Bài tập xác suất thống kê (có lời giải)

bài tập lời giải xác suất thống kê, bài tập lời giải xác suất thống kê, bài tập lời giải xác suất thống kê

Trang 1

Bài tập xác suất xác suất thống kê

GVHD: NGUYEN NGOC SIENG

Bai 1:

Hỏi có bao nhiêu cách xếp r hành khách lên n toa tàu, mỗi người có thể lên 1 toa bất kỳ và mỗi toa chứa hơn r người?

Giải

> Để xếp r hành khách lên n toa tàu ta chia làm r giai đoạn, giai đoạn ¡ xếp cho người thứ ¡ SỐ cách xếp là n (Ý = 1,7 ),

> Theo quy tắc nhân số cách xếp r hành khách lên n toa tàu là:

#Ex1#xn tt =ể

Bài 2:

1 người chọn số PIN có 6 chữ số của thẻ ATM:

a) Hỏi có bao nhiêu số PIN người đó có thể chọn?

b) Hỏi có bao nhiêu số PIN có 6 chữ số khác nhau?

Giải:

a) Mỗi số PIN có 6 chữ số là 1 chỉnh hợp lặp chập 6 từ 10 phần tử (0, 1, 2, .„9) Vậy sỐ các số Pin có 6 chữ số là:

AS, = 10° = 1.000.000

b) Một số PIN có 6 chữ số khác nhau là 1 chỉnh hợp chập 6 từ 10 phần tử (0, 1, 2, „9) Vậy số các số Pin có 6 chữ số khác nhau là:

Afo = Goel 7 ar — 151.200

Bal 3:

1 công ty cần tuyển 4 nhân viên, có 15 người nộp hồ sơ, trong đó có 10 nam và

5 nữ Khả năng được tuyển của mỗi người nhƯ nhau

a) Hỏi có bao nhiêu kết quả đồng khả năng xảy ra?

b) Hỏi có bao nhiêu kết quả 4 người được tuyển gồm 2 nam 2 nữ?

Giải:

a) Mỗi kết quả đồng khả năng là chọn ra 4 người từ 15 người không kể thứ tự

là 1 tổ hợp chập 4 từ 15 phần tử Vậy số kết quả đồng khả năng xảy ra là :

4!(15—- 4)! 4!.11! 1.2.3.4 b) Để có kết quả 4 người được tuyển có 2 nam 2 nữ ta chia làm 2 giai đoạn:

v Giai đoạn 1: Chọn 2 nam trong 10 nam, số cách chọn là: Cio = 45

ˆ Giai đoạn 1: Chọn 2 nữ trong 5 nữ, số cách chọn la: CZ = 10

Vậy số kết quả của 4 người được tuyển có 2 nam 2 nữ là:

C2,.C2 = 45.10 = 450

Nguyễn Phan Thanh Lâm

Trang 1

Trang 2

Bai 4:

1 hộp có 6 bi đỏ 4 bi xanh, lấy ngẫu nhién ra 1 bi, tìm xác suất bi lấy ra là bi

đỏ

Giải:

* Số kết quả đồng khả năng xảy ra là: Cio = 10

* Gọi A là biến cố bi lấy ra là bi đỏ

* Số kết quả thuận lợi cho A xảy ra là: C¿ = 6

* Xác suất bi lấy ra là bi đỏ là:

6

p(Ä)=xa=

0,6

Bài 5:

Một hộp có 6 bi đỏ, 4 bi xanh lấy ngẫu nhiên ra 4 bi Tìm xác suất 4 bi lấy ra

có 2 bi đỏ và 2 bi xanh

Giải:

* Số kết quả đồng khả năng xảy ra là: Cfo = 210

* Gọi A là biến cố 4 bi lấy ra có 2 bi đỏ và 2 bi xanh:

CŒ.ữ =m

* Vậy

90 3

Bài 6:

Một người mua 1 vé số có 5 chữ số tìm xác suất:

a) Để người đó trúng giải 8?

b) Để người đó trúng giải khuyến khích?

Giải:

Mỗi vé số có 5 chữ số là 1 chỉnh hợp lặp chập 5 từ 10 phần tử (0,1, ,9), vậy số vé số có 5 chữ số là:

A?, = 10° = 100.000 Mua 1 vé số kết quả đồng khả năng xảy ra là 100.000

Trang 3

a) Gọi A là biến cố người đó trúng giải 8, giả sử giải tám là ab, khi đó các vé trúng giải tám là xyzab ứng với 1 chỉnh hợp lặp chập 3 : x,y,z từ 10 phần tử

(0,1, 9), vậy sỐ vé sỐ trúng giải tám là:

A, = 10? = 1000

* S6 két qua thuan lợi cho A xảy ra là 1000

* Vậy

(4) -1000 _ 1

b) Gọi B là biến cố người đó trúng giải khuyến khích

Giả sử giải đặc biệt là: abcde

* Các vé trúng giải khuyến khích:

® xbcde (x#a) có 9 vé

® axcde (x#b) có 9 vé

e abxde (x#c) có 9 vé

® abcxe (x#d) có 9 vé,

e abcdx (x#e) co 9 vé

* SỐ vé trúng giải khuyến khích là: 9.5 = 45

* Vậy số kết quả thuận lợi cho B xảy ra là 45

* Vậy

p(P)=

Bài 7:

Hai người A và B hẹn gặp nhau tại 1 địa điểm trong khoảng thời gian từ 8h

đến 9h, người đến trước đợi người kia quá 15° bỏ đi, tìm xác suất để A, B gặp nhau

Giải:

45 100.000

Quy gốc thời gian về 8h

¢ Goi x,y lan lượt là thời điểm tới điểm hẹn (đơn vị phút) của A và B, khi đó

0<x<60 0<y<60,

e_ Mỗi kết quả đồng khả năng là cặp x,y với đó Ð = x Š 60,0 < y Š 60, e© _ Khi đó không gian mẫu các kết quả đồng khả năng

0 ={(x,y)eR?: 0 < x < 60,0 < y < 60}

là miền phẳng giới hạn bởi hình vuông OCDE

e Số đo (Ô) = diện tích (OCDE) = 602

e© Gọi F là biến cố A và B gặp nhau, khi đó mỗi phần tử của F là cặp (x,y) sao

cho khoảng cách giữa

ly — xÌ < 15 © —15 < y — x < 15 © x — 15 < y S x +15

Trang 3

Trang 4

Vay F= {(x,y)e0: x— 15 < y < x + 15} là miền phẳng giới hạn bởi đa giác lồi

OUDLM

Số đo (F) = diện tích (OIJDLM) = 60°— 2— = 607 — 45? = 1575

Bài 8:

Một hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh lấy cùng lúc ra 3 bi, tìm:

a) Xác suất 3 bi lấy ra cùng màu

b) Xác suất 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ

a) Gọi _A là biến cố 3 bi lấy ra đều là bi đỏ

B là biến cố 3 bi lấy ra đều là bi xanh

C là biến cố 3 bi lấy ra cùng màu

Khi đó € = 4U, hai biến cố A, B xung khắc nên:

p(C) = p(A U B) = p(A) + p(B)

Ta có:

Ce 20 1

A) == =—-=-

PIA) = 7 = 90 6

B) =—=—-=—

p(B) = ca = 359 ~ 30

Vay

1 p(c) =-+— = 0,2

6 30

b) Goi D Id bién c6 3 bi lay ra co it nhat 1 bi do

Cach 1

Gọi P 1a bién c6 d6i lap cia bién c6 D, ttc Ð là biến cố 3 bi lấy ra đều là

xanh Khi đó

_, ta l1

p(D) =e 30 7 1 7 PO)

Vay

hHì=1_-x?=1_—-—=—

Cach 2

Goi Aj la biến cố 3 bi lay ra đều đúng i bi dd (i = 1,2,3), khi đó:

D = A, UA, U Ag cdc bién c6 Ay, Ao, As xung khac tUng déi nén:

p(D) = p(A, UA, U A;) = p(A,) + p(A,) + p(Aa)

Trong đó:

Trang 5

Bài tập xác suất xác suất thống kê -

A)=-=“=—=—

P(A:)=~œ- “128 “1o

A — —! = aes oe

P\A2) =~ Ca = 399 = 2

p(1;) =~š = xa ==z 3 120

= p(D) = plAy) + p(4,) +p(4;) = so

Bài 9:

Trong 1 kho chứa tivi có số liệu

a

Hiệu

son

Sam sung 6 chọn ngẫu nhiên 1 TV dé kiểm tra, tìm xác suất để TV chọn ra là TV Sony hoặc TV

45 inches

Giải:

Gọi A là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV sony

B là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV 45 inches

C là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV sony hoặc 45 inches

Khiđó €= 4U ; hai biến cố A và B độc lập nên

s>(/"Ì — mÍ A4 1! ĐÌ — nÍA)Ì 1 nlf R)~— nfAN BY

Prats aes SS ee Ses VN và xế asst 2 Ss

Tu bang s6 liéu

p(A) = p(B) sẽ p( ) =

Vay

(c) 20 17 5 35

Bài 10:

Một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, lấy lần lượt từng bi 1 cho tới khi lấy được 2

bi xanh thì thôi, tìm xác suất để lấy đến viên thứ 3 thì thôi

Giải:

Gọi _A;là biến cố lấy được bi xanh ở lần thứ ¡ (¡ = 1,2,3)

A,la biến cố đối lập với biến cố A (¡ = 1,2,3)

A là biến cố lấy đến viên thứ 3 thì thôi

Khi đó: 4 = 4:4;4;U Ã14;4;, hai biến cố 4:44, 44:4; xung khắc nên:

p(A) = p(A:Ã;4;) + p(Ã:A;4;)

Trang 5

Trang 6

— 2 3 1 1

° p(A:4;4s) = p(A,).p(Az/A;).p(A3/A14>) = 5 x 4 x 7 = —

e«_ p(A1:4;4;) = p(A;).p(A;/Ä:).p(A;/Ã14;) = ae

vay p(4) = —+—=0,2

Bai 11:

Một người nhặt được 1 thẻ ATM có số PIN 6 chữ số, người đó giao dịch với máy ATM cho tới khi giao dịch được hoặc bị thu thẻ thì thôi

Tìm xác suất người đó giao dịch được

Giải:

Gọi A là biến cố người đó giao dịch được

A là biến cố đối lập với biến cố A, tức Ä là biến cố người đó bị thu thẻ

Khi đó: 4= 4:4:Ã: nên

p(Ã ) = p(A:A;4;) = p(A1).p(A;/4:).p(A;/Ä:4;)

Tả Có:

105 — 1

A =

p(A;) 106

C/A; 108 — 2 p(A2/A;) = 106 — 1

106 —3

p(A:/A4;) = 106 — 2 6 Vậy

(A) 10°-—1 10°-2 10-3 106 — 3

106 — 3 3

Bài 12:

Mộit thiết bị có 3 bộ phận hoạt động độc lập, xác suất hỏng của bộ phận 1,

bộ phận 2, bộ phận 3 trong khoảng thời gian t tương ứng là 0,1; 0,2; 0,3

a) Tim xác suất để trong khoảng thời gian t cả 3 bộ phận đều hỏng

b) Tìm xác suất để trong khoảng thời gian t có ít nhất 1 bộ phận hỏng

c)_ Tìm xác suất để trong khoảng thời gian t có đúng 1 bộ phận hỏng

Giải:

a) Gọi _A, là biến cố bộ phận ¡ bị hỏng trong khoảng thời gian t (¡ = 1,2,3)

A, là biến cố đối lặp với biến cố A;(i = 1,2,3)

p(A,)=0,1; p(A,)=0,2; p(A;)= 0,3

p(Ä;)= 0,9, p(1;)= 0,8; p(A3)=0,7

Trang 7

Goi A là biến cố cả 3 bộ phan déu hong, khi d6 A = A,A:A3; cdc bién cO Aj, Ao, As độc lập nên:

p(A) = p(A:A;A;) = p(A;).p(A;) p(A;) = 0,1 x 0,2 x 0,3 = 0,006

b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 bộ phận hỏng B = A: UA; U4;

Cách 1:

p(B) = p(A, U A, U Ag)

= p(A,) + p(Az) + p(A3) — p(AyA2) — p(AyA3) — p(A;A4;) + p(A14;4;)

¥ p(A,A,) = p(A,).p(A2) = 0,1 x 0,2 = 0,02

¥ p(A,A3) = p(A,).p(Az) = 0,1 x 0,3 = 0,03

Y p(A,A3) = p(A;).p(A) = 0,2 x 0,3 = 0,06

¥ p(A,A;A3) = p(A;).p(A,) p(Az) = 0,1 x 0,2 x 0,3 = 0,006

Vay p(B) = 0,496

Cdch 2:

Gọi 1a biến cố đối lặp với biến cố B, khi đó:

B = A, UA, UA, = 4¡n4;nñ4; = Ä¡4;4;

cdc bin c6 Ay, Az, Az déc lap nén:

p(B) = p(A,A,A3) = p(Aj) p(Az) p(A3) = 0,9 x 0,8 x 0,7 = 0,504

Vay p(B) = 1— p(B) = 1- 0,504 = 0,496

c) Goi Cla bién cé cé ding 1 b6é phan bi hong, khi do:

C = A,A,Aj UV A, A2Aq VU AJ ASA

`

A_A_A_ SÃ es ¬+> -3^‡: nẦn¬

== C tur ig UU! Tell biến cố A14;4a, 14243, A ,A2A3 xun ig kl kha

p(C) = p(A,A2A3) + p(AyA2A3) + p(AyA2A2)

ta cO Ay,A2,A3,d6c lap ; Ay,A2,A3d6c lap ; Ay, Az, A3d6c lap nén:

p(A,A2A3) = p(A,).p(Az) p(Az) = 0,1 x 0,8 x 0,7 = 0,056

p(A,A,A3) = p(A).p(A;) p(A;) = 0,9 x 0,2 x 0,7 = 0,126

p(:›4;) = p(A;).p(3;).p(4;) = 0,9 x 0,8 x 0,3 = 0,216

Vậy p(€) = 0,056 + 0,126 + 0,216 = 0,398

Bài 13:

Một nhà máy có 3 phân xưởng: phân xưởng 1, phân xưởng 2, phân xưởng 3

sản xuất 1 lượng sản phẩm tương ứng 30%, 50%, 20%, biết tỷ lệ phế phẩm do phân xưởng 1, phân xưởng 2 , phân xưởng 3 sản xuất tương ứng là 2%, 3%, 4% Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy Tìm xác suất sản phẩm lấy ra là phê phẩm từ đó suy ra tỈ lệ phế phẩm của nhà máy

Giải:

Gọi A; là biến cố sản phẩm lấy ra do phân xưởng ¡ sản xuất (¡ = 1,2,3)

p(A:) = 30% = 0,3

Trang 7

Trang 8

Bài tập xác suất xác suất thống kê ;

p(A;) = 50% = 0,5

p(A;) = 20% = 0,2

Các biến cố A;, A;, A; hệ đầy đủ

Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra là phế phẩm, áp dung công thức xác suất toàn phần ta có:

p(A) = p(A:).p(A/A) + p(A;).p(A/A;) + p(A;).p(A/4:)

trong đó:

p(A/A;) = 2% = 0,02

p(A/A>) = 3% = 0,03 p(A/Az) = 4% = 0,04

Vay p(A) = 0,029 = 2,9%

TỈ lệ phế phẩm của nhà máy p = p(A) = 2,9%

Bài 14:

Có 2 chiếc hộp, hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh, hộp 2 có 5 bi đỏ 3 bi xanh Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 rồi sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi

a) Tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp 2 là bi đồ

b) Biết 2 bi lấy ra từ hộp 2 là bi đỏ, tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp 1 có 1 bi đỏ

và 1 bi xanh

Giải:

Goi A; la biến cố 2 bi lấy ra từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 có ¡ bi đỏ (¡ = 1,2)

pA.) ==> = =

A SS _ — —_— — mm

pú¿) Cn 45 15

4 15 1

pA, = = =5 mo 45 3

Cac bién c6 Ax, A», Ag tạo thành hệ đầy đủ

Goi A là biến cố 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

p(A) = p(Ag).p(A/Ao) + p(A1).p(A/A:) + p(4;).p(A/4;)

ta CÓ:

- 10 2

p(A/4a) = C2748 9

p(A/41)= C7453

Trang 9

Bài tập xác suất xác suất thống kê -

cấy 4 21 7

PA/A2) = cr = 36 = 1g

vậyP(4) =š-2c†1z-2e 5 45 15 45 1 g'as = ass 15 45 135

Áp dụng công thức Bayes ta có:

Bài 15:

Có 2 chiếc hộp, hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh, hộp 2 có 5 bi đỏ 3 bi xanh Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 rồi sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi

Tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp 2 là bi đỏ

Giải:

Gọi A; là biến cố bi lấy từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 là bi đỏ

A; là biến cố bi lấy từ hộp 1 bồ vào hộp 2 là bi xanh

GC 6 3

P(4,)=cẺ=g=s 1 10 5

CđQ 4 2

A — — — — — —

P(Az)=m =10=§

Hai biến cố A;¡, A; tạo thành hệ đầy đủ

Gọi A là biến cố 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

p(A) = p(A:).p(A/A) + p(A;).p(A/4;)

a i 2 10 5

P(A/4›) = 3 = 36 = 35

vay PC ) 5°12 5°18 36

Bai 16:

Một thùng sản phẩm có 20 sản phẩm, trong đó có 15 chính và 5 phế phẩm Trong qúa trình vận chuyển bị mất 2 sản phẩm không rõ chất lượng, ta lấy ngẫu

nhiên 2 sản phẩm trong 18 sản phẩm còn lại

a) Tìm xác suất 2 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm

Trang 9

Trang 10

b) Biết 2 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm, tìm xác suất để 2 sản phẩm bị mất có 1 chính và 1 phế phẩm

Giải:

a) Gọi A; là biến cố 2 sản phẩm bị mất có ¡ chính phẩm (¡ = 0,1,2)

Pad) = 2s = Tạp — To

1 1

g(4,) = Cj, 105 21

Gọi A là biến cố 2 sản phẩm lấy ra là chính, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

p(A) = p(Ag).p(A /Aa) + p(A:).p(A/A1) + p(A;).p(A/4;)

Cj; 105

p(A/Aq) = C2, = 153

P(AJA:) = c5 = 1gạ

Cj, 78

P(AJ4)= c5 = G95

1 105 15 91 21 78

vậy ĐỀ) —1S-1sa ga asa * a0" 05

b) Ap dụng công thức Bayes:

p(A,).p(A/A;)

Bai 17:

Một hộp có 10 quả bóng bàn, trong đó có 6 quả mới và 4 quả đã sử dụng

+ Lần 1 lấy ngẫu nhiên 1 quả thi đấu xong bỏ lại

+ Lần 2 lấy ngẫu nhiên 2 quả thi đấu

Tìm xác suất 2 quả lấy ra đều mới

Giải:

Gọi A; là biến cố quả bóng bàn lấy ra thi đấu lần 1 là quả mới

Â: là biến cố quả bong bàn lấy ra thi đấu lần 1 là quả đã sử dụng

Gọi A là biến cố 2 quả bóng bàn lấy ra thi đấu lần 2 là quả mới, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	4,24 MB