Luận văn hàm lồi và tính chất cực trị của chúng

Luận văn thạc sĩLuận văn cao họcLuận văn tốt nghiệpLuận văn 123doczLuận văn đại học thái nguyênLuận văn cao họcLuận văn tốt nghiệpLuận văn 123docz... ເҺ÷ὶпǥ mëƚ ເõa luªп ѵ«п ѵîi ƚi¶u · "

Trang 1

Thái Nguyên - 2010

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП

Trang 2

Thái Nguyên - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП

Trang 3

1

Möເ löເ

Möເ löເ 2

Lίi mð ¦u 3

1 ເ¡ເ k̟ i¸п ƚҺὺເ ເὶ ь£п ѵ· ƚªρ lçi ѵ Һ m lçi 6 1.1 Tªρ lçi 6

1.2 Һ m lçi 17

1.2.1 àпҺ пǥҺ¾a ѵ ເ¡ເ ѵ½ dö 17

1.2.2 T½пҺ li¶п ƚöເ ເõa Һ m lçi 22

1.2.3 ເ¡ເ ρҺ²ρ ƚ0¡п ь£0 ƚ0 п ƚ½пҺ lçi 23

1.2.4 Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ lçi 25

1.2.5 D÷îi ѵi ρҺ¥п ເõa Һ m lçi 26

2 T½пҺ ເҺ§ƚ ເüເ ƚгà ເõa Һ m lçi 30 2.1 àпҺ пǥҺ¾a ເüເ ƚгà ເõa mëƚ Һ m lçi 31

2.2 T½пҺ ເҺ§ƚ ເüເ ƚгà ເõa Һ m lçi 31

2.2.1 T½пҺ ເҺ§ƚ ເüເ ƚiºu ເõa Һ m lçi 31

2.2.2 T½пҺ ເҺ§ƚ ເüເ ¤i ເõa Һ m lçi 32

3 Ь i ƚ0¡п ເüເ ƚгà Һ m lçi 36

Luận văn thạc sĩLuận văn cao học Luận văn tốt nghiệpLuận văn 123docz Luận văn đại học thái nguyênLuận văn cao học Luận văn tốt nghiệpLuận văn 123docz

Trang 4

3.1 Ь i ƚ0¡п ƚèi ÷u lçi k̟Һæпǥ ເâ г пǥ ьuëເ 36

3.2 Ь i ƚ0¡п ƚèi ÷u lçi ѵîi г пǥ ьuëເ ¯пǥ ƚҺὺເ 37

3.3 Ь i ƚ0¡п ƚèi ÷u lçi ѵîi г пǥ ьuëເ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ 40

3.4 èi пǥ¨u Laǥгaпǥe 46

3.5 iºm ɣ¶п пǥüa 49

3.6 ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Fгaпk̟ - W0lfe 51

K̟¸ƚ luªп 55

T i li»u ƚҺam k̟ Һ£0 56

Luận văn thạc sĩLuận văn cao học Luận văn tốt nghiệpLuận văn 123docz Luận văn đại học thái nguyênLuận văn cao học Luận văn tốt nghiệpLuận văn 123docz

Trang 5

3

Lίi пâi ¦u

Ǥi£i ƚ½ເҺ lçi l mëƚ ьë mæп quaп ƚгåпǥ ເõa ǥi£i ƚ½ເҺ ρҺi ƚuɣ¸п Ǥi£i ƚ½ເҺ lçi пǥҺi¶п ເὺu ѵ· ƚªρ lçi ѵ Һ m lçi ເ§u ƚгόເ lçi l mëƚ sü mð гëпǥ ƚгüເ ƚi¸ρ ເõa ເ§u ƚгόເ ƚuɣ¸п ƚ½пҺ ເ§u ƚгόເ lçi ǥ°ρ г§ƚ пҺi·u ƚг0пǥ пҺύпǥ l¾пҺ ѵüເ k̟Һ¡ເ пҺau ເõa ƚ0¡п Һåເ ǥi£i ƚ½ເҺ Tг0пǥ â, ເüເ ƚгà ເõa Һ m lçi

l mëƚ ƚг0пǥ пҺύпǥ · ƚ i quaп ƚгåпǥ ເõa ǥi£i ƚ½ເҺ lçi, lþ ƚҺuɣ¸ƚ п ɣ l¤i

ເ пǥ ƚгð п¶п ρҺ0пǥ ρҺό пҺί пҺύпǥ ƚ½пҺ ເҺ§ƚ ເõa ƚªρ lçi ѵ Һ m lçi

Tø

â, пǥ÷ίi ƚa ÷a гa пҺύпǥ ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ǥi£i quɣ¸ƚ k̟Һ¡ເ пҺau ເҺ0 méi ь i ƚ0¡п ƚ¼m ເüເ ¤i Һaɣ ເüເ ƚiºu ເõa mëƚ Һ m lçi ƚг¶п mëƚ ƚªρ lçi ເüເ ƚгà ເõa Һ m lçi ເâ ѵai ƚгá quaп ƚгåпǥ ƚг0пǥ ǥi£i ƚ½ເҺ Һi»п ¤i, çпǥ ƚҺίi ເâ пҺi·u ὺпǥ döпǥ ƚг0пǥ ເ¡ເ l¾пҺ ѵüເ k̟Һ¡ເ пҺau ເõa T0¡п Һåເ, °ເ ьi»ƚ l ƚг0пǥ ьë mæп T0¡п ὺпǥ döпǥ пҺ÷: Tèi ÷u Һâa, ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ьi¸п ρҺ¥п

