tóm tắt luận án tiến sĩ đa tạp tích phân và dáng điệu tiềm cân nghiêm của 1 số lớp phương trình đạo hàm riêng

MỞ ĐẦUXét phương trình vi phân nửa tuyến tính du dt = Atu+ft, u, t ∈ I,trong đó I = R+ hoặc R, Atlà toán tử tuyến tính có thể không giới nội trongkhông gian Banach X với mỗi t ∈ I và f :

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học,Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội.

Người hướng dẫn khoa học:

1 PGS TS Nguyễn Thiệu Huy

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội

MỞ ĐẦU

Xét phương trình vi phân nửa tuyến tính

du

dt = A(t)u+f(t, u), t ∈ I,trong đó I = R+ hoặc R, A(t)là toán tử tuyến tính có thể không giới nội trongkhông gian Banach X với mỗi t ∈ I và f : I× X → X là toán tử phi tuyến.Một trong những vấn đề trọng điểm trong nghiên cứu lý thuyết định tínhcủa nghiệm các phương trình vi phân trên là tìm hiểu sự tồn tại của các đa tạptích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định và đa tạp tâm (ổnđịnh, không ổn định) Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân luônthu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học vì một mặt nó mang lại bứctranh hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân vớinhiễu phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạoxác định, mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệmcủa những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơngiản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệmcủa phương trình đang xét

Để các đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến là phần tuyến tính (tức

là họ các toán tử (A(t))t∈I) sinh ra một họ tiến hoá có nhị phân mũ hoặc tamphân mũ và toán tử phi tuyến f là Lipschitz theo nghĩa nào đó Những kết quảnền tảng đầu tiên về sự tồn tại các đa tạp tích phân thuộc về các nhà toán họcHadamard, Perron, Bogoliubov và Mitropolsky Đó là những kết quả về sự tồntại các đa tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường (tức là trườnghợp X = Rn và A(t) là các ma trận) Sau đó, Daleckii và Krein đã mở rộngcác kết quả đó sang trường hợp A(t) là các toán tử giới nội trong không gianBanach bất kỳ X Tiếp theo, Henry đã phát triển các kết quả về sự tồn tại

đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) là các toán tử đạo hàm riêng không giớinội Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của giải tích hàm hiện đại và lý thuyếtnửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại của các đa tạp tích phân đãđược chuyển sang những nấc thang mới cho các lớp phương trình rất tổng quátbao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính Có hai phương

pháp chính để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân là phương phápHadamard và phương pháp Perron Phương pháp Hadamard đã được tổng quáthoá thành phương pháp biến đổi đồ thị (graph transform), phương pháp nàyliên quan đến việc lựa chọn các phép biến đổi phức hợp giữa các đồ thị biểudiễn đa tạp tích phân Trong khi đó, phương pháp Perron được mở rộng thànhphương pháp Lyapunov-Perron do nó liên quan quan đến các phương pháp củaLyapunov Phương pháp Lyapunov-Perron tập trung vào việc xây dựng phươngtrình (hoặc toán tử) Lyapunov-Perron có mối liên hệ với phương trình tiến hoá,

để từ đó chỉ ra sự tồn tại của các đa tạp tích phân Phương pháp Perron có vẻ thích hợp hơn trong việc xử lý các dòng hoặc nửa dòng sinh rabởi phương trình tiến hoá nửa tuyến tính, bởi vì trong trường hợp này việc xâydựng phương trình Lyapunov-Perron khá thuận lợi và được gắn kết với các kỹthuật tiêu chuẩn của phương trình vi phân thường (ODE), thậm chí ngay cảkhi dòng chỉ xác định trên một tập con nào đó của không gian pha

Lyapunov-Điều kiện phổ biến nhất của phần phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đatạp tích phân của phương trình tiến hoá nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiệnLipschitz với hằng số Lipschitz đủ bé, tức là kf(t, φ)− f(t, ψ)k ≤ qkφ − ψkCvới q là hằng số đủ nhỏ Tuy nhiên, với các phương trình nảy sinh từ các quátrình tương tác-khuyếch tán, trong đó f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng

số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổđiển Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến đểchúng có thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy

Năm 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm nach chấp nhận được Nguyễn Thiệu Huy đã đưa ra điều kiện tổng quát hơncủa phần phi tuyến khi xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, ở đó hệ

Ba-số Lipschitz của phần phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc một không gianhàm Banach chấp nhận được Trên cơ sở đó, chúng tôi đã nghiên cứu sự tồntại của đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính vàphương trình vi phân hàm đạo hàm riêng Đó là nội dung chính của luận ánnày Luận án bao gồm 3 chương

• Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị Ở đây, chúng tôi trình bày kháiniệm và một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được.Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổnđịnh của phương trình vi phân nửa tuyến tính

• Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, đa tạp không

ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính

du

dt = A(t)u+f(t, u), t ∈ I,

trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi

t cố định và f : I × X → X là toán tử phi tuyến Khi họ tiến hoá

(U(t, s))t≥s≥0 sinh bởi họ toán tử A(t), t ∈ R+, có nhị phân mũ và hàmphi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là kf(t, x)− f(t, y)k ≤

ϕ(t)kx − yk với ϕ là hàm không âm thuộc không gian hàm Banach chấpnhận được Với các giả thiết này, Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sựtồn tại của đa tạp ổn định Khi mở rộng họ tiến hoá (U(t, s))t≥s≥0 cótam phân mũ chúng tôi đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định Sau

đó, thay vì xét phương trình trên nửa đường thẳng, chúng tôi xét phươngtrình trên toàn đường thẳng để từ đó chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không

ổn định và đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm Các kết quảtrong Chương 2 được lấy ở bài báo [3]

• Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định,

đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng

du

dt = A(t)u(t) +f(t, ut), t ∈ I,trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi

t cố định f : I × C → X là toán tử phi tuyến liên tục Với r > 0 cốđịnh, chúng ta ký hiệu C := C([−r,0], X) là không gian các hàm liêntục trên [−r,0] được trang bị chuẩn sup Khi họ toán tử (A(t))t∈I sinh

ra họ tiến hoá có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điềukiện của f để phương trình trên có đa tạp tích phân Điều kiện phổ biến

là hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz

đủ nhỏ, tức là kf(t, φ)− f(t, ψ)k ≤ qkφ − ψkC với q đủ nhỏ Tuy nhiên,đối với các phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tánphức tạp, hàm f biểu diễn nguồn vật chất của các quá trình này thì hệ

số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian Vì vậy, khi nghiên cứu sựtồn tại của các đa tạp tích phân của phương trình vi phân hàm đạo hàmriêng, chúng tôi xét hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz,tức là kf(t, φ1)− f(t, φ2)k ≤ ϕ(t)kφ1 − φ2kC, khi đó điều kiện hằng sốLipschitz q đủ nhỏ được thay bởi điều kiện supt∈IRtt+1ϕ(τ)dτ đủ nhỏ.Các kết quả trong Chương 3 được viết trong bài báo [1, 2]

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của khônggian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R+ Sử dụng một ítthay đổi, chúng ta thu được khái niệm và tính chất của không gian hàm Banachchấp nhận được trên đường thẳng thực Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân

mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính

trên nửa đường thẳng

Định nghĩa 1.1.1 Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được Boreltrên R+ được gọi là không gian hàm Banach trên (R+, B, λ), trong đó B là đại

số Borel và λ là độ đo Lebesgue trên R+, nếu

(1) (E, k · kE) là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo đượcBorel sao cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)| h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đo λ thì ψ ∈ E

(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho

Z b a

|ϕ(t)|dt ≤ M(b − a)

kχ[a,b]kE kϕkEvới mọi [a, b] ⊂R+ và mọi ϕ ∈ E,

(ii) E là bất biến với toán tử Λ1, trong đó Λ1ϕ(t) = Rtt+1ϕ(τ)dτ ,

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+, trong đó

(a) Cho ϕ ∈ L1, loc(R+) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1ϕ ∈ E Với mọi σ > 0 ta xác định

e−σ(s−t)ϕ(s)ds

Khi đó, Λσϕ và Λσϕ ∈ E Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(R+) (điều này được thoảmãn nếu ϕ ∈ E) thì Λ0σϕ và Λ00σϕ bị chặn và ta có đánh giá

kΛ0σϕk∞ ≤ N1

1− e−σkΛ1T1+ϕk∞ và kΛ00σϕk∞ ≤ N2

1− e−σkΛ1ϕk∞, (1.1)trong đó Λ1, T1+ và N1, N2 được xác định trong Định nghĩa 1.3.1

