Toán học lớp 9, đề cương toán 9 giữa học kì 1. Đây là kiến thức đại số, chương trình sách cũ. Về chương 1: CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA 1) Định nghĩa, tính chất căn bậc hai 2) Các công thức biến đổi căn thức Cùng với đó rất nhiều ví dụ và bài tập với các dạng: Tìm điều kiện xác định, Rút gọn biểu thức ...
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 GIỮA HỌC KÌ I
Phần A- Đại số
Chương I CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA
1) Định nghĩa, tính chất căn bậc hai
a) Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.
b) Với a ³ 0 ta có x = a Û
³
a a x
x
0
2 2
c) Với hai số a và b không âm, ta có: a < b Û a b
d)
2 A neu A 0
A A
A neu A 0
³
2) Các công thức biến đổi căn thức
1 A2 A
2 AB A B (A ³ 0, B ³ 0)
3
B B (A ³ 0, B > 0) 4 A B2 A B
(B ³ 0)
5 A B A B2 (A ³ 0, B ³ 0) A B A B2 (A < 0, B ³ 0)
6
A 1 AB
B B (AB ³ 0, B ¹ 0) 7
2
C A B C
A B
A B
(A ³ 0, A ¹ B2)
8
A A B
B
B (B > 0) 9
C
A B
(A, B ³ 0, A ¹ B)
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa:
1 7
x
Giải: a 2x có nghĩa Û 2x - 1 ³ 0 Û 2x ³ 1 Û x ³1
1 2
b
1 7
x có nghĩa Û
49
0
x
x
³
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức:
a 45 20 b ( 3 5)( 3 5) 2
c
Giải: a 45 20 = 9.5 4.5 3 5 2 5 (3 2) 5 5 5
b ( 3 5)( 3 5) 2 = 32 52 2 3 5 2 0
c
2 2 3 2 2 3
d 8 2 15 =
8 2 3 5 3 2 3 5 5 ( 3 5) 3 5
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức:
a
21 3 15 3
b 5 2x 2 8x7 18x với x ³ 0
Trang 2c
a b b a
Giải:
a.Gợi ý: Phõn tớch 21 3 và 15 3 thành nhõn tử rồi rỳt gọn cho mẫu
b 5 2x 2 8x7 18x = 5 2x 2 4.2x7 9.2x 5 2x 2.2 2x7.3 2x
= 5 4 21 2x
= 22 2x
c
a b b a
=
= b b a a = b - a ( rỳt gọn tử và mẫu )
Vớ dụ 4: Giải phương trỡnh:
a 5 2x 1 21 b 4x20 3 5 x7 9x45 20
Giải:
a 5 2x 1 21
20
5
16 2
x
= 8 Vậy phương trỡnh cú 1 nghiệm x = 8
b ĐK: x + 5 ³ 0 Û x ³ -5
4x20 3 5 x 7 9x45 20 Û 4(x5) 3 5 x 7 9(x5) 20
2 x 5 3 5 x 7.3 x 5 20
(2 3 21) x 5 20
Û Û 20 x 5 20Û x Û5 1 x Û x = 1 - 5 = -4 ( thỏa ĐK )5 1
Vậy phương trỡnh cú một nghiệm x = -4
Tỡm điều kiện xỏc định: Với giỏ trị nào của x thỡ cỏc biểu thức sau đõy xỏc định:
Bài 1: Với giỏ trị nào của x thỡ cỏc biểu thức sau đõy xỏc định:
9) 2x 10) 15x 11) √ 2x+1 12) 3 6x
13)
1
2− √ x 14)
3
√x2−1 15) √ 2x2+3 16)
5
Bài 3: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau ):
Rỳt gọn biểu thức
Bài 1:
3
2
2
4
5
2
x
4
3
3
x
3
2
2
4
5
2
x
4
3
3
x
Trang 31) 2) 3)
Bài 2 Trục căn thức sau
7 3 5 11 7 3 11 3 5 11 7 3 5 11
8 3 7 11 8 3 11 3 7 11 3 11
3 5 2 2 3 2 5
2 5 3 2 4 2 3 5
g
Bài 3: Trục căn thức ở mẫu và thực hiện phép tính
2
6
j
Bài 4
7) - 8) + 9)
Giải phương trình:
Phương pháp:
A2B2 Û AB ;
A
A B Û 0 B00
A B Û ³A B0 ( ³0)
B
A B
A B2
0
³
Û
A B Û A B³0 hay A0B
B
A B Û ³A B hay A0 B
48 3
5
12 5 5 20 3 45 2 324 8 5 18