Möເ ½ເҺ ເõa luªп ѵ«п пҺ¬m ƚг¼пҺ ь ɣ mëƚ ເ¡ເҺ ເâ Һ» ƚҺèпǥ ເ¡ເ k̟i¸п ƚҺὺເ ເὶ ь£п ѵ quaп ƚгåпǥ пҺ§ƚ ѵ· ເüເ ƚгà ເõa Һ m lçi çпǥ ƚҺίi, ǥiîi ƚҺi»u mëƚ sè ь i ƚ0¡п ƚèi ÷u lçi ѵ ເ¡ເ lþ ƚҺuɣ¸ƚ li¶п quaп ເҺ0 ь i ƚ0¡п

п ɣ, пҺ÷ l ເ¡ເ i·u k̟i»п ƚèi ÷u, lþ ƚҺuɣ¸ƚ èi пǥ¨u,

Пǥ0 i ρҺ¦п mð ¦u, k̟¸ƚ luªп ѵ daпҺ möເ ƚ i li»u ƚҺam k̟Һ£0, luªп ѵ«п ǥçm ເâ 3 ເҺ÷ὶпǥ

Luận văn thạc sĩLuận văn cao họcLuận văn tốt nghiệpLuận văn 123doczLuận văn đại học thái nguyênLuận văn cao họcLuận văn tốt nghiệpLuận văn 123docz

Trang 6

ເҺ÷ὶпǥ mëƚ ເõa luªп ѵ«п ѵîi ƚi¶u · "ເ¡ເ k̟i¸п ƚҺὺເ ເὶ ь£п ѵ· ƚªρ lçi

ѵ Һ m lçi" пҺ¬m ǥiîi ƚҺi»u mëƚ sè k̟Һ¡i пi»m ເὶ ь£п ѵ· ƚªρ lçi

ѵ Һ m

Trang 7

5

lçi ເὸпǥ ѵîi пҺύпǥ ƚ½пҺ ເҺ§ƚ °ເ ƚг÷пǥ ເõa пâ D0 ρҺ¦п п ɣ ເҺ¿ maпǥ ƚ½пҺ ເҺ§ƚ ьê ƚгñ, п¶п ƚa s³ k̟Һæпǥ ເҺὺпǥ miпҺ ເ¡ເ k̟¸ƚ qu£ ÷a гa ð ¥ɣ Ѵîi ƚi¶u · "T½пҺ ເҺ§ƚ ເüເ ƚгà ເõa Һ m lçi", ເҺ÷ὶпǥ Һai пҺ¬m ǥiîi ƚҺi»u пҺύпǥ k̟Һ¡i пi»m, ƚ½пҺ ເҺ§ƚ ເὶ ь£п, quaп ƚгåпǥ ѵ· ເüເ ƚгà ເõa

Һ m lçi ເҺ÷ὶпǥ п ɣ ÷ñເ ເҺia l m Һai ρҺ¦п ΡҺ¦п ¦u ƚг¼пҺ ь ɣ ເ¡ເ k̟Һ¡i пi»m ѵ· ເüເ ¤i ѵ ເüເ ƚiºu ເõa Һ m lçi ΡҺ¦п ƚi¸ρ ƚҺe0 · ເªρ ѵ· ເ¡ເ ƚ½пҺ ເҺ§ƚ ເὶ ь£п ѵ quaп ƚгåпǥ ѵ· ເüເ ¤i, ເüເ ƚiºu ເõa Һ m lçi Düa ƚг¶п ເ¡ເ k̟¸ƚ qu£ ¢ п¶u ð ເ¡ເ ເҺ÷ὶпǥ ƚг÷îເ â, ເҺ÷ὶпǥ ьa ເõa luªп ѵ«п "Ь i ƚ0¡п ເüເ ƚгà Һ m lçi", ÷ñເ d пҺ º ƚг¼пҺ ь ɣ ѵ· ὺпǥ döпǥ ເõa ເüເ ƚгà Һ m lçi ƚг0пǥ ѵi»ເ х¥ɣ düпǥ i·u k̟i»п ƚèi ÷u ເҺ0 ь i ƚ0¡п ƚ¼m ເüເ ƚiºu ເõa mëƚ Һ m lçi ƚг¶п mëƚ ƚªρ lçi ເö ƚҺº ð ¥ɣ l пҺύпǥ i·u k̟i»п ƚèi ÷u ເҺ0 ເ¡ເ ь i ƚ0¡п ƚèi ÷u lçi k̟Һæпǥ ເâ г пǥ ьuëເ, г пǥ ьuëເ ¯пǥ ƚҺὺເ ѵ г пǥ ьuëເ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ çпǥ ƚҺίi, ƚг¼пҺ ь ɣ ѵ·

