Để học tốt chủ đề này người học ngoài việc nắm vững hệ thống kiến thức cơ bản, có thêm nhiều kỹ năng giải thì cần nắm được tính chất cực trị cốt lõi của hình học không gian trong bài toá
Trang 1BÀI TOÁN TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
TỪ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Nghĩa Đàn, tháng 4 năm 2022 2014222222222222222222222
22222222014 2220142014
Trang 2Sáng kiến kinh nghiệm
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
2 TNTHPT Tốt nghiệp Trung học phổ thông
3 BGD&ĐT Bộ giáo dục và đào tạo
9 Tmax Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất
10 Tmin Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất
11 maxT Giá trị lớn nhất của biểu thức T
12 minT Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T
13 n P Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P
14 u Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Trang 3MỤC LỤC
PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1
1.1 Lí do chọn đề tài 1
1.2 Tổng quan về đề tài và tính mới của đề tài 2
PHẦN II NỘI DUNG 3
2.1 Cơ sở lí luận và thực tiễn 3
2.1.1 Cơ sở lí luận 3
2.1.2 Cơ sở thực tiễn 4
2.2 Giải pháp thực hiện 5
2.2.1 Khai thác tính chất cực trị từ khoảng cách giữa các đối tượng điểm, đường thẳng và mặt phẳng để sáng tạo bài toán tọa độ không gian……….5
2.2.2 Khai thác tính chất cực trị liên quan đến mặt cầu để sáng tạo bài toán tọa độ không gian 27
2.2.3 Thực nghiệm sư phạm 36
PHẦN III KẾT LUẬN 39
3.1 Đề tài đã giải quyết được vấn đề sau: 39
3.2 Ý nghĩa của sáng kiến 39
3.3 Phạm vi, nội dung ứng dụng và hướng phát triển của đề tài: 40
3.4 Ý kiến đề xuất 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 41
PHỤ LỤC 42
Trang 4Sáng kiến kinh nghiệm
PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lí do chọn đề tài
Mục tiêu đối với giáo dục phổ thông đó là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng lí tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời
Trong quá trình dạy học toán ở bậc phổ thông, việc bồi dưỡng kiến thức và phát triển tư duy cho học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên Thực tế cho thấy nhiều giáo viên khi dạy học vẫn còn nặng về khâu truyền thụ kiến thức, các kiến thức đưa ra hầu như là sẵn có, ít yếu tố tìm tòi phát hiện, chưa chú trọng nhiều về việc dạy học sinh cách học, do đó chưa phát triển được năng lực tư duy và sáng tạo cho học sinh Thông thường thì các em học sinh mới chỉ giải quyết trực tiếp các bài tập toán mà chưa khai thác được tiềm năng của bài toán đó Học sinh chỉ có khả năng giải quyết vấn đề một cách rời rạc mà ít có khả năng xâu chuỗi chúng lại với nhau thành một hệ thống kiến thức lớn Chính vì vậy việc bồi dưỡng, phát triển tư duy tương tự hóa, khái quát hóa,… là rất cần thiết đối với học sinh phổ thông Việc làm này giúp các em tích lũy được nhiều kiến thức phong phú, khả năng nhìn nhận, phát hiện vấn đề nhanh và giải quyết vấn đề có tính lôgic và hệ thống cao
Mục tiêu của Chương trình giáo dục phổ thông mới 2018 nói chung và môn Toán nói riêng là phát triển phẩm chất và năng lực cho học sinh, trong đó năng lực
tư duy và sáng tạo đóng vai trò rất quan trọng
