Giáo án toán 11 cánh diều

Kiến thức, kĩ năng: Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau: - Mô tả các phép biến đổi lượng giác cơ bản: công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tích thành tổng, công th

Toán 11 Cánh diều

Ngày soạn: / / Ngày dạy: / /

BÀI 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

I MỤC TIÊU:

1 Kiến thức, kĩ năng: Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:

- Mô tả các phép biến đổi lượng giác cơ bản: công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tích thành tổng, công thức biến đổi tổng thành tích

- Vận dụng, giải quyết một số vấn đề toán học và thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác và các phép biến đổi lượng giác

2 Năng lực

Năng lực chung:

- Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá

- Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm

- Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng

Năng lực riêng:

- Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu tìm ra mối liên hệ giữa

các đối tượng đã cho và nội dung bài học các phép biến đổi lượng giác, từ đó có thể áp dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán

- Mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề toán học: Mô tả được các dữ liệu liên

quan đến yêu cầu trong bài toán thực tiễn để lựa chọn các đối tượng cần giải quyết liên quan đến kiến thức toán học đã được học, thiết lập mối liên hệ giữa các đối tượng đó Đưa về được thành một bài toán thuộc dạng đã biết

- Giao tiếp toán học

- Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

3 Phẩm chất

- Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc

nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác

- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV

II THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

1 Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.

2 Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước ), bảng

nhóm, bút viết bảng nhóm

III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)

a) Mục tiêu:

- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học

b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.

c) Sản phẩm: HS đưa ra những nhận định ban đầu về công thức tính toán, biến đổi

chứa giá trị lượng giác

d) Tổ chức thực hiện:

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV đặt câu hỏi gợi mở:

+ Ở lớp dưới, ta đã làm quen với một số phép tính trong tập hợp số thực Chúng ta đã biết nhiều phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của số thực, nhữn công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa các lũy thừa, ví dụ: 2m+n=2m 2 n

+ Có hay không những công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa giá trị lượng giác?

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm hoàn

thành yêu cầu

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS

vào bài học mới: “Việc lấy các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã hình thành nên

những phép tính mới trong tập hợp các số thực Bài học hôm nay, chúng ta cùng đi tìm hiểu một số phép tính lượng giác.”

Bài mới: Các phép biến đổi lượng giác.

B HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

Hoạt động 1: Công thức cộng

a) Mục tiêu:

- HS phát biểu được công thức cộng

- HS vận dụng công thức cộng trong tính toán giá trị lượng giác của góc lượng giác

b) Nội dung:

HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,

thực hiện các hoạt động 1, 2, 3, Luyện tập 1, 2, 3, đọc hiểu ví dụ

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu

hỏi HS nhận biết được công thức cộng và sử dụng để tính được giá trị lượng giác của góc

d) Tổ chức thực hiện:

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi,

hoàn thành HĐ 1.

+ Tính giá trị lượng giác của các góc

theo đề bài, từ đó rút ra đẳng thức về

sin (a+b) và sin (a−b).

+ b) HS hãy nhắc lại mối quan hệ

giữa về giá trị lượng giác giữa hai

góc đối nhau?

(cos( ¿−b)=cosb; sin(¿−b)=−sin b¿¿)

- GV giới thiệu trường hợp tổng quát

với các góc lượng giác a, b, công thức

sin (a+b) và sin (a−b)có mối liên hệ

giữa với sin a, sin b, cos a, cos b

I Công thức cộng

HĐ 1: a= π6 ,b= π3

a) sin π

6= 12;cos π6=√3

2 ,

sin π3=√3

2 ;cos π3= 12 sin (a+b) =sin(π

6+ π3)=sin(π

2)=1

sin acos b+cosasin b= 12 12+√3

2 .√3

2 =1 Vậy sin (a+b)=sin a cosb+cos asin b

b) sin (a−b) =sin[a+(−b)]=sin acos(−b)+cos asin ¿¿

= sin acos b−cos asin b

+ Đây gọi chung là công thức cộng

đối với sin

- HS đọc Ví dụ 1 GV đặt câu hỏi:

+ Để tính sin 75o , ta có thể sử dụng

công thức cộng cho hai góc lượng

giác nào?

(Hai góc 45o ;30 o)

- Tương tự HS thực hiện Luyện tập 1.

+ Ta có thể sử dụng công thức cộng

cho hai góc lượng giác nào?

- HS thực hiện nhóm đôi làm HĐ 2.

+ Nhắc lại mối quan hệ về giá trị

lượng giác giữa hai góc phụ nhau, hai

góc đối nhau

+ Thực hiện theo hướng dẫn của HĐ

2, ta thu được đẳng thức nào?

(Thu được:

cos (a+b)=cosacosb – sina sinb

cos (a−b)

¿cosa cosb – sina sinb¿

- HS phát biểu công thức cộng đối với

côsin

- GV có thể giới thiệu cho HS các nhớ

nhanh công thức:

+ sin thì sin cos, cos sin Cos thì cos

cos, sin sin

+ cos trái, sin cùng (thể hiện dấu của

công thức)

Kết luận

sin (a+b)=sin acos b+cos asin b

sin (a−b)=sin acosb−cos asinb

Ví dụ 1 (SGK – tr.16)

Luyện tập 1:

sin π12=sin(π

3− π4)

¿sin π3 cos π4−cos π3sin π4

¿√6−√2

HĐ 2:

a) cos (a+b) =sin[π

2−(a+b)]= ¿

sin[ (π

2−a)−b]

¿ sin(π

2−a)cosb−cos(π

2−a)sin b

¿cosa cosb – sina sinb

b) cos (a−b) =cos[a+(−b)]

¿cosa cos (−b)– sina sin (−b)

¿cosa cosb – sina sinb

Kết luận:

cos (a+b)=cosacosb – sina sinb

cos (a−b)=cosa cosb+sina sinb

- HS đọc hiểu Ví dụ 2, trình bày lại.

- HS áp dụng thực hiện Luyện tập 2.

+ Ta có thể sử dụng công thức cộng

cho hai góc lượng giác nào?

- HS thực hiện HĐ 3 theo nhóm đôi.

GV hướng dẫn

+ Viết tan( ¿a+b)¿ theo sin( ¿a+b)¿và

cos (a+b), rồi khai triển công thức cộng

sin và côsin

+ Để xuất hiện tan a và tan b ta phải

làm thế nào? (Chia cả tử và mẫu cho

cos a cos b)

+ b) HS biến đổi theo hướng dẫn của

đề bài và sử dụng mối quan hệ với

giữa hai góc đối nhau

+ GV giới thiệu về công thức cộng đối

với tang

- HS đọc và trình bày, giải thích Ví dụ

3.

- HS thực hành Luyện tập 3.

+Ta có thể sử dụng công thức cộng

cho hai góc lượng giác nào?

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp

nhận kiến thức, hoàn thành các yêu

Ví dụ 2 (SGK – tr 17) Luyện tập 2:

cos15o=cos( ¿ 45o−30o) ¿

¿ cos 45ocos30o+sin 45osin 30o¿√6+√2

4

HĐ 3:

tan( ¿a+b)=sin (¿a+b)

cos( ¿a+b)= sin acosb+cosasin b

cosacosb−sin asin b¿

¿¿

¿

sin acosb+cos asin b cos acosb cos acosb−sin asin b cos acosb

= tan a+tan b 1−tan a tan b

b) tan (a−b) =tan[a+(−b)]= tan a+tan(−b)

1−tan a tan(−b)

= 1+tan a tanb tan a−tan b

Kết luận

tan (a+b)= tan a+tan b

1−tan a tan b

tan (a−b)= tan a−tan b 1+tan a tan b

(khi các biếu thức đều có nghĩa)

Ví dụ 3 (SGK – tr.17) Luyện tập 3

tan165∘=tan(135∘+30∘)= tan 135∘+tan30∘

1−tan135∘tan30∘

¿ −2+√3

cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình

bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung

cho bạn

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV

tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng

tâm:

+ Công thức cộng đối với sin, côsin,

tang

+ Cách đọc để nhớ được công thức

nhanh

Hoạt động 2: Công thức nhân đôi

a) Mục tiêu:

- HS phát biểu được công thức nhân đôi

- HS vận dụng công thức nhân đôi trong tính toán giá trị lượng giác của góc lượng giác

b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú ý

nghe giảng, thực hiện hoạt động 4, Luyện tập 4, 5, ví dụ

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu

hỏi HS nhận biết được công thức nhân đôi để từ đó tính giá trị lượng giác của các góc

d) Tổ chức thực hiện:

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi,

hoàn thành HĐ 4.

+ Hãy viết lại công thức cộng ở mục I,

rồi thay b = a, để thu được mối quan

II Công thức nhân đôi

HĐ 4:

+) sin 2a=sin(a+a)=sin acos a+¿cosasin a¿

¿2 sin acosa

hệ giữa sin2a và sin a, cos a.

Tương tự với các giá trị lượng giác

khác

- GV cho HS phát biểu, tổng kết lại

các công thức nhân đôi

- GV đặt câu hỏi thêm:

+ cos2a và sin2a có mối quan hệ gì?

Từ đó tính cos2a theo cos2a?

(

cos2a=cos2a−sin2a=¿ cos2a−(1−cos2a)=2cos2 a−1¿

)

+ Tương tự tính cos2a theo sin2a?

+ Từ công thức cos 2a=2cos2 a−1 hãy

tính cos 2a theo cos2a ? Tương tự với

sin 2a.