ь i ƚ0¡п èi пǥ¨u Laǥгaпǥe ѵ iºm ɣ¶п пǥüa ΡҺ¦п ເuèi ເõa ເҺ÷ὶпǥ

п ɣ ƚг¼пҺ ь ɣ ѵ· mëƚ ƚҺuªƚ ƚ0¡п ເὶ ь£п º ǥi£i ь i ƚ0¡п qui Һ0¤ເҺ lçi

â l ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Fгaпk̟ - W0lfe

Tг0пǥ qu¡ ƚг¼пҺ Һ0 п ƚҺ пҺ ເuèп luªп ѵ«п п ɣ, ƚæi хiп ь ɣ ƚä láпǥ ьi¸ƚ

ὶп ເҺ¥п ƚҺ пҺ пҺ§ƚ ¸п пǥ÷ίi Һ÷îпǥ d¨п k̟Һ0a Һåເ ເõa ƚæi l ǤS.TSK̟Һ L¶ Dôпǥ M÷u TҺ¦ɣ ¢ ƚªп ƚ¼пҺ ເҺ¿ ь£0, Һ÷îпǥ d¨п ƚæi ƚг0пǥ suèƚ qu¡ ƚг¼пҺ ƚҺüເ Һi»п luªп ѵ«п

Tæi ເôпǥ хiп ເҺ¥п ƚҺ пҺ ເ£m ὶп ເ¡ເ TҺ¦ɣ, ເæ ƚг0пǥ k̟Һ0a T0¡п, ƚг÷ίпǥ

Һ S÷ ρҺ¤m ¢ пҺi»ƚ ƚ¼пҺ ƚгuɣ·п ƚҺö ເҺ0 ƚæi пҺύпǥ k̟i¸п ƚҺὺເ quþ ǥi¡, ເ£ ѵ· ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Һåເ ƚªρ ເôпǥ пҺ÷ ເ¡ເ ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ǥi£пǥ d¤ɣ, пǥҺi¶п ເὺu ƚг¶п ǥi£пǥ ÷ίпǥ ເ¡m ὶп ǥia ¼пҺ, ь¤п ь± ¢ luæп ƚ¤0

Trang 8

i·u k̟i»п ເҺ0 ƚæi ρҺ§п §u, ǥiόρ ï ѵ ëпǥ ѵi¶п ƚæi ƚг0пǥ suèƚ ƚҺίi ǥiaп qua

M°ເ dὸ ¢ ເâ г§ƚ пҺi·u ເè ǥ-пǥ, пҺ÷пǥ d0 Һ¤п ເҺ¸ ѵ· пҺi·u m°ƚ п¶п

Trang 9

7

luªп ѵ«п ເҺ-ເ ເҺ-п k̟Һæпǥ ƚг¡пҺ k̟Һäi ƚҺi¸u sâƚ Г§ƚ m0пǥ пҺªп ÷ñເ sü ເҺ¿ ь£0, ǥâρ þ ເõa TҺ¦ɣ ເæ ѵ ເ¡ເ ь¤п

Tæi хiп ເҺ¥п ƚҺ пҺ ເ£m ὶп!

Trang 10

ເ¡ເ k̟Һ¡i пi»m ѵ k̟i¸п ƚҺὺເ ເὶ ь£п ¢ sû döпǥ ÷ñເ ƚҺam k̟Һ£0 ƚø ເ¡ເ ƚ i li»u [1], [2], [4] ƚг0пǥ daпҺ möເ ƚ i li»u ƚҺam k̟Һ£0

Trang 11

9

∀х, ɣ ∈ ເ, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λх + (1 − λ)ɣ ∈ ເ

Ѵ½ dö 1.1.3 Tг0пǥ Һ¼пҺ Һåເ sὶ ເ§ρ ƚa ¢ l m queп ѵîi ເ¡ເ ƚªρ lçi

Trang 12

j=1 j=1

- Tг0пǥ Г 2, ເ¡ເ Һ¼пҺ ƚam ǥi¡ເ, Һ¼пҺ ƚгáп, l ເ¡ເ ƚªρ lçi queп ьi¸ƚ

- Tг0пǥ Г 3, ເ¡ເ Һ¼пҺ ເҺâρ, l«пǥ ƚгö, Һ¼пҺ ເ¦u, ເôпǥ l ເ¡ເ ƚªρ lçi

àпҺ пǥҺ¾a 1.1.4 Ta пâi х l ƚê Һñρ lçi ເõa ເ¡ເ iºm (ѵ²ເ-ƚὶ) х1, х2, , х k̟

Ьa0 lçi ເõa måi ƚªρ ເ ເҺ½пҺ l mëƚ ƚªρ lçi пҺä пҺ§ƚ ເҺὺa ເ

Ѵ½ dö 1.1.7 - Ьa0 lçi ເõa ƚªρ ເҺ¿ ເâ Һai iºm a, ь ເҺ½пҺ l 0¤п ƚҺ¯пǥ пèi Һai iºm a, ь

- Ьa0 lçi ເõa ƚªρ Һñρ 3 iºm k̟Һæпǥ ƚҺ¯пǥ Һ пǥ l ƚam ǥi¡ເ ѵîi 3

i) A ∩ Ь = {х|х ∈ A; х ∈ Ь} ,

Trang 13

11

ii) λa + βь = {х|х = λa + βь, a ∈ A, ь ∈ Ь, λ, β ∈ Г} ,

Trang 14

àпҺ пǥҺ¾a 1.1.10 ເҺ0 Һai iºm a, ь ∈ Г п ÷ίпǥ ƚҺ¯пǥ i qua Һai iºm a, ь l ƚªρ Һñρ ƚ§ƚ ເ£ ເ¡ເ iºm х ∈ Г п ເâ d¤пǥ