48 5 27
4
12
5 4 45 2
20
3 ( 22) 2 2 2 ( 19 3)( 193)
2 3 2
3 2 3
3 5 3
2
)
2
1
( ( 3 2)2 ( 3 1)2 ( 5 3)2 ( 5 2)2
15
2
8 8 2 15 5 2 6 8 2 15
8 3
5 2
2 3
5 3
2 4 3
2
4
Trang 4 A B Û A B hay A B
A
A B Û 0 B00
Chú ý: √A2=B |A|=B ; |A|=A khi A ≥ 0; |a|=-A khi A≤ 0.A|A|=B ; |A|=A khi A ≥ 0; |a|=-A khi A≤ 0.=B ; |A|=B ; |A|=A khi A ≥ 0; |a|=-A khi A≤ 0.A|A|=B ; |A|=A khi A ≥ 0; |a|=-A khi A≤ 0.=A khi A ≥ 0; |A|=B ; |A|=A khi A ≥ 0; |a|=-A khi A≤ 0.a|A|=B ; |A|=A khi A ≥ 0; |a|=-A khi A≤ 0.=-A khi A≤ 0.
Bài 1 Giải các phương trình sau:
Bài 2 Giải các phương trình sau:
a) (x 3)2 3 x
b) 4x2 20x25 2 x5 c) 1 12 x36x2 5
Bài 3 Giải các phương trình sau:
a) 2x5 1 x b) x2 x 3 x c) 2x2 3 4x 3 d) 2x1 x1 e) x2 x 6 x 3 f) x2 x 3x 5
Bài 4 Giải các phương trình sau:
a) x2x x b) 1 x2 x 1 c) x2 4x3 x 2
d) x21 x2 1 0 e) x2 4 x 2 0 f) 1 2 x2 x 1
Bài 5 Giải các phương trình sau:
a) x2 2x 1 x21 b) 4x2 4x 1 x 1 c) x4 2x2 1 x 1 d)
4
e) x4 8x216 2 x f) 9x26x 1 11 6 2
Bài 6 Giải các phương trình sau:
a) x3 1 x 1 b) x2 3 x 3
c) 9x2 12x4 x2 d) x2 4x4 4x2 12x9
Bài 7 Giải các phương trình sau:
a) x2 1 x 1 0 b) x2 8x16 x2 0 c) 1 x2 x 1 0
d) x2 4 x24x4 0
CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN:
A.Các bước thực hiên:
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được)
Quy đồng, gồm các bước:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng
+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung
Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng
Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên)
Rút gọn
B.Bài tập luyện tập:
5 1
2x x 5 3 9(x 1) 21 2x 50 0
0 12
3 2
x
6
4x2 4(1 x)2 60 3 x12 3 3 2x 2
Trang 5Bài 1 Cho biểu thức : A = với ( x >0 và x ≠ 1)
a) Rút gọn biểu thức A; b) Tính giá trị của biểu thức A tại
Bài 2 Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 )
a) Rút gọn biểu thức P; b)Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1
Bài 3: Cho biểu thức A =
a)Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa; b)Rút gọn biểu thức A;
c)Với giá trị nào của x thì A< -1
Bài 4 : Cho biểu thức : B =
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B; b) Tính giá trị của B với x =3;
c) Tìm giá trị của x để
Bài 5: Cho biểu thức : P =
a) Tìm TXĐ; b) Rút gọn P; c) Tìm x để P = 2
Bài 6: Cho biểu thức: Q = (
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q; b) Tìm a để Q dương;
c) Tính giá trị của biểu thức biết a = 9- 4
Bài 7 : Cho biểu thức : K =
a) Tìm x để K có nghĩa; b) Rút gọn K; c) Tìm x khi K= ; d) Tìm giá trị lớn nhất của K
Bài 8 : Cho biểu thức: G=
a)Xác định x để G tồn tại; b)Rút gọn biểu thức G;
c)Tính giá trị của G khi x = 0,16; d)Tìm gía trị lớn nhất của G;
e)Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên;