Trong chương trình Hình học 12 THPT hiện hành, chủ đề về Phương pháp tọa độ trong không gian là một trong những chủ đề trọng tâm, đa dạng Đặc biệt các bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất liên quan đến chủ đề này gây không ít khó khăn cho người học; các bài toán loại này xuất hiện nhiều trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 và kỳ thi TNTHPT quốc gia ở mức độ vận dụng của đề thi Để học tốt chủ đề này người học ngoài việc nắm vững hệ thống kiến thức cơ bản, có thêm nhiều kỹ năng giải thì cần nắm được tính chất cực trị cốt lõi của hình học không gian trong bài toán, có tư duy độc lập và tư duy sáng tạo Vì vậy, trong quá trình dạy học, nếu người dạy biết cách khai thác và sáng tạo ra các bài toán, quan trọng hơn nữa là tạo ra các tình huống học tập trong dạy học các tiết luyện tập, các chuyên đề để tạo điều kiện cho HS được tham gia hoạt động, được tự mình khai thác các tính chất cực trị của hình học không gian để sáng tạo ra các bài toán tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất về tọa độ không gian thì không những giúp các
em học tập có hiệu quả mà còn tạo hứng thú học tập cho các em học sinh, và còn góp phần quan trọng trong việc rèn luyện và bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho người học
Trang 5Sáng kiến kinh nghiệm
Từ những ý tưởng và những lý do nêu trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài
nghiên cứu: ‘‘Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác
và sáng tạo bài toán tọa độ không gian từ tính chất cực trị của hình học không gian”
1.2 Tổng quan về đề tài và tính mới của đề tài
Thứ nhất, đề tài đã trình bày cơ sở lí luận và thực tiễn về vấn đề phát triển
năng lực tư duy cho học sinh thông qua khai thác và sáng tạo bài toán tọa độ không gian từ tính chất cực trị của hình học không gian
Thứ hai, đề tài đã tiến hành khảo sát thực trạng về dạy và học bài tập cực trị
về toạ độ trong không gian theo hướng phát triển tư duy cho học sinh
Thứ ba, đề tài đã xây dựng được lớp bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
về tọa độ không gian từ việc khai thác tính chất cực trị của hình học không gian liên quan đến khoảng cách giữa hai điểm, đường thẳng và mặt phẳng
Thứ tư, đề tài đã xây dựng được lớp bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về
tọa độ không gian từ việc khai thác tính chất cực trị của hình học không gian liên quan đến mặt cầu
Trang 6Sáng kiến kinh nghiệm
PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1 Cơ sở lí luận và thực tiễn
2.1.1 Cơ sở lí luận
a Khái niệm về tư duy
Theo từ điển tiếng Việt “Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng
”(Hoàng Phê1998) Nguyễn Thanh Hưng (2019, tr 184) cho rằng: “tư duy là giai đoạn cao của nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra quy luật của sự vật bằng các hình thức như biểu tượng, phán đoán, suy lí, Đối tượng của tư duy là những hình ảnh, biểu tượng, kí hiệu Các thao tác tư duy chủ yếu gồm: phân tích,
tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa, ” (dẫn theo Trần Mạnh Sang, Nguyễn Văn Thái Bình, Tạp chí giáo dục, số đặc biệt, kỳ 1, tháng 5/2020 tr 111-116)
b Năng lực tư duy và sự phát triển của năng lực tư duy
Thế nào là năng lực?
“Năng lực là đặc điểm thuộc tính tâm lý riêng của từng người, là tổ hợp
thuộc tính phản ánh các quan hệ tác động và khách thể bởi chủ thể Năng lực khác với tri thức và kỹ năng, kỹ xảo Năng lực là đặc điểm tâm lí ở người, tạo thành các điều kiện quy định tốc độ, chiều sâu, cường độ của việc lĩnh hội tri thức, kỹ năng,
kỹ xảo”(PGS.TS Đinh Thị Kim Thoa)
Theo tài liệu tìm hiểu chương trình môn toán(trong chương trình giáo dục phổ thông 2018), trang 17 : ‘‘Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành và phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,…thực hiện thành công một loạt hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể ’’
Năng lực chính là khả năng nhận thức và vận dụng kiến thức, kỹ năng, thái
độ trong học tập và trong thực tiễn cuộc sống
Thế nào là năng lực tư duy?
Có thể hiểu năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện,
trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận, giải quyết vấn đề, xử lí và tình cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn
Theo Chương trình giáo dục phổ thông 2018 môn Toán, một trong những
biểu hiện quan trọng của năng lực tư duy và lập luận toán học là “thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và
Trang 7Sáng kiến kinh nghiệm
khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát”(Bộ GD-ĐT, 2018)
Thế nào là phát triển năng lực tư duy?
Có thể nói, phát triển năng lực tư duy HS chính là hình thành và rèn luyện cho HS 4 yếu tố cơ bản của tư duy gắn liền với việc hình thành và phát triển cho học sinh các thao tác của tư duy (phân tích, so sánh, suy luận, tổng hợp, khát quát, đánh giá, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa); các phẩm chất của tư duy (tính linh hoạt, tính sáng tạo, tính bền bỉ, tính năng động, tính đa dạng, đa chiều trong tư duy); các
kỹ năng của tư duy (kỹ năng tư duy phê phán, kỹ năng tư duy đối thoại, kỹ năng tư duy sáng tạo, kỹ năng tư duy giải quyết vấn đề)
Từ các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất quen thuộc, HS có thể tự tìm lời giải cho các bài toán tương tự, tìm ra được mối liên hệ bản chất của các đối tượng trong mỗi bài toán, tìm ra sự khác nhau giữa các bài toán, và cao hơn là có thể phát biểu các bài toán mới
2.1.2 Cơ sở thực tiễn
2.1.2.1 Tiến hành điều tra, khảo sát giáo viên và học sinh
Chúng tôi đã tiến hành khảo sát 100 GV THPT trên địa bàn Huyện Nghĩa Đàn,
TX Thái Hòa và một số trường ở Diễn Châu, Yên Thành và 200 học sinh tại các lớp ở các trường đó về dạy học bài tập cực trị về không gian tọa độ không gian (Phụ lục 1, Phụ lục 2)
2.1.2.2 Kết luận về thực trạng dạy học bài tập toán nói chung và bài tập cực trị về tọa độ không gian
Qua thực tiễn dạy học cũng như tiến hành khảo sát HS(Phụ lục 2), chúng tôi thấy:
- Học sinh THPT còn hạn chế trong học Toán nói chung và học tập bài tập cực trị về tọa độ không gian nói riêng, là do kiến thức bị hổng từ các cấp dưới, thêm vào đó chưa chịu khó suy nghĩ, ít tư duy trong quá trình học tập;
- Nhiều học sinh không thích học tập, hay giải bài tập cực trị về tọa độ không gian ; việc học tập vẫn còn thụ động, máy móc, thiếu tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân;
- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa chủ động, tích cực để tham gia vào các hoạt động học tập để lĩnh hội kiến thức mới nên kết quả học tập vẫn chưa cao;
- Học sinh gặp nhiều khó khăn trong học tập bài tập cực trị về tọa độ không gian đó là bài tập phần này khó, không nắm được bản chất hình học của bài toán
- Nhiều học sinh khi học tập giải bài tập toán, chỉ quan tâm đến kết quả bài toán đúng hay sai, hoặc là hài lòng với lời giải của mình; ít tìm tòi lời giải khác, không khai thác để phát triển bài toán, sáng tạo ra bài toán mới nên không phát huy được nhiều tính tích cực, độc lập và sáng tạo của bản thân
- Trong học tập giải bài toán GTLN, GTNN về tọa độ không gian, không ít học sinh chỉ quan tâm tới vận dụng tính chất đại số và giải tích để giải bài toán,
Trang 8Sáng kiến kinh nghiệm
điều này sẽ dẫn đến các em có thể khó tìm được lời giải bài toán, nếu giải được thì cũng mất nhiều thời gian và lời giải bài toán không thực sự hay và đẹp
- Trong quá trình dạy học luyện tập ở trường phổ thông, không ít giáo viên chỉ chữa bài tập đơn lẻ cho học sinh, hoặc chỉ ra bài tập mang tính áp dụng, chưa thực sự chú trọng để khai thác, phát triển và sáng tạo ra bài toán mới Do đó không phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo, khó hình thành và phát triển năng lực tư duy cho học sinh
- Trong dạy học bài tập GTLN, GTNN về tọa độ không gian, có nhiều GV chưa thực sự quan tâm đến việc hướng dẫn HS phân tích, tổng hợp, so sánh để tìm
ra mối liên hệ bản chất hình học giữa các đối tượng, các yếu tố trong bài toán Do
đó HS khó có thể giải bài toán một cách tốt nhất mà còn không có nhiều cơ hội để phát triển năng lực tư duy và lập luận lôgic cho HS
- Cho đến thời điểm này (tháng 4, năm 2022), chương trình GDPT môn toán
2018 đã được triển khai tập huấn cho tất cả các GV toán THPT trên toàn bộ địa bàn tỉnh Nghệ An thông qua các mô đun học tập, đặc biệt là các mô đun 2 (Sử dụng phương pháp dạy học và giáo dục phát triển phẩm chất, năng lực học sinhTHPT), mô đun 4 (Xây dựng kế hoạch dạy học và giáo dục theo hướng phát triển phẩm chất, năng lực học sinh THPT) Tuy nhiên, thực trạng cho thấy hầu hết
GV đang còn thụ động, chưa chủ động trong việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực trong dạy học bài tập toán
2.2 Giải pháp thực hiện
Để phát huy tính tích cực, chủ động, tự giác và phát triển năng lực tư duy
cho học sinh, trong quá trình dạy học luyện tập hoặc dạy học bài tập toán, giáo viên luôn chú trọng định hướng để học sinh tìm tòi lời giải cho một bài toán, khai thác và phát triển để sáng tạo ra nhiều bài toán mới từ những tính chất và bài toán
2.2.1 Khai thác tính chất cực trị từ khoảng cách giữa hai điểm, đường thẳng
và mặt phẳng để sáng tạo bài toán tọa độ không gian
Nhận xét 1: Cho hai điểm ,A B trong không gian M là một điểm bất kỳ Biểu
thức T MA2 MB2 đạt GTNN khi M là trung điểm của AB
Trang 9Sáng kiến kinh nghiệm
Xét bài toán trên trong không gian tọa độ Bằng cách chọn A x y z A; A; A,
B; B; B
B x y z ta có bài toán:
Bài toán 1.1 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A x y z A; A; A, B x y z B; B; B Tìm GTNN của biểu thức T MA2 MB2
Nhận xét 2: Trong bài toán 1.1 ở trên GTLN của T đạt được khi I là trung điểm
AB Ilà điểm thỏa mãn đẳng thức vec tơ IA IB 0 Với việc xét điểm I thỏa
mãn đẳng thức vectơ IAIB0 ( 0), ta có bài toán tổng quát:
Bài toán 2 Trong không gian, cho A x y z A; A; A, B x y z B; B; B Tìm tọa độ điểm
Trang 10Sáng kiến kinh nghiệm
1IA1 2IA2 n IA n 0( 1 n 0)
Ta có bài toán tổng quát của bài toán 2:
Bài toán 3 Trong không gian cho n điểm A x y z1( ;1 1; ), ,1 A x y z n( n; n; n) và n số
thực 1, 2, ,n.M là điểm thay đổi trong không gian
a) Tìm GTNN của biểu thức T 1MA12 n MA n2 nếu 1 2 n 0
b) Tìm GTLN của biểu thức T 1MA12 n MA n2 nếu 1 2 n 0
Đặc biệt hóa bài toán 3 khi choA1;2;1 , B0;1; 2 , C1;0;2 , D3;3;3 ,
Trang 11Sáng kiến kinh nghiệm
2
31
Nhận xét 4 Giới hạn quỹ tích của điểm M trong bài toán 3.1 khi cho điểm M thay
đổi trên mặt phẳng P , kết hợp IM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của
I lên mặt phẳng P , ta có bài toán:
Bài toán 4 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho n điểm A x y z1 1; ;1 1,…,
chiếu vuông góc của I lên ( ).P
Đặc biệt hóa bài toán 4 với 3 điểmA(2;0; 1) , B(1;1;2) ,C(0;2; 1) ,
1 2 3 1
, mặt phẳng( ) :P x y z 1 0 ta có bài toán:
Bài toán 4.1: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A(2;0; 1) , B(1;1;2) ,
Trang 12Sáng kiến kinh nghiệm
, mặt phẳng P là Oxy ta có bài toán:
Bài toán 4.2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 3 điểmA2;3;5, B1;3;2,
Trang 13Sáng kiến kinh nghiệm
Cũng từ nhận xét trên ta có thể mở rộng bài toán 4.3 thành bài toán:
Bài toán 4.4: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho n1 điểm A x y z1 1; ;1 1,…,
, i 0 i 1,k Tmin MA n1min M là hình chiếu vuông góc
của A n1 lên P min 1 2 1 02 0 21
Trang 14Sáng kiến kinh nghiệm
hình chiếu vuông góc của A n1lên P )
Từ bài toán 4.2, ta chọn DI(5;7;4), 11,2 2 ta có bài toán:
Bài toán 4.5
Trong không gian Oxyzcho 4 điểm A2;3;5 , B 1;8;2 , C 2;1;3 , D 5;7;4
0 0 0
( ; ; )
M x y z điểm di động trên mặt phẳng (Oxy )
a) Khi biểu thức T 4MA2 5MB2 6MC2 MD4đạt giá trị nhỏ nhất Tính
0 0 0
A S 11. B 11. C S 12. D S9 b) Khi biểu thức T 4MA2 5MB2 6MC2 MD2 2MD4 Tính x0 y0 2z0
A S 2. B 2 C S 12. D S 9
Nhận xét: Bài toán 4.5 a) là một câu vận dụng cao trong đề thi KSCL lần 1,
SGDĐT Thanh Hóa, năm học 2021-2022.
Nhận xét: Giới hạn quỹ tích của điểm M trong bài toán 3, khi điểm M di động trên
đường thẳng , kết hợp IM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên , ta có bài toán:
Bài toán 5 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho n điểm A1 (x y z ) 1; 1; 1
,…, A x y z M là điểm di động trên đường thẳng : n( ;n n; n)
Nhận xét: Kết hợp nhận xét để hình thành bài toán 4.4 ta có bài toán:
Bài toán 5.1 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng n1 điểm
Trang 15Sáng kiến kinh nghiệm
M là hình chiếu vuông góc của 0 A n1 lên đường thẳng
Đặc biệt hóa bài toán 5 với ba điểm A1;0; 1 ,B 1; ;12 , C 3; 2; 1 và các
Gọi I là điểm thỏa mãn IA2IBIC 0
2
32
2
32
2
12
A B C I
A B C I
A B C I
Đặc biệt bài toán 5 với giả thiết của bài toán 5.1, ta có bài toán:
Bài toán 5.2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1;0; 1) , B(1;2;1),( 3; 2; 1)
C , D(3;3;1) M là điểm di động trên trục Oz Tìm GTNN của biểu
Trang 16Sáng kiến kinh nghiệm
Thật vậy, xét mặt phẳng P chứa IJ và M , P cắt S theo đường tròn lớn ( )C (hình vẽ) Rõ ràngM M1, 2( )C Do đó, theo tính chất hình học phẳng thì
Gọi M M là các giao điểm của đường thẳng IJ và mặt cầu 1, 2 S
Trang 17Sáng kiến kinh nghiệm
Không mất tính tổng quả, giả sử 1 2 1
Nhận xét: Kết hợp bài toán 6 và nhận xét để hình thành bài toán 4 ta có bài toán:
Bài toán 6.1 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho n1 điểm A x y z1 1; ;1 1,…,
của mặt cầu ( )S với đường thẳng IA n1, trong đó IM1 IM2)
Trang 18Sáng kiến kinh nghiệm
Đặc biệt hóa bài toán 6 với hệ 3 điểm ( 1;0;1)A , B(2;1;1), C(5; 9; 10) , các số 1 1,2 3,3 1 và mặt cầu S : x2 y2 z2 9 ta có bài toán:
Bài toán 6.2 Trong không gian tọa độ Oxyzcho 3 điểm A( 1;0;1) , B(2;1;1),
Đặc biệt hóa bài toán 6.2 với giả thiết bài toán 6.1 ta có bài toán:
Bài toán 6.3 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 4 điểm ( 1;0;1), (2;1;1),A B
S a b c
A 9. B 9 C 3. D 4
Trang 19Sáng kiến kinh nghiệm
Nhận xét 7: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau trong không gian khi đó
,
d a b IJ với IJ là đoạn vuông góc chung của a và b I( a J, b) Lấy ,A B
cố định thuộc đường thẳng , a M di động trên b
MAB
S d a b AB khi MN là đoạn vuông góc chung của a và b ( Mb N, a)
Từ nhận xét 7, trong không gian Oxyz ta chọn một đường thẳng bất kỳ,lấy hai
điểm ,A B sao cho đường thẳng AB và chéo nhau ta được lớp bài toán Chẳng
điểm A1; 0; 2 , B 1;1;2 M là điểm di động trên d Khi M a b c ; ; thì MAB
có diện tích nhỏ nhất Tìm tọa độ của điểm M
Dễ thấy đường thẳng AB và d chéo nhau Theo nhận xét 7, ta có S MAB nhỏ nhất
MN là đoạn vuông góc chung của AB và d N( AB M, d)
Trang 20Sáng kiến kinh nghiệm
(Đề thi KSCL thi TNTHPT năm 2022 lần 2, Trường Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa
Nhận xét 8: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, mặt phẳng P chứa b và
P / /a Khi đó ta có d a b , d a P ,
Từ nhận xét 7, ta chọn A B, a A( B) và xác định mặt phẳng P chứa b,
P / /a Khi đó S MAB nhỏ nhất d M AB , d AB P , M thuộc hình chiếu
của đường thẳng AB lên P Ta được lớp bài toán, chẳng hạn:
Bài toán 8.1 Trong không gian tọa độ Oxyz Cho đường thẳng : 2
Trang 21Sáng kiến kinh nghiệm
Trang 22Sáng kiến kinh nghiệm
Không mất tính tổng quát,giả sử d(A ,1 1) d(A ,2 2)
GọiI H H1, 1, 2lần lượt là hình chiếu vuông góc của I A A lên , 1, 2 P ; K K lần lượt 1, 2
là hình chiếu vuông góc của I lênA H và1 1 A H 2 2
Vậy maxT ( 1 2)AI với I thỏa mãn 1IA1 2IA2 0
Khai thác tính chất 3, ta có một lớp bài toán, chẳng hạn:
Bài tập 9: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A1;2; 1 B 0;0;1 , và
2;0;2
C là đường thẳng thay đổi qua A và nằm trong mặt phẳng ABC
Khi u a b c; ; (với a b, nguyên tố cùng nhau, a0) thì biểu thức
3 ,
2 ,
T d B d C đạt GTLN Tổng a2 b2c2 bằng
A 9 B 22 C 8 D 5.
Trang 23Sáng kiến kinh nghiệm
I
I
I
x y z
Mở rộng từ hệ 2 điểm 3 thành n điểm tra có bài toán
Nhận xét 10 Trong không gian cho n1 điểm A A, 1, ,A n đồng phẳng Giả sử tồn tại đường thẳng qua A sao cho tất cả các điểm A1, ,A n đồng phẳng và cùng phía với Khi đó biểu thức
1( , )( 0,
n
i i i i
Trang 24Sáng kiến kinh nghiệm
Gọi B1, ,B n2 ,I là các điểm thỏa mãn
Từ đó, suy ra nếu IA với I thỏa mãn (*) thì biểu thức T đạt GTNN
Từ nhận xét 10, ta chọn hệ các điểm A1, ,A sao cho thỏa mãn các điều n
kiện trong nhận xét 10 thì ta có lớp các bài toán, chẳng hạn: