Chương 3: cơ cở điều khiển tự động

‘ Khái niệm ổn định ‘ Tiêu chuẩn ổn định đại số Ž Điều kiện cần Ž Tiêu chuẩn Routh Ž Tiêu chuẩn Hurwitz ‘ Phương pháp quỹ đạo nghiệm số QĐNS Ž Khái niệm về QĐNS Ž Phương pháp vẽ QĐNS Ž X

CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Giảng viên: TS Huỳnh Thái Hoàng Bộ môn Điều Khiển Tự Động

Khoa Điện – Điện Tử Đại học Bách Khoa TP.HCM Email: hthoang@hcmut.edu.vn Homepage: www2.hcmut.edu.vn/~hthoang/

Môn học

KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

Chương 3

‘ Khái niệm ổn định

‘ Tiêu chuẩn ổn định đại số

Ž Điều kiện cần

Ž Tiêu chuẩn Routh

Ž Tiêu chuẩn Hurwitz

‘ Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Ž Khái niệm về QĐNS

Ž Phương pháp vẽ QĐNS

Ž Xét ổn định dùng QĐNS

‘ Tiêu chuẩn ổn định tần số

Ž Khái niệm về đặc tính tần số

Ž Đặc tính tần số của các khâu cơ bản

Ž Đặc tính tần số của hệ thống tự động

Ž Tiêu chuẩn ổn định Bode

Ž Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Nội dung chương 3

Khái niệm ổn định

Khái niệm ổn định

Định nghĩa ổn định BIBO

Hệ thống

‘ Hệ thống được gọi là ổn định BIBO (Bounded Input Bounded Output) nếu đáp ứng của hệ bị chặn khi tín hiệu vào bị chặn

‘ Cho hệ thống tự động có hàm truyền là:

Khái niệm ổn định

Cực và zero

n n

n

m m

a s

a s

a s

a

b s b

s b s

b s

R

s

C s

G

++

++

++

0

1

1 1

0)

(

)

()

(

KK

n n

n

s a s

1 0

)

m m

m

s b s

1 0

)

tử số hàm truyền

‘ Zero: là nghiệm của tử số hàm truyền, tức là nghiệm của phương trình B(s) = 0 Do B(s) bậc m nên hệ thống có m zero ký hiệu là z i,

i =1,2,…m

‘ Cực: (Pole) là nghiệm của mẫu số hàm truyền, tức là nghiệm của phương trình A(s) = 0 Do A(s) bậc n nên hệ thống có n cực ký hiệu là p i , i =1,2,…m

Khái niệm ổn định

‘ Giản đồ cực – zero là đồ thị biểu diễn vị trí các cực và các zero của hệ thống trong mặt phẳng phức

Giản đồ cực - zero

Khái niệm ổn định

‘ Tính ổn định của hệ thống phụ thuộc vào vị trí các cực

‘ Hệ thống có tất cả các cực có phần thực âm (có tất cả các cực đều nằm bên trái mặt phẳng phức): hệ thống ổn định

‘ Hệ thống có cực có phần thực bằng 0 (nằm trên trục ảo), các cực còn lại có phần thực bằng âm: hệ thống ở biên giới ổn định

‘ Hệ thống có ít nhất một cực có phần thực dương (có ít nhất một cực nằm bên phải mặt phẳng phức): hệ thống không ổn định

Điều kiện ổn định

Khái niệm ổn định

‘ Phương trình đặc trưng: phương trình A(s) = 0

‘ Đa thức đặc trưng: đa thức A(s)

Phương trình đặc trưng (PTĐT)

‘ Chú ý:

0)

()(

(

)()

()

(

t t

c

t r t

t

Dx

B Ax

x&

Phương trình đặc trưng

det s I − A =

Tiêu chuẩn ổn định đại số

Ž Không ổn định

‘ Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải khác 0 và cùng dấu

‘ Thí dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng:

Tiêu chuẩn ổn định đại số

Điều kiện cần

01

25

4 + s + s + s + =

s

‘ Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Qui tắc thành lập bảng Routh

0

1

1 1

0s n + a s n− + + a n− s + a n =

‘ Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo qui tắc:

Ž Bảng Routh có n+1 hàng

Ž Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẳn

Ž Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẻ

Ž Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh (i ≥ 3) được tính theo công thức:

1 , 1 1

−

= i i

c

c

α

với

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Dạng bảng Routh

‘ Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên phải mặt phẳng phức

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Phát biểu tiêu chuẩn

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

‘ Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:

Thí dụ 1

01

25

4 + s + s + s + =

s

‘ Giải: Bảng Routh

‘ Kết luận: Hệ thống ổn định do tất cả các phần tử ở cột 1 bảng Routh đều dương

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

‘ Xét tính ổn định của hệ thống có sơ đồ khối:

Thí dụ 2

‘ Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là:

) 5 )(

3 (

50 )

+ + +

=

s s

s s

s G

2

1 )

0 )

( ).

