u m°t n¶n

luªn v«n ch­c ch­n khæng tr¡nh khäi thi¸u sât R§t mong nhªn ÷ñc süch¿ b£o, gâp þ cõa Th¦y cæ v  c¡c b¤n.

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.

V½ dö 1.1.3 Trong h¼nh håc sì c§p ta ¢ l m quen vîi c¡c tªp lçi

- Trong R2, c¡c h¼nh tam gi¡c, h¼nh trán, l  c¡c tªp lçi quen bi¸t.

- Trong R3, c¡c h¼nh châp, l«ng trö, h¼nh c¦u, công l  c¡c tªp lçi

ành ngh¾a 1.1.4 Ta nâi x l  tê hñp lçi cõa c¡c iºm (v²c-tì) x1, x2, , xkn¸u

M»nh · 1.1.5 Tªp C l  lçi khi v  ch¿ khi nâ chùa måi tê hñp lçi c¡c

iºm cõa nâ Tùc l , C lçi khi v  ch¿ khi

Bao lçi cõa måi tªp C ch½nh l  mët tªp lçi nhä nh§t chùa C

V½ dö 1.1.7 - Bao lçi cõa tªp ch¿ câ hai iºm a, b ch½nh l  o¤n th¯ngnèi hai iºm a, b

- Bao lçi cõa tªp hñp 3 iºm khæng th¯ng h ng l  tam gi¡c vîi 3 ¿nh

a, b, c v  ph¦n trong cõa nâ

M»nh · 1.1.8 Bao lçi cõa mët tªp C l  tªp hñp c¡c tê hñp lçi cõac¡c iºm thuëc C

ành lþ 1.1.9 Tªp lçi l  âng vîi c¡c ph²p giao, ph²p cëng, ph²p nh¥nvîi mët sè, ph²p l§y tê hñp tuy¸n t½nh v  ph²p nh¥n t½ch Decastes Tùc

l , n¸u A v  B l  hai tªp lçi trong Rn, C l  tªp lçi trong Rm th¼ c¡c tªpsau công l  tªp lçi:

i) A ∩ B = {x|x ∈ A; x ∈ B} ,

ii) λa + βb = {x|x = λa + βb, a ∈ A, b ∈ B, λ, β ∈ R} ,

iii) A × C = {x ∈ Rm+n|x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C}

ành ngh¾a 1.1.10 Cho hai iºm a, b ∈ Rn ÷íng th¯ng i qua hai

iºm a, b l  tªp hñp t§t c£ c¡c iºm x ∈ Rn câ d¤ng

{x|x = λa + (1 − λb), λ ∈ R}

ành ngh¾a 1.1.11 Mët tªp M ∈ Rn÷ñc gåi l  mët tªp affin (hay at¤p affin) n¸u nâ chùa måi ÷íng th¯ng i qua hai iºm b§t k¼ cõa nâ,ngh¾a l 

∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ M

Nhªn x²t: Tªp affin l  mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa tªp lçi

V½ dö 1.1.12 Tªp réng, tªp gçm duy nh§t mët iºm {x0}, ÷íng th¯ng,c¡c khæng gian con cõa Rn l  nhúng v½ dö v· tªp affin

M»nh · 1.1.13 M 6= ∅ l  tªp affin khi v  ch¿ khi nâ câ d¤ng M = L+avîi L l  mët khæng gian con v  a ∈ M Khæng gian con n y ÷ñc x¡c

ành ngh¾a 1.1.15 Si¶u ph¯ng trong khæng gian R l  tªp hñp c¡c iºm

câ d¤ng

x ∈ Rn|aTx = α trong â a ∈ Rn l  mët v²c tì kh¡c 0 v  α ∈ R

V²c tì α ÷ñc gåi l  v²c tì ph¡p tuy¸n cõa si¶u ph¯ng

V½ dö 1.1.16 - Trong khæng gian 2 chi·u, si¶u ph¯ng l  mët ÷íngth¯ng.

- Trong khæng gian 3 chi·u, si¶u ph¯ng l  mët m°t ph¯ng

Mët si¶u ph¯ng s³ chia khæng gian th nh hai nûa khæng gian Nûakhæng gian ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:

ành ngh¾a 1.1.17 Tªp hñp c¡c iºm câ d¤ng x ∈ Rn| aTx ≥ α ,trong â a 6= 0 v  α ∈ R, ÷ñc gåi l  nûa khæng gian âng

Tªp x|aTx > α ÷ñc gåi l  nûa khæng gian mð

Nh÷ vªy, mët si¶u ph¯ng chia khæng gian ra th nh hai nûa khænggian, méi nûa khæng gian ð v· mët ph½a cõa si¶u ph¯ng N¸u hai nûakhæng gian n y l  âng th¼ ph¦n chung cõa chóng l  si¶u ph¯ng

ành ngh¾a 1.1.18 Ta nâi x l  tê hñp affin cõa c¡c iºm x1, x2, , xkn¸u

ành ngh¾a 1.1.19 Giao cõa t§t c£ c¡c tªp affin chùa tªp C ⊆ Rn

÷ñc gåi l  bao affin cõa C K½ hi»u: affC

Nhªn x²t: - Do giao c¡c tªp affin công l  tªp affin, n¶n bao affin cõamët tªp C ÷ñc x¡c ành duy nh§t Nâ l  tªp affin nhä nh§t chùa C

- Vîi måi tªp C 6= ∅, bao affin cõa C bao gií công tçn t¤i duy nh§t v kh¡c réng

M»nh · 1.1.20 Bao affin cõa C l  tªp hñp c¡c tê hñp affin cõa c¡c

iºm thuëc C, ngh¾a l 

ành ngh¾a 1.1.21 C¡c iºm x0, x1, , xk ÷ñc gåi l  ëc lªp affin n¸ubao affin c«ng bði chóng câ thù nguy¶n k.

Thù nguy¶n cõa mët tªp lçi ÷ñc cho bði thù nguy¶n cõa bao affincõa nâ

Nh÷ vªy, n¸u A l  tªp lçi, A ∈ Rn th¼ dimA ≤ n

ành ngh¾a 1.1.22 Mët tªp C ÷ñc gåi l  nân lçi, n¸u:

∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C

Mët nân C ÷ñc gåi nân lçi n¸u nâ çng thíi l  mët tªp lçi

ành ngh¾a 1.1.23 Cho C ⊆ Rn l  mët tªp lçi v  x ∈ C Kþ hi»u

coneC l  tªp hñp khæng ¥m c¡c iºm thuëc C

ành ngh¾a 1.1.26 Cho tªp C ⊆ Rn Mët iºm a ∈ C ÷ñc gåi l 

iºm trong cõa C n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn mð U cõa a sao cho: U ⊆ C

Tªp hñp c¡c iºm trong cõa C ÷ñc k½ hi»u l  intC Theo ành ngh¾atr¶n ta câ:

intC = {x|∃r > 0 : x + rB ⊂ C} ,vîi B l  qu£ c¦u ìn và t¥m ð gèc

iºm a ÷ñc gåi l  iºm bi¶n cõa C n¸u måi l¥n cªn cõa a ·u câ

iºm thuëc C v  iºm khæng thuëc C

Tªp C ÷ñc gåi l  tªp mð n¸u måi iºm cõa C ·u l  iºm trong cõa

C

Tªp C ÷ñc gåi l  tªp âng n¸u C chùa måi iºm bi¶n cõa nâ

Tªp C gåi l  bà ch°n n¸u tçn t¤i mët h¼nh c¦u chùa C

Trong Rn, tªp C ÷ñc gåi l  compact n¸u nâ l  mët tªp âng v  bàch°n

Tuy nhi¶n, trong tèi ÷u ho¡ v  mët sè l¾nh vüc kh¡c cõa To¡n håc ùngdöng, ng÷íi ta ph£i l m vi»c vîi c¡c tªp lçi trong khæng gian Rn câ thùnguy¶n khæng ¦y õ D¾ nhi¶n nhúng tªp n y khæng câ iºm trong.Nh÷ng nhí c§u tróc lçi nâ luæn câ iºm trong khi x²t trong khæng gian

af f C iºm trong n y ÷ñc gåi l  iºm trong t÷ìng èi

ành ngh¾a 1.1.27 Mët iºm a ∈ C ÷ñc gåi l  iºm trong t÷ìng èicõa C n¸u nâ l  iºm trong cõa C theo tæpæ c£m sinh bði affinC

Ta s³ k½ hi»u tªp c¡c iºm trong t÷ìng èi cõa C l  riC Theo ànhngh¾a tr¶n ta câ

riC = {a ∈ C|∃B : (a + B) ∩ af f C ⊂ C} ,

trong â B l  l¥n cªn mð cõa gèc Hiºn nhi¶n

riC = {a ∈ af f C|∃B : (a + B) ∩ af f C ⊂ C}

Nh÷ th÷íng l», ta k½ hi»u C l  bao âng cõa C Khi â tªp hñp C \riC

÷ñc gåi l  bi¶n t÷ìng èi cõa C Tªp C ÷ñc gåi l  mð t÷ìng èi n¸u

C = riC

Hiºn nhi¶n, n¸u C câ iºm trong th¼ riC = intC

V½ dö 1.1.28 X²t h¼nh vuæng trong R3, x¡c ành bði:

C = x ∈ R3| − 1 ≤ x1 ≤ 1, −1 ≤ x2 ≤ 1, x3 = 0 Bao affin cõa nâ l  c£ m°t ph¯ng (x1, x2) trong R3, ngh¾a l :

Nh÷ vªy, mët tªp lçi a di»n D ÷ñc cho nh÷ l  tªp nghi»m cõa mëth» b§t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh Tùc l 

D = x ∈ Rn|haj, xi ≤ bj, j = 1, , m Hay n¸u ta gåi A l  ma trªn câ m h ng l  c¡c v²c tì aj(j = 1, , m)

v  v²c tì bT = (b1, , bm), th¼ h» tr¶n ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng:

D = {x ∈ Rn|Ax ≤ b} Chó þ r¬ng, mët ¯ng thùc câ thº biºu di¹n ÷ñc mët c¡ch t÷ìng

÷ìng qua hai b§t ¯ng thùc, n¶n måi tªp ÷ñc biºu di¹n nh÷ l  nghi»mcõa mët h» húu h¤n c¡c b§t ¯ng thùc

Do trong khæng gian Rn måi phi¸m h m tuy¸n t½nh ·u li¶n töc, n¶nmåi khóc lçi ·u l  tªp âng Nâ câ thº khæng bà ch°n Mët khóc lçi bàch°n th÷íng ÷ñc gåi l  a di»n lçi

ành ngh¾a 1.1.32 Mët tªp hñp S ⊆ Rn ÷ñc gåi l  ìn h¼nh câ thùnguy¶n b¬ng k (hay nâi ng­n gån l  k - ìn h¼nh), n¸u S l  tê hñp lçicõa k + 1 v²c tì ëc lªp affin C¡c v²c tì n y ÷ñc gåi l  c¡c ¿nh cõa

ìn h¼nh trong Rn v  ÷ñc gåi l  ìn h¼nh chu©n t­c

Nhªn x²t: ìn h¼nh l  mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa tªp lçi a di»n.Trong vi»c kh£o s¡t c¡c t½nh ch§t v· c§u tróc tªp lçi, c¡c kh¡i ni»m v·di»n, ph÷ìng v  iºm cüc bi¶n câ vai trá quan trång Câ thº nâi di»ncõa mët tªp lçi nh÷ bë m°t cõa nâ Thæng th÷íng c§u tróc cõa mët tªplçi ÷ñc x¡c ành thæng qua c¡c di»n cõa nâ

ành ngh¾a 1.1.34 Mët tªp F ⊆ C ÷ñc gåi l  mët di»n cõa tªp lçi

C n¸u F l  mët tªp lçi v 

∀x, y ∈ C : tx + (1 − λ)y ∈ F, ∃0 < t < 1 ⇒ [x, y] ⊂ F

i·u n y câ ngh¾a l , tªp lçi F l  mët di»n cõa C, n¸u nh÷ khi Fchùa mët iºm cõa o¤n mð (x, y) th¼ F chùa to n bë kho£ng [x, y]

Ta nâi F l  mët di»n khæng t¦m th÷íng cõa C, n¸u F 6= ∅, F 6= C

iºm cüc bi¶n l  di»n câ thù nguy¶n b¬ng 0

C¤nh l  di»n câ thù nguy¶n b¬ng 1

Tia cüc bi¶n l  mët di»n nûa ÷íng th¯ng Nh÷ vªy, tia cüc bi¶n l mët c¤nh væ h¤n

H÷îng cüc bi¶n l  h÷îng cõa tia cüc bi¶n

Tø ành ngh¾a, ta công suy ra ngay r¬ng x0 ∈ C l  iºm cüc bi¶n khi

v  ch¿ khi khæng tçn t¤i hai iºm x, y ∈ C sao cho

x0 = λx + (1 − λ)y, 0 < λ < 1

Ngo i ra, mët di»n ho°c mët tia cüc bi¶n cõa mët di»n cõa mët tªplçi C công l  mët di»n ho°c mët tia cüc bi¶n cõa C Tªp hñp c¡c iºmcüc bi¶n cõa C th÷íng ÷ñc k½ hi»u l  V (C)

Khi C l  tªp lçi a di»n, th¼ iºm cüc bi¶n gåi l  ¿nh

V½ dö 1.1.35 (V· di»n cõa mët tªp lçi)

Cho tªp C = (x, y, z) ∈ R3|x, y, z ∈ [0, 1]

.Tªp F1 = (x, y, z) ∈ R3|x, y ∈ [0, 1], z = 0

l  mët di»n cõa tªp C.Tªp F2 = (x, y, z) ∈ R3|y ∈ [0, 1], x = 1, z = 0

l  mët di»n cõa tªp

C

ành ngh¾a 1.1.36 Cho x0 ∈ C Ta nâi aTx = α l  si¶u ph¯ng tüa cõa

C t¤i x0, n¸u

aTx0 = α, aTx ≥ α, ∀x ∈ C

Nh÷ vªy, si¶u ph¯ng tüa cõa C t¤i x0 ∈ C l  si¶u ph¯ng i qua x0 v 

º tªp C v· mët ph½a Nûa khæng gian aTx ≥ α trong ành ngh¾a tr¶n

÷ñc gåi l  nûa khæng gian tüa cõa C t¤i x0

M»nh · 1.1.37 Cho Ci ⊆ Rm(i = 1, , k) l  c¡c tªp lçi kh¡c réng.Khi â mët tªp F l  mët di»n cõa tªp C = C1 × × Ck khi v  ch¿ khi

F câ d¤ng F = F1 × × Fk trong â Fi l  di»n cõa Ci

ành lþ 1.1.38 (ành lþ Krein - Mihnan) Måi tªp lçi, âng, kh¡c réngkhæng chùa ÷íng th¯ng ·u câ iºm cüc bi¶n

ành lþ 1.1.39 (X§p x¿ tuy¸n t½nh tªp lçi) Måi tªp lçi, âng, kh¡créng v  khæng tròng vîi to n bë khæng gian ·u l  giao cõa t§t c£ c¡cnûa khæng gian tüa cõa nâ

ành ngh¾a 1.1.40 Mët v²c tì d 6= 0 ÷ñc gåi l  h÷îng lòi xa hayph÷ìng væ h¤n cõa tªp C n¸u:

ành lþ 1.1.41 (ành lþ biºu di¹n tªp lçi) N¸u C l  mët tªp lçi ângkhæng chùa trån mët ÷íng th¯ng n o th¼:

C = coV (C) + coneU (C),

tùc l  måi iºm cõa C ·u biºu di¹n ÷ñc nh÷ l  têng cõa mët tê hñplçi cõa c¡c iºm cüc bi¶n v  tê hñp khæng ¥m cõa c¡c h÷îng cüc bi¶ncõa C.

Trong gi£i t½ch lçi, c¡c ành lþ sau, gåi l  ành lþ t¡ch c¡c tªp lçi, l nhúng ành lþ cì b£n nh§t Düa v o â câ thº chùng minh ÷ñc nhi·uk¸t qu£ quan trång trong lþ thuy¸t tèi ÷u

ành ngh¾a 1.1.42 (Si¶u ph¯ng t¡ch) Cho 2 tªp C v  D kh¡c réng

Ta nâi si¶u ph¯ng aTx = α t¡ch C v  D n¸u:

Khi â câ mët si¶u ph¯ng t¡ch C v  D

H» qu£ 1.1.44 (Bê · li¶n thuëc) Cho C ⊂ Rn l  mët tªp lçi, âng,kh¡c réng Gi£ sû x0 6∈ C Khi â tçn t¤i t ∈ Rn, t 6= ∅ tho£ m¢n

ht, xi ≥ ht, x0i, ∀x ∈ C

ành lþ 1.1.45 (ành lþ t¡ch 2) Cho C v  D l  hai tªp lçi âng kh¡créng sao cho C ∩ D = ∅ Gi£ sû câ ½t nh§t mët tªp l  compact Khi â,hai tªp n y câ thº t¡ch m¤nh bði mët si¶u ph¯ng

H» qu£ 1.1.46 Cho C ⊂ Rn l  mët tªp lçi, âng, kh¡c réng sao cho

0 6∈ C Khi â, tçn t¤i mët v²c tì t ∈ Rn, t 6= 0 v  α > 0 sao cho

ht, xi ≥ α > 0, ∀x ∈ C

H» qu£ 1.1.47 (Bê · Farkas) Cho A l  mët ma trªn thùc c§p m × n

v  a ∈ Rn Khi â trong hai h» d÷îi ¥y câ mët h» v  ch¿ duy nh§t mëth» câ nghi»m

Ax ≥ 0, aTx < 0, vîi mët x ∈ Rn,

ATy = α, y ≥ 0 vîi mët y ∈ Rn

Mët c¡ch ph¡t biºu t÷ìng ÷ìng, d÷îi ngæn ngú h¼nh håc, cõa bê ·Farkas l :

Nûa khæng gian x|aTx ≥ 0 chùa nân {x|Ax ≥ 0} khi v  ch¿ khi v²c

tì α n¬m trong nân sinh bði c¡c h ng cõa ma trªn A Tùc l 

epif = {(x, µ) ∈ C × R|f (x) ≤ µ} Tªp epif ÷ñc gåi l  tr¶n ç thà cõa h m f

B¬ng c¡ch cho f(x) = +∞ n¸u x 6∈ C, ta câ thº coi h m f ÷ñc x¡c

ành tr¶n to n khæng gian v  hiºn nhi¶n l :

domf = {x ∈ Rn|f (x) < +∞} ,

epif = {(x, µ) ∈ Rn × R|f(x) ≤ µ}

ành ngh¾a 1.2.1 Cho ∅ 6= C ⊆ Rn lçi v  f : C −→ R ∪ {−∞, +∞}

Ta nâi f l  h m lçi tr¶n C, n¸u epif l  mët tªp lçi trong Rn+1

Sau ¥y, ta s³ chõ y¸u l m vi»c vîi h m f : Rn

−→ R ∪ {+∞} Trongtr÷íng hñp n y, d¹ th§y r¬ng ành ngh¾a tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi:

H m f ÷ñc gåi l  lãm tr¶n C n¸u −f lçi tr¶n C

V½ dö 1.2.3 (H m affin) X²t h m f(x) = aTx+α,trong â a ∈ Rn, α ∈

f [(1 − λ)x + λy] ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y) − 1

2ηλ(1 − λ) k x − y k

2

.Hiºn nhi¶n, n¸u η = 0 th¼ f lçi tr¶n C N¸u f câ h» sè lçi tr¶n C l 

η > 0, th¼ f lçi m¤nh tr¶n C vîi h» sè η

ành ngh¾a 1.2.7 Mët h m f : Rn

−→ R ∪ {+∞} ÷ñc gåi l  ch½nhth÷íng n¸u domf 6= ∅ v  f(x) > −∞, ∀x

Hiºn nhi¶n fe(x) = f (x), ∀x ∈ C v  fe lçi tr¶n Rn Hìn núa, fe l ch½nh th÷íng khi v  ch¿ khi f ch½nh th÷íng T÷ìng tü, fe âng khi v ch¿ khi f âng

2) N¸u f l  mët h m lçi tr¶n Rn th¼ domf l  mët tªp lçi, v¼ domf

ch½nh l  h¼nh chi¸u tr¶n Rn cõa epif, tùc l :

domf = {x|∃µ ∈ R : (x, µ) ∈ epif }

M»nh · 1.2.9 N¸u f l  mët h m lçi tr¶n Rn , th¼ tªp c¡c mùc:

Lf(α) = {x|f (x) ≤ α} , lf(α) = {x|f (x) < α}

l  lçi vîi måi α ∈ R ∪ {−∞, +∞}

ành ngh¾a 1.2.10 Mët h m f : C −→ R ∪ {−∞, +∞} ÷ñc gåi l thu¦n nh§t d÷ìng (bªc 1) tr¶n Rn n¸u:

Vªy h m chu©n l  h m thu¦n nh§t d÷ìng (bªc 1)

M°t kh¡c, vîi måi ∀x, y ∈ Rn, ta câ:

f (x + y) =k x + y k≤k x k + k y k

Do â, h m f câ t½nh ch§t d÷îi cëng t½nh

Vªy h m chu©n l  mët h m d÷îi tuy¸n t½nh

M»nh · 1.2.12 Cho f l  mët h m thu¦n nh§t d÷ìng tr¶n Rn Khi â

f lçi khi v  ch¿ khi nâ d÷îi cëng t½nh

1.2.2 T½nh li¶n töc cõa h m lçi

ành ngh¾a 1.2.13 Mët h m f : C −→ R ∪ {−∞, +∞} ÷ñc gåi l li¶n töc d÷îi t¤i mët iºm x ∈ C, n¸u vîi måi d¢y xk ⊂ C, xk → x, tacâ:

ành ngh¾a 1.2.14 Cho hai h m f v  g x¡c ành tr¶n Rn, ta nâi g l bao âng cõa f n¸u epig = epif

H m f ÷ñc gåi l  âng n¸u epif = epif Bao âng cõa f s³ ÷ñc kþhi»u l  f

M»nh · 1.2.15 Vîi måi h m f : Rn

−→ R ∪ {+∞}, c¡c i·u sau l t÷ìng ÷ìng:

i) epif l  mët tªp âng tr¶n Rn+1, nâi c¡ch kh¡c f = f

ii) Vîi måi sè α, tªp mùc d÷îi: Lα(f ) = {x|f (x) ≤ α} l  mët tªp

âng

iii) f nûa li¶n töc d÷îi tr¶n Rn

M»nh · 1.2.16 Gi£ sû f l  mët h m lçi ch½nh th÷íng tr¶n Rn Khi

â, f li¶n töc t¤i måi iºm x ∈ ri(domf)

ành ngh¾a 1.2.17 Mët h m f : Rn

→ R ÷ñc gåi l  Lipchitz àaph÷ìng t¤i x vîi h¬ng sè Lipchitz L n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa xsao cho:

k f (x) − f (y) k≤ L k x − y k, ∀x, y ∈ U

H m f ÷ñc gåi l  Lipchitz àa ph÷ìng tr¶n D n¸u nâ Lipchitz àaph÷ìng t¤i måi iºm thuëc D

M»nh · 1.2.18 Gi£ sû f l  h m lçi ch½nh th÷íng tr¶n Rn v  bà ch°ntr¶n trong mët l¥n cªn iºm n o â thuëc mët tªp mð D ⊆ domf Khi

â f Lipchitz àa ph÷ìng tr¶n tªp D

H» qu£ 1.2.19 N¸u h m f : Rn

→ R lçi th¼ f Lipchitz àa ph÷ìng tr¶n

to n Rn (do â li¶n töc)

1.2.3 C¡c ph²p to¡n b£o to n t½nh lçi

Cho f v  g l  hai h m x¡c ành tr¶n C v  khæng nhªn gi¡ trà −∞.Nh÷ th÷íng l», ∀x ∈ C, ta ành ngh¾a c¡c h m:

(f + g) = f (x) + g(x),(λf ) (x) = λf (x), ∀0 6= λ ∈ R

M»nh · 1.2.20 i) Cho f v  g l  c¡c h m lçi l¦n l÷ñt tr¶n c¡c tªp A

v  B, vîi A ∩ B 6= ∅ Khi â, h m (λf) + (βg) lçi tr¶n A ∩ B, ∀λ, β > 0.ii) Giîi h¤n theo tøng iºm cõa mët d¢y c¡c h m lçi công l  mët h mlçi

Tùc l , n¸u fi : C → R (i ∈ N ) l  c¡c h m lçi v  d¢y sè {fi(x)} hëi tövîi méi x ∈ C, th¼ h m f(x) = lim

i→−∞fi(x) công lçi tr¶n C

iii) N¸u f : C → R lçi tr¶n tªp lçi C v  h m mët bi¸n 0ϕ : I → Rkhæng gi£m tr¶n kho£ng I, sao cho f(C) ⊆ I th¼ h m hñp ϕ.f lçi tr¶n C.M»nh · 1.2.21 N¸u F l  mët tªp lçi trong Rn+1, th¼ h m sè:

i=1fi l  h m lçi tr¶n Rn.M»nh · 1.2.24 Cho A ⊆ Rn

, B ⊆ Rn l  c¡c tªp lçi

Gi£ sû ϕ : A × B → R ∪ +∞ l  mët h m lçi tr¶n A × B

Khi â: f(x) = inf

y∈Bϕ(x, y) l  mët h m lçi tr¶n A

ành ngh¾a 1.2.25 Gi£ sû {fα}α∈I l  mët hå tuý þ c¡c h m sè tr¶n Rn

v  E ⊆ Rn H m cªn tr¶n cõa hå h m n y tr¶n coE, kþ hi»u l  Vα∈Ifα,

l  h m sè ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:

(Vα∈Ifα) (x) = sup

α∈I

fα(x), vîi méi x ∈ coE

H m cªn d÷îi cõa hå h m {fα}α∈I, k½ hi»u Vα∈I fα, l  h m sè ÷ñc

α∈Cfα(x), vîi méi x ∈ coE

Bao lçi cªn d÷îi cõa hå h m {fα}α∈I, k½ hi»u co Vα∈I fα
÷ñc x¡c

M»nh · 1.2.26 Gi£ sû {fα} l  mët hå h m lçi tr¶n Rn v  E ⊆ Rn.Khi â h m cªn tr¶n v  h m bao lçi cªn d÷îi cõa hå c¡c h m lçi n y l c¡c h m lçi tr¶n coE v  câ tr¶n ç thà thuëc E × R.

1.2.4 B§t ¯ng thùc lçi

Cho D ⊆ Rn l  mët tªp lçi v  f1, , fm l  c¡c h m lçi tr¶n Rn H»b§t ¯ng thùc

x ∈ D, fi(x) <= 0, i ∈ I

÷ñc gåi l  h» b§t ¯ng thùc lçi, trong â I l  tªp ch¿ sè v  kþ hi»u " <

= " câ thº hiºu l  " < " ho°c " = "

H» b§t ¯ng thùc lçi xu§t hi»n trong nhi·u ùng döng Do t½nh ch§tcõa h m lçi, tªp nghi»m cõa mët h» b§t ¯ng thùc lçi luæn l  mët tªplçi Düa v o c¡c ành lþ t¡ch, ta câ thº ÷a ra c¡c i·u ki»n c¦n v  õv· sü tçn t¤i nghi»m cõa h» b§t ¯ng thùc lçi

M»nh · 1.2.27 Gi£ sû f0, f1, , fm l  c¡c h m lçi húu h¤n tr¶n tªplçi D 6= ∅

Khi â h»: x ∈ D, fi(x) < 0, i = 0, 1, , m, khæng câ nghi»m khi v ch¿ khi tçn t¤i c¡c sè λi ≥ 0(i = 0, 1, , m) khæng çng thíi b¬ng 0, saocho

ành ngh¾a 1.2.31 H m f ÷ñc gåi l  kh£ d÷îi vi ph¥n t¤i x n¸u

( B(0, 1) l  h¼nh c¦u ìn và âng trong Rn )

Vªy h m f kh£ d÷îi vi ph¥n t¤i x = 0

f (x) = f (x), ∂f (x) = ∂f (x).

M»nh · 1.2.34 Cho f : Rn

→ R ∪ {+∞} lçi Khi â:

i) N¸u x 6∈ domf th¼ ∂f(x) = ∅

ii) x ∈ int(domf) khi v  ch¿ khi ∂f(x) 6= ∅ v  compact

Trong ch÷ìng tr¼nh To¡n gi£i t½ch cê iºn, ta ¢ th§y h m lçi mëtbi¸n kh£ vi, th¼ ¤o h m cõa nâ l  mët h m ìn i»u khæng gi£m T½nhch§t n y câ thº mð rëng cho h m lçi nhi·u bi¸n, khæng nh§t thi¸t ph£ikh£ vi Khi â, ¡nh x¤ (to¡n tû) x → ∂f(.) s³ l  mët ¡nh x¤ a trà Nh÷th÷íng l», ta s³ kþ hi»u tªp t§t c£ c¡c tªp con cõa Rn l  2Rn

Cho T l  mët to¡n tû a trà tr¶n Rn, tùc l  vîi méi x ∈ Rn, th¼ T (x)

l  mët tªp (câ thº b¬ng réng) Kþ hi»u mi·n x¡c ành cõa T l :

domT = {x ∈ Rn|T (x) 6= ∅} ,

v  ç thà cõa T l  G(T ) = {(x, y) ∈ Rn

× Rn|y ∈ T (x)}

ành ngh¾a 1.2.35 Cho T : Rn → 2Rn v  C ⊆ domT

Ta nâi T l  ìn i»u tu¦n ho n tr¶n C, n¸u vîi måi sè nguy¶n d÷ìng

m v  måi c°p (xi, yi) ∈ G(T ), xi ∈ C(i = 0, 1, , m) ta câ:

hx1 − x0, y0i + hx2 − x1, y1i + + hx0 − xm, ymi ≤ 0 (1.1)