sucesiones en el cuerpo

ad 1, FR campo fe les reales Desde los estudios de humanidades nuestres alumnos est&n familiarizados con el conjunto 72 de los n@meros reales, de tal modo que conocen y manejan con segur

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

ad

1, FR campo fe les reales

Desde los estudios de humanidades nuestres alumnos est&n familiarizados con el conjunto 72 de los n@meros reales, de tal modo que conocen y manejan con seguridad Tas operaciones fundamentales entre ellos

Por esta raszOn, el pdrrafo presente

Al) Para todo a @ Ry b @ IR se tiene:

AZ} Para todc a @ TIR, b€ RE vy c€ MR, se tiene:

De acuerdo a la terminolcgŸa aige-

praica conviene cbservar que la pareja (IR, +); constiruye un

grupo abeliano

b) Axiomas de Muitiplicacién

En el conjunto IR se define una ope-

raci6n llamada productc, que asocia a cada pareja ordenaca de

nimeros reaies: a y b un niimero real ab, de tal mcdo que se ve- rifican las axiomas siguientes:

-

M1) Para todo a € 1TR y b € & se tiene:

M2) Para todo a @ Rm, be RMyce€E MR, se tiene:

ta-mi+-c = a- (bec) ({asociatividad)

M3) Existe en R un elemento: 1 # 0, tal que:

a-l=a ¥ ae i

M4) Para cadaaé€ Ry a #0, existe un elemento al Ee i,

Observamos al lector que el conjunto

cs : _ e

=

_tituye un grupo abeliano

c) Axicma đe Distribuciốn

Di) Para tcđo a @€ 1m, b€ Ryceé€e R, se tiene:

(a + b) - cC= a : c+b :ec

Este axioma que vincula las operaclo-

nes de adici6n y multiplicaciốn, junto con las axiomas prece-

dentes nos garantiza que la terna (IR, +, +) eS un Campo alae

đ) Axiomas đe Orđen

En el conjunto IR, para cada par de ndmeros reales se define una relaci6n binaria: "menor que" ex-

presada por el simbolo, <, de tal modo que se verifican los

axiomas siguientes:

di) Para cadaa@ Rybeé I se tiene una y s6lo una de las

expresiones: a<b a= b b<a

@2)} Para cadaa€ R,be€ Ryc € IR, se tiene que:

a<b V b<c implica a<c

@3) Para cada a € R, b@€@ Ryceé€é RR, se tiene que:

a<b implica a + c<b +œc

94) Para cada a € R, bE mè y c € Rh, se tiene que:

`

dificultad las relaciones ( > ) "mayor que"; ( < ) "menor o

igual que" y (> ) “mayor o igual que", en efecto, basta tomar

ia definicién siguiente:

DEF 1

a>b significa b < a a<b significa (no a > b)

a> b significa (no a < b)

Todos los axiomas precedentes, vale decir, los axiomas de ađiciồn, de multiplicaci6én, de distribu-

cién y de orden, son indudablemente muy familiares para los

j6évenes estudiantes liceanos Creemos que no ocurre lo mismo

con el llamado axioma de completitud o axioma de completividad,

que es el que realmente permite diferenciar al campo de los niéime-

ros reales de cualquier otro campo ordenado

Con el prop6ésito de presentar en forma adecuada este axioma de completitud, debemos introducir previa-

mente algunas nociones de fundamental importancia

dice acotado superiormente si existe un ntmero real bh, tal que:

x < b ¥ x Es

El aGmero b se llama cota superior del conjunto S

Como ejemplo de conjunto acotado su- periormente, podemos mencionar el conjunto IR™, de los reales negativos, que admite como cota superior el nfimero cero

De acuerdo a la definici6n anterior tenemos que si un conjunto S ce nimeros reales es acotado supe- riormente, ningtin nimero de S es mayor que la cota superior b

Ademas si b es cota superior de S, todo nGmero real mayor que b también es cota superior de S

Finalmente, conviene observar que,

hay conjuntos de nimeros reales que no son acotados superiormente

Tal cosa ocurre, por ejemplo, con el conjunto de los enteros

El nGmero a se llama cota inferior del conjunto S

El conjunto IRt de los reales posi- tivos es acotado inferiormente, ya que admite como cota infe-

rior al cero y también a cualquier nfmero negativo

DEF 4

Un conjunto S de nGmeros reales se

dice acotado,si es acotado superior e inferiormente

Como ejemplos de conjuntos acotados podemos mencionar los intervalos:

2) M es la menor cota superior de S

De esta observacién se infiere de

inmediato que si un conjunto S tiene supremo, éste debe ser

finico De todos modos para no dejar ninguna duda al respecto,

demostraremos esta afirmaci6n

N

La definici6én de supremo de un con-

junto S frecuentemente se da por una formulacién equivalente

que pasamos a indicar

TEOREMA 2

Un nimero real M es supremo de un

conjunto S de nimeros reales si y sSlo si:

1) x <M ÿ x €sS

2) ve >0 qxes tal que x >M-e_E

Sea M el supremo de un conjunto S, entonces por definicidn

de supremo, tenemos que:

1) x < M’ ¥x EéES

2) ¥ My <M 3 xes tal que x > Mo

Tomando ¢ = M - My? resulta Mo M-~ € con € > 0 y entonces

la condici6én (2) se expresa por: ˆ

—_

3) ¥e> 0 dd xes tal que x >M-e

Asi si M es supremo de S se verifican las dos condiciones in-

2) ¥ (Ð > 0 qgxes tal que x >M-e

Daremos a la condicién (2) la forma corriente que tiene en la definici6n de supremo En efecto,

tomando Mo =M- ¢€, se tiene Mo < M y entonces (2) se recice a:

1) x > ™m Vx es 2) ¥m, > @ qxes tal que x < mM,

Para indicar que m es infimo del con- junte oc, pondremos: m = inf Ss

La definicién precedente expresa que

un namero m es infimo de un conjunto S de nfmeros reales, si y sSlo si:

+4) m es cota inferior de S,

2} mes la mayor cota inferior de Ss

i

De aqui entonces que si un conjunto de nGmeros reales tiene ft-

fimo, @ste debe ser Gnico

Tal como ocurri6 con la idea de su- premo, la nocién de infimo puede expresarse también en la forma

Siguiente:

TEOREMA 3

TÔ, UÚn nữmero real m es {nfimo de un conjun-

to S de números reales si y s6lo si:

1) x >m Vxe€sS

2) ¥e> OQ yx € S tal que x<m+ec

Dm

Los intervalos semi-abiertos que se

Introducidas las nociones de finfamo y

do supremo estamos en condiciones de dar el llamado axioma de completitud, que ccmo hemos dicho es el que permite diferenciar

el campc de los reales de otros campos ordenados

Como S es acotado inferiormente, tenemos que A no es vacfo

Además, si x € S VỤ a € A, por ser a cota inferior de ŠS ocu-

rre que, a < x, para todo a @ A y entonces A es acotado supe- riocmente

Aprovechando el axioma de completitud, como A es no vacio y acotado superiormente, conclufmos que A tiene un supremo a Haremos ver que a es infimo de S Por ser a& Supremo de A tenemos que:-

1) asx< a ¥Yae€éaAs

y como todo x € S es cota superior de A ocurre que:

2) a < x ¥xeés

La expresiốn (2) nos muestra que a es cota inferior de §S

y la expresi6én (1) muestra que, toda cota inferior a de S, es menor que a, as{ tenemos que a es la mayor cota inferior de S,

o sea que a = infS

entonces existe un manero w € IR, tal que:

expresi6n que contradice la hipétesis x > w

Anãlogamente sỉ x < w, afirmamos que

x € A, pues si suponemos x € PB, la expresiốn (5) obliga que

xX > W, expresién que contradice la hipétesis x < w

Observacién

En el tecrema anterior estA implici-

ta 2a ncr.sn de cotadura de Dedekind, que tradicionalmente ha

3 .-z Sensiderada para definir la noci6n de nGmero rea!, partien-

v del congunte Q de ios racionales Pero el tesreme afirme

Gl

mucho m@s En efecto, se -=be que una cotadura en ei =ampoS đe

los racionales define un rdmero real; el teoreme de Dede}

aseqjura que una cetsdura en él campo de los reales tamp én de- fine una real v ello indudabiemente establece una not :a dife- rencia entre el conjunto de ics racionales y él conjunto dé

los reales

DEF 7

Se llama vecindad o entorno de un nắ~-

mero real a,tcdo intervalo de ia forma (a - h, a # kK conan y

k positivos

DEF 8

Se dice que un nfimero a,es punts de

acumulaci6n de un conjunto §,si en toda vecindad de a sxisren

infinitos nameros del conjunto 5S

^

Un punto de acumulaciồn đe tun conjun-

to no es necesariamente un elemento del conjunto; as{ en el

tedos los nG@meros enteros no tiene puntos de acumulaciốn E1

conjunto de los nimeros contenidos en el intervalo cerrado [0, 1: tiene a todo nimero de 61 como punto de acumulaci6n

1°- Por pequefo que sea el intervalo (m, x) siempre hay

en 61 infinitos nfGmeros de C

2°- Hay x = ¥, tal que en el intervalo (m, X) no hay in-

finitos adneros đe C

En el primer caso el teorema es in-

“ediato, pues en la hip6tesis considerada, m es un punto de a- cumulacién de C, ya que para todo h > 0, ocurre que en la ve-

cindad (m - h, m +h) hay infinitos ndmeros de C

En el segundo caso sea X, el supremo Gd] los x, puede ocurrir entonces que X = Mo bien X < M

Cuando X = M se tiene que cada x es

un X, luego para todo n&mero x del conjunto C ocurre que en el intervalo (m, x) no hay infinitos términos de C, pero como en

el intervalo (m, M) hay infinitos nfmeros de C, resulta que todo intervalo (x, M) tiene infinitos elementos del conjunto, lo

que asegura que M es punto de acumulaci6n de él

Veamos finalmente el caso X < M, de- mostraremos que en esta hipétesis,X es un punto de acumulaci6n;

en efecto sỉ no lo fuera, existiria por lo menos una vecindad (X - h, X + h) en la cual no habria infinitos nGmeros de C,

luego lo mismo ocurriria en (m, X + h), de aqui que X + h seria

un x, lo que indudablemente es absurdo por ser X el supremo de

los xX

Este teorema se conoce con el nombre

de Teorema ce Eol:ano-Weierstrass

DEY 2

Un conjunto S de nimeros reales se

dice cerrado si tcdo punto de acumulaciốn de S pertenece a S

Se llama clausura de un conjunto S

de niimeros reales al conjunto: §=S US'

2.~ Sucesiones

ER

DEF 12

$i a cada namero natural n= 1, 2,

3, « -, S@ hace corresponder un nimero ane el conjunto:

Te a,,) =a 1° a 2! a 3° a n! ¬

se llama sucesi6én

De acuerdo con esta definici6én, son

sucesiones los siguientes conjuntos de números:

Diremos que una sucesi6n (an) tiene

al nimero a como limite, si tomado un número c€ > 0 arbitrario,

existe un nGmero natural N, tal que:

Conviene observar que de acuerdo con

la teorfa de las desigualdades la expresidén lan _ a | < €, puede reemplazarse por:

a-eéec<sca< ate

n

Toda sucesi6n ta) que tenga un lỉ~-

mite a, se đirã convergente Toda sucesi6én no convergente se

đirã đivergente

DEP 15

Una sucesi6n ta) se dir& divergen-

te a infinito (~) si tomado un nGmero arbitrario G > 0 exis-

te un nGmero natural N tal que:

Si (a) converge hacia a, tomado e¢ > O arbitrario, existe

un nimero natural N, tal que:

a — £ < a <ate VWn vs d

n

asi entonces a partir del rango N adelante todos los términos

đe la sucesiốn (a) quedan en el intervalo {a - €, a+ e€) y co-

mo fuera de dicho intervalo solamente hay un nimero finito (N)

de términos de la sucesién, siempre ser& posible indicar una

cota superior y una cota inferior para el conjunto can) +

3.- Teoremas sobre limites de sucesiones

Los teoremas que veremos a continua- ciédn nos mvestran algunas de las propiedades mas’importantes

de las sucesiones convergentes

y esta expresién, de acuerdo a la definicién de limite de una

sucesién, nos expresa cue:

For hipétesis tomado € > 0, existe N, y Ng tales que:

a-~ ex an < ate paran>N,

a — £ < ân < ate para n > No

y como

ai <a xi n <a n resulta

a-e< an < ate para n> N

œ Sứ

lan -al<e para n> N

siendo N el mayor de los nfimeros Ny V N,

Las sucesiones (a,) V ta) se dicen sucesiones minorante

y mayorante respectivamente con respecto a la sucesiốn (ai)

siendo N el mayor de los ntmercs Ny V Ny

lim a_- lim b n n

(a - b_) = lim Lan + (-b_)]

HH lim a_ + lim (-b )

n n

lÌ lim a_ - lim b n n

Corolario 2

En efecto sea p un nfimero positivo tal que: q = 1 +p,

Luego

n lim q > lim

Como por hipdtesis bo es acotada existe un nimero 6 > 0

trario hay N de modo que:

lim ae bo = lim (a, - a)-b, + lim ab,

pero como la sucesi6én (a, - a) converge a 0 y la sucesi6n bd

b n b lim b n

Dm

Como (b.) tiende hacia b, existir& N tal que paran > 1:

se tendra:

Tomando arbitrariamente un nimero e« > O y sSuponiendo pri-

» ly b& <1 y como lim a/a = 1,

existira N tal que:

Por Gltimo tomemos un ntimero positivo arbitrarioe y de-

terminemos h de modo que h=eb °,

Como por hip&tesis lim an = a, tomado el nGmero natural p

tal que 1+ ph > b, hay un nGmero entero positivo N de modo que:

b Pep <b SH tbe paran >wN

de aquf, considerando las relaciones (1) y (2) se tiene:

a - &@

l1-h<b*”® < 1+h para n > N

© sea

a ~ a

Finalmente multiplicando por bỂ, queda:

Como (a) es convergente, ella es acotada, luego se puede

determinar dos nfmeros h y k para los cuales se tenga h < an < k

para todo n € N, entonces:

Ủna sucesiồn (an) se đice đecreciente sỉ:

lim — = lim

Vv BỊ V n + 1 — V n

siempre que el limite del segundo miembro exista o sea infinito,

Dm

Supongamos primeramente que (ua, +1 u) / (vn ¬ vụ)

tienda a un limite finito L; en este caso existir& N tal que,

M-e) Wega 7 My) SU 7 US Mn ga 7 Vy) (L+ €)

Reemplazando en esta desigualdad n por n +1, n+ 2, , n + (p-1)

Un + p 7 Un +p-t ° Gv, + p ~ Vn + p- 1)

y luego sumando se obtiene:

> G para m > N2

lo que demuestra el teorema, que en la literatura matematica

se conoce con el nombre de Criterio de Stolz

lim log a = log lim an

de donde pasando al antilogaritmo queda:

iim 3/n = 1; lim Afa = 1; lim/n ==

En efecto, para la primera sucesi6n tenemos:

nj n l1<¬/a < n para n > a

y como lim in = 1 resulta que lim Va = 1 Considerando

ahora el caso 0 < a < 1, poniendo b = 1/a se tiene b > 1 y

En efecto, si (a) es una tal suce- siốn, se tendr3ä que la sucesi6n (an) sera creciente y acotada

Superiormente y la existencia del lf{mite de (an) implica la exi

tencia del limite de a, = -~(-a_)

Finalmente veremos un teorema debido a Cauchy y que corrientemente se conoce con el nombre de crite-

rio general de convergencia

hacia un,.limite a, tomado ¢« > 0 arbitrario, existe N tal que:

lam ~ al < 5 para m >N

Por otra parte: