Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu28.blogspot.com Email: caotua5lg3@gmail.com 1 Phép tính vi phân hàm nhiều biến A. Lý thuyết. Định nghĩa hàm hai (nhiều) biến và MXĐ của hàm số. Định nghĩa và cách tính giới hạn dãy điểm, giới hạn hàm số. Định nghĩa tính liên tục của hàm số. Định nghĩa và cách tính đạo hàm riêng cấp 1. Biểu thức và ứng dụng cua vi phân cấp 1. Công thức tính đạo hàm riêng của hàm hợp. Cách tính đạo hàm riêng và vi phân cấp 2 (cấp cao). Định nghĩa cực trị. Các định lý điều kiện cần, điều kiện đủ của cực trị (quy tắc tìm cực trị). Công thức tính đạo hàm hàm ẩn. Định nghĩa cực trị có điều kiện. Cách tìm cực trị có điều kiện. Cách tìm max và min của hàm số trên tập đóng và giới nội. B. Bài tập.. a) ln z xy b) 2 1 z yx 1. Tìm miền xác định của các hàm sau đây c) 22 22 1 xy z ab d) 11 z x y x y e) 1 arcsin y z x f) ln z x y Lời giải. a) 2 ( , ) : 0 D x y xy . b) 22 ,: D x y y x c) 22 2 22 , : 1 xy D x y ab . d) 2 ( , ) : D x y x y x . e) Hàm số xác định khi 11 11 10 00 1 11 11 11 10 00 y x y x y y x xx y xx y y x x y x y x xx xx f) Hàm số xác định khi 0 0 0 0 ln 0 ln 0 ln 0 1 0 1 x x x x xy y y y y 2. Tính các giới hạn sau đây Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu28.blogspot.com Email: caotua5lg3@gmail.com 2 a) 22 0 1 lim sin x y xy xy b) 0 2 sin lim x y xy x c) 2 lim 1 x x y y x d) 22 lim x y xy xy e) 22 22 0 lim 11 x y xy xy f) 22 1 22 0 lim 1 xy x y xy Lời giải. a) Từ 2 2 2 2 1 0 sin x y x y xy và 22 0 lim( ) 0 x y xy , theo tiêu chuẩn kẹp, ta được 22 0 1 lim sin 0 x y xy xy . b) 0/0 00 22 sin sin lim lim 2 xx yy xy xy y x xy . c) 1 2 22 lim 1 lim 1 y x x y xx yy yy e xx . d) Từ 2 2 2 2 2 2 11 0 xy xy xy x y x y x y và 1 1 1 1 lim lim lim 0 x x y y x y x y , theo tiêu chuẩn kẹp, ta được 22 lim 0 x y xy xy . e) 2 2 2 0/0 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 lim lim lim 1 1 2, : 1 1 1 1 x t t y x y t t t x y x y t . f) Do 22 22 00 22 1 lim lim 0 11 xx yy xy xy yx nên 22 22 2 2 2 2 11 2 2 2 2 0 00 lim 1 lim 1 1 xy xy x y x y xx yy x y x y e . 3. Chứng minh các hàm sau đây không có giới hạn khi , 0,0 xy a) , x f x y xy b) 22 22 , xy f x y xy c) 22 2 22 , xy f x y x y x y Lời giải. Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu28.blogspot.com Email: caotua5lg3@gmail.com 3 a) Do khi k , ta có 11 22 11 , , 0,0 12 , , 0;0 kk kk xy kk xy kk nhưng 11 22 1/ 1 1 , 1/ 1/ 2 2 1/ , 1 1 1/ 2 / kk kk k f x y kk k f x y kk . b) Do khi k , ta có 11 22 11 , , 0,0 21 , , 0;0 kk kk xy kk xy kk nhưng 22 11 22 22 22 22 1/ 1/ , 0 0 1/ 1/ 4/ 1/ 3 3 , 55 4/ 1/ kk kk kk f x y kk kk f x y kk . c) Do khi k , ta có 11 22 11 , , 0,0 11 , , 0;0 kk kk xy kk xy kk nhưng 22 11 2 22 22 22 2 22 1/ .1/ , 1 1 1/ .1/ 1/ 1/ 1/ .1/ 1 1 , 55 1/ .1/ 1/ 1/ kk kk kk f x y k k k k kk f x y k k k k . 4. Tính các đạo hàm hàm riêng cấp 1 và vi phân toàn phần của các hàm sau đây a) 33 3 z x y xy b) 22 22 xy z xy c) sin y x ze d) y x zx e) y z yx f) 22 z x y xy g) 22 ln z x x y h) arctg y z x i) arcsin yx z x j) sin xyz y ue z k) z x u xy y l) ln u xy + z Lời giải. a) 22 3 3 , 3 3 xy z x y z y x và 22 3 3 3 3 dz x y dx y x dy . b) 22 22 2 2 2 2 44 , xy xy x y zz x y x y và 2 22 4xy xdx ydy dz xy . c) sin sin 2 1 cos , cos yy xx xy y y y z e z e x x x x và sin 1 cos y x yy dz e dx dy x x x d) Ta có ln y xx ze . Vậy Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu28.blogspot.com Email: caotua5lg3@gmail.com 4 ln 1 1 1 ln ln ln 1 y y y x x y x y y x y x x z z e x x x yx x x x y x , ln 2 ln ln .ln ln y y y x x y x y x y y y z e x x x x x x x x , 12 ln 1 ln yy x y x y dz x y x dx x x dy e) 21 , ln (1 ln ) y y y y xy z y x z x yx x x y x và 21 1 ln y dz x y x dx y x dy . f) 22 2 2 2 2 22 , 22 xy xy y x xy zz x y xy x y xy và 22 22 22 2 xy y dx x xy dy dz x y xy . g) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , xy xx x y x y x zz x x y x y x x y x x y x y , 22 2 2 2 2 dx xdy dz xy x x y x y h) 2 2 2 2 2 2 2 / 1/ , 1 / 1 / xy y x y x x zz x y x y y x y x , 22 ydx xdy dz xy . i) 22 1 1 1 , 1 / 1 / x yx y zz xx y x x y x x , 2 1/ x ydx dy dz x y x x . j) sin xyz y ue z *) xyz xyz xyz xyz xyz x y z 2 y y 1 y y y y u yze sin ,u xze sin e cos ;u xye sin e cos z z z z z z z * *) xyz 2 y y 1 y y y y du e yz sin dx xz sin cos dy xy sin cos dz z z z z z z z k) z x u xy y z 1 z 1 z x y z 2 1 x x x x x u z y xy ;u z y xy ;u xy ln xy y y y y y y z1 2 x 1 x x du xy z y dx z y dy ln xy dz y y y y l) ln u xy + z x y z y x 1 u ;u ;u xy z xy z xy z Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu28.blogspot.com Email: caotua5lg3@gmail.com 5 1 du ydx xdy dz xy z 5. Chứng minh rằng a) Hàm 22 ln z x xy y thoả phương trình 2. zz xy xy b) Hàm / yx z xy xe thoả phương trình . zz x y xy z xy Lời giải. a) Ta có 2 2 2 2 22 , z x y z y x xy x xy y x xy y Khi đó 2 2 2 2 22 2 z z x y y x x y x y xy x xy y x xy y . b) Ta có // 1 y x y x z y z y e x e x x y . Khi đó / / / 12 y x y x y x z z y x y xy xe yx ye xy xe xy z x y x . 6. Dùng biểu thức vi phân cấp 1 tính gần đúng trị của các biểu thức a) 1,995 1,003 A b) 22 9. 1,95 8,1 B c) 1,02 arctg 0,95 C Lời giải. Trong bài này ta áp dụng công thức 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , xy f x x y y f x y f x y x f x y y . a) Đặt 00 , 1;2 , , 0,003; 0,005 x y x y , 1 , , ; ln y y y xy f x y x f yx f x x , 0 0 0 0 0 0 , 1, , 2, , 0 xy f x y f x y f x y . Ta được 00 , 1 2 0,003 0 0,005 1,006 A f x x y y . b) Đặt 00 , 2;8 , , 0,05;0,1 x y x y , 22 2 2 2 2 9 , 9 , ; 99 xy xy f x y x y f f x y x y , 0 0 0 0 0 0 , 10, , 1,8, , 0,8 xx f x y f x y f x y . Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu28.blogspot.com Email: caotua5lg3@gmail.com 6 Khi đó 00 , 10 1,8 0,05 0,8 0,1 9,99 B f x x y y . c) Đặt 00 , 1;1 ; , 0,02; 0,05 x y x y , 2 2 2 2 , arctg , , xy x y x f x y f f y x y x y , 0 0 0 0 0 0 11 , , , , , 4 2 2 xx f x y f x y f x y . Khi đó 00 11 , 0,02 0,05 0,035 4 2 2 4 C f x x y y . 7. Tính đạo hàm hàm riêng của các hàm hợp sau đây a) Cho 2 sin , , u z x y x y v u v . Tính , uv zz . b) Cho ( , ) arctg , sin , cos . x f x y x u v y u v y Tính ,. uv ff c) Cho 2 arctg , cos x z y y x y . Tính x z . d) Cho 22 ( , ) ln sin , 3 , 1 . x f x y x t y t y Tính t f . Lời giải. a) Ta có 2 2 sin , cos xy z x y z x y ; 2 1 , uv u xx v v ; , 2 uv v y y u u . Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được 2 2 3 2 . . sin cos 2 2 . . sin cos u x u y u u x v y v uv z z x z y v u v u u v u z z x z y v u v v u v . b) Cho ( , ) arctg , sin , cos . x f x y x u v y u v y Tính ,. uv ff 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin sin os 0 sin cos sin cos u x u y u u v u v f f x f y v c v u v u v u v u v 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin os usin 1 sin cos sin cos u x v y v u v u v f f x f y uc v v u v u v u v u v c) Ta có 2 2 2 2 2 , arctg , xy y x xy zz y x y x y sin 2 y x x . Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu28.blogspot.com Email: caotua5lg3@gmail.com 7 42 2 4 2 2 4 cos cos . arctg sin 2 cos cos cos xy dz x x x x z z y x x dx x x x x x . d) Cho 22 ( , ) ln sin , 3 , 1 . x f x y x t y t y Tính t f . xy 3 1 x x x f cot g ,f cot g y y y 2y 22 44 2 2 2 33 cot 2 1 1 1 t x t y t t t t f f x f y g t t t 8. Tính các đạo hàm hàm riêng và vi phân cấp 2 của các hàm sau đây a) 2 ln( ) z x y b) 2 2 z xy y c) arctg 1 xy z xy d) 2 2 2 1 . u x y z Lời giải. a) 22 21 , xy x zz x y x y và 2 2 2 2 2 12 ,, xx yy xy yx x z z z x y x y x y . b) 22 , 22 xy y x y zz xy y xy y , 22 3 3 3 2 2 2 ,, 2 2 2 xx yy xy y x xy z z z xy y xy y xy y . c) 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 , 1 1 1 11 x xy yy zy x y x y x y xy xy x y , 22 22 , , 0 11 xx yy xy xy z z z xy . d) 2 2 2 1 . u x y z x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z u ;u ;u x y z x y z x y z 2 2 2 2 2 2 xx yy zz 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y z x z y x u ;u ;u x y z x y z x y z xy zy zx 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xy yz zx u ;u ;u x y z x y z x y z Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu28.blogspot.com Email: caotua5lg3@gmail.com 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 y z dx x z dy x y dz 2xydxdy 1 du 2xzdxdz 2yzdydz x y z 9. Tính đạo hàm của các hàm ẩn xác định bởi các phương trình sau đây a) arctg - =0. Tính x y y y (x) aa b) 0. Tính ( ) y x xy xe ye e y x c) 3 3 3 3 0 Tính , xy x y z xyz . z z d) 2 2 2 2 2 2 0 . Tính , 2 3 4 x y z y x z x x y z Lời giải. a) Ta có : , , y x xy y x xy y x xy xy F x xe ye e F e ye ye F xe e xe . Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm ẩn, ta được y x xy x y x xy y F e ye ye yx F xe e xe . b) : ln F x xy y a 2 1/ 1 x y F yy yx F x y xy . c) : xy F x y x 1 1 ln ln yx x xy y F yx y y yx F xy x x . 10. Phương trình 2 2 2 2 z y z x xác định hàm ẩn z = z(x,y). Chứng minh rằng 2 11. zz x x y y z Giải 11. Tìm cực trị của các hàm sau đây a) 22 4( ) z x y x y b) 22 1 z x xy y x y c) y z x y xe d) 22 ( 1) 2 z x y e) 4 4 2 2 22 z x y x y f) 22 2 3 2 10 z xy x y g) 32 3 15 12 z x xy x y h) 50 20 z xy xy i) 2 2 2 2 u x y z xy x z j) 3 2 2 3 4 8 u x y x y z z Lời giải. a) Tìm điểm tới hạn 0 4 2 0 2 2, 2 4 2 0 2 x y zx x M zy y . Xác định điểm cực trị Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu28.blogspot.com Email: caotua5lg3@gmail.com 9 2; 0; 2 xx xy yy z z z . Tại 0 : M 2 2 0, 0, 2, 4 0 A B C B AC 0 M là điểm cực đại và max 8 z . b) 0 2 1 0 1 1,1 2 1 0 1 x y z x y x M z y x y . 2; 1; 2 xx xy yy z z z . Tại 0 : M 2 2 0, 1, 2, 3 0 A B C B AC 0 M là điểm cực tiểu và min 0 z . c) 0 10 1 1,0 0 10 y x y y ze x M y z xe . 0; ; yy xx xy yy z z e z xe . Tại 0 : M 2 0, 1, 1, 1 0 A B C B AC Hàm số không có cực trị. d) 0 2 1 0 1 1,0 0 40 x y zx x M y zy 2, 0, 4 xx xy yy z z z Tại 0 : M 2 2 0, 0, 4, 8 0 A B C B AC 0 M là điểm cực tiểu và min 0 z ; e) Tìm các điểm tới hạn 3 3 1 8 2 0 0 2 4 4 0 01 x y z x x xx z y y yy . Vậy hàm số có 9 điểm tới hạn 1 2,3 4,5 6,7 8,9 1 1 1 (0,0), 0, 1 , ( ,0), ( , 1), , 1 2 2 2 M M M M M . Xác định điểm cực trị 22 24 2; 0; 12 4 xx xy yy z x z z y . * Tại 1 : M 2 2 0, 0, 4, 8 0 A B C B AC 1 M là điểm cực đại và max 0 z . * Tại 2,3 : M 2 2 0, 0, 8, 16 0 A B C B AC 2,3 M không phải là điểm cực trị. * Tại 4,5 : M 2 4 0, 0, 4, 16 0 A B C B AC 4,5 M không phải là điểm cực trị. * Tại 6,7 : M 2 4 0, 0, 8, 32 0 A B C B AC 6,7 M là điểm cực tiểu và min 9 8 z . Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu28.blogspot.com Email: caotua5lg3@gmail.com 10 * Tại 8,9 : M 2 4 0, 0, 8, 32 0 A B C B AC 8,9 M là điểm cực tiểu và min 9 8 z . f) 0 2 6 0 0 0,0 2 4 0 0 x y z y x x M z x y y . 6; 2; 4 xx xy yy z z z . Tại 0 : M 2 6 0, 2, 4, 20 0 A B C B AC 0 M là điểm cực đại và max 10 z . g) Tìm điểm tới hạn 22 2, 1 3 3 15 0 1, 2 6 12 0 x y xy z x y xy z xy 1 2 3 4 2, 1 , 1,2 , 2,1 , 2,1 M M M M Xác định điểm cực trị 6 , 6 , 6 xx xy yy z x z y z x . * Tại 2 1 : 12 0, 6, 12, 108 0 M A B C B AC 1 M là điểm cực tiểu và min 22 z . * Tại 2 2 : 6 0, 12, 6, 108 0 M A B C B AC 2 M không phải là điểm cực trị. * Tại 2 3 : 12 0, 6, 12, 108 0 M A B C B AC 3 M là điểm cực tiểu và min 22 z . * Tại 2 4 : 6 0, 12, 6, 108 0 M A B C B AC 4 M không phải là điểm cực trị. h) 2 0 2 50 0 5 5,2 20 2 0 x y zy x x M y zx y . 33 100 40 , 1, xx xy yy z z z xy . Tại 0 : M 2 4 0, 1, 5, 3 0 5 A B C B AC 0 M là điểm cực tiểu và min 30 z . 12. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm sau đây a) z xy với 1 xy b) 22 cos cos z x y với 4 yx Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu28.blogspot.com Email: caotua5lg3@gmail.com 11 c) 2 z x y với 22 5 xy d) 11 z xy với 2 2 2 1 1 1 x y a Lời giải. a) Do 11 x y y x , nên ta đưa được bài toán về bài toán tìm cực trị hàm một biến 2 , z z x x x x . Ta có 1 1 2 0 2 z x x x và 1 2, 2 2 z x z . Vậy hàm zx đạt cực đại tại 1 2 x nên hàm , z x y đạt cực đại có điều kiện tại 11 ,, 22 xy và max 1 4 z . b) Do 44 y x y x . nên ta đưa bài toán về bài toán tìm cực trị hàm một biến 22 cos cos , 4 z z x x x x . Ta có sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 2 sin 2 24 z x x x x x x 02 4 8 2 k z x x k x và 2 2 cos 2 4 z x x 2 2, 2 1 2 2 cos 2 2 cos , 8 2 4 4 2 2, 2 km k z k k m km . Vậy hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại 2 1 2 1 , 8 2 8 2 mm với min 11 1 cos 2 1 1 22 zm và đạt cực đại có điều kiện tại , 88 mm với max 11 1 cos 2 1 22 zm c) Hàm Lagrange 22 , , 2 5 L x y x y x y Tìm điểm tới hạn Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu28.blogspot.com Email: caotua5lg3@gmail.com 12 1 2 22 2 1 1 2 0 1/ 2 1,2 , 2 2 2 0 1/ 1 1, 2 ; 1/ 4 5 2 x y Lx x M L y y M xy Xác định điểm cực trị 2 2 2 2 22 2 2 , 0, 2 2 21 2 , 2 2 0 xx xy yy xy L L L d L dx dy x d L dx x y x y d xdx ydy dy dx y . * Tại 1 1 1,2 , : 2 M 22 11 1,2, 1 0, 0 24 d L dx dx 1 M là điểm cực đại có điều kiện. * Tại 2 1 1, 2 , : 2 M 22 11 1, 2, 1 0, 0 24 d L dx dx 2 M là điểm cực tiểu có điều kiện. d) Hàm Lagrange 2 2 2 1 1 1 1 1 , , , 0 L x y a xy x y a . Tìm điểm tới hạn 23 1 23 2 2 2 2 12 0 2 , 2 , 2 12 2 0 2 , 2 , 2 2 1 1 1 x y L a xx M a a xy L a a yy M a a x y a Xác định điểm cực trị 2 2 2 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 3 3 3 3 2 6 2 6 1 3 1 3 , 0, 2 2 2 1 1 , 2 0 xx xy yy xy L L L d L dx dy x x y y x x y y y d dx dy dy dx x y x y x 6 22 3 4 3 4 6 1 3 1 3 2 y d L dx x x y y x . * Tại 1 2 , 2 , : 2 a M a a Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu28.blogspot.com Email: caotua5lg3@gmail.com 13 2 2 2 2 3 3 3 13 40 2 2 4 2 2 dx d L dx dx a a a 1 M là điểm cực tiểu có điều kiện. * Tại 2 2 , 2 , : 2 a M a a 2 2 2 2 3 3 3 13 40 2 2 4 2 2 dx d L dx dx a a a 2 M là điểm cực đại có điều kiện. 13. Trong tất cả các tam giác vuông có diện tích bằng 1, tìm tam giác có cạnh huyền nhỏ nhất. Lời giải. Gọi , , 0 x y z lần lượt là hai cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông có diện tích bằng 1. Khi đó 2 2 xy y x và 22 :, z x y z x y . Bài toán được đưa về bài toán tìm cực trị của hàm số 4 2 2 2 2 44 , : , 0, x z z x y x y x z x x x x Ta có 4 24 4 02 4 x x zx xx Lập bảng xét dấu x z ta thấy 2 x là điểm cực tiểu của hàm số zx nên hàm , z x y đạt cực tiểu tại 2, 2 . Vậy trong tam giác vuông có diện tích bằng 1 thì tam giác vuông cân là tamgiác có cạnh huyền nhỏ nhất và bằng 2. 15. Tính max và min của các hàm sau đây trên tập đóng và giới nội D tương ứng a) 2 4 z x y x y với D được giới hạn bởi các đường 0, 0, 6 x y x y b) sin sin sin z x y x y với 2 ( , ) :0 ,0 22 D x y x y c) 22 z x y với 2 2 2 , : 4 D x y x y d) 22 22 2 3 xy z e x y với 2 2 2 , : 1 D x y x y Lời giải. a) Ta có 2 , :0 6,0 6 D x y x y x . Tìm điểm tới hạn trong 0 2 , :0 6,0 6 D x y x y x : Ta có 2 2 3 2 2 4 4 z x y x y x y x y x y . Giải hệ phương trình Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu28.blogspot.com Email: caotua5lg3@gmail.com 14 2 3 2 8 0 3 2 8 0 2 2 4 0 1 2 4 0 x y z xy x y x y x x y y z x x y . Vậy trong 0 D , hàm số có một điểm tới hạn 1 2,1 M và 1 4 zM . Tìm điểm tới hạn trên D : * Trên : 0, 0,6 : 0 OA x y z * Trên : 0, 0,6 : 0 OB y x z * Trên : 6 , 0,6 AB y x x . Ta có hàm một biến 2 3 2 4 2 12 : z x y x y x x z x 2 6 24 0 4 0,6 x z x x x Trên AB, hàm số có một điểm tới hạn 2 2,4 M và 2 ( ) 64 zM . * Tại các điểm 0,0 , 0,6 , 6,0 : 0 O A B z A z B z B So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn, ta được max 4 D z đạt tại 1 2,1 M và min 64 D z đạt tại 2 4,2 M . b) Tìm các điểm tới hạn trong 0 2 ( , ) :0 ,0 22 D x y x y : Ta có cos cos 0 cos cos cos cos 0 cos cos 0 x y z x x y xy x x y z y x y 0 ,, 33 x y D và 33 , 3 3 2 z . Tìm các điểm tới hạn trên D : * : 0, 0, : 2 OA y x 2sin zx và 2cos 0 VN z x x . * : 0, 0, : 2 OB x y 2sin zy và 2cos 0 VN z y y . * : , 0, : 22 BC y x 1 sin sin 1 sin cos 2 z x x x x và x y 0 6 6 A B 2 M2 1 M1 2 4 Hình 1 x y 0 A B M2 M3 /2 M1 /3 3 C /4 4 2 Hình 2 Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu28.blogspot.com Email: caotua5lg3@gmail.com 15 cos sin 0 , 1 2 4 4 2 z x x x x z . * : , 0, : 22 OB x y 1 sin sin 1 sin cos 2 z y y y y và cos sin 0 , 1 2 4 2 4 z y y y y z . * Tại các đỉnh 0,0 , ,0 , , , 0, 2 2 2 2 O A B C : 0, 2 z O z A z B z B . Kết luận: 33 max ,min 0 2 D D zz . c) Tìm điểm tới hạn trong 0 2 2 2 , : 4 D x y x y : Ta có 20 0 0,0 0 20 0 x y zx x z zy y Tìm điểm tới hạn trên 22 :4 D x y Cách 1. Hàm Lagrange 2 2 2 2 , , 4 L x y x y x y . Ta có 22 22 2 2 0 01 0, 2 2 2 0 0 1 0, 2 4, 2,0 4 0, 2 4 4 x y L x x x xy L y y y z z yx xy xy . Kết luận max 4,min 4 D D zz . Cách 2. 2 2 2 2 4 4 , 2,2 x y y x x . Xét 2 2 2 2 4 4 0 0 z x y x z x x x . So sánh các giá trị 0 4, 2 2 4 z z z ta được max 4,min 4 D D zz . Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu28.blogspot.com Email: caotua5lg3@gmail.com 16 d) Tìm các điểm tới hạn trong 0 2 2 2 , : 1 D x y x y . Ta có 22 22 22 22 2 2 3 4 0 2 2 3 6 0 xy x xy y z e x x y x z e y x y y 22 22 0 2 2 3 0 0, 1 3 2 3 0 1, 0 xy x x y xy y x y xy 0 , 0,0 0,0 0 x y D z . Tìm các điểm tới hạn trên biên 2 2 2 2 : 1 1 D x y y x . Ta có 22 2 2 1 2 2 3 (3 ) : , 1,1 xy z e x y e x z x x 2 00 z x x x e . So sánh các giá trị 32 0 , 1 1 z z z ee ta được 3 max ,min 0 D D zz e . Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com x y 2 0 2 Hình 3 2 2 x y 1 0 1 Hình 4 1 1
Trang 1Phép tính vi phân hàm nhiều biến
A Lý thuyết
Định nghĩa hàm hai (nhiều) biến và MXĐ của hàm số Định nghĩa và cách tính giới hạn dãy điểm, giới hạn hàm số Định nghĩa tính liên tục của hàm số
Định nghĩa và cách tính đạo hàm riêng cấp 1 Biểu thức và ứng dụng cua vi phân cấp
1 Công thức tính đạo hàm riêng của hàm hợp Cách tính đạo hàm riêng và vi phân cấp 2 (cấp cao)
Định nghĩa cực trị Các định lý điều kiện cần, điều kiện đủ của cực trị (quy tắc tìm cực trị) Công thức tính đạo hàm hàm ẩn Định nghĩa cực trị có điều kiện Cách tìm cực trị có điều kiện Cách tìm max và min của hàm số trên tập đóng và giới nội
B Bài tập..
a) z ln xy b) 1 2
z
y x
1 Tìm miền xác định của các hàm sau đây
c)
1 x y
z
z
e)
1 arcsin y
z
x
Lời giải
a)D ( , ) x y 2: xy 0
b) D x y , 2: y x2
c) 2 2 2
d) D ( , ) x y 2: x y x
e) Hàm số xác định khi
1
f) Hàm số xác định khi
ln 0
x y
2 Tính các giới hạn sau đây
Trang 2a) 2 2
0
0
1
x
y
xy
b)
0 2
sin lim
x y
xy x
c) 2
lim 1
x
x y
y x
d) lim 2 2
x
y
x y
0 0
lim
1 1
x y
1
2 2 0
0
lim 1 x y x
y
Lời giải
a) Từ 2 2 1 2 2
xy
0 0
lim( ) 0
x y
, theo tiêu chuẩn kẹp, ta được
2 2 0
0
1
x y
xy
b)
0/ 0
y
c)
1
2
lim 1 lim 1
y x x
y
e
d) Từ
1 1
, theo tiêu chuẩn kẹp, ta được
x y
x y
0
y
f) Do
2 2
1
1 1
x y
2 2
2 2
x y
x y
3 Chứng minh các hàm sau đây không có giới hạn khi x y , 0,0
a) f x y , x
x y
b) f x y , x22 y22
2 2
2
2 2
f x y
Lời giải
Trang 3a) Do khi k , ta có
1 1
2 2
1 1
1 2
k k
k k
x y
k k
x y
k k
nhưng
1 1
2 2
,
1/ 1/ 2 2 1/
1/ 2 /
k k
k k
k
f x y
k
f x y
b) Do khi k , ta có
1 1
2 2
1 1
2 1
k k
k k
x y
k k
x y
k k
nhưng
1 1
2 2
1/ 1/
1/ 1/
4 / 1/ 3 3 ,
5 5
4 / 1/
k k
k k
f x y
f x y
c) Do khi k , ta có
1 1
2 2
1 1
1 1
k k
k k
x y
k k
x y
k k
nhưng
1 1
2
2 2
2
1/ 1/
1/ 1/ 1/ 1/
,
5 5 1/ 1/ 1/ 1/
k k
k k
f x y
f x y
4 Tính các đạo hàm hàm riêng cấp 1 và vi phân toàn phần của các hàm sau đây
a) z x3 y3 3 xy b)
z
siny
x
z e d) z xx y e) z yxy f) z x y2 xy2
ln
z x x y h) z arctg y
x
i) z arcsin y x
x
j) u e xyzsin y
z
z
x
y
l) ulnxy + z
Lời giải
a) z x 3 x2 3 , y z y 3 y2 3 x và 2 2
dz x y dx y x dy b)
,
2 22
4xy xdx ydy dz
2
1
x
cos
y x
d) Ta có z ex ylnx Vậy
Trang 4
y
y
z e x x x x x x x x,
e) zx y x2 y1, z y xy yxyln x xy(1 y ln ) x và
2 1
1 ln
y
dz x y x dx y x dy
f)
,
2
xy y dx x xy dy dz
x y xy
g)
1
1 ,
dz
h)
2
,
ydx xdy dz
i)
,
y
x
ydx dy dz
j) xyzsiny
z
2
u yze sin , u xze sin e cos ;u xye sin e cos
*) xyz
2
du e yz sin dx xz sin cos dy xy sin cos dz
k)
z
x
y
z 1
2
l) ulnxy + z
Trang 5xy z
5 Chứng minh rằng
a) Hàm z ln x2 xy y2 thoả phương trình x z y z 2.
b) Hàm z xy xey x/ thoả phương trình x z y z xy z
Lời giải
a) Ta có
,
Khi đó
2
b) Ta có
1
Khi đó
6 Dùng biểu thức vi phân cấp 1 tính gần đúng trị của các biểu thức
a) 1,995
1,003
9 1,95 8,1
arctg 0,95
C
Lời giải Trong bài này ta áp dụng công thức
0 , 0 0, 0 x 0, 0 y 0, 0
f x x y y f x y f x y x f x y y
a) Đặt
x y0, 0 1;2 , x , y 0,003; 0,005 ,
, y, x y ; y yln
f x y x f yx f x x,
0, 0 1, x 0, 0 2, y 0, 0 0
f x y f x y f x y
Ta được
0 , 0 1 2 0,003 0 0,005 1,006
b) Đặt
x y0, 0 2;8 , x , y 0,05;0,1 ,
9
0, 0 10, x 0, 0 1,8, x 0, 0 0,8
f x y f x y f x y
Trang 6Khi đó
0 , 0 10 1,8 0,05 0,8 0,1 9,99
c) Đặt
x y0, 0 1;1 ; x , y 0,02; 0,05 ,
, arctg , x x 2 y 2, y 2 x 2
0 0 0 0 0 0
f x y f x y f x y Khi đó
7 Tính đạo hàm hàm riêng của các hàm hợp sau đây
a) Choz x2sin , y x u , y v u
v
Tính z zu , v
b) Cho ( , ) arctg ,f x y x x usin ,v y ucos v
y
Tính , f u f v
arctg x, cos
y
Tính z x
( , ) ln sin x , 3 , 1
y
Tính f t
Lời giải
a) Ta có
2
2 sin , cos
z x y z x y;
2
1 ,
u
2
v
u
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được
2 2 3
2
2 2
u v
u
v
b) Cho ( , ) arctg ,f x y x x usin ,v y ucos v
y
Tính , f u f v
u x u y u
u x v y v
c) Ta có
2
2 2, arctg 2 2,
y
y x sin 2 x
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được
Trang 7 2cos4 4 2 2 cos24
x y
d) Cho f x y( , ) ln sin x ,x 3 ,t y2 1 t2
y
Tính f t
f cot g , f cot g
t x t y t
8 Tính các đạo hàm hàm riêng và vi phân cấp 2 của các hàm sau đây
a) z ln( x2 y ) b) z 2 xy y2
c) arctg
1
x y z
xy
1
u
Lời giải
a)
,
x
2
b)
c)
2
1
,
x
xy
22 22
d)
2 2 2
1
u
Trang 82 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
y z dx x z dy x y dz 2xydxdy 1
d u
2xzdxdz 2yzdydz
9 Tính đạo hàm của các hàm ẩn xác định bởi các phương trình sau đây
a) arctgx y y- =0 Tính y (x)
0 Tính ( )
y x xy
c) 3 3 3
3 0 Tính ,x y
x y z xyz z z d) 22 22 2 20 Tính ,
y x z x
Lời giải
a) Ta có
: y x xy, x y x xy, y y x xy
F x xe ye e F e ye ye F xe e xe
Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm ẩn, ta được
y
y x
b) F x : xy ln y a 2
1/ 1
x y
y x
c) F x : yx xy 11 ln
ln
x
y
y x
10 Phương trình 2 2 2 2
x
xác định hàm ẩn z = z(x,y) Chứng minh rằng
x
Giải
11 Tìm cực trị của các hàm sau đây
a) z 4( x y ) x2 y2 b) z x2 xy y2 x y 1
c) z x y xey d) z ( x 1)2 2 y2
e) z 2 x4 y4 x2 2 y2 f) z 2 xy 3 x2 2 y2 10 g) z x3 3 xy2 15 x 12 y h) 50 20
z xy
i) ux2y2 z2 xy x 2z j) ux3y23x4y z2 z 8
Lời giải
a) Tìm điểm tới hạn
0
2, 2
x y
M
Xác định điểm cực trị
Trang 92; 0; 2
z z z Tại M0: A 2 0, B 0, C 2, B2 AC 4 0
0
M
là điểm cực đại và zmax 8
1,1
x
y
M
zxx 2; zxy 1; z yy 2
Tại M0: A 2 0, B 1, C 2, B2 AC 3 0 M0 là điểm cực tiểu và zmin 0
c) 1 0 1 0 1,0
0
y x
y y
M y
zxx 0; z xy e zy; yy xey
Tại M0: A 0, B 1, C 1, B2 AC 1 0 Hàm số không có cực trị
d)
0
1,0 0
4 0
x
y
M y
zxx 2, zxy 0, z yy 4
Tại M0: A 2 0, B 0, C 4, B2 AC 8 0 M0 là điểm cực tiểu và zmin 0; e) Tìm các điểm tới hạn
3 3
1
2
x
y
Vậy hàm số có 9 điểm tới hạn
(0,0), 0, 1 , ( ,0), ( , 1), , 1
Xác định điểm cực trị
z x z z y
* Tại M1: A 2 0, B 0, C 4, B2 AC 8 0
1
M
là điểm cực đại và zmax 0
* Tại M2,3: A 2 0, B 0, C 8, B2 AC 16 0
2,3
M
không phải là điểm cực trị
* Tại M4,5: A 4 0, B 0, C 4, B2 AC 16 0
4,5
M
không phải là điểm cực trị
* Tại M6,7: A 4 0, B 0, C 8, B2 AC 32 0
M6,7 là điểm cực tiểu và min 9
8
z
Trang 10* Tại M8,9: A 4 0, B 0, C 8, B2 AC 32 0
M8,9 là điểm cực tiểu và min 9
8
z
f) 2 6 0 0 0 0,0
x
y
M
zxx 6; z xy 2; z yy 4
Tại M0: A 6 0, B 2, C 4, B2 AC 20 0 M0 là điểm cực đại và
max 10
z
g) Tìm điểm tới hạn
1, 2
6 12 0
x y
1 2, 1 , 2 1, 2 , 3 2,1 , 4 2,1
Xác định điểm cực trị
z x z y z x
* Tại M1: A 12 0, B 6, C 12, B2 AC 108 0
1
M
là điểm cực tiểu và zmin 22
* Tại M2: A 6 0, B 12, C 6, B2 AC 108 0
2
M
không phải là điểm cực trị
3
M
là điểm cực tiểu và zmin 22
M A B C B AC
4
M
không phải là điểm cực trị
2
50 0
5
5, 2
0
x
y
x x
M y
y
, 1,
Tại M0: 4 0, 1, 5, 2 3 0
5
A B C B AC M0 là điểm cực tiểu và zmin 30
12 Tìm cực trị có điều kiện của các hàm sau đây
a) zxy với x y 1 b) z cos2x cos2 y với
4
y x
Trang 11
c) z x 2 y với x2 y2 5 d) 1 1
z
x y
với 12 12 12
x y a Lời giải
a) Do
x y y x, nên ta đưa được bài toán về bài toán tìm cực trị hàm một biến
2,
z z x x x x
Ta có
1 2 0
2
2
z x z
Vậy hàm z x đạt cực đại tại 1
2
x nên hàm z x y , đạt cực đại có điều kiện tại
2 2
x y và max 1
4
z b) Do
y x y x
nên ta đưa bài toán về bài toán tìm cực trị hàm một biến
4
z z x x x x
Ta có
sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 2 sin 2
z x x x x x x
0 2
k
z x x k x
và 2 2 cos 2
4
z x x
2 2, 2 1
k
Vậy hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại
2 1 2 1
,
và đạt cực đại có điều kiện tại
,
8 m 8 m
c) Hàm Lagrange
L x y x y x y
Tìm điểm tới hạn
Trang 12
1
2
1
2
1
1, 2 ; 1/ 4
x y
M
Xác định điểm cực trị
2
2
2 1
x
y
* Tại 1 1
1, 2 , :
2
M1 là điểm cực đại có điều kiện
* Tại 2 1
1, 2 , :
2
M2 là điểm cực tiểu có điều kiện d) Hàm Lagrange
1 1 12 12 12
Tìm điểm tới hạn
1
2
1 2
0
2 , 2 , 2
0
2 , 2 , 2
2
x
y
L
a
x y
a
Xác định điểm cực trị
3
y
6
* Tại 1 2 , 2 , :
2
a
Trang 13dx
M1 là điểm cực tiểu có điều kiện
* Tại 2 2 , 2 , :
2
a
2
dx
M2 là điểm cực đại có điều kiện
13 Trong tất cả các tam giác vuông có diện tích bằng 1, tìm tam giác có cạnh huyền nhỏ nhất
Lời giải Gọi x y z , , 0 lần lượt là hai cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông có diện tích bằng 1 Khi đó
2 2
x
z x y z x y Bài toán được đưa về bài toán tìm cực trị của hàm số
2
x x
Ta có
4
2 4
4
4
x
x
x x
Lập bảng xét dấu zx ta thấy x 2 là điểm cực tiểu của hàm số z x nên hàm z x y , đạt cực tiểu tại 2, 2 Vậy trong tam giác vuông có diện tích bằng 1 thì tam giác vuông cân
là tamgiác có cạnh huyền nhỏ nhất và bằng 2
15 Tính max và min của các hàm sau đây trên tập đóng và giới nội D tương ứng
a) z x y2 4 x y với D được giới hạn bởi các đường x 0, y 0, x y 6 b) z sin x sin y sin x y với ( , ) 2: 0 ,0
D x y x y
c) z x2 y2 với 2 2 2
D x y x y
d) 2 2
x y
z e x y với D x y , 2: x2 y2 1
Lời giải
a) Ta có
Tìm điểm tới hạn trong 0
2
z x y x y x y x y x y Giải hệ phương trình
Trang 14
2
2 4 0
x
y
Vậy trong D0 , hàm số có một điểm tới hạn M1 2,1 và z M 1 4
Tìm điểm tới hạn trên D:
* Trên OA x : 0, y 0,6 : z 0
* Trên OB y : 0, x 0,6 : z 0
* Trên AB y : 6 x x , 0,6 Ta có hàm một biến
z x y x y x x z x
2
x
Trên AB, hàm số có một điểm tới hạn M2 2,4 và z M ( 2) 64
* Tại các điểm O 0,0 , A 0,6 , B 6,0 : z A z B z B 0
So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn, ta được
max 4
D z đạt tại M1 2,1 và min 64
D z đạt tại M2 4,2
b) Tìm các điểm tới hạn trong
0
2
( , ) : 0 ,0
D x y x y
x
y
3 3
x y D
3 3 ,
3 3 2
z
Tìm các điểm tới hạn trên D:
* : 0, 0, :
2
OA y x
z2sinx và z x 2cos x 0 VN
* : 0, 0, :
2
OB x y
z 2sin y và z y 2cos y 0 VN
BC y x
2
z x x x x
và
x
y
0
6
6
A
B
2
M2
1 M1
2
4
Hình 1
x
y
B
M2
M3
/ 2
M1
/ 3
3
C
/ 4
4
2
Hình 2
Trang 15 cos sin 0 , 1 2
OB x y
1 sin sin 1 sin cos
2
z y y y y
và
* Tại các đỉnh 0,0 , ,0 , , , 0,
O A B C
0, 2
z O z A z B z B Kết luận:
3 3 max , min 0
2 D
c) Tìm điểm tới hạn trong 0
D x y x y : Ta có
0,0 0
x y
z
Tìm điểm tới hạn trên D x : 2 y2 4
Cách 1 Hàm Lagrange
L x y x y x y
Ta có
0, 2
0, 2 4
4
x
y
Kết luận
max 4, min 4
D
D z z
Cách 2
x y y x x Xét
So sánh các giá trị
0 4, 2 2 4
z z z
ta được
max 4, min 4
D
D z z
Trang 16d) Tìm các điểm tới hạn trong 0
D x y x y Ta có
2 2
2 2
x y
x
x y
y
0
0, 1
x y
Tìm các điểm tới hạn trên biên D x : 2 y2 1 y2 1 x2 Ta có
x y
z e x y e x z x x
2
e
So sánh các giá trị
3 2
ta được
3 max , min 0
D
e
Biên soạn: Cao Văn Tú
Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
Email: caotua5lg3@gmail.com
Website: www.caotu28.blogspot.com
x
2
Hình 3
2
2
x
1
Hình 4
1
1