(

1 + G s H s =

0 )

2 (

1

) 5 )(

3 (

50

+ +

+ +

+

s s

s s

s

0 50

) 2 )(

5 )(

3 ( s + s2 + s + s + + =

s

0 50

30 31

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Thí dụ 2 (tt)

‘ Bảng Routh

‘ Kết luận: Hệ thống không ổn định do tất cả các phần tử ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

‘ Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn định:

1 (

)

+ +

+

=

s s

s s

K s

G

0)

(

1+ G s =

0)

2)(

1(

++

+

+

s s

s s

K

02

3

4 + s + s + s + K =

s

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

0 7

9 2

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Trường hợp đặc biệt 1

‘ Nếu bảng Routh có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0, các hệ số còn lại của hàng đó khác 0 thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi số ε dương nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

‘ Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:

0 3

8 4

2 3 2

4 + s + s + s + =

s

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Trường hợp đặc biệt 2

‘ Nếu bảng Routh có tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0:

Ž Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàng trước hàng có tất cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là A0(s).

Ž Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có các hệ số chính là các hệ số của đa thức dA0(s)/ds, sau đó quá trình tính toán tiếp tục

‘ Chú ý: Nghiệm của đa thức phụ A0(s) cũng chính là nghiệm của

phương trình đặc trưng

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

‘ Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:

Thí dụ 5

0 4 7

8 8

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Ž Phương trình đặc tính có 2 nghiệm nằm trên trục ảo

Ž Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 – 2 = 3

Hệ thống ở biên giới ổn định

4 4

⇒

0 4 4

)

0 s = s + =

‘ Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz

Qui tắc thành lập ma trận Hurwitz

0

1

1 1

0s n + a s n− + + a n− s + a n =

‘ Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo qui tắc:

Ž Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n×n

Ž Đường chéo của ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến a n

Ž Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo

Ž Hàng chẳn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số chẳn

theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz

Dạng ma trận Hurwitz

a

a a

a

a a

a a

a a

a a

K K

K K

M M

M M

M

K K K K

0

0 0

0 0

0 0

4 2

0

5 3

1

6 4

2 0

7 5

3 1

Phát biểu tiêu chuẩn

‘ Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz

Thí dụ 1

‘ Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:

0 2 3

0 3 1

0 2 4 0

0 0

3 1

2 0

3 1

a a

a a

a a

1 3

4 3

1

2 4

2 0

a a

20 10

2 3

1

2

4 2 0

0

0

2 0

3

1 3 3

1

2 0

3 1

∆

a a

a

a a a

a

a a

a a

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz

Các hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz

‘ Hệ bậc 2 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện:

2 , 0

,0

3 0 2

1a a a a

4,0

,0

4

2 1 3

2 0 3

2 1

3 0 2

1

a a a

a a

a a

a a a

a

i

a i

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Định nghĩa

‘ Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 → ∞

‘ Thí dụ: QĐNS của hệ thống có PTĐT có dạng

2 + s + K =

s

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Qui tắc vẽ QĐNS

‘ Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương trình đặc trưng về dạng:

0)

s

N K

)(

)

()

(

0

s D

s

N K s

Điều

độ biên kiện

Điều

)12

()

(

1

G

s G

0 )

(

1 + G0 s =Gọi n là số cực của G0(s) , m là số zero của G0(s)

Đặt:

(1)

(1) ⇔

⇔

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Qui tắc vẽ QĐNS

‘ Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương trình đặc tính = số cực của G0(s) = n

‘ Qui tắc 2:

Ž Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của G0(s)

Ž Khi K tiến đến +∞ : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến

m zero của G0(s), n−m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm cận xác định bởi qui tắc 5 và qui tắc 6

‘ Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực

‘ Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nó là một số lẻ

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Qui tắc vẽ QĐNS (tt)

‘ Qui tắc 7: : Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằm

trên trục thực và là nghiệm của phương trình:

0

=

ds dK

‘ Qui tắc 6: : Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A

có tọa độ xác định bởi:

m n

z p

m n

và các zero của G0(s) )

‘ Qui tắc 5: : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm

số với trục thực xác định bởi :

m n

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Qui tắc vẽ QĐNS (tt)

‘ Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể

xác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz hoặc thay

s=jω vào phương trình đặc trưng

‘ Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức p j

được xác định bởi:

j i

180

θ

Dạng hình học của công thức trên là:

θj = 1800 + (∑góc từ các zero đến cực p j )

− (∑góc từ các cực còn lại đến cực p j )

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

‘ Giải:

‘ Phương trình đặc trưng của hệ thống:

0)

3)(

2(

++

+

s s

2(

)

(

++

=

s s

s

K s

G

‘ Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí dụ 1 (tt)

‘ Tiệm cận:

1)(

)1(

3

0)(

3

0

3

)12

()

12

(

3 2 1

-l l

m n

l

π α

π α

π α

π

π α

3

50

3

0)]

3()2(0[

‘ Điểm tách nhập:

(1) ⇔ K = −s(s + 2)(s + 3) = −(s3 + 5s2 + 6s)

)610

0

)(

549

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

1a a a

a

K

Thí dụ 1 (tt)

‘ Giao điểm của QĐNS với trục ảo:

Điều kiện ổn định:

65

3 2 1

j s

j s

s

⇔

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

−

=+

−

05

6

K

ω

⇔

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

(

1+ G s =

‘ Các zero: không có

)208

(

)

++

=

s s

s

K s

G

)208

(

++

+

s s

s

K

‘ Các cực: p1 = 0 p2,3 = −4 ± j2

208

(

++

+

s s

)1(

3

0)(

3

0

3

)12

()

12

(

3 2 1

-l l

m n

l

π α

π α

π α

π

π α

3

8 0

3

) 0 ( )]

2 4

( )

2 4

( 0 [

33

3

1

s s

(hai điểm tách nhập)

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

(20)

(8)

−

=+

−

020

208

(

++

+

s s

s

K

j i

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

‘ Giải:

‘ Phương trình đặc trưng của hệ thống:

0)

(

)208

)(

3(

)1

(

++

+

++

s s

s s

s K

Thí dụ 3

‘ Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞

)208

)(

3(

)1

()

++

+

+

=

s s

s s

s

K s

G

‘ Các cực: p1 = 0 p2 = − 3 p3,4 = − 4 ± j 2

‘ Các zero: z = − 1

208

)(

3(

)1

(

++

+

++

s s

s s

s K

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí dụ 3 (tt)

‘ Tiệm cận:

‘ Điểm tách nhập:

1) (

) 1 (

3

0) (

3

1

4

) 1 2

( )

1 2

(

3 2 1

-l l

m n

l

πα

πα

πα

π

πα

3

10 1

4

) 1 ( )]

2 4

( ) 2 4

( ) 3 ( 0 [ zero

− +

(1) ⇔

) 1 (

) 20 8

s

s

) 1 (

60 88

77 26

3

+

+ +

s

s ds

điểm tách nhập)

, 0

05 , 1 67

, 3

4 , 3

2 , 1

j s

j s

⇔

208

)(

3(

)1

(

++

+

++

s s

s s

s K

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí dụ 3 (tt)

‘ Giao điểm của QĐNS với trục ảo:

(1) ⇔ s4 + 11s3 + 44s2 + ( 60 + K)s + K = 0 (2) Thay s=jω vào phương trình (2):

0 )

60 ( 44

+

−

= +

−

0 )

60 ( 11

0

44

3

2 4

ωω

ω

ω

K K

893 ,

314 ,

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

)906

,1164

,153(

3,146

=

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

−j5,893

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí dụ 4

‘ Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ khối như sau:

)39

(

10)

++

=

s s

s G

s

K K

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

()(

1+ G C s G s =

(1)

0)

3)(

9(

10

++

+

s s

s

K P

⇔

03

9

107

s

K P

⇔

‘ Các cực: p1 = − 9 p2 = + j 3 p3 = − j 3

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí dụ 4 (tt)

‘ Tiệm cận:

‘ Điểm tách nhập:

1) (l

2

/

0) (l

2

/ 1

3

) 1 2

( )

1 2

π

m n

3

)0()]

3(

)3(

9[

3 2 1

s s

s

⇔

QĐNS có hai điểm tách nhập trùng nhau tại −3

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

)arg(

9

390

3arg(

))9(3[arg(

)03

arg(

=

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí dụ 4 (tt)

‘ Khi K I =2.7, QĐNS của

hệ thống nằm hoàn

toàn bên trái mặt phẳng

phức khi K P =0→+∞,

do đó hệ thống ổn định

khi K I =2.7, K P =270

Tieâu chuaån oån ñònh taàn soá

Tiêu chuẩn ổn định tần số

Khái niệm đặc tính tần số

‘ Hãy quan sát đáp ứng của hệ thống tuyến tính ở trạng thái xác lập khi tín hiệu vào là tín hiệu hình sin

Tiêu chuẩn ổn định tần số

Khái niệm đặc tính tần số

‘ Hệ thống tuyến tính: