el cuerpo de los complejos

a+kOF=O+a= a0 ¥ ao € IR Contrariamente el grupoide zt, + no tiene elemento identidad o elemento neutro, pues el conjunto’Z+, de los enteros positivos, no contiene al cero, También resu

UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

EL CUERPO DE LOS

COMPLEJOS

CON 75 EJERCICIOS RESUELTOS

Ing MARIO RAUL AZOCAR

1969

UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE _-

CULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

Ing MARIO RAUL AZOCAR

1969

PROLOGO

El Algebra Abstracta, con la introduccién

de las Estructuras Algebraicas, ha exigido una actualizaci6n del tratamiento tradicional, de

muchos t6picos de Algebra Cl&sica

Las presentes notas, redactadas en este nuevo espfritu, han sido especialmente prepara- das para los alumnos de la Escuela de Ingenierfa

de la Universidad Cat6lica de Chile

Este trabajo no tiene pretensi6n ninguna

y 61 habr& cumplido su finalidad fundamental, si

resulta de alguna utilidad a esa juventud capaz, estudiosa y entusiasta, con la cual he tenido el privilegio de convivir en las aulas, durante muchos anos

Mario RaGl Az6car

Santiago, Mayo de 1969

EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS

La noci6én de cuerpo

La idea de campo o cuerpo es un concep-

to fundamentai del algebra, que trataremos de presentar me-

diante la introducci6én de algunas definiciones

DEF 1

Se llama operaci6én binaria en un conjunto no vacio:

elementos de S un finico elemento a « 8 de S

Veamos un ejemplo Tomemos el conjunto Zz” de los né-

elementos de z*, asignemos un elemento también de 2+, median-

DEF 2

un conjunto no vacio S y una operacién binaria (*) defini-

ros y consideremos en 61, las dos operaciones siguientes:

conmutativa, la segunda operaci6én tampoco lo es Asi tene-

mos:

a* p28 *a y “2° 8/6 e0

vacio S, se dice asociativa si

Haremos ver que (*) es asociativa, en efecto:

(a * B) * (a+ B + 5) *yY =œ+B + 5+ Y + 5 = atPB+y+10

Un grupoide (S, *) tiene elemento identidad para la

De acuerdo a esta definici6n es inmediato que el gru- poide (RR, +) admite al cero como elemento identidad, pues:

a+kOF=O+a= a0 ¥ ao € IR

Contrariamente el grupoide (zt, +) no tiene elemento identidad o elemento neutro, pues el conjunto’Z+, de los

enteros positivos, no contiene al cero,

También resulta inmediato que el grupoidé (3R,” ) tie~-

ne al une (1)" cdmo elemento neutro;, pues:

DEF 6

Sea (S, *) un grupoide con elemento identidad «, ‘Un

elemento a de S se dice que tiene inverso bajo la pperacién

(*) si existe en S algfiin elemento a', tal quer

El grupoide (IR, +) tiene como elemento neutro al cero

y cada elemento đe ' TR, es decir cada nimero real tiene in-

a+ (= a) = (- a) ta = 0 ¥ a @ I

identidad al uno (1) y cada elemento a # 0 tiene inverso

bajo la multiplicacién, ya que:

` - a « 2 ° #

Veamos otro ejemplo Tomemos arbitrariamente en el

Sea (S, *, °) un sistema algebraico formado por un,

enteros definamos las operaciones:

œ*# 8 =O + 26 a° 8 = 2o * 8

es necesario verificar la distributividad por la derecha

(A4) V a é€S qga'es tal que œ + œ' = €£

(M1) a ° B=8 °* œ ¥ aé€és, 8 €S

(D1) ø * (Bty) =a* Brac y¥ ¥a@S,6eS8,y ES

De acuerdo a esta definicién, tenemos que en todo cuer-

(€) para la suma y (M para la multiplicaci6n Adem&s cada

elemento de ellos, tiene inverso en cada una de las opera-

Como ejemplos de campos podemos mencionar los siste-

_racionales y WR el conjunto đe tos realeg; ` -

Terminaremos estas ideas mostrando que el sistema

(S, +, -), donde: -

~

es un campo

Comencemos verificando que la suma de dos elementos

de S es un elemento de S, en efecto si:

ot - 1 _ a bV5 _ a — b ; \s eos

5b at+b 5 a’ = 5b a? - sp a=

en efecto, tenemos que ot existe, ya que por hipétesis sien-

do a y b racionales no debe ocurrir que: a2 - 5b2 = 0, pues

si as{ sucediera llegariamos a la afirmaciồn contradictoria:

Finalmente no es dificil verificar el axioma (D1),

El Cuerpo de los Complejos

En este p&rrafo nos proponemos introducir el campo de los nGmeros complejos, cuerpo que es de fundamental importan- cia en el estudio de la matem4tica

DEF 9

Llamaremos nfimero complejo toda pareja ordenada (x, y)

de niimeros reales

parte real del complejo, el nimero real y se llamara parte

imaginaria del complejo

Llamando z al complejo (x, y), o sea si z = (x, y),

es corriente emplear la notaci6n siguiente:

DEF 11

điremos que ellos son iguales:

Z, = Zo si y solo si X, = Xo e ¥1 = Yo

Teniendo presente que la igualdad de nimeros reales

es refleja, simétrica y transitiva; de acuerdo a la defini-

cién precedente, resulta inmediato que la igualdad de naime-

ros complejos también posee estas propiedades

DEF 12

Dado un nimero complejo z= (x, y), lilamaremos

introducir dos operaciones binarias, suma (+) y producto

(M) y (D) expresadas en la definici6én de cuerpo

DEF 14

(Xa, Y2); llamaremos suma de ellos al nfimero complejo:

(3đ) z + :(~ z) = 9

El grupoide (¢, +) es conmutativo (A1), asociativo

(A2), tiene elemento neutro (A3) y cada elemento z e ¢ tiene

13

Continuando con la idea de dar al conjunto ¢ de los

nGmeros complejos la estructura de cuerpo, introduzcamos

DEF 16

Dados dos complejos z, = (Xà, Y.) y Zo = (XorYo)

llamaremos producto de ellos, al complejo:

(X2 XI TC Y2 VỊ 6 Xp VỊ + ¥y Yo) = 22° 24

14

(b) (21 + 22) r2 = (Xi Xin VỊ Y2 „ XỊ Yọ † X; VỊ)! XszVa)

El grupoide (¢ - {0} , + ) es conmutativo (M1), aso-

1

z # @ tiene un inverso z~ @ ¢ (M4)

El conjunto ¢ de los nGmeros

operaciones suma (+) y producto (-)

16

DEF 17

es también elemento de Go: En efecto, tenemos

(x4, 0) + (Xo, 0) = (x4 + Xaz 0 + 9Q) = (x, + Xo¢ 0)

(X45 0) +" (Xo, 0) = (xix+2† 0, x40 + X50) = (X)Xo- 0) Ahora como todo número z de đọ es número de ¢, nece- sariamente los elementos de đọ verifican todas las propie-

dades (A), (M) y (D) contenidas en la definici6én de cuerpo,

\

de aqui entonces que đo es un subcuerpo del cuerpo ¢ de los

nameros complejos

17

Observaci6n

Entre el cuerpo (Co, + , +) đe los complejos de la

se puede establecer una correspondencia biunivoca que haga

-gorresponder a cada elemento de đo un elemento de IR y re-

efecto, para ello basta asociar al complejo (x, 0) el nfime-

En estas condiciones los cuerpos (Coe +, °) y (Tm,

+, *) tienen iđếntico comportamiento frente a la suma y al

producto (ue+pos isomorfos) S6lo hay diferencia de nota~-

Deseosos de tener un simbolismo operatorio simple

y expedito, eliminaremos esta te6rica dualidad, tomando la

definicién siguiente:

imaginarios y llamaremos unidad imaginaria al complejo:

R es posiblé: defiiie una relaciGn de crđen, que se expresa

tes propiedades:

y s6lo una de las expresiones:

(M2) a<b a b<c => a<c

nGmeros complejos no es posible definir una relaci6n de or-

cotomfa.,

3

21,

Ash hemos establecido qua 1 < 0 implica i > 0 y esta conelu-

eién contradice el axioma (@1)

En forma eimilar se puede probar que 0 < í implica

0 > 1, de aquf entonces que el campo ¢ es un Gampo no orde- nable

MSdulo de un nimexo complejo

DEF a

Lidmase m6dulo de un némero complejo 2 # (x, y), al

némero real no negativo:

Jz| = + | x? + y?

De esta definicién resulta inmediato que:

Dado un nGmero complejo z = (x, y), 1l&mase complejo

conjugado de z, al nimero complejo z = (x, - y)

En efecto Z, ° 2 = 0 implica lZa ° z2| = 0, es

de donde Zo = 0

Teorema 14

z, + z2Ì < [z,] + |zaÌ

Volviendo a la igualdad anterior resulta

Dados los complejos z, = (X4, x2) y Z2 = (X2; Yo)

2a 1 “” Zo ¬ = Z1 4 + ( 7 Z2)

30

Forma trigonométrica de un complejo

Dado un complejo no nulo z= x + iy, teniendo pre-

x < xe + y% =r Vy xe + y% =r resulta:

expresiones que garantizan la existencia de por lo menos

= cos ¢ + = sen $

Hix

Llamaremos argumento de un n&imero complejo no nulo,

Llamaremos argumento del complejo nulo (0,0) al nG- mero > = 0

Para indicar que “ es el argumento de un complejo

z, usaremos la notaci6én: arg z = $

31

Aprovechando la nociồn de argumento, el complejo z= x + iy de médulo r = fx? + y? , se expresa por:

z= xr (cos ¢ + i sen $) férmula conocida con el nombre de forma trigonométrica del

ta x = r cos ¢, y= r sen , entonces:

z= (x, - y) = (r cos >, - r sen 6)

Teorema 25

Siz, =a cis a VỤ z2 = b cis 8, se tiene:

Dm

Puesto que z, = (a cos a, a sena) y Z5 = (b cos 8,

b sen 8) aplicando la definici6én de producto se tiene:

Z, ° 25 = (ab cos a cos 8 ~- ab sen a sen 6,

, ab cos a sen B + ab sen a cos 8) Z1 "25 = (ab cos'a + 8Ì , ab sen lạ + a)

33

zF = r (cos k ¢ + i sen k 6) Corolario 3 (Férmula de Moivre)

(cos a + i sen a)* = cos ka + isenka Esta igualdad de uso frecuente se obtiene del coro- lario anterior haciendo r = 1

arg = arg 24 = arg ^2

je |

34

Teorema 27

A/z =f (cos a7 at + i sen —

—Vz =~v/a (cos — ng — + i sen ——)

El hecho que k sea un entero cualquiera podrfa indu- cir a creer que hay tantas raices n-éximas como se desee., Haremos ver que solamente hay n raices n-ésimas distintas, que pueden obtenerse, entre otros modos, dando a k los va-

lores: 0, 1, 2, 3, «e ® e «e *`eựg (n _- 1).

donde p es un nfimero entero De esta igualdad se obtiene:

0, 1, 2, 3, (n ~ 1), la diferencia entre dos cuales-

quiera de estos nGimeros no es nunca miltiplo de n, por con-

siguiente cada uno de ellos proporciona una raiz n-&ésima

de z diferente de las otras Para valores de k mayores que

ÄVz = Afa (cos — + 1 sen —3p

Ahora esta expresi6n sera real solamente cuando

sen ey 0 Oo sea para: k=0O y k=p

5i k = 0 ei n&mero es positivo y si k = p el nfGmero es ne-

gativo, pues su argumento en este filtimo caso, es » = 1

Corolario 2

Entre las raices de indice impar de un nfmero real siempre hay una y s6lo una que es real

Si el nfimero es real positivo, s6lo habrắ rafiz real

z es real negativo su argumento es 4% = 7 y si el indice es

RJz =Afa (cos ise : + 1T + i sen + + TT) TT

te caso el argumento đe la raÏz es $ = 7, lo cual asegura

gue dicha raiz es un real negativo

37

Corolario 3

Las raices n~&ésimas de un nfimero complejo cualquie-

ra Z, pueden obtenerse multiplicando una de ellas, por ca-

da una de las rafces n-ésimas de la unidad

mas de la unidad y Zy eS una rafz n-ésima de z, los produc-

0 17 (zaw+)” = (zaw2)° # svsesse = (z5w,)” = 2

es decir son rafces n-ésimas de z, adem&s todas ellas son

son todas las rafces n-ésimas de la unidad

Refiriéndonos al caso de las rafces cfibicas de la unidad:

entonces si q < n, la raiz obviamente no puede ser primiti-

va, contrariamente si q> on, la rafz sera primitiva, pues

tendremos que

Wye Mễ, wy ¬— wo, 1

serd&n todas raices de la unidad, siendo adem&s diferentes

Supongamos primero que k y n'no son primos; entonces

tenđrần un divisor comũn d, tal que k = pd y nn = qd, en

estas condiciones, tenemos:

55

56

39

una circunferencia con centro en el origen

Soluciồn

Sean los complejos z¡ = (X‡, Xa) Y Z¿ = (X,, Yo),

entonces:

Z, 7 25 (xX, - Xa) + ily, - Y2)

Z, + 2 (5, 2-x, )+(y,7-¥, )+i i(Xy~X% 9) (yy +¥9

Z2 se desplazan sobre una misma circunferencia con centro

en el origen

Un complejo z= x + iy se mueve sobre la recta

es uno

40,

De todas sölo W, Y We son raices primitivas ya que

cional irreductible, la potencia de exponente racional de

un complejo se definir4 por:

La expresi6n precedente nos muestra que z P⁄q tiene

q valores diferentes El valor que se obtiene para k = 0

lo llamaremos valor principal

ciền geométrica; sin embargo teniendo presente las aplicacio-

nes de este concepto, indicaremos dos representaciones gr4-

ficas del número complejo, que son las que corrientemente

mas se usan

Consideremos un plano y en &1 un sistema de ejes car- tesiano ortogonal Sabemos desde la geometrfia que todo pun-

to del plano, determina con referencia al sistema de ejes

su ordenada respectivamente Reciprocamente dados dos niime-

ros reales x e y_ se podra siempre individualizar un cone

to de este plano y solamente uno, que tenga a x como abscisa

ordenada de nfmeros reales,

\

œ Ì determina un punto del plano

recipro-42

camente todo punto (x, y) del plano determina un complejo

z= (x, y)

De acuerdo a estas ideas se acostumbra a tomar como

to (x, y) del plano De aqui que trabajando con represen-

taciốn geométrica de complejos ser&n sin6énimas las expre-

rriente entonces, ser& expresar el complejo por una letra

mayfiscula, notaci6én habitual para designar puntos de un

plano

Otra representaci6n gr&fica corriente para el com-

plejo z = (x, y) es el vector del plano xy cuyas proyeccio-

nes sobre los ejes sean precisamente los nimeros x e y

Obviamente que para un complejo dado hay infinitos vectores

que cumplen tales condiciones, entonces en rigor el comple-

senta a la clase de equivalencia đe todos los vectores Cuyas

proyecciones sobre los ejes coordenados son x e y en el

orden trivial, y con sentido del origen al punto (x, y)

sabemos que 24: = (x4, Y1) Y Z2 = (Xo, Y>) son iguales

camente hablando, los vectores correspondientes son de i-

gual magnitud, direccién y sentido

Representaci6n grafica de la suma de dos complejos

A+B B = (bị; bo) = b,+ib

A+B = (a, +b, ) + 1 (a.+b.)