f)Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dương;
g)Tìm x để G nhận giá trị âm;
a)Rút gọn biểu thức trên; b)Chứng minh rằng P > 0 với mọi x≥ 0 và x ≠ 1
Bài 10 : cho biểu thức Q=
a)Tìm a dể Q tồn tại; b)Chứng minh rằng Q không phụ thuộc vào giá trị của a
Bài 11: Cho biểu thức :
2 1
3 2 2
x
1 2
x
x x
1 2 2 1
2
1
A
x
x x
x x
x
4
5 2 2
2 2 1
) 1
2 2
1 (
: )
1 1
1
a a
a a
a
5
3 x
3 x 2 x 1
x 3 3 x 2 x
11 x 15
2 1
2
1 x x 1 x 2 x
2 x 1
x
2
2
1 x : x 1
1 1 x x
x 1
x x
2
1 1 a 1
1 a a 2 2
1 a
2 2
1
2 2
Trang 6a)Rút gọn A b)Tìm các số nguyên dương x để y = 625 và A < 0,2
1)Rút gọn P; 2)Tìm a để P =-3; 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố
Phần B - HÌNH HỌC
CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Định lí Pi-ta-go: BC2AB2AC2
AB2 BC BH ; AC2 BC CH AH2BH CH
AB AC BC AH AH2 AB2 AC2
Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm, BC = 5cm AH là đường cao Tính BH, CH, AC và AH.
HD:
BH 1,8cm , CH 3,2cm , AC4cm, AH 2,4cm
Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 10cm, AB = 8cm AH là đường cao Tính BC, BH, CH, AH.
HD:
BC=2√41; BH=32√41/41 ; CH=50√41/41; AH=40√41/41.
Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 12cm Tính chiều dài hai cạnh góc vuông biết
2 3
AB AC
HD: AB 24 13 ( )cm
13
, AC 36 13 ( )cm
13
.
Bài 4 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Biết BH = 10cm, CH = 42 cm Tính BC, AH, AB và AC.
HD:
BC52cm , AH2 105cm , AB2 130cm , AC2 546cm
Bài 5 Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm và góc A là 600a) Tính cạnh BC. b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD Tính MN
Bài 6 Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10cm, góc B bằng 600 và góc A là 900a) Tính đường chéo BD b) Tính các khoảng cách BH và DK từ B và D đến AC c)Tính HK d) Vẽ BE ^ DC kéo dài Tính BE,
CE và DC
Bài 7 Cho đoạn thẳng AB = 2a Từ trung điểm O của AB vẽ tia Ox ^ AB Trên Ox, lấy điểm D sao cho
a OD
2
Từ
B kẻ BC vuông góc với đường thẳng AD
a)TínhAD, AC và BC theo a b) Kéo dài
DO một đoạn OE = a Chứng minh bốn điểm A, B, C và E cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 8 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết
AB AC
20 21
và AH = 420 Tính chu vi tam giác ABC
Bài 9 Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O Biết
AB2 13,OA , tính diện tích hình thang ABCD.6
x
x x
x y xy
x y
xy
x
1 2
2
2 2
3
5 a 2 1 : a 16
2 a 4 4 a
a 4
a a 3
Trang 7II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN
1 Định nghĩa: Cho tam giác vuơng cĩ gĩc nhọn .
cạnh đối cạnh huyền
sin a
;
cạnh kề cạnh huyền
cos a
;
cạnh đối cạnh kề
tan a
;
cạnh kề cạnh đối
cot a
Chú ý:
Cho gĩc nhọn Ta cĩ: 0 sin 1; 0 cos 1
Cho 2 gĩc nhọn a, b Nếu sina sinb (hoặc cos cos, hoặc tana tanb , hoặc cota cotb ) thì a b .
2 Tỉ số lượng giác của hai gĩc phụ nhau:
Nếu hai gĩc phụ nhau thì sin gĩc này bằng cơsin gĩc kia, tang gĩc này bằng cotang gĩc kia.
Sin (90 0 -a) = cosa tan(90 0 -a)=cotana
cos(90 0 -a)=sina cotan(90 0 -a)=tana
Ví dụ: sin 25 0 =cos65 0 ; tan20 0 =cotan70 0 …
3 Tỉ số lượng giác của các gĩc đặc biệt:
4 Một số hệ thức lượng giác
sin
tan
cos
;
cos cot
sin
; tan cota a 1;
sin cos 1;
2
2
1
1 tan
cos
;
2
2
1
1 cot
sin
a
a
5 Cơng thức tính diện tích tam giác:
S ∆ ABC=1
2ab sin C=
1
2bc sin A=
1
2ac sin B= P.r = abc
4 R
R: Bán kính đường trịn ngoại tiếp, r: Bán kính đường trịn nội tiếp
( Diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh kề với sin gĩc xen giữa hai cạnh đĩ)
Trong tam giác bất kì:
b
sin B=
c
sin C=
a
sin A=2 R
Với a là cạnh đối diện gĩc A, b là cạnh đối diện gĩc B, c là cạnh đối diện gĩc C
BÀI TẬP:
Bài 1 Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH Biết BH = 64cm và CH = 81cm Tính các cạnh và gĩc tam giác
ABC
HD: AB 2 =BH.BC nên AB=96,3cm; AC 2 =HC.BC nên AC=108,4cm
CosC= AC
BC=
108,4
145 =0,75 nên ^C=410; ^B=490.
Bài 2 Cho tam giác ABC vuơng tại A Tìm các tỉ số lượng giác của gĩc B khi:
a
TS LG
0
2
2 2
1 2
3
Trang 8a) BC = 5cm, AB = 3cm b) BC = 13 cm, AC = 12 cm c) AC= 4cm, AB=3cm.
HD:
a) sinB0,8; cosB0,6
Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 10cm và AC = 15cm
a) Tính góc B b) Phân giác trong góc B cắt AC tại I Tính AI
c) Vẽ AH ^ BI tại H Tính AH
HD:
a, tanB= AC
AB=
15
10 nên ^ B=560.
b, tan^ ABI= AI
AB nên AI=AB tan^ ABI=10.tan28 0 =5,3cm
c, sin^ ABH = AH
AB nên AH=AB.sin^ ABH = 10.sin28 0 =4,7cm.
Bài 4 Tính giá trị các biểu thức sau:
a) cos 152 0cos 252 0cos 352 0cos 452 0cos 552 0cos 652 0cos 752 0
b) sin 102 0 sin 202 0sin 302 0 sin 402 0 sin 502 0 sin 702 0sin 802 0
c) sin150sin 750 cos150 cos750sin300
d) sin350sin670 cos230 cos550
e) cos 202 0cos 402 0cos 502 0cos 702 0
f) sin200 tan 400cot 500 cos700
HD: Dùng công thức: sin(90 0 -a)=cosa; tan(90 0 -a)=cota.
a)
cos2150+cos2750
¿+(cos2250
+cos2650)+(cos2350
+cos2550)+cos2450=(cos¿¿2 15¿¿0+sin2150
)+(cos2250+sin2250)+(cos2350+sin2350)+cos2450=1+1+1+(√2
2 )
2
=¿ ¿ ¿
b)
3
4
Bài 5 Cho biết một tỉ số lượng giác của góc nhọn a, tính các tỉ số lượng giác còn lại của :
a) sina 0,8 b) cos 0,6 c) tana 3 d) cota 2
Bài 6 Rút gọn các biểu thức sau:
a) (1 cos )(1 cos ) b) 1 sin 2cos2 c) sin sin cos 2
d) sin4cos4 2sin2cos2 e) tan2 sin2atan2 f) cos2 tan2cos2
Bài 7 Chứng minh các hệ thức sau:
a)
cos 1 sin
1 sin cos
(sin cos ) (sin cos ) 4
sin cos
Bài 8 Cho tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C
a) Chứng minh:
sin sin sin b) Có thể xảy ra đẳng thức sinAsinBsinC không?
c) Chứng minh: S ∆ ABC=1
2ab sin C=
1
2bc sin A=
1
2ac sin B ( Diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh kề
với sin góc xen giữa hai cạnh đó)
III MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c.
b a sinB a cosC ; c a sinC a cosB
b c tanB c cotC ; c b tanC b cotB
Trang 9BÀI TẬP:
Bài 1 Giải tam giác vuông ABC, biết góc A=900 và: a)
a15 ;cm b10cm b) b12 ;cm c7cm
Bài 2 Cho tam giác ABC có góc B=600, C=500, AC=35cm Tính diện tích tam giác ABC
Bài 3 Cho tứ giác ABCD có góc A=D=900, C=400, AB=4cm, AD=3cm Tính diện tích tứ giác
Bài 4 Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O Cho biết AC4 ,cm BD5cm, góc AOB =500 Tính diện tích tứ giác ABCD
Bài 5 Chứng minh rằng:
Bài 6 a) Diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường
thẳng chứa hai cạnh ấy b) Diện tích của một hình bình hành bằng tích của hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Bài 1 Cho tam giác ABC có AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m a) Chứng minh
tam giác ABC vuông b) Tính sin ,sin B C
Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD Cho biết HB = 112, HC = 63 a)
Tính độ dài AH b) Tính độ dài AD
Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết AH = 5, CH = 6 a) Tính AB, AC,
BC, BH b) Tính diện tích tam giác ABC
Bài 4 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết AH = 16, BH = 25 a) Tính AB,
AC, BC, CH b) Tính diện tích tam giác ABC
Bài 5 Cho hình thang ABCD có góc A=D=900 và hai đường chéo vuông góc với nhau tại O a) Chứng minh hình thang này có chiều cao bằng trung bình nhân của hai đáy b) Cho AB = 9,
CD = 16 Tính diện tích hình thang ABCD c) Tính độ dài các đoạn thẳng OA,
OB, OC, OD
Bài 6 Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 10, CD = 27, AC = 12, BD = 35.
Bài 7 Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120cm Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17 a) Chứng
minh rằng tam giác đó là một tam giác vuông b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh
Bài 8 Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH Biết góc A=480, AH=13cm Tinh chu vi DABC
Bài 9 Cho ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC
a) Chứng minh
DE DB
DB DC b) Chứng minh BDE đồng dạng CDB c) Tính tổng góc (AEB+BCD)
Bài 10 Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC
Biết AD = 5a, AC = 12a
a) Tính
sin cos
sin cos
b) Tính diện tích hình thang ABCD
Bài 12 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D là điểm đối xứng với A qua điểm B Trên tia đối của
tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA Gọi I là hình chiếu của D trên HE a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm
b) Tính tan ^IED ; tan ^ HEC c) Chứng minh ^IED=^ HEC
d) Chứng minh: DE ^EC
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h Chứng minh rằng tam
giác có các cạnh a h b c h ; ; là một tam giác vuông
Bài 13 Cho tam giác nhọn ABC, diện tích bằng 1 Vẽ ba đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng:
a) S AEF S BFD S CDE cos2Acos2Bcos2C
b) S DEF sin2A cos2B cos2C
Bài 14 Giải tam giác ABC, biết:
a) ^A=900;BC=10 cm ; ^B=750 b) ^A=1200; AB= AC=6 cm
Trang 10c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền m a 5
, đường cao AH = 4
d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền m a 5
, một góc nhọn bằng 470.
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H
trên cạnh AB và AC
a) Giải tam giác vuông ABC b) Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH
c) Tính: EA.EB + AF.FC