Mệnh đề 1.2.1 Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên đườngthẳng Ta có các tính chất sau

(a) Cho ϕ ∈ L1, loc(R) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1ϕ ∈ E Với mọi σ > 0 ta xác định

(c) Với mọi b > 0, eb|t| ∈ E./

1.3 Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa

tạp ổn định

Trong phần này, chúng ta xét phương trình vi phân nửa tuyến tính

du

dt = A(t)u+f(t, u), t ∈ [0,+∞), u ∈ X, (1.2)trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cốđịnh và f : R+× X → X là toán tử phi tuyến Chúng ta giả sử họ các toán tử

A(t), t ∈ R+ sinh ra họ tiến hoá (U(t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ Sử dụng khônggian hàm chấp nhận được trên nửa đường thẳng, Nguyễn Thiệu Huy đã chỉ rađiều kiện của hàm f để phương trình (1.2) có đa tạp ổn định Để chỉ ra sự tồntại của đa tạp ổn định, thay vì (1.2) chúng ta xét phương trình tích phân

u(t) = U(t, s)u(s) +

Z t s

U(t, ξ)f(ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s ≥ 0 (1.3)Chúng ta nhắc lại các định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.3.1 Một họ tiến hoá (U(t, s))t≥s≥0 trên không gian Banach Xđược gọi là nhị phân mũ trên [0, ∞) nếu tồn tại các toán tử chiếu tuyến tính

bị chặn P(t), t ≥ 0, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho

(a) U(t, s)P(s) =P(t)U(t, s), t ≥ s ≥ 0,

(b) ánh xạ hạn chế U(t, s)| : KerP(s) → KerP(t), t ≥ s ≥0 là đẳng cấu, chúng

ta biểu diễn ánh xạ ngược là U(s, t)| := (U(t, s)|)−1, 0 ≤ s ≤ t,

(c) kU(t, s)xk ≤ N e−ν(t−s)kxk với x ∈ P(s)X, t ≥ s ≥ 0,

(d) kU(s, t)|xk ≤ N e−ν(t−s)kxk với x ∈ KerP(t), t ≥ s ≥ 0

Định nghĩa 1.3.2 Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trênnửa đường thẳng và ϕ ∈ E là hàm không âm Hàm f : [0, ∞)× X → X đượcgọi là ϕ-Lipschitz nếu f thoả mãn

(i) kf(t,0)k ≤ ϕ(t) với t ∈ R+,

(ii) kf(t, x1)− f(t, x2)k ≤ ϕ(t)kx1− x2k với t ∈ R+ và x1, x2 ∈ X

Định nghĩa 1.3.3 Tập S ⊂ R+ × X được gọi là đa tạp ổn định bất biến chocác nghiệm của phương trình (1.3) nếu mỗi t ∈ R+ ta có X = X0(t)⊕ X1(t)

(i) S = {(t, x+gt(x)) ∈ R+ ×(X0(t)⊕ X1(t))| t ∈ R+, x ∈ X0(t)}, ký hiệu

St = {x+gt(x) : (t, x+gt(x)) ∈ S}

(ii) St đồng phôi với X0(t) với mọi t ≥ 0

(iii) Mỗi x0 ∈ St0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (1.3) trên [t0, ∞)

thoả mãn u(t0) =x0 và esssupt≥t

0ku(t)k < ∞

(iv) S là bất biến, tức là nếu u là nghiệm của phương trình (1.3) thoả mãn

u(t0) = x0 ∈ St0 và esssupt≥t

0ku(t)k < ∞ thì u(s)∈ Ss với mọi s ≥ t0.Dưới đây chúng tôi nhắc lại kết quả về đa tạp ổn định của phương trình viphân nửa tuyến tính

