Chuyên đề hàm số nguyễn thành nhân

Mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm Điều kiện cần để một hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f x   có đạo hàm trên khoảng I.. Nhận xét : Khi xác định tính đơn điệu của đồ

Phá đường dây Hàm số

- Nắm chắc lý thuyết toán lớp 12

- Tư duy nhanh các bài toán trắc nghiệm

- Phân tích sâu các lỗi sai HS thường mắc phải

- Hệ thống câu hỏi đa dạng có chọn lọc

- Đánh giá năng lực theo thang 4 mức độ

- Extra Techniques bổ sung kinh nghiệm thực chiến đề DÚI TOÁN NHÓM ANH Nguyễn Thành Nhân

Phan Thành Tường Nhóm toán anh Dúi Nguyễn Thành Nhân Phan Thành Tường

1 [ I can't, I can! ]

2 Mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Điều kiện cần để một hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số y  f x   có đạo hàm trên khoảng I Khi đó:

  i Nếu hàm số y  f x   đồng biến thì f '   x    0, x I

  ii Nếu hàm số y  f x   nghịch biến thì f '   x    0, x I

Lưu ý: Điều ngược lại chưa chắc đúng (Xem Ví dụ 1) Điều kiện đủ để một hàm số đơn điệu trên khoảng:

Giả sử hàm số y  f x   có đạo hàm trên khoảng I Khi đó:

  i Nếu f '   x    0, x I và dấu "  " chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm của khoảng I thì hàm số y  f x   đồng biến trên I

  ii Nếu f '   x    0, x I và dấu "  " chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm của khoảng I thì hàm số y  f x   nghịch biến trên I

  iii Nếu f '   x    0, x I thì hàm số y  f x   không đơn điệu (không đổi) trên I

*Mở rộng khoảng đơn điệu trên nữa khoảng, đoạn:

Điều kiện đủ để một hàm số đơn điệu trên nữa khoảng:

Giả sử hàm số liên tục trên nửa khoảng  a b ;  (hoặc  a b ; )

và có đạo hàm trên khoảng   a b ; Khi đó:

  i Nếu f '   x    0, x   a b ; và dấu "  " chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm của khoảng   a b ; thì hàm số y  f x   đồng biến trên nửa khoảng  a b ;  (hoặc  a b ; )

  ii Nếu f '   x    0, x   a b ; và dấu "  " chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm của khoảng   a b ; thì hàm số y  f x   nghịch biến trên nửa khoảng  a b ;  (hoặc  a b ; )

  iii Nếu f '   x    0, x   a b ; thì hàm số y  f x   không đơn điệu (không đổi) trên nửa khoảng  a b ;  (hoặc  a b ; )

Điều kiện đủ để một hàm số đơn điệu trên đoạn:

Giả sử hàm số y  f x   liên tục trên đoạn   a b ; và có đạo hàm trên khoảng   a b ; Khi đó:

  i Nếu f '   x  0, x    a b ; và dấu "  " chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm của khoảng   a b ; thì hàm số y  f x   đồng biến trên đoạn

Nhận xét : Khi xác định tính đơn điệu của đồ thị hàm số bằng đạo

hàm ta phải đặc biệt lưu ý về câu chuyện phải có dấu bằng xảy ra tại

hữu hạn điểm là bởi: Nếu dấu bằng xảy ra tại một số vô hạn điểm

trên K hay xảy ra trên toàn tập K thì mảy may một trường hợp nào

đó giống như hàm số y  f x   trên đoạn   2;6 thì hàm số không đổi Hay hàm số

21

x y

Bước 3: Lập bảng biến thiên và sắp xếp các điểm vừa tìm được theo

thứ tự tăng dần cùng các kí hiệu tương ứng

Bước 4: Kết luận khoảng đơn điệu của hàm số

B Bài tập trong các đề thi thử

Dạng 1: Bài toán không chứa tham số

Câu 1 Cho hàm số 2

1

x y x





 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 

B Hàm số nghịch biến trên khoảng    1; 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 1 

D Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 1 

(Trích đề tham khảo BGD&ĐT năm 2017)





 đồng biến trên    ; 1  và    1; 

Câu 2 Cho hàm số y 2x2 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  

B Hàm số đồng biến trên khoảng   ;0 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;  

D Hàm số nghịch biến trên khoảng    1;1

hoặc nghịch biến hoặc

không đổi trên từng

hướng đi theo chiều từ

trên xuống dưới khi x



 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A    ;  B  0;   C   ;0  D    1;1

(Trích đề thi THPTQG năm 2017 MĐ 123)

Từ bảng biến thiên của đồ thị hàm số ta nhận thấy rằng đồ thị hàm số

đã cho nghịch biến trên khoảng  0;  

Câu 5 Cho hàm số f x   có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A    ; 1  B   0;1 C   1;0  D    1; 

(Trích đề thi THPTQG năm 2019 MĐ 103) Đáp án: C

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số ta thấy rằng: Hàm số đồng biến trên hai khoảng rời nhau: 1;0 và 1;



C x44x26 D

2 2

14

x x

10 [ I can't, I can! ]

Extra Techniques:

Tips:

Đối với các bài toán

phân thức bậc hai trên

2 2 2

2

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

2 2

B1: Vào mode Vector

B2: Khai báo vector A

với 3 kích thước lần

lượt là hệ số của 2

x , x

và hệ số tự do của tử số

Từ bảng biến thiên của đồ thị hàm số đã cho ta thấy rằng đồ thị hàm

số nghịch biến trên hai khoảng rời nhau:  ; 2 và 0; 2

Vì vậy hàm số: y  x4 4 x2 6 không thể nào đồng biến trên

14

x y x



 đồng biến trên

khoảng   ;0 

để khai báo tương tự

cho vector B với ba kích

biến) trên khoảng K,

khi đó trên khoảng K,

Ta xét một bài toán phụ như sau:

Tìm giá trị của x thỏa mãn: sinx x 0???

Ta xét hàm số: f x    sin x x 

Ta có: f '   x  cos x      1 0 x  k 2  Bảng biến thiên:

Từ đồ thị hàm số y  f x    sin x x  ta nhận thấy đồ thị là một hàm đồng biến trên Nên phương trình f x    0 có nhiều nhất một nghiệm Mà mặt khác ta lại có: f   0  0 Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình: sinx x 0

Câu 9 Hàm số nào có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây?

x

(Trích đề thi Nhóm toán anh Dúi 2020 - 2021)

13 [ I can't, I can! ]

Đáp án: B

Lời giải

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy rằng:

 Hàm số y  f x   nghịch biến trên từng khoảng xác định, khoảng   ;2  và  2;  

a b

Minh họa hình dạng chung của đồ thị (Xem Đồ thị I.I.9)

 Trường hợp 2: 0

0

ab a

a b

Minh họa hình dạng chung của đồ thị (Xem Đồ thị I.I.10)

a b

a b

Minh họa hình dạng chung của đồ thị (Xem Đồ thị I.I.13)

Minh họa hình dạng chung của đồ thị (Xem Đồ thị I.I.14)

(Hàm số không có điểm cực trị)

Minh họa hình dạng chung của đồ thị (Xem Đồ thị I.I.16)

"Hai Tips trên đã chỉ rõ cho ta 8 trường hợp thường gặp của 2

dạng đồ thị, tiếp theo, chúng tôi xin trình bài các yếu tố có liên quan đến sự đồng biến, nghịch biến của các loại hàm cơ bản để áp loại trừ các hàm sai trong các bài toán thường gặp."

 

 

Minh họa hình dạng chung của đồ thị (Xem Đồ thị I.I.19)

Hàm nhất biến chỉ hoặc đồng biến hoặc nghịch biến hoặc không đổi trên từng khoảng xác định Trong thực tế nhiều câu hỏi lại dựa vào yếu tố không để ý vào vấn đề này mà có thể bẫy học sinh Chẳng hạn, các nhận định được cho dưới đây là hoàn toàn sai

biên soạn của Sách giáo

khoa hiện hành không

không thừa nhận việc

kết luận sự biến thiên

của hàm số cùng các

phép toán trên tập hợp

( , , \, ) 

Minh họa sự đan dấu

qua điểm mà tại đó hàm

 Hàm số bậc bốn trùng phương là một hàm chẵn vì thế đồ thị của chúng có điểm cực trị đối xứng nhau qua trục tung do đó

có các khoảng đồng biến, nghịch biến cũng đối xứng nhau qua trục tung (các khoảng đối dấu nhau)

  5 Xét dấu đạo hàm giai đoạn bảng biến thiên

 Khi xét dấu ở giai đoạn bảng biến thiên ta chỉ cần chọn một điểm giữa mỗi khoảng để xét dấu đạo hàm trên khoảng đó

 Điểm xx0 mà tại đó f x  0 không xác định cũng có thể làm thay đổi dấu của đạo hàm khi qua nó (Một lỗi sai thường thấy của học sinh)

Xem bảng biến thiên như hình minh họa

  6 Đối với bài toán đồng biến, nghịch biến trên một khoảng cho trước

Câu 10 Hàm số y  x4 12 x3 46 x2  60 x  20 đồng biến trên khoảng nào?

Đối với dạng toán như thế này, ta nảy ra ý tưởng sử dụng công cụ

Casio với mode Table để tìm khoảng đồng biến nghịch biến

Ta vào mode Table và nhập biểu thức f x   đề bài đã cho

(Xem Hình 10.1 và Hình 10.2.)

Chọn:

 

: 9: 9

:29

Start End Step

Màn hình Casio hiện thời sau khi nhấn phím (Xem Hình 10.6.)

Ta nhấn liên tục phím để di chuyển con trỏ chuột xuống các giá trị bên dưới và note lại khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Chẳng hạn, ta thấy rằng trên khoảng x    9;0.931  hàm số giảm từ một số rất lớn () về 4.921 rồi có dấu hiệu tăng dần khi vượt qua x1

(Xem Hình 10.7)

Một lần nữa, ta thấy trên khoảng x   3.413 ;4.655  hàm số giảm

từ 9.659 đến 3.411 và có dấu hiệu tăng khi vượt qua điểm x5

(Xem Hình 10.9)

Cuối cùng, trên khoảng x   5.27 ;9  hàm số tăng từ 3.608 đến một số rất lớn ()

(Xem Hình 10.10)

Thống kê lại ta phát thảo được chiều đồng biến, nghịch biến của hàm

số lên bảng biến thiên như sau:

Lưu ý: Ở đây nếu nhìn vào Hình 10.9 chắc hẵn ai cũng có thắc mắc

tại sao hàm số đi qua x5 thì giá trị y vẫn còn giảm mà chúng tôi lại bảo có dấu hiệu tăng Thực chất, chúng tôi đưa bài toán này để các

bạn lưu ý hơn vì sự bất tiện của các dòng máy Casio đời cũ, vì Step

khá lớn nên nó có thể gây một xíu sai lầm nếu chúng ta dùng phương

pháp Casio Lỗi sai được minh họa như Hình 10.11

Một phương pháp Casio khác có thể giải quyết nhanh dạng toán này

là công cụ đạo hàm Xem Câu 11

Câu 11 Hàm số y x3 6x29x3 nghịch biến trên khoảng nào?

A   1;3 B   ;1  C   2;4 D  3;  

(Trích đề thi Nhóm toán anh Dúi 2020 - 2021)

Đáp án: A

Lời giải

Bước 1: Gọi công cụ đạo hàm ra màn hình chính của Casio và nhập

biểu thức y x3 6x2 9x3 như hình minh họa

(Xem Hình 11.1)

Bước 2: Sau biểu thức đạo hàm có vị trí để CALC giá trị của x

 Ta nhập x 10 (vì    10  ;1 ) thu được kết quả như hình minh họa

22 [ I can't, I can! ]

TỰ LUYỆN 4 MỨC ĐỘ

Câu 1 [Nhận biết]

Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2

B Hàm số đồng biến trên khoảng 2;0

C Hàm số đồng biến trên khoảng ;0

D Hàm số nghịch biến trên khoảng  0; 2

y  f x như hình vẽ dưới đây Mệnh đề nào

sao đây là sai?

phương của a và b có giá trị là?

A 64 B 27

C 28 D 27 Câu 10 [Vận dụng]

Biết rằng hàm số 4 2  

yax bx c ađồng biến trên khoảng ;0 Mệnh đề nào

dưới đây chắc chắn sai?

A

00

a b c

a ab ac

24 [ I can't, I can! ]

C

00

a ab c

Giả sử hàm số y  f x   nghịch biến và có đạo

hàm trên khoảng   9;9  Mệnh đề sau đây chắc

y  f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào sau đây đúng nhất?

A Hàm số đồng biến trên khoảng   4;2 

B Hàm số đồng biến trên khoảng   2;6

C Hàm số đồng biến trên khoảng   4;4 

D Hàm số đồng biến trên khoảng   4;2  và

25 [ I can't, I can! ]

A Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 2 

B Hàm số nghịch biến trên khoảng   0;2

C Hàm số nghịch biến trên khoảng   2;0  và

A Hàm số nghịch biến trên khoảng   0;2

B Hàm số đồng biến trên khoảng   2;0 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng    3; 2 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng   2;3

Câu 19 [Thông hiểu]

Câu 20 [Thông hiểu]

Hàm số yxlnxx đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 24 [Thông hiểu]

Cho hàm số y  f x   liên tục và có đạo hàm

trên Biết rằng:     2 

y f x x x x Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn   a b ;

Khi đó, giá trị biểu thức S  b a bằng?

A S  3 B S 2

C S  2 D S 3

Câu 25 [Thông hiểu]

Cho hàm số y  f x   có đồ thị hàm số đạo hàm như hình vẽ dưới đây

Hàm số y  f x    2 x  2021 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A    ; 1  và  1;   B  1;  

C    ; 1  D  2;  

Câu 26 [Thông hiểu]

Cho hàm số y  f x   liên tục trên có đồ thị hàm số như hình vẽ Hàm số y  f x    2021nghịch biến trên những khoảng nào?

Câu 29 [Thông hiểu]

Hàm số ycosx2cosx 3 2cos x 3

đồng biến trên khoảng nào trên đoạn  0;2  ?

y x x nghịch biến trên khoảng lớn nhất là   0;a và đồng biến trên khoảng lớn nhất là  b ;   Khi đó giá trị của biểu thức S  b a?

A Hàm số g x   đồng biến trên khoảng

   ; 2 

B Hàm số g x  đồng biến trên khoảng   1;0 

C Hàm số g x   đồng biến trên khoảng   0;1

D Hàm số g x   nghịch biến trên khoảng

 1;  

28 [ I can't, I can! ]

Câu 32 [Vận dụng cao]

Hàm số y  f x   liên tục và có đạo hàm luôn

không âm trên khoảng   2022;2022  Biết rằng

trên khoảng   2022;2022  có duy nhất một

đoạn con nào đó có độ lớn bằng 2021 mà trên

đoạn đó đồ thị hàm số là một đường thẳng song

song với trục hoành Mệnh đề nào dưới đây có

đồng biến trên một khoảng duy nhất   a b ; Tích S ab bằng?

A 5 B 5

C 3 D 0

29 [ I can't, I can! ]

Câu 37 [Vận dụng]

Để phục vụ công tác cho đề thi thử TN năm học

2021 2022 của "Nhóm toán anh Dúi" Bạn

Lành đã dùng phần mềm toán học vẽ ba đồ thị

hàm số y  f x  , y  f '   x và y  f ''   x

trên cùng một hình biểu diễn (Minh họa bằng

hình vẽ bên dưới) Vì bất cẩn, bạn Lành đã sơ

ý quên ghi lại dấu hiệu để phân biệt ba đồ thị

hàm số trên Hãy giúp bạn Lành xác định chính

Cho hàm số y  f x   liên tục trên đoạn   1;3

và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

yg x  f x x  x

trên đoạn   2; 4 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số y  g x   không liên tục trên   2; 4

B Hàm số y  g x   đồng biến trên   2;4

30 [ I can't, I can! ]

C Hàm số y  g x   nghịch biến trên   2;4

D Hàm số y  g x   nghịch biến trên   3;4

Câu 40 [Vận dụng]

Cho hàm số y  f x   liên tục và có đạo hàm

trên Hàm số y  f '   x có bảng biến thiên

như hình vẽ bên dưới

A  1;   B   0;3

C   ;3  D  4;  

Câu 43 [Vận dụng]

Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ Giả sử hàm số f  2 x  5  nghịch biến trên khoảng   m n ; Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S  m n là bao nhiêu?

A   ;0  B   0;3

C   1; 2 D  3;  

Câu 46 [Vận dụng]

Cho hàm số y  f x   Đồ thị y  f '   x như hình bên dưới

Hàm số     3

g x f x  nghịch biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau

 

 

 

y f  x 

  như hình vẽ bên dưới

Biết hàm số y  f x   đồng biến trên hai khoảng rời nhau   a b ; và  c ;    a b c , ,   Khi đó biểu thức S   a b 2c có giá trị bằng?

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm liên tục trên

và bảng xét dấu của hàm số đạo hàm của

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm liên tục trên

và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Hàm số g x  f  x2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây

34 [ I can't, I can! ]

Hàm số y f f x   đồng biến trên khoảng

nào sau đây?

A    ; 2  B    1;1

C  2;   D   0;2

Câu 56 [Vận dụng]

Cho hàm số y  f x   liên tục trên Biết hàm

số y  f '   x có bảng xét dấu như hình vẽ bên

dưới Hàm số g x    f  2cos x  1  đồng biến

trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số y  f x   liên tục và có đạo hàm

trên Bảng biến thiên của đồ thị hàm số

vẽ dưới đây Hàm số y  xf x   đồng biến trên khoảng nào?

f x

g x

e

 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

35 [ I can't, I can! ]

A   ;1  B 2; 2 3

C  4;   D  3;  

Câu 60 [Vận dụng]

Cho hàm số y  f x   liên tục và có đạo hàm

đến cấp ba trên thỏa mãn hệ thức sau:

A    ; 1  B   1;3

36 [ I can't, I can! ]

C    1;1 D   1;3 

Câu 65 [Vận dụng cao]

Cho hàm số y  f x   có bảng xét dấu đạo hàm

như hình vẽ dưới đây

Cho hàm số y  f x   có bảng xét dấu đạo hàm

như hình vẽ dưới đây

Hàm số     3 3 2

6 20202

Cho hàm số y  f x   xác định và liên tục trên

và f '   x có bảng xét dấu như sau:

Hàm số    2 

2

x x

g x  f e   nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A 10;

 

 

Câu 68 [Vận dụng cao]

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm liên tục trên

và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ bên dưới

Biết rằng hai đồ thị hàm số  C và 1  C2 đối

xứng với nhau qua gốc tọa độ Khi đó hàm số

Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên

và bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ bên

g x  f x  x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Cho hàm số y f x  liên tục trên và có

bảng xét dấu đạo hàm y f ' x như sau:

 

y f x tại điểm có hoành độ bằng 1 đồng

biến trên khoảng nào sau đây?

A 1

;2

A   ;8  B. 7

;3

A   32;0  B. 1;3 và 5;

C D  ; 1 và  3;5

Câu 79 [Vận dụng]

39 [ I can't, I can! ]

Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên

đoạn  0;1 , thỏa mãn đồng thời f  0 1 và

Hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng có

độ dài bằng bao nhiêu?

Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên

đoạn  0;1 thỏa mãn đồng thời ba điều kiện:

1

3 0

1 1

1

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1

D Hàm số đồng biến trên khoảng  0;1