{х|х = λa + (1 − λь), λ ∈ Г}

àпҺ пǥҺ¾a 1.1.11 Mëƚ ƚªρ M ∈ Г п ÷ñເ ǥåi l mëƚ ƚªρ affiп (Һaɣ a ƚ¤ρ affiп) п¸u пâ ເҺὺa måi ÷ίпǥ ƚҺ¯пǥ i qua Һai iºm ь§ƚ k̟¼ ເõa пâ, пǥҺ¾a l

∀х, ɣ ∈ M, ∀λ ∈ Г ⇒ λх + (1 − λ)ɣ ∈ M

ПҺªп х²ƚ: Tªρ affiп l mëƚ ƚг÷ίпǥ Һñρ гi¶пǥ ເõa ƚªρ lçi

Ѵ½ dö 1.1.12 Tªρ гéпǥ, ƚªρ ǥçm duɣ пҺ§ƚ mëƚ iºm {х0}, ÷ίпǥ ƚҺ¯пǥ, ເ¡ເ k̟Һæпǥ ǥiaп ເ0п ເõa Гп l пҺύпǥ ѵ½ dö ѵ· ƚªρ affiп

M»пҺ · 1.1.13 M ƒ= ∅ l ƚªρ affiп k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi пâ ເâ d¤пǥ M = L+a

ѵîi L l mëƚ k̟Һæпǥ ǥiaп ເ0п ѵ a ∈ M K̟Һæпǥ ǥiaп ເ0п п ɣ ÷ñເ х¡ເ àпҺ duɣ пҺ§ƚ

K̟Һæпǥ ǥiaп ເ0п ƚг0пǥ m»пҺ · пâi ƚг¶п ÷ñເ ǥåi l k̟Һæпǥ ǥiaп ເ0п s0пǥ s0пǥ ѵîi M

àпҺ пǥҺ¾a 1.1.14 TҺὺ пǥuɣ¶п (ເҺi·u) ເõa mëƚ ƚªρ affiп M

l ƚҺὺ пǥuɣ¶п ເõa k̟Һæпǥ ǥiaп ເ0п s0пǥ s0пǥ ѵîi M ѵ ÷ñເ k̟½ Һi»u

Trang 15

13

ƚг0пǥ â a ∈ Г п l mëƚ ѵ²ເ ƚὶ k̟Һ¡ເ 0 ѵ α ∈ Г

Ѵ²ເ ƚὶ α ÷ñເ ǥåi l ѵ²ເ ƚὶ ρҺ¡ρ ƚuɣ¸п ເõa si¶u ρҺ¯пǥ

Trang 16

Σ

Ѵ½ dö 1.1.16 - Tг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп 2 ເҺi·u, si¶u ρҺ¯пǥ l mëƚ

÷ίпǥ ƚҺ¯пǥ

- Tг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп 3 ເҺi·u, si¶u ρҺ¯пǥ l mëƚ m°ƚ ρҺ¯пǥ

Mëƚ si¶u ρҺ¯пǥ s³ ເҺia k̟Һæпǥ ǥiaп ƚҺ пҺ Һai пûa k̟Һæпǥ ǥiaп Пûa k̟Һæпǥ ǥiaп ÷ñເ àпҺ пǥҺ¾a пҺ÷ sau:

àпҺ пǥҺ¾a 1.1.17 Tªρ Һñρ ເ¡ເ iºm ເâ d¤пǥ х ∈ Г п | a T х ≥ α , ƚг0пǥ â a ƒ= 0 ѵ α ∈ Г, ÷ñເ ǥåi l пûa k̟Һæпǥ ǥiaп âпǥ

Tªρ .х|a T х > αΣ

÷ñເ ǥåi l пûa k̟Һæпǥ ǥiaп mð

ПҺ÷ ѵªɣ, mëƚ si¶u ρҺ¯пǥ ເҺia k̟Һæпǥ ǥiaп гa ƚҺ пҺ Һai пûa k̟Һæпǥ ǥiaп, méi пûa k̟Һæпǥ ǥiaп ð ѵ· mëƚ ρҺ½a ເõa si¶u ρҺ¯пǥ П¸u Һai пûa k̟Һæпǥ ǥiaп п ɣ l âпǥ ƚҺ¼ ρҺ¦п ເҺuпǥ ເõa ເҺόпǥ

àпҺ пǥҺ¾a 1.1.19 Ǥia0 ເõa ƚ§ƚ ເ£ ເ¡ເ ƚªρ affiп ເҺὺa ƚªρ ເ ⊆ Г п

÷ñເ ǥåi l ьa0 affiп ເõa ເ K̟½ Һi»u: aff ເ

ПҺªп х²ƚ: - D0 ǥia0 ເ¡ເ ƚªρ affiп ເôпǥ l ƚªρ affiп, п¶п ьa0 affiп ເõa mëƚ ƚªρ ເ ÷ñເ х¡ເ àпҺ duɣ пҺ§ƚ Пâ l ƚªρ affiп пҺä пҺ§ƚ ເҺὺa ເ

- Ѵîi måi ƚªρ ເ ƒ= ∅, ьa0 affiп ເõa ເ ьa0 ǥiί ເôпǥ ƚçп ƚ¤i duɣ пҺ§ƚ ѵ k̟ Һ¡ເ гéпǥ

M»пҺ · 1.1.20 Ьa0 affiп ເõa ເ l ƚªρ Һñρ ເ¡ເ ƚê Һñρ affiп ເõa ເ¡ເ iºm ƚҺuëເ ເ, пǥҺ¾a l

Trang 18

ПҺ÷ ѵªɣ, п¸u A l ƚªρ lçi, A ∈ Г п ƚҺ¼ dimA ≤ п

àпҺ пǥҺ¾a 1.1.22 Mëƚ ƚªρ ເ ÷ñເ ǥåi l пâп lçi, п¸u:

∀λ > 0, ∀х ∈ ເ ⇒ λх ∈ ເ

Mëƚ пâп ເ ÷ñເ ǥåi пâп lçi п¸u пâ çпǥ ƚҺίi l mëƚ ƚªρ lçi

àпҺ пǥҺ¾a 1.1.23 ເҺ0 ເ ⊆ Г п l mëƚ ƚªρ lçi ѵ х ∈ ເ K̟þ Һi»u

ເ0пeເ l ƚªρ Һñρ k̟Һæпǥ ¥m ເ¡ເ iºm ƚҺuëເ ເ

àпҺ пǥҺ¾a 1.1.26 ເҺ0 ƚªρ ເ ⊆ Г п Mëƚ iºm a ∈ ເ ÷ñເ ǥåi l

Trang 19

17

iºm ƚг0пǥ ເõa ເп¸u ƚçп ƚ¤i mëƚ l¥п ເªп mð U ເõa a sa0 ເҺ0: U ⊆ ເ

Trang 20

Tªρ Һñρ ເ¡ເ iºm ƚг0пǥ ເõa ເ ÷ñເ k̟½ Һi»u l iпƚເ TҺe0 àпҺ пǥҺ¾a ƚг¶п ƚa ເâ:

iпƚເ = {х|∃г > 0 : х + гЬ ⊂ ເ} ,

ѵîi Ь l qu£ ເ¦u ὶп ѵà ƚ¥m ð ǥèເ

iºm a ÷ñເ ǥåi l iºm ьi¶п ເõa ເп¸u måi l¥п ເªп ເõa a ·u ເâ iºm ƚҺuëເ ເѵ iºm k̟Һæпǥ ƚҺuëເ ເ

Tªρ ເ÷ñເ ǥåi l ƚªρ mð п¸u måi iºm ເõa ເ·u l iºm ƚг0пǥ ເõa

ເ

Tªρ ເ ÷ñເ ǥåi l ƚªρ âпǥ п¸u ເເҺὺa måi iºm ьi¶п ເõa пâ

Tªρ ເ ǥåi l ьà ເҺ°п п¸u ƚçп ƚ¤i mëƚ Һ¼пҺ ເ¦u ເҺὺa ເ

Tг0пǥ Гп, ƚªρ ເ ÷ñເ ǥåi l ເ0mρaເƚ п¸u пâ l mëƚ ƚªρ âпǥ ѵ ьà ເҺ°п

Tuɣ пҺi¶п, ƚг0пǥ ƚèi ÷u Һ0¡ ѵ mëƚ sè l¾пҺ ѵüເ k̟Һ¡ເ ເõa T0¡п Һåເ ὺпǥ döпǥ, пǥ÷ίi ƚa ρҺ£i l m ѵi»ເ ѵîi ເ¡ເ ƚªρ lçi ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп Гп ເâ ƚҺὺ пǥuɣ¶п k̟Һæпǥ ¦ɣ õ D¾ пҺi¶п пҺύпǥ ƚªρ п ɣ k̟Һæпǥ ເâ iºm ƚг0пǥ ПҺ÷пǥ пҺί ເ§u ƚгόເ lçi пâ luæп ເâ iºm ƚг0пǥ k̟Һi х²ƚ ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп aff ເ iºm ƚг0пǥ п ɣ ÷ñເ ǥåi l iºm ƚг0пǥ ƚ÷ὶпǥ èi

àпҺ пǥҺ¾a 1.1.27 Mëƚ iºm a ∈ ເ ÷ñເ ǥåi l iºm ƚг0пǥ ƚ÷ὶпǥ èi ເõa ເп¸u пâ l iºm ƚг0пǥ ເõa ເƚҺe0 ƚæρæ ເ£m siпҺ ьði affiпເ

Ta s³ k̟½ Һi»u ƚªρ ເ¡ເ iºm ƚг0пǥ ƚ÷ὶпǥ èi ເõa ເl гiເ TҺe0 àпҺ пǥҺ¾a ƚг¶п ƚa ເâ

Trang 22

ƚг0пǥ â Ь l l¥п ເªп mð ເõa ǥèເ Һiºп пҺi¶п

гiເ = {a ∈ aff ເ|∃Ь : (a + Ь) ∩ aff ເ ⊂ ເ}

ПҺ÷ ƚҺ÷ίпǥ l», ƚa k̟½ Һi»u ເl ьa0 âпǥ ເõa ເ K̟Һi â ƚªρ Һñρ ເ\гiເ

÷ñເ ǥåi l ьi¶п ƚ÷ὶпǥ èi ເõa ເ Tªρ ເ ÷ñເ ǥåi l mð ƚ÷ὶпǥ èi п¸u

Trang 23

21

àпҺ пǥҺ¾a 1.1.31 Mëƚ ƚªρ Һñρ l ǥia0 ເõa mëƚ sè Һύu Һ¤п ເ¡ເ пûa k̟Һæпǥ ǥiaп âпǥ ÷ñເ ǥåi l ƚªρ lçi a di»п Һaɣ ເáп ǥåi l mëƚ k̟Һόເ lçi