Định lý 1.3.4 Cho họ tiến hoá (U(t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với các toán tửchiếu P(t), t ≥ 0 và hằng số nhị phân N, ν > 0 Giả sử rằng ϕ ∈ E là hàmkhông âm Cho f : R+ × X → X là ϕ-Lipschitz sao cho k < N1+1, trong đó

ku1(t)− u2(t)k ≤ Cµe−µ(t−t0 )kP(t0)u1(t0)− P(t0)u2(t0)k với mọi t ≥ t0

Chương 2

ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI

PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH

Trong mục 1.3 của Chương 1, chúng tôi đã tóm lược kết quả về sự tồn tại của

đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính Trong chương này,chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định và đa tạpkhông ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính (xem [3]) Chúng taxét phương trình

du

dt = A(t)u+f(t, u), t ∈ [0,+∞), u ∈ X, (2.1)trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cốđịnh và f : R+ × X → X là toán tử phi tuyến Khi họ tiến hoá (U(t, s))t≥s≥0

sinh bởi họ toán tử A(t), t ∈ R+ có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f thoả mãnđiều kiện ϕ-Lipschitz, Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp

ổn định Khi mở rộng họ tiến hoá (U(t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ chúng tôi đãchỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định Sau đó, thay vì xét phương trình trênnửa đường thẳng, chúng tôi xét phương trình trên toàn đường thẳng để từ đóchỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và đa tạp này có tính chất hút cácquỹ đạo nghiệm

U(t, ξ)f(ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s ≥ 0 (2.2)

Nghiệm của phương trình tích phân (2.2) được gọi là nghiệm đủ tốt của phươngtrình (2.1) với điều kiện ban đầu u(s) = x ∈ X

Chúng ta nhắc lại các khái niệm sau

Định nghĩa 2.1.1 Họ tiến hoá {U(t, s)}t≥s≥0 được gọi là tam phân mũ trênnửa đường thẳng nếu tồn tại ba họ các toán tử chiếu {Pj(t)}, t ≥ 0, j = 1, 2,

3 và các hằng số dương N, α, β với α < β sao cho các điều kiện sau được thoảmãn:

(i) supt≥0kPj(t)k < ∞, j = 1, 2, 3,

(ii) P1(t) +P2(t) +P3(t) =Id với t ≥ 0 và Pj(t)Pi(t) = 0 với mọi j 6= i.(iii) Pj(t)U(t, s) = U(t, s)Pj(s) với t ≥ s ≥ 0 và j = 1, 2, 3,

(iv) U(t, s)|ImPj(s) là đẳng cấu từ ImPj(s) lên ImPj(t) với mọi t ≥ s ≥ 0 và

j = 2, 3, ký hiệu ánh xạ ngược của U(t, s)|ImPj(s) là U(s, t)|

(v) Với t ≥ s ≥ 0 và x ∈ X, các ước lượng sau đúng:

Định lý 2.1.2 Cho họ tiến hoá (U(t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với các hằng

số N, α, β và các họ toán tử chiếu {Pj(t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, cho bởi Định

nghĩa 2.1.1 Giả sử rằng f : R+ × X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ E làhàm không âm và thoả mãn

2 > 0 Khi đó, với mỗi δ > α, tồn tại đa tạp tâm ổn định S = {(t, St) ⊂

R+× X} cho các nghiệm của phương trình (2.2), được biểu diễn bởi họ các ánh

xạ Lipschitz

gt : Im(P1(t) +P3(t)) → ImP2(t)

với hằng số Lipschitz không phụ thuộc t và St = graph(gt) có các tính chất sau:(i) Mỗi x0 ∈ St0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (2.2) trên [t0, ∞)

thoả mãn u(t0) =x0 và esssupt≥t0 e−γtku(t)k < ∞ với γ = δ+2α

(ii) St đồng phôi với X1(t) ⊕ X3(t) với mọi t ≥ 0, ở đây Xj(t) = Pj(t)X,

Trong phần này, chúng ta chứng minh sự tồn tại đa tạp không ổn định chocác nghiệm đủ tốt của phương trình tiến hoá xác định trên toàn đường thẳngdưới điều kiện họ tiến hoá (U(t, s))t≥s có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f làϕ-Lipschitz

Trước tiên, chúng ta nhắc lại các khái niệm nhị phân mũ và ϕ-Lipschitz trêntoàn đường thẳng

Định nghĩa 2.2.1 Họ tiến hoá (U(t, s))t≥s trên không gian Banach X đượcgọi là có nhị phân mũ trên R nếu tồn tại họ toán tử chiếu tuyến tính bị chặn

(P(t))t∈R trên X và các hằng số dương N, ν sao cho

(i) kf(t,0)k ≤ ϕ(t) với t ∈ R,

(ii) kf(t, x1)− f(t, x2)k ≤ ϕ(t)kx1− x2k với t ∈ R và x1, x2 ∈ X

Trong phương trình (2.1), chúng ta thay t ∈ R+ bởi t ∈ R Giả sử rằng họcác toán tử tuyến tính A(t), t ∈ R, trên không gian Banach X sinh ra họ tiếnhoá (U(t, s))t≥s có nhị phân mũ trên R và hàm phi tuyến f : R × X → X làϕ-Lipschitz Khi đó, chúng tôi sẽ chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn địnhcho các nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1), các nghiệm này là nghiệm củaphương trình tích phân

u(t) =U(t, s)u(s) +

Z t s

U(t, ξ)f(ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s (2.3)Chúng ta có khái niệm đa tạp không ổn định như sau

Định nghĩa 2.2.3 Tập U ⊂ R× X được gọi là đa tạp không ổn định bất biếncho các nghiệm của phương trình (2.3) nếu mỗi t ∈ R không gian Banach Xđược tách thành X = X0(t)⊕ X1(t) sao cho

(i) U = {(t, x+ gt(x)) ∈ R ×(X1(t)⊕ X0(t))| t ∈ R, x ∈ X1(t)}, ký hiệu

Ut = {x+gt(x) : (t, x+gt(x)) ∈ U}

(ii) Ut đồng phôi với X1(t) với mọi t ∈R,

(iii) mỗi x0 ∈ Ut0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (2.3) trên

(−∞, t0] thoả mãn u(t0) = x0 và esssupt≤t

0 ku(t)k < ∞,(iv) U là bất biến, tức là nếu u là nghiệm của phương trình (2.3) thoả mãn

u(t0) = x0 ∈ Ut0 và esssupt≤t0 ku(t)k < ∞ thì u(s) ∈ Us với mọi s ≤ t0.Sau đây là các kết quả chính của mục này

Định lý 2.2.4 Cho họ tiến hoá (U(t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ toán tửchiếu nhị phân P(t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0 Giả sử rằng

ϕ ∈ ER là hàm không âm Cho f : R× X → X là ϕ-Lipschitz thoả mãn

k := (1 +H)N

1− e−ν (N1kΛ1ϕk∞ +N2kΛ1ϕk∞)< 1 (2.4)Khi đó, mỗi v1 ∈ X1(t0) có duy nhất nghiệm x(t) của phương trình (2.3) trên

(−∞, t0] thoả mãn (I − P(t0))x(t0) = v1 và esssupt≤t0 kx(t)k < ∞ Hơn nữa,nếu hai nghiệm x1(t), x2(t) tương ứng với hai giá trị ban đầu v1, v2 ∈ X1(t0)

thì ta có:

kx1(t)− x2(t)k ≤ Cµe−µ(t0 −t )kv1− v2k với mọi t ≤ t0, (2.5)trong đó µ là hằng số dương thoả mãn

f : R× X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ ER là hàm không âm thoả mãn

k < N1+1, ở đây k được xác định bởi (2.4) Khi đó, tồn tại đa tạp không ổn địnhbất biến U cho các nghiệm của phương trình (2.3) Hơn nữa, với hai nghiệmbất kỳ x1(·) và x2(·) trên đa tạp không ổn định bất biến U, ta có ước lượng sau:

kx1(t)− x2(t)k ≤ Cµe−µ(t0 −t )k(Id − P(t0))(x1(t0)− x2(t0))k

với mọi t ≤ t0, trong đó µ, Cµ là các hằng số dương không phụ thuộc t0