Bài tập hệ thức lượng trong ta giac vuông

Bài 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1. Cho tam giác vuông tại có đường cao Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn nếu biết: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Bài 2. Cho tam giác vuông tại có đường cao Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn nếu biết: 1. 2. 3. 4. 5. 6. (với là độ dài cho trước, ). Bài 3. Cho tam giác vuông tại có đường cao Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn nếu biết: 1. 2. 3. 4. 5. (với là độ dài cho trước, ). 6. (với là độ dài cho trước, ).

Bài 1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1 BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn BH CH AH AC, , , nếu biết:

1 AB6cm BC; 10cm. 2 AB20cm BC; 25cm.

3 AB12cm BC; 13cm. 4 AB 3 ;cm BC 2 cm

5 AB5 ;cm BC 1 dm 6 AB2 2cm BC; 4 cm

Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn BC AH BH CH, , , nếu biết:

1 AB3cm AC; 4cm. 2 AB12cm AC; 9cm.

3 AB12cm AC; 5cm. 4 AB 2cm AC;  2cm.

5 AB 3 ;cm AC 1 cm

6 AB3 ;a AC4a (với a là độ dài cho trước, a 0)

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn AH BC AB AC, , , nếu biết:

1 BH 9cm CH; 16cm. 2 BH  2cm CH;  2 cm

3 BH 1cm CH; 3cm. 4 BH 25cm CH; 144cm.

5 BH 16 ;a CH 9a (với a là độ dài cho trước, a 0)

6 BH 144 ,a CH 25a (với a là độ dài cho trước, a 0)

biết:

1 DE15cm DF, 20cm. 2 DE1cm DF, 1cm.

3 DE 7cm DF, 24cm. 4 DE 12cm EF, 15cm.

2 LUYỆN TẬP

hợp vào ô trống (Sử dụng máy tính bỏ túi để làm tròn các kết quả đến chữ số hàng phần trăm)

9 40

3,2 1,8 1,96 23,04

giác vuông nếu biết:

1 AB6cm AC, 8cm BC, 10cm.

2 AB15cm AC, 20cm AH, 12cm.

3 AH 12cm BH, 16cm CH, 9cm.

4 AH 30cm BH, 36cm CH, 25cm.

5 AB2cm BH, 1cm BC, 4cm.

6 AC24cm BH, 1,96cm BC, 25cm.

Bài 7 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M và N là hình chiếu của

H lên AB và AC. Chứng minh rằng: AB AM AC AN

AB  AC BH  CH

Bài 9 Cho tứ giác lồi ABCD có AC BD tại O. Chứng minh rằng:

1 AB2 BC2 CD2 DA2  2OA2 OB2 OC2 OD2.

2 AB2CD2 AD2BC2.

vuông góc với BC tại E. Chứng minh rằng:

1 BE2 CE2 BD2 CD2. 2 AB2 BE2 CE2

trong của tam giác Kẻ OH OK OL, , lần lượt vuông góc với AB BC CA, , tại , ,

H K L Chứng minh rằng:

1 AH2BK2CL2 OA2OB2OC2 OH2 OK2 OL2

2 AH2BK2CL2 AL2BH2CK2.

Bài 12 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2

BC  AH BH CH

Bài 13 Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao CD. Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2 3 2

AB BC AC BD  AD  CD

Bài 14 Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi a b c, , lần lượt là chiều dài các cạnh

, ,

BC CA AB Chứng minh:

1 1   .

4

ABC

S  a b c b c a   

2 1   .

4

ABC

S  a c b a b c   

Bài 15 Cho tam giác ABC vuông cân tại A và điểm M thuộc cạnh BC. Kẻ

,

ME MF lần lượt vuông góc với AB AC, tại E và F. Chứng minh rằng:

1 BM2  2ME2 và CM2  2MF2. 2 BM2CM2  2AM2.

DC tại N. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt tia CB tại E. Chứng minh rằng:

.

Bài 17 Cho tam giác ABC cân tại A, có các đường cao AH và BK. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia đối của tia AC tại D. Chứng minh rằng:

4

3 BÀI TẬP NÂNG CAO

AM Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn AM HM BH CH AB AC, , , , , nếu biết:

1 AH 4,8cm BC, 10cm. 2 AH 12cm BC, 25cm.

Bài 19 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Đặt BH x. Hãy tính ,

x rồi suy ra độ dài các đoạn AB AC, nếu biết:

1 AH 2, 4cm BC; 5cm. 2 AH 1cm BC; 2cm.

2 AH 2cm BC; 5cm. 4 AH 6,72cm BC; 25cm.

Bài 20 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Đặt BH x Hãy tính ,

x rồi suy ra độ dài các đoạn AH AC, nếu biết:

1 AB3cm CH; 3, 2cm. 2 AB6cm CH; 3 2cm.

3 AB60cm CH; 27cm. 4 AB1cm CH; 1,5cm.

Bài 21 Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a với a 0 và một điểm A di động sao cho BAC  90 Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi HE và HF lần lượt là đường cao của tam giác ABH và tam giác ACH.

1 Chứng minh rằng: BC2  3AH2BE2CF2.

2 Tìm điều kiện của tam giác ABC để tổng BE2CF2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 22 Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a với a 0 và một điểm A di động sao cho BAC  90 Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi HE và HF lần lượt là đường cao của tam giác ABH và tam giác ACH. Đặt AH x.

1 Chứng minh rằng: AH3 BC BE CF BC HE HF .

2 Tính SAEF theo a và x.

3 Tìm x để SAEF đạt giá trị lớn nhất

Bài 23 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi E F, lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB AC, . Đặt BC 2a với a 0.

1 Chứng minh rằng:

2 Tính giá trị 3 BE2 3CF2 theo a.

Bài 24 Cho tam giác ABC có trực tâm H.

1 Chứng minh: AB2HC2 AC2HB2 BC2HA2

2 Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh:

AB HC BC HA CA HB   S

Biết rằng: AM 6cm BN;  61 cm

Biết rằng: AM 2,5cm CN; 4cm.

Bài 27 Cho tam giác ABC vuông tại A có các đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau Biết rằng: AB x với x 0.Tính AC và BC theo x.

Biết rằng: BM  73cm CN, 2 13 cm Tính độ dài các cạnh AB AC, .

Bài 29 Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a với a 0 và một điểm A di động sao cho BAC   90 Gọi BM và CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

1 Chứng minh rằng: BM2 CN2  5 a2

2 Tìm điều kiện của tam giác ABC để tổng BM CN đạt giá trị lớn nhất

Bài 30 Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là dường phân giác Biết rằng

4 , 5

AD x CD x với x 0. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo x.

Bài 31 Cho tam giác ABC vuông tại A có AD là đường phân giác Biết rằng

15 , 20

BD x CD x với x 0. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo .

x

Bài 32 Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là đường phân giác và AM là đường trung tuyến Biết rằng AM BD BD, 2 3x với x 0. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

Bài 33 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD. Đặt

,

BDx CDy với x y , 0. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo x

và y.

Bài 34 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD. Đặt

,

AD x CD y với y x 0. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo

x và y.

Bài 35 Cho hình chữ nhật ABCD với AD t AB t   0  Lấy điểm M trên cạnh

BC Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại P. Đường thẳng EF vuông góc với AM cắt AB tại E và cắt CD tại F. Đường phân giác của DAM cắt CD tại

K Chứng minh rằng:

1 EF tBM DK  . 2

2

.

t

Bài 36 Co hình thoi ABCD với BAD 120  Tia Ax tạo với tia AB một góc 15

và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh rằng:

3

Bài 37 Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK. Chứng minh:

4

Bài 38 Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Đặt BH x BC a AC b,  ,  ,

2

a b c

Chứng minh rằng:

1

2

x

a

 



2 1  2 2 2 2 2 2  4 4 4

4

ABC

3 SABC  p p a p b p c        .

, ,

AM BN CP Đặt BH x BC a AC b AB c,  ,  ,  , 2 ,

a b c

AM m BN m CP m 

1 Tính x theo a b c, ,

2

4

a

3 Tính m a2m b2m c2 theo a b c, ,

4 Tính a b c, , theo m m m a, b, c

minh rằng:

a AMB là góc nhọn, AMC là góc tù.

b BH2 BM2 2BM MH MH.  2;CH2 CM2  2CM MH MH2

c

2

2

BC

2

AC  AB  BC MH

BH x BC a AC b  ,

2

a b c

1 Tính x BD CD, , theo a b c, ,

2 Chứng minh rằng:

0

2

.

bcp p a l

b c







các cạnh BC AC AB, , ở miền ngoài tam giác lấy các điểm A B C1, 1, 1 Từ A kẻ

Ax vuông góc với B C1 1 tại D, từ B kẻ By vuông góc với AC1 1 tại E, từ C kẻ

Cz vuông góc với A B1 1 tại F. Gọi O là giao điểm By và Cz. Kẻ OH vuông góc với B C1 1 Chứng minh rằng:

1 2 2 2 2  2 2

2 2 2 2 2  2 2

3 2 2 2 2  2 2

4 DC12  DB12 OC12 OB12; HC12 HB12 AC12 AB12.

Bài 43 Ax By Cz, , đòng quy tại một điểm Cho đường tròn tâm O, bán kính bằng ,

R đường kính AB. Lấy điểm M tùy thuộc  O . Vẽ MH vuông góc với AB tại

H Hãy xác định các vị trí của M trên  O sao cho tổng độ dài OH MH lớn nhất