Một số hệ phương trình cơ bản

một số dạng hệ phương trình cơ bản và cách giải giúp các e ôn thi đại học và cao đẳng

****  ****

• Trong chương trình Toán ở trung học phổ thông, hệ phương trình chiếm vị trí không nhỏ Hệ phương trình với những ứng dụng của nó trong các phân môn như Hình học, Đại số, Lượng giác,… đã trở thành một công cụ đắc lực giúp chúng ta giải các bài toán khó Bên cạnh đó, những nét riêng, cái hay, sự đa dạng của Hệ phương trình cũng đã góp phần thúc đẩy nhóm chúng

em thực hiện chuyên đề này Chúng em đã tổng hợp các dạng toán hệ, những phương pháp giải cũng như những bài toán hay

và khó mà chúng em sưu tầm được trong quá trình thực hiện trong quyển chuyên đề này, hy vọng thầy cô và các bạn hài lòng.

• Do tính chất đa dạng và phức tạp của Hệ phương trình, việc biên soạn của chúng em chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót ngoài ý muốn Chúng em rất mong nhận được sự phê bình và góp ý của thầy cô và các bạn để lần sau thực hiện sẽ có kết quả hơn.

• Cuối cùng, chúc các bạn khi đọc quyển chuyên đề này cảm thấy hài lòng và tiếp nhận thêm được nhiều kiến thức từ chuyên đề.

PHẦN 1.HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN 4

A.HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4

I.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN 4

B.HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 13

C.HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 16

I.HỆ GỒM 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 16

II HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 17

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 29

IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 35

D HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 42

E.HÊ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 75

F.HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 92

PHẦN 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 103

PHẦN 3 TRẮC NGHIỆM 122

PHẦN 4 CÓ THỂ EM CHƯA BIẾT ? 133

PHẦN 5 PHỤ LỤC 137

Trang

A.HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

c c

a c

=

+ Nếu D ≠ 0: hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất:

x y

D x D D y D

 Dx ≠ 0 hay Dy ≠ 0 : hệ phương trình vô nghiệm

 Dx = Dy = 0 : hệ phương trình có vô số nghiệm: ∀ ∈ x R, được tính theo x

y x

( ) 2 2 ( 3( ) 1) 3

m x m y I

x y

D D D

Vậy hệ có vô số nghiệm khi m= -2

VD 4: Tìm các giá trị của b sao cho với mọi thì hệ phương trình sau có nghiệm

21

D a b a b D

4 1

a/ tìm m đễ hệ cĩ nghiệm duy nhất Tìm hệ thức liên hệ x, y độc lập với m.

b/ Định m nguyên để hệ cĩ nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

Bài 5: Cho hệ phương trình: 3 0

Bài 6: Định m nguyên để hệ cĩ nghiệm nguyên



Bài 9: Bằng định thức, giải các hệ phương trình sau:

2 2

41

Bài 10: Một ca nô chạy trên dòng sông trong 8 giờ, xuôi dòng 135 km và ngược dòng 63

km Một lần khác, ca nô cũng chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 84 km Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc của ca nô( biết rằng vận tốc thật của ca nô và vận tốc dòng nước chảy trong cả hai lần là bằng nhau và không đổi)

Bài 11 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 2p ( mét) Nếu mở rộng miếng đất đó

bằng cách tăng một cạnh thêm 3 mét và cạnh kia thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 246

m2 Tính các kích thước của miếng đất đó ( biện luận theo p)

Bài 12 : Giải và biện luận các hệ phương trình:

Bài 16 : Định ( a; b ) để hệ phương trình sau vô nghiệm :  + = −bx ay a b ax by a b+ = +

Bài 17: Định m để hệ phương trình sau có vô số nghiệâm:

Bài 19: Cho hệ phương trình : + = +mx y x my m+ =2m1

1/ Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với m

2/ Định m nguyên để hệ nghiệm nguyên có nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên

Bài 20: Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên:

Bài 22: Cho hệ phương trình:  − = +(2m x y m−1)x my− 5=3m−1

Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà x2 + y2 nhỏ nhất

Bài 23: Cho hệ phương trình ( 1) 2 2 1

Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x.y lớn nhất

Bài 24: Cho hệ phương trình : + = −a x x ay. −2y=12

1/ Chứng minh rằng hệ phương trình có nghiệm với mọi a

2/ Tìm a để hệ có nghiệm ( x; y) thỏa mãn: x + y > 0

Bài 25: Tìm b để hệ phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của a:

 có vô số nghiệm,

đồng thời x = 1, y = 3 là một nghiệm trong các nghiệm đó

Bài 27: Cho hệ phương trình: −((3m−m x1))x++(3m y+=1)2y m=

1/ Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm Khi đó, hãy tính theo m các nghiệm của hệ

2/ Tìm nghiệm gần đúng của hệ, chính xáx đến hàng phần nghìn khi m

Bài 28: Cho hệ phương trình: mx y x my++ −−32m m=− =1 00



1/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất

2/ Gọi (x;y) là nghiệm của hệ Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với m

x y yz

y z zx

Chứng minh rằng: a3+ + =b3 c3 3abc

Bài 6: Cho tam giác ABC có các cạnh a = 7, b = 5, c = 3.Hãy tìm bán kính đường tròn tâm A, tâm B, tâm C đôi một tiếp xác nhau

C.HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN:

I Hệ phương trình gốm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai:

Từ phương trình bậc nhất, ta tính y theo x ( hay x theo y) và thế vào phương trình bậc hai

để được phương trình bậc hai theo 1 ẩn x ( hay ẩn y)

 Điều kiện để tồn tại x, y là S02 − 4 P0 ≥ 0

 Với mỗi cặp nghiệm ( S0 ; P0) của (II) thì x, y là nghiệm của phương trình X2 – S0P + P0 = 0.Ngoài ra, ta cũng có thể đặt ẩn phụ thì hệ phương trình mới có dạng đối xứng, nhưng khi đó

ta cần lưu ý đến điều kiện

* Chú ý: Tính chất của nghiệm đối xứng :

- Nếu ( xo ; y0) là một nghiệm thì ( x0 ; y0) cũng là một nghiệm của hệ Do đó, nếu hệ có nghiệm duy nhất ( x0 ; y0) thì nghiệm đó cũng là ( y0 ; x0), suy ra x0 = y0

S P

SP

S P

l S

x y xy

x y

2 2

2 2 2 2

1/Với m=5, ta có:

2 2

55

S P S P

( 1 1 3 ) 4( 1 1 3 )( 1 1 3 ) 4( 1 1 3 )

 (loại vì m≥

-1

3) ( với m≥-1

3)

⇔4(1+3m)≥m2+4m+4

⇔m2-8m≤0⇔m∈[ ]0;8

Vậy m∈[ ]0;8

− + là biểu thức hàm bậc hai có hoành độ đỉnh cực tiểu nhỏ nhất tại a= 1 ≤2

S P

S P

S P

X2 - 5

2X + 1= 0 ⇔

212

X X

22

2 2

12 322

12 322

2 2

5 )

 ( ĐS: ( ) ( )0;1 , 1;0 )Giải hệ phương trình:

1/ Giải hệ với a=1

2/ Tìm các giá trị của a để hệ có đúng 1 nghiệm

 giải va biện luận theo m

HD: 1/ Nếu m=-1 Hệ vô nghiệm

2/ Nếu m ≠-1, hệ có nghiệm

2 2

22( 1)

22( 1)

m x

m

m m y

1/ Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P≥ 0 ta được kết quả x=y=1

2/x,y là nghiệm của phương trình bậc hai X2 – SX + P =0 từ đó ta suy ra giá trị của m đệ hệ

có ít nhất một nghiệm thỏa x>0, y>0

Bài 14: Giải các hệ phương trình sau đây:

x y xy

14425

x y xy

x y xy

42

x

x y x

27/

4 2 2 4

48137

32

Bài 15 : Tính hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền thì 185m, biết

rằng nếu giảm mỗi cạnh góc vuông đi 4 m thì diện tích giảm 506 m2

Bài 16: Tính các cạnh của một tam giác vuông biết rằng tổng hai cạnh góc vuông là 70m

và tổng cạnh huyền với đường cao tương ứng với nó là 74 m

Bài 17: Xác định m để các hệ phương trình sau có nghiệm:

Định a để hệ có ít nhất 1 nghiệm(x;y) thỏa điều kiện x > 0 và y > 0

Bài 20 : Cho hệ phương trình: x y2 26

a/ Hệ phương trình vô nghiệm

b/ Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

c/ Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 21: Giả sử x; y là nghiệm của hệ phương trình 2 22 21

Bài 21: Cho hệ phương trình :

2 2 2



a/ Giải hệ phương trình với a = 2

b/ Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất

Bài 22: Giải hệ phương trình:



Bài 25: Chứng tỏ rằng với a≠0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất.

2 2

2 2

32

x xy

x y x



1/ Giải hệ với a = 1

2/ Tìm các giá trị của a để hệ có đúng 2 nghiệm

Bài 28: Cho hệ phương trình : 2 2

Bài 29: Giả sử (x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

III Hệ phương trình đối xứng loại 2:

Trong đó F(x;y) là biểu thức đối xứng của x,y

Chú ý: i) Có thể ta phải đặt ẩn phụ thì hpt mới có dạng đối xứng, nhưng khi đó ta cần lưu ý

đến điều kiện của ẩn phụ

ii) Nếu các ẩn x,y có cùng một điều kiện thì thay vì giữ nguyên phương trình (2) ta nên cộng hai phương trình lại với nhau để đưa hệ hai về dạng đối xứng loại 1

Thay vào phương trình (1) ta có:

TH1: x = y ⇔x2 – 2x2 = 3x ⇔x ( x+3) = 0 ⇔ 0 0

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: 1 5

(1)

1 0 4( 1) 3 4 0

3 2)

3 2

x x y a

y y x

 = +

 = +

ĐS: (0; 0) , (5;5) , (2;-1) , ( 1; 2)−

Bài 2/ Giải hệ phương trình sau:

3 3

2)

2

x x y a

y y x

 = +

 = +



Bài 3/ Giải hệ phương trình sau:

2

2

1

0 (1) 4

)

1

0 (2) 4

2 )

2

x y a

5 )

1 3 2

x

y x y

23

23

y y x x x y

Bài 11: Giải các hệ phương trình:

1/

2

2

22

22

2020

32

32

12

12

33

x x y

Chứng minh rằng hệ có nghiệm duy nhất với mọi a.

Bài14 : Giải và biện luận theo m của hệ phương trình:

2 2

22

 Xét xem x =0 (hay y=0) cĩ thể là nghiệm của hpt khơng?

 Với x≠0(hay y≠0) Đặt y=tx(hay x=ty), ta cĩ:

Chia hai vế của 2 pt ta được 1 pt bậc hai theo ẩn t, từ đĩ tính x và suy ra y

Chú ý: Đối với hệ pt đẳng cấp bậc ba ta cũng thực hiện tương tự

_Ta thấy x=0 không thoả hệ

_Với x ≠ 0, đặt y=tx, thay vào hệ ta được

Lấy (1) chia (2) ta được 3( t2 − + = t 1) 2 t2− + ⇒ = ± 3 t 4 t 1

Với t=1, ta có x2 = 1, suy ra hệ có nghiệm: (1;1);( 1; 1) − −

(3 5 4 ) 38 (1) (5 9 3 ) 15 (1)

1 3 2

3

t

x x x x

1 3

5 11 3 m 5 11 3

⇔ − ≤ ≤ + ⇒ hệ có nghiệm