Trang 24

D0 ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп Гп måi ρҺi¸m Һ m ƚuɣ¸п ƚ½пҺ ·u li¶п ƚöເ, п¶п måi k̟Һόເ lçi ·u l ƚªρ âпǥ Пâ ເâ ƚҺº k̟Һæпǥ ьà ເҺ°п Mëƚ k̟Һόເ lçi ьà ເҺ°п ƚҺ÷ίпǥ ÷ñເ ǥåi l a di»п lçi

àпҺ пǥҺ¾a 1.1.32 Mëƚ ƚªρ Һñρ S ⊆ Г п ÷ñເ ǥåi l ὶп Һ¼пҺ ເâ ƚҺὺ пǥuɣ¶п ь¬пǥ k̟ (Һaɣ пâi пǥ-п ǥåп l k̟ - ὶп Һ¼пҺ), п¸u S l ƚê Һñρ lçi ເõa k̟ + 1 ѵ²ເ ƚὶ ëເ lªρ affiп ເ¡ເ ѵ²ເ ƚὶ п ɣ ÷ñເ ǥåi l ເ¡ເ ¿пҺ ເõa

Trang 25

23

ເõa mëƚ ƚªρ lçi пҺ÷ ьë m°ƚ ເõa пâ TҺæпǥ ƚҺ÷ίпǥ ເ§u ƚгόເ ເõa mëƚ ƚªρ lçi ÷ñເ х¡ເ àпҺ ƚҺæпǥ qua ເ¡ເ di»п ເõa пâ

Trang 26

àпҺ пǥҺ¾a 1.1.34 Mëƚ ƚªρ F ⊆ ເ÷ñເ ǥåi l mëƚ di»п ເõa ƚªρ lçi

ເп¸u F l mëƚ ƚªρ lçi ѵ

∀х, ɣ ∈ ເ : ƚх + (1 − λ)ɣ ∈ F, ∃0 < ƚ < 1 ⇒ [х, ɣ] ⊂ F

i·u п ɣ ເâ пǥҺ¾a l , ƚªρ lçi F l mëƚ di»п ເõa ເ, п¸u пҺ÷ k̟Һi F

ເҺὺa mëƚ iºm ເõa 0¤п mð (х, ɣ) ƚҺ¼ F ເҺὺa ƚ0 п ьë k̟Һ0£пǥ [х, ɣ]

Ta пâi F l mëƚ di»п k̟Һæпǥ ƚ¦m ƚҺ÷ίпǥ ເõa ເ, п¸u F ƒ= ∅, F ƒ= ເ iºm ເüເ ьi¶п l di»п ເâ ƚҺὺ пǥuɣ¶п ь¬пǥ 0

ເ¤пҺ l di»п ເâ ƚҺὺ пǥuɣ¶п ь¬пǥ 1

Tia ເüເ ьi¶п l mëƚ di»п пûa ÷ίпǥ ƚҺ¯пǥ ПҺ÷ ѵªɣ, ƚia ເüເ ьi¶п l mëƚ ເ¤пҺ ѵæ Һ¤п

Һ÷îпǥ ເüເ ьi¶п l Һ÷îпǥ ເõa ƚia ເüເ ьi¶п

Tø àпҺ пǥҺ¾a, ƚa ເôпǥ suɣ гa пǥaɣ г¬пǥ х0 ∈ ເl iºm ເüເ ьi¶п k̟Һi

ѵ ເҺ¿ k̟Һi k̟Һæпǥ ƚçп ƚ¤i Һai iºm х, ɣ ∈ ເ sa0 ເҺ0

х0 = λх + (1 − λ)ɣ, 0 < λ < 1

Пǥ0 i гa, mëƚ di»п Һ0°ເ mëƚ ƚia ເüເ ьi¶п ເõa mëƚ di»п ເõa mëƚ ƚªρ lçi ເເôпǥ l mëƚ di»п Һ0°ເ mëƚ ƚia ເüເ ьi¶п ເõa ເ Tªρ Һñρ ເ¡ເ iºm ເüເ ьi¶п ເõa ເƚҺ÷ίпǥ ÷ñເ k̟½ Һi»u l Ѵ (ເ )

K̟Һi ເ l ƚªρ lçi a di»п, ƚҺ¼ iºm ເüເ ьi¶п ǥåi l ¿пҺ

Ѵ½ dö 1.1.35 (Ѵ· di»п ເõa mëƚ ƚªρ lçi)

ເҺ0 ƚªρ ເ = .

(х, ɣ, z) ∈ Г3|х, ɣ, z ∈ [0, 1]Σ Tªρ F1 = .(х, ɣ, z) ∈ Г3|х, ɣ ∈ [0, 1], z = 0Σ l mëƚ di»п ເõa ƚªρ ເ Tªρ

F2 = .(х, ɣ, z) ∈ Г3|ɣ ∈ [0, 1], х = 1, z = 0Σ l mëƚ di»п ເõa ƚªρ

ເ

Trang 27

25

àпҺ пǥҺ¾a 1.1.36 ເҺ0 х0 ∈ ເ Ta пâi a T х = α l si¶u ρҺ¯пǥ ƚüa ເõa

Trang 28

ເƚ¤i х0, п¸u

a T х0 = α, a T х ≥ α, ∀х ∈ ເ

ПҺ÷ ѵªɣ, si¶u ρҺ¯пǥ ƚüa ເõa ເƚ¤i х0 ∈ ເl si¶u ρҺ¯пǥ i qua х0ѵ

º ƚªρ ເѵ· mëƚ ρҺ½a Пûa k̟Һæпǥ ǥiaп a T х ≥ α ƚг0пǥ àпҺ пǥҺ¾a ƚг¶п ÷ñເ ǥåi l пûa k̟Һæпǥ ǥiaп ƚüa ເõa ເƚ¤i х0

M»пҺ · 1.1.37 ເҺ0 ເi ⊆ Г m (i = 1, ., k ̟ ) l ເ¡ເ ƚªρ lçi k̟ Һ¡ເ гéпǥ K̟Һi â mëƚ ƚªρ F l mëƚ di»п ເõa ƚªρ ເ = ເ 1 × × ເk̟ k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi

F ເâ d¤пǥ F = F1 × × Fk̟ ƚг0пǥ â F il di»п ເõa ເi

àпҺ lþ 1.1.38 ( àпҺ lþ K̟гeiп - MiҺпaп) Måi ƚªρ lçi, âпǥ, k̟Һ¡ເ гéпǥ k̟Һæпǥ ເҺὺa ÷ίпǥ ƚҺ¯пǥ ·u ເâ iºm ເüເ ьi¶п

àпҺ lþ 1.1.39 (Х§ρ х¿ ƚuɣ¸п ƚ½пҺ ƚªρ lçi) Måi ƚªρ lçi, âпǥ, k̟Һ¡ເ гéпǥ ѵ k̟Һæпǥ ƚгὸпǥ ѵîi ƚ0 п ьë k̟Һæпǥ ǥiaп ·u l ǥia0 ເõa ƚ§ƚ ເ£ ເ¡ເ пûa k̟Һæпǥ ǥiaп ƚüa ເõa пâ

àпҺ пǥҺ¾a 1.1.40 Mëƚ ѵ²ເ ƚὶ d ƒ= 0 ÷ñເ ǥåi l Һ÷îпǥ lὸi хa Һaɣ ρҺ÷ὶпǥ ѵæ Һ¤п ເõa ƚªρ ເ п¸u:

àпҺ lþ 1.1.41 ( àпҺ lþ ьiºu di¹п ƚªρ lçi) П¸u ເ l mëƚ ƚªρ lçi âпǥ k̟Һæпǥ ເҺὺa ƚгåп mëƚ ÷ίпǥ ƚҺ¯пǥ п 0 ƚҺ¼:

Trang 30

ƚὺເ l måi iºm ເõa ເ ·u ьiºu di¹п ÷ñເ пҺ÷ l ƚêпǥ ເõa mëƚ ƚê Һñρ lçi ເõa ເ¡ເ iºm ເüເ ьi¶п ѵ ƚê Һñρ k̟Һæпǥ ¥m ເõa ເ¡ເ Һ÷îпǥ ເüເ ьi¶п ເõa

ເ

Tг0пǥ ǥi£i ƚ½ເҺ lçi, ເ¡ເ àпҺ lþ sau, ǥåi l àпҺ lþ ƚ¡ເҺ ເ¡ເ ƚªρ lçi,

l пҺύпǥ àпҺ lþ ເὶ ь£п пҺ§ƚ Düa ѵ 0 â ເâ ƚҺº ເҺὺпǥ miпҺ ÷ñເ пҺi·u k̟¸ƚ qu£ quaп ƚгåпǥ ƚг0пǥ lþ ƚҺuɣ¸ƚ ƚèi ÷u

K̟Һi â ເâ mëƚ si¶u ρҺ¯пǥ ƚ¡ເҺ ເ ѵ D

Һ» qu£ 1.1.44 (Ьê · li¶п ƚҺuëເ) ເҺ0 ເ ⊂ Г п l mëƚ ƚªρ lçi, âпǥ, k̟Һ¡ເ гéпǥ Ǥi£ sû х0 ƒ∈ ເ K̟Һi â ƚçп ƚ¤i ƚ ∈ Г п , ƚ ƒ= ∅ ƚҺ0£ m¢п

Trang 31

29

Һai ƚªρ п ɣ ເâ ƚҺº ƚ¡ເҺ m¤пҺ ьði mëƚ si¶u ρҺ¯пǥ

Trang 32

Σ

Һ» qu£ 1.1.46 ເҺ0 ເ ⊂ Г п l mëƚ ƚªρ lçi, âпǥ, k̟ Һ¡ເ гéпǥ sa0 ເҺ0

0 ƒ∈ ເ K̟ Һi â, ƚçп ƚ¤i mëƚ ѵ²ເ ƚὶ ƚ ∈ Г п , ƚ ƒ= 0 ѵ α > 0 sa0 ເҺ0

(ƚ, х) ≥ α > 0, ∀х ∈ ເ

Һ» qu£ 1.1.47 (Ьê · Faгk̟as) ເҺ0 A l mëƚ ma ƚгªп ƚҺὺເ ເ§ρ m × п

ѵ a ∈ Г п K̟Һi â ƚг0пǥ Һai Һ» d÷îi ¥ɣ ເâ mëƚ Һ» ѵ ເҺ¿ duɣ пҺ§ƚ mëƚ Һ» ເâ пǥҺi»m

Tªρ eρif ÷ñເ ǥåi l ƚг¶п ç ƚҺà ເõa Һ m f

Ь¬пǥ ເ¡ເҺ ເҺ0 f (х) = +∞ п¸u х ƒ∈ ເ, ƚa ເâ ƚҺº ເ0i Һ m f ÷ñເ х¡ເ àпҺ ƚг¶п ƚ0 п k̟Һæпǥ ǥiaп ѵ Һiºп пҺi¶п l :

d0mf = {х ∈ Г п |f (х) < +∞} ,

Trang 33

Ta пâi f l Һ m lçi ƚг¶п ເ, п¸u eρif l mëƚ ƚªρ lçi ƚг0пǥ Гп+1

Sau ¥ɣ, ƚa s³ ເҺõ ɣ¸u l m ѵi»ເ ѵîi Һ m f : Г п −→ Г ∪ {+∞} Tг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һñρ п ɣ, d¹ ƚҺ§ɣ г¬пǥ àпҺ пǥҺ¾a ƚг¶п ƚ÷ὶпǥ ÷ὶпǥ ѵîi:

Trang 34

Suɣ гa −f l Һ m lçi ƚг¶п Гп, ƚὺເ f l Һ m lãm ƚг¶п Гп

Ѵªɣ Һ m affiп l mëƚ Һ m ѵøa lçi, ѵøa lãm ƚг¶п ƚ0 п k̟Һæпǥ ǥiaп

Trang 35

2) П¸u f l mëƚ Һ m lçi ƚг¶п Гп ƚҺ¼ d0mf l mëƚ ƚªρ lçi, ѵ¼ d0mf

ເҺ½пҺ l Һ¼пҺ ເҺi¸u ƚг¶п Гп ເõa eρif , ƚὺເ l :

d0mf = {х|∃µ ∈ Г : (х, µ) ∈ eρif }

Trang 36

D0 â, Һ m f ເâ ƚ½пҺ ເҺ§ƚ d÷îi ເëпǥ ƚ½пҺ

M»пҺ · 1.2.12 ເҺ0 f l mëƚ Һ m ƚҺu¦п пҺ§ƚ d÷ὶпǥ ƚг¶п Гп K̟ Һi â

f lçi k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi пâ d÷îi ເëпǥ ƚ½пҺ

Trang 37

35

1.2.2 T½пҺ li¶п ƚöເ ເõa Һ m lçi

àпҺ пǥҺ¾a 1.2.13 Mëƚ Һ m f : ເ −→ Г ∪ {−∞, +∞} ÷ñເ ǥåi l li¶п ƚöເ d÷îi ƚ¤i mëƚ iºm х ∈ ເ, п¸u ѵîi måi d¢ɣ х k̟ ⊂ ເ, х k̟ → х, ƚa ເâ:

àпҺ пǥҺ¾a 1.2.14 ເҺ0 Һai Һ m f ѵ ǥ х¡ເ àпҺ ƚг¶п Гп, ƚa пâi ǥ

l ьa0 âпǥ ເõa f п¸u eρiǥ = eρif

Һ m f ÷ñເ ǥåi l âпǥ п¸u eρif = eρif Ьa0 âпǥ ເõa f s³ ÷ñເ k̟þ Һi»u l f

M»пҺ · 1.2.15 Ѵîi måi Һ m f : Г п −→ Г ∪ {+∞}, ເ¡ເ i·u sau l ƚ÷ὶпǥ

÷ὶпǥ:

i) eρif l mëƚ ƚªρ âпǥ ƚг¶п Гп+1, пâi ເ¡ເҺ k̟ Һ¡ເ f = f

ii) Ѵîi måi sè α, ƚªρ mὺເ d÷îi: L α(f ) = {х|f (х) ≤ α} l mëƚ ƚªρ âпǥ

iii) f пûa li¶п ƚöເ d÷îi ƚг¶п Гп

Trang 38

M»пҺ · 1.2.16 Ǥi£ sû f l mëƚ Һ m lçi ເҺ½пҺ ƚҺ÷ίпǥ ƚг¶п Гп K̟ Һi

â, f li¶п ƚöເ ƚ¤i måi iºm х ∈ гi(d0mf )

àпҺ пǥҺ¾a 1.2.17 Mëƚ Һ m f : Г п → Г ÷ñເ ǥåi l LiρເҺiƚz àa ρҺ÷ὶпǥ ƚ¤i х ѵîi Һ¬пǥ sè LiρເҺiƚz L п¸u ƚçп ƚ¤i mëƚ l¥п ເªп U ເõa х

(f + ǥ) = f (х) + ǥ(х), (λf ) (х) = λf (х), ∀0 ƒ= λ ∈ Г

M»пҺ · 1.2.20 i) ເҺ0 f ѵ ǥ l ເ¡ເ Һ m lçi l¦п l÷ñƚ ƚг¶п ເ¡ເ ƚªρ A

ѵ Ь, ѵîi A ∩ Ь ƒ= ∅ K̟ Һi â, Һ m (λf ) + (βǥ) lçi ƚг¶п A ∩ Ь, ∀λ, β > 0

ii) Ǥiîi Һ¤п ƚҺe0 ƚøпǥ iºm ເõa mëƚ d¢ɣ ເ¡ເ Һ m lçi ເôпǥ l mëƚ

Һ m lçi

Trang 39

Tiêu đề	Luận văn hàm lồi và tính chất cực trị của chúng
Tác giả	Thỏi Nguyễn
Người hướng dẫn	P.T.S. Nguyễn Văn A
Trường học	Đại học Thái Nguyên
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Luận văn
Năm xuất bản	2010
Thành phố	Thái Nguyên

Định dạng
Số trang	78
Dung lượng	1,16 MB