MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

tái liệu đưa ra cách giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức trong các bài tập sử dụng bất đẳng thức Cô si giúp các em hình dung và làm bài thật tốt, chúc các em học tập thật tốt

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN)CÓ THỂ

SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI Nhắc lại:

* BĐT Côsi áp dụng cho hai số không âm :

(1)

- Cách viết tương đương: (2)

Dấu xẩy ra khi và chỉ khi

* Chú ý: Với hai số thực tùy ý , ta có:

* Một số kết quả thường dùng:

Thật vậy, vì nên Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:

Thật vậy, vì nên Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta

được:

MỘT SỐ BÀI TẬP Bài 1: Bài toán thuận.

Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?

Hướng dẫn:

Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo Vì đã có số

hạng nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của Vậy ta phải viết lại vế trái như sau:

(*)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương , ta có:

Kết hợp với (*), suy ra:

Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra

——-Bài 2: ——-Bài toán ngược của dạng ——-Bài toán 1.

Chứng minh rằng

Hướng dẫn:

Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng tương đường của BĐT (1) là (3)

Quay lại bài tập này, với mọi thì Vậy áp dụng BĐT (3) cho hai số không âm này ta có:

(đpcm)

——————

Các ví dụ khác:

Ví dụ 1: Cho hai số thực không âm a,b Chứng minh:

Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực không âm ta có:

đpcm

Ví dụ 2: Cho Chứng minh:

Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực không âm ta có:

đpcm

Đẳng thức xảy ra

Nhận xét: BĐT trên còn được viết lại như sau: (I) BĐT này

có nhiều ứng dụng trong chứng minh BĐT Ta xét một số bài toán sau:

Bài toán 2.1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác, p là chu vi Chứng

minh rằng:

cũng có :

Cộng ba BĐT này ta có đpcm

Giải: Ta có:

Mặt khác áp dụng BĐT (I) ta có:

Bài toán 2.3: Cho Chứng minh BĐT sau:

.

Giải: Áp dụng BĐT (I’) ta có:

Tương tự:

Cộng ba BĐT trên ta có được đpcm Đẳng thức xảy ra

Bài toán 2.4: Cho các số thực dương a,b,c Chứng minh rằng:

Giải: Áp dụng BĐT (I) ta có:

Tương tự

Cộng ba BĐT trên ta có đpcm Đẳng thức xảy ra

Ví dụ 3: Cho Chứng minh: với

Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực không âm ta có:

mà nên suy ra đpcm Đẳng thức xảy ra

Ví dụ 4: Cho Cmr:

Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có:

Tương tự:

Mặt khác:

Ví dụ 5 : Cho Chứng minh : (II) Giải : Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có :

đpcm

Nhận xét : * BĐT trên còn được viết lại như sau : (II)

* Tương tự ta có BĐT tổng quát của (I) và (II) như sau :

Cho n số thực dương khi đó :

(III).

Các BĐT (I), (II), (III) được sử dụng nhiều trong các bài toán BĐT Ta xét các bài toán sau

Bài toán 5.1 : Cho ba số thực dương a,b,c Cmr :

Giải : Cộng hai vế của BĐT với 3 thì BĐT cần chứng minh trở thành

Áp dụng BĐT (II) ta có :

đpcm

Nhận xét : BĐT trên có tên là BĐT Nesbit cho ba số Có nhiều cách để

chứng minh BĐT trên sau đây ta xét một cách chứng minh cho BĐT trên Đặt

Khi đó : và

Đây là lời giải có lẽ là hay nhất cho bài toán này Tuy nhiên việc tìm được lời giải như vậy không phải là việc đơn giản

Giải : Ta có BĐT

Bài toán 5.3 : Cho và Chứng minh rằng

Áp dụng BĐT (II) ta có : đpcm

Đẳng thức có

Bài toán 5.4 : Cho và Chứng minh rằng

Giải : Áp dụng BĐT (II) ta có :

Mặt khác :

Bài toán 5.4 : Cho CMR:

.

HD: Áp dụng (III) với n=4 ta có:

Tương tự :

và

Cộng 3 BĐT trên ta có đpcm Đẳng thức xảy ra

Bài toán 5.5 : Cho n số thực dương có tổng bằng 1 Chứng

minh rằng :

Giải :

a) BĐT

(*)

b) BĐT

(**)

Ví dụ 6 : Cho Cmr :

Giải : Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có :

Tương tự :

Cộng ba BĐT này lại với nhau ta đươc :

Nhận xét :* Phương pháp mà chúng ta làm ở trong bài toán trên người ta

thương gọi là phương pháp tách gép cặp trong BĐT Côsi

Vì sao chúng ta lại gép ? Mục đích của việc làm này là làm mất các biến ở mẫu do vế phải của BĐT là một biểu thức không có biến ở

mẫu Vì sao ta lại gép mà không phải là hay … điều này xuất phát từ điều kiện để đẳng thức xảy ra Vì BĐT đã cho là một BĐT đối xứng (Tức là khi đổi vị trí hai biến bất kì cho nhau thì BĐT không thay đổi) nên đẳng thức thường xảy ra khi các biến bằng nhau và khi đó

nên ta phải gép với

* Phương pháp trên được sử dụng nhiều trong chứng minh BĐT

Ví dụ 7 : Cho và Chứng minh rằng :

Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có:

Tương tự:

Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta được:

Ví dụ 8 : Cho Chứng minh rằng :

Giải : Áp dụng BĐT Côsi cho bốn số thực dương ta có :

Tương tự cũng có :

Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta có đpcm Đẳng thức có

Ví dụ 9 : Cho và n là một số tự nhiên dương Chứng minh

Giải : Áp dụng BĐT Côsi cho n-1 số và 1 số ta có : Tương tự :

Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta được :

Do đó : đpcm

Ví dụ 10 : Cho và Chứng minh rằng :

Giải : Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực không âm ta có :

Tương tự :

Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta được :

đpcm

Nhận xét : * Xuất phát từ nên ta áp dụng BĐT Côsi cho ba số có dạng

* Tương tự ta có bài toán tổng quát như sau :

Ví dụ 11 : Cho số thực không âm có tích bằng 1 Chứng minh

Giải :Áp dụng BĐT Côsi cho m số, gồm n số và số 1 ta có :

Cho i=1,2,…,k rồi lấy tổng hai vế ta được:

Mà:

đpcm