+ HS đưa ra nhận xét với

cos2a,cosa ,sina.

+ Gv nhấn mạnh: tùy vào bài toán ta

phải chọn công thức với cos2a phù

hợp

+ GV giới thiệu tên thường gọi về

công thức hạ bậc nâng cung

- HS đọc hiểu Ví dụ 4, trình bày lại

cách làm, giải thích đã sử dụng tính

chất và công thức nào

+) cos2a=cos(a+a)=cosacos a−¿sin asin a¿

= cos 2a−sin2a

+) ta n2a=tan(a+a)= tan a+tan a 1−tan a tan a=1−tan2tan a2 a

Kết luận:

sin 2a=2sin acos a cos 2a=cos2 a−sin2 a tan 2a= 2tan a

1−tan 2 a

(khi các biểu thức đều có nghĩa)

Nhận xét:



cos 2a=cos2 a−sin2 a=2 cos2 a−1=1−2sin2 a

 cos 2 a= 1+cos 2a2 ;sin2 a= 1−cos 2a2

(thường gọi là công thúc hạ bậc)

Ví dụ 4 (SGK – tr.18) Luyện tập 4:

tan a2=−2

tan a=tan(2 a2)=

2 tan(a

2) 1−tan 2(a

2)=2.(−2)1− ¿¿

- HS làm Luyện tập 4.

+ Nhận xét mối quan hệ của hai góc a2

và a, từ đó áp dụng công thức phù

hợp

- HS đọc Ví dụ 5.

+ Bài toán đã sử dụng công thức

nào?

(Công thức hạ bậc nâng cung)

- HS thực hiện Luyện tập 5.

+ Tìm góc đặc biệt liên quan đến góc

π

8?

(Góc π4)

+ Áp dụng công thức nào để tính được

sin π8, từ giá trị lượng giác của góc π4?

(công thức hạ bậc nâng cung)

+ Giá trị của sin π8 âm hay dương?Vì

sao?

+ Tương tự với việc tính cos π8

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp

nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu

hỏi, hoàn thành các yêu cầu

- GV: quan sát và trợ giúp HS

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình

bày

Ví dụ 5 (SGK – tr.18) Luyện tập 5

sin 2(π

8)=1−cos π2 4 =2−√2

4 ⇒ sin π8=√2−√2

4 (Vì sin π8>0)

cos 2(π

8)=1+cos π2 4 =2+√2

4 ⇒ cos π8=√2+√2

4 (Vì cos π8>0)

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung

cho bạn

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV

tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào

vở:

+ Công thức nhân đôi

+ Công thức hạ bậc nâng cung

Hoạt động 3: Công thức biến đổi tích thành tổng Công thúc biến đổi tổng thành

tích

a) Mục tiêu:

- HS phát biểu được công thức biến đổi tích thành tổng, công thức biến đổi tổng thành

tích

- HS vận dụng công thức biến đổi tích thành tổng, tích thành tổng trong tính toán giá trị

lượng giác của góc lượng giác

b) Nội dung:

HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,

thực hiện các hoạt động 5, 6, Luyện tập 6, 7, ví dụ

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu

hỏi

HS nhận biết công thức biến tổng thành tích, tích thành tổng và áp dụng tính giá trị

lượng giác của góc lượng giác, tính giá trị biểu thức lượng giác

d) Tổ chức thực hiện:

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm 4,

theo phương pháp khăn trải bàn làm

phiếu học tập 1:

+ GV cho HS thảo luận làm câu

1-phiếu học tập

III Công thức biến đổi tích thành tổng Kết quả phiếu học tập 1

Câu 1 a) (HĐ 5)

cos( ¿a+b)+cos(¿a−b)=(cos acosb−sin asin b)+(cos acosb+sin asin b)¿¿

¿2cosa cosb

- GV cho HS trình bày nội dung câu

1, phiếu học tập

Từ đó GV giới thiệu về công thức

biến đổi tích thành tổng

- HS đọc hiểu Ví dụ 6, trình bày đã

sử dụng công thức nào

- Áp dụng, HS làm Luyện tập 6.

+ Để tính được biểu thức B cần sử

dụng công thức nào? Phải tính

được giá trị nào?

(Sử dụng công thức cos acosb,phải

tính được cos 2a

cos( ¿a+b)−cos(¿a−b)=(cosa cosb−sin a sin b)−(cos acosb+sin asin b)¿¿

¿−2sin asin b

sin( ¿a+b)+sin(¿a−b)=(sin a cosb+cos asin b)+(sin acos b−cosasin b)¿¿

¿2 sin acosb

b)

cos acosb=1

2¿sin asin b=−12 ¿sin acos b= 12¿

Kết luận

cos acosb=1

2¿sin asin b=−12 ¿sin acos b= 12¿

Ví dụ 6 (SGK – tr.19) Luyện tập 6:

cos2a=(2

3)2

= 49=1+cos2a2 ⇒ cos2a=−1

9

cos 3a2 cos a2

¿1

2[cos(3a

2 + a2)+cos(3 a

2 − a2) ]¿1

2[cos2 a+cosa]¿185

IV Công thức biến đổi tổng thành tích Kết quả phiếu học tập:

Câu 2 (HĐ 6):

cosu+cosv=cos(¿a+b)+cos(¿a−b)=2cosacos b¿¿

cosu−cos v=cos(¿a+b)−cos(¿a−b)=−2sin asin b¿¿

sin u+sin v=sin(¿a+b)+sin(¿a−b)=2sin acosb¿¿

sin u−sin v=sin (¿a+b)−sin(¿a−b)=sin(¿b+a)+sin(¿b−a)=2sin bcos a¿¿¿¿

Mà ta có a= u+v2 ; b= u−v2 , thay vào các biểu thức trên ta có:

cosu+cosv=2cos u+v2 cos u−v2 cosu−cos v=−2sin u+v

2 sin u−v2

- HS thảo luận làm câu 2 – phiếu

học tập GV gợi ý:

+ Viết cosu+cosv theo

cos( ¿a+b)+cos(¿a−b),¿¿rồi áp

dụng công thức biến đổi tích thành

tổng viết theo cos acosb

+ Viết a theo u và v, tương tự viết b

theo u và v

Thay vào biểu thức đã có ở trên viết

tổng cosu+cosv theo tích các giá trị

lượng giác của hai góc u và v

- GV cho HS trình bày kết quả

phiếu học tập, từ đó giới thiệu công

thức biến đổi tổng thành tích

- GV có thể lưu ý mối quan hệ của

hai loại công thức: biến tổng thành

tích và tích thành tổng để HS dễ

nhớ hơn

- HS đọc, trình bày lại Ví dụ 7, giải

sin u+sin v=2 sin u+v2 cos u−v2 sin u−sin v=2 sin u−v

2 cos u+v2

Kết luận:

cosu+cosv=2cos u+v2 cos u−v2 cosu−cos v=−2sin u+v

2 sin u−v2

sin u+sin v=2sin u+v2 cos u−v2 sin u−sin v=2cos u +v

2 sin u−v2

Ví dụ 7 (SGK – tr.19) Luyện tập 7:

D= sin 7 π9 +sin π9

cos 7 π9 −cos π9

¿ 2sin 4 π9 cos π3

−2sin 4 π9 sin π3 =−

√3 3

Ví dụ 8 (SGK – tr.20)

thích công thức đã sử dụng.

- HS làm Luyện tập 7: trình bày

cách làm

- HS đọc Ví dụ 8.

+ Nêu các rút gọn biểu thức tích u.i

?

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp

nhận kiến thức, hoàn thành các yêu

cầu, thảo luận nhóm

- GV quan sát hỗ trợ

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng

trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung

cho bạn

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV

tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng

tâm:

+ Công thức biến tổng thành tích

+ Công thức biến tich thành tổng

PHIẾU HỌC TẬP Câu 1

a) (HĐ 5 – SGK tr.18) Sử dụng công thức cộng, rút gọn mỗi biểu thức sau:

cos( ¿a+b)+cos(¿a−b);cos(¿a+b)−cos(¿a−b);sin(¿a+b)+sin(¿a−b)¿¿¿¿¿¿

………

……… b) Áp dụng kết quả câu a, hãy điền vào chỗ chấm sao cho được khẳng định đúng

cos acosb=12¿sin asin b=−12 ¿sin acos b= 12¿

Câu 2 (HĐ 6 – SGK tr.19)

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và đặt a+b=u; a– b=v rồi biến đổi các biểu thức sau thành tích: cosu+cos v;cosu – cosv ;sin u+sin v;sin u –sin v.

(Gợi ý: cosu=cos(a+b);

a= u+v2 ; b= u−v2 )

………

C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.

b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập trắc nghiệm và bài 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (SGK – tr.20+21)

c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS HS vận dụng các phép biến đổi lượng giác

để tính giá trị lượng giác của góc lượng giác, tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức

d) Tổ chức thực hiện:

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS thực hiện bài trắc nghiệm

Câu 1 Giá trị của biểu thức P= sin 5π18 cos π9−sin π9cos 5π18

cos π

4cos π12−sin π4sin π12

là

2 .

Câu 2 Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A sin a+cosa=√2sin(a− π4) B sin a+cosa=√2sin(a+ π4).

C sin a+cosa=−√2sin(a− π

4). D sin a+cosa=−√2sin(a+ π

4).

Câu 3 Nếu cos (a+b) =0 thì khẳng định nào sau đây đúng?

A |sin (a+2b)|=|sin a|. B |sin (a+2b)|=|sin b|.