luận văn phân thức hữu tỷ và 1 số hệ phương trình

luận văn phân thức hữu tỷ và 1 số hệ phương trình

đại học tháI nguyên

Trường đại học khoa học

-vũ văn viết

PHÂN THứC HữU Tỷ Và MộT Số Hệ PHƯƠNG TRìNH

Luận văn thạc sĩ toán học

Thái Nguyên – 2012

đại học tháI nguyên

Trường đại học khoa học

-vũ văn viết

PHÂN THứC HữU Tỷ Và MộT Số Hệ PHƯƠNG TRìNH

Chuyên ngành : phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60.46.40

Luận văn thạc sĩ toán học

NGƯờI HƯớNG DẫN KHOA HọC: pgs.ts đàm văn nhỉ

Thỏi Nguyờn – 2012

Mục lục

Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU

Chương 1 Số phức và vành đa thức

1.1 Tính đóng đại số của trường 

1.2 Vành đa thức và nghiệm đa thức

Chương 2 Phân thức hữu tỷ và một số hệ phương trình

2.1 Phân thức hữu tỷ

2.2 Phân tích phân thức để tính một số tổng

2.3 Giải hệ phương trình và xây dựng đồng nhất thức

2.4 Tính tích phân của phân thức hữu tỷ

2.5 Một vài dãy số qua phân thức hữu tỷ

2.6 Bất đẳng thức hình học

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang2448

101015213343495657

Lời nói đầu

Phân thức hữu tỷ xuất hiện ở ba cấp học bậc phổ thông và cả bậc Đại họctrong Đại Số, Giải Tích, Hình Học, Tổ Hợp.Vấn đề đặt ra là sử dụng phânthức hữu tỷ vào nghiên cứu Toán sơ cấp như thế nào? Đặc biệt sử dụng cáckết quả về phân thức hữu tỷ để vào sáng tác các bài toán mới

Với những lí do trên, là một giáo viên giảng dạy môn Toán trong trường

phổ thông, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: " Phân thức hữu tỷ và một số hệ

phương trình" Đích cuối cùng mà luận văn muốn đạt được là:

1/ Phân tích phân thức hữu tỷ thành tổng các phân thức đơn giản

2/ Giải hệ phương trình tuyến tính nhiều ẩn có liên quan đến phân thức

3/ Tính tổng và xây dựng một số đồng nhất thức trong tổ hợp

4/ Tính tích phân các phân thức hữu tỷ

5/ Nghiên cứu dãy số qua phân thức hữu tỷ

6/ Xây dựng bất đẳng thức hình học

Luận văn gồm hai chương:

Chương I: Giới thiệu về vành đa thức, số phức và tính đóngđại số của trường  và việc nhúng  vào  để có thể coi  như một trườngcon của trường  Từ tính đóng của trường suy ra sự phân tích đa thứcthành tích các nhân tử bất khả quy trong  x

Chương II: Trình bày về phân thức hữu tỷ thành tổng các phânthức đơn giản và một số ứng dụng để: giải một số hệ phương trình, xây dựngcác đồng nhất thức, tính các tổng, tính tích phân và một vài dãy số qua phânthức hữu tỷ

Dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luậnvăn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định, em rất mong nhận được sựgóp ý của các thầy cô giáo và các bạn.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS.Đàm Văn Nhỉ Em xin được tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới thầy Em xincảm ơn chân thành tới Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, nơi

em đã nhận được một học vấn sau đại học căn bản và cuối cùng, tác giả xinchân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã cảm thông, ủng hộ vàgiúp đỡ trong suốt thời gian tác giả học Cao học và viết luận văn

Hải Phòng, tháng 08 năm 2012 Người viết luận văn

Vũ Văn Viết

Chương I

Số phức và vành đa thức

Chương này giới thiệu vành đa thức, vành các chuỗi lũy thừa hình thức

và tính đóng đại số của trường các số phức 

1.1 Tính đóng đại số của trường 

Xét tích Descartes T         a b , \   và định nghĩa phép toán:

Mỗi phần tử z a bi   được gọi là một số phức với phần thực a, ký hiệu

Re z, và phần ảo b, ký hiệu Im z, còn i gọi là đơn vị ảo Số phức a bi đượcgọi là số phức liên hợp của z a bi  và ký hiệu là z a bi  Dễ dàng kiểmtra zza bi a bi   a2b2 và gọi z  zz là môđun của z Số đối

Khi đồng nhất  với Oxy qua việc đồng nhất z với M , thì mặt phẳng tọa

độ với biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức hay mặt phẳngGauss

vì đồng nhất a với a 0i  nên có thể coi  là trường con của .Chú ý rằng nghịch đảo của z0 là z 1 z2

Cho số phức z0 Giả sử M là một điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức

z Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox và tia cuối OM đượcgọi là argument của z và ký hiệu arg z  Góc xOM được gọi là Argumentcủa z và ký hiệu là Arg z

Argument của số phức 0 là không định nghĩa

Chú ý rằng, nếu  là một argument của z thì mọi argument của z đều có

dạng  2 ,k k   Với z 0, ký hiệu  k2 là Argument của z

Ký hiệu r  zz Khi đó số phức z a bi a rc  ,  os , b r sin Vậy khi0

z thì có thể biểu diễn z r cos isin và biểu diễn này được gọi làdạng lượng giác của z

K x đều có nghiệm trong K.

Như vậy, trong K x  mọi đa thức bậc dương đều phân tích được thành tíchcác nhân tử tuyến tính khi K là một trường đóng đại số

Định lý 1.1.8(d'Alembert - Gauus, Định lý cơ bản của đại số)

Mọi đa thức bậc dương thuộc  x đều có ít nhất một nghiệm thuộc 

Từ định lý 1.1.8 suy ra kết quả sau đây về đa thức bất khả quy trong  x :

1.2 Vành đa thức và nghiệm đa thức

Nhắc lại một vài khái niệm và kết quả trong vành đa thức một biến trên mộttrường

Cho trường K và một biến x trên K Với n, Xét tập hợp:

Mỗi phần tử f x K x  được gọi là một đa thức của biến x với các hệ

sốa K i Hệ số a n gọi là hệ số cao nhất, còn hệ số a gọi là hệ số tự do của o

 

f x Khi a n 0 thì n được gọi là bậc của f x  và được ký hiệu deg f x .Riêng đa thức 0 được quy định là có bậc là  hoặc -1

Định lý 1.2.1.

Ta có K x  là một vành giao hoán Hơn nữa K x  còn là một miền nguyên,

có nghĩa: nếu f x g x   , K x  thỏa mãn f x g x   0 thì f x 0 hoặc

  0

g x 

Trong vành K x  xét hai đa thức sau đây:

Giả sử f x K x  với bậc n1 Khi đó có các kết quả sau:

(i) Nếu K là nghiệm của f x  thì f x   x    g x g x, K x .(ii) f x có không quá n nghiệm phân biệt trong K

Nếu hai đa thức g x h x   , nguyên tố cùng nhau trên K và đa thức

 ,deg   deg   deg  

Theo định lý 2.1.1 ta có sự biểu diễn f x         r x g x s x h x

vớidegr x degh x ,degs x degg x  Chia hai vế hệ thức này cho

Mỗi phân thức hữu tỷ  

tổng các phân thức hữu tỷ đơn giản

Hệ quả 2.1.4.

Mỗi phân thức hữu tỷ  

 

f x

g x bất kỳ đều phân tích thành tổng một đa thức và

các phân thức hữu tỷ đơn giản

Mệnh đề 2.1.6.

Xét phân thức f x  p x     x

q x

  Với mỗi x0 sao cho f x 0 có nghĩa,

luôn có biểu diễn     0 0    

a a a a

Ví dụ 2.2.7.

Chứng minh rằng, với số nguyên dương lẻ n ta có các kết quả:

(i) 4 cot2 4 cot2 2 4 cot2 1

trong  là x i cosk2 isink2 ,k 1, ,n 1,

12

2.3 Giải hệ phương trình và xây dựng đồng nhất thức

Bây giờ áp dụng các kết quả đã đạt được để giải các hệ phương trình và xâydựng các đồng nhất thức mới trong Toán sơ cấp

Giả sử x y z, , là nghiệm của hệ phương trình đã cho Hãy tính tổng dưới đây:

2 1 2

3 1 3

i i

n n

i i

n n

i i

n

n n

i i

4

4

Vì f   i 0 nên p  i 0, 1,2, i n và như vậy ta có

2 1 2

3 1 3

1

1 1

i i

n n

i i

n n

i i

n

n n

i i

a b a c

c a y

b c b a

a b z

3 2

3 3

3 4

a t

a b a c a d

b t

b a b c b d

c t

c a c b c d

d t

( 1) 2 ( !)

i i n n n

n i

ta suy ra (i) khi thay x1, , ,x x n 0.

Còn (ii) được suy ra từ (i)

2 1

n n

kC k

k n k n

n

n n

11

Phương trình này có ba nghiệm là y y y1, ,2 3 Do đó

T b



2.4 Tính tích phân của phân thức hữu tỷ

Giả sử phải tính tích phân  

s s

Aa B

Aa B

c I

10,

Nếu Q x  có nghiệm bội (thực hoặc phức), hay

Ví dụ 2.4.7.

Tính

 1 2 13

xdx I

Đồng nhất hệ số ta đươc:

1810

82D 0

dx I

3

2 2 3

2 2

2.5 Một vài dãy số qua phân thức hữu tỷ

Một vài dãy truy hồi sau đây được xác định qua đa thức hoặc hàm sinh vớicông thức đóng Từ việc tách công thức đóng thành tổng các phân thức đơngiản ta có được công thức tường minh xác định các số hạng của dãy

n n n

a a

a a

Chuyển qua giá trị tuyệt đối, ta có:

Giả sử rẳng tâm đường tròn ngoại tiếp O của tam giác ABC là gốc của mặtphẳng phức Thì a b c R   và bất đẳng thức (5) tương đương với bấtđẳng thức (3).

3 Nếu P là trọng tâm G của tam giác ABC, ta thu được bất đẳng thức sau:

94

m m   m m   m m  

      , với: m m m , ,  là các trung tuyến

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều

Một số bài toán Olympiad - calliber được kết nối trực tiếp tới kết quả có trongđịnh lý 1 Bài toán đầu tiên là giải về trường hợp của đẳng thức khi các góccủa tam giac ABC là góc nhọn

Khi và chỉ khi P là trực tâm của tam giác ABC

(Olympiad toán học Trung Quốc 1998)

z r r  z r r  z r r  (điều phải chứng minh).

Ngược lại, giả sử z z z1 2 3, , đều là các số thực dương Vì:

Ví dụ 2.6.3.

Cho tam giác ABC và P là môt điểm nằm trong tam giác Đặt R R R1, ,2 3 theothứ tự là bán kính của đường tròn ngoại tiếp của các tam giác PBC, PCA,PAB Đường thẳng PA, PB, PC theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại các điểm

với R là bán kính ngoại tiếp tam giác ABC

(Thi đội tuyển IMO Romani 2004)

Xét một mặt phẳng phức lấy gốc tọa độ tại điểm P và gọi a, b, c lần lượt là tọa

vị của các đỉnh A, B, C Đẳng thức sau đây dễ dàng được chứng minh:

PA PB PC R   Từ đẳng thức (8) ta lại thu được bất đẳng thức (3), haychính là bất đẳng thức Euler: R 2r

2 Nếu P là trọng tâm G của tam giác ABC thì:

(12) x y z3   y z x z x y3   3   x y y z z x x y z   

Đặt a b c z, , , p theo thứ tự là tọa vị các điểm A, B, C, P Trong bất đẳng thức(12), coi x z p a y z,  p b z z,  p c, ta được bất đẳng thức (10).

    cho một tam giác bất kì

Bất đẳng thức cuối cùng có thể được viết là: sin2 Asin2 Bsin2C2hoặc là: cos2A c os2B c C os2 1

nghĩa là: 1 os2A 1 os2 1 os2 0

rút gọn thành: cosA B c  os A B c C  os2 0

điều này tương đương với: 2cosC c osA B c  osA B 0

hay là: cos cos cosA B C0 (hiển nhiên đúng)

Kết luận

Sau hai năm học tập và nghiên cứu tại khoa Toán Tin - Trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên, được sự chỉ bảo giúp đỡ của các thầy côtrong khoa, đặc biệt là PGS.TS Đàm Văn Nhỉ, tác giả đã hoàn thành luận văn:

"Phân thức hữu tỷ và một số hệ phương trình".

Luận văn đã giải quyết được những vấn đề cơ bản sau:

1/ Chứng minh được mỗi phân thức hữu tỷ phân tích được thành tổng cácphân thức đơn giản

2/ Giải các hệ phương trình tuyến tính nhiều ẩn có liên quan đến phân thức.3/ Xây dựng các đồng nhất thức trong toán sơ cấp

4/ Tính các tổng hữu hạn

5/ Tính tích phân hàm phân thức hữu tỷ

6/ Một vài dãy số qua phân thức hữu tỷ

7/ Xây dựng các bất đẳng thức hình học

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức Đại số và Phân thức hữu tỷ- NXB Giáo dục2002

[2] N.S.Nguyên, N.V.Nho, L.H.Phổ, Tuyển tập các bài toán dự tuyển

Olympic Toán học quốc tế 1991-2001-NXB Giáo dục

[3] Trần Phương, Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân- NXBĐại học Quốc gia 2010

[4] T Andreescu and D Andrica, Proving some geometric inequalities byusing complex numbers

[5] D Faddéev et I Sominski, Recueil D'Exercices D'Algèbre Supérieure,Editión Mir-Moscou 1977

[6] R Merris, Combinatorics, PWS publishing company 20 Park Plaza,Boston, MA 02116-4324

[7] M.B Nathanson, Elementary Methods in Number Theory, Verlag New-York Berlin-Heidelberg SPIN 10742484

Springer-[8] V Prasolov, Polynomials, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg 2004.[9] Tuyển tập : The IMO Compendium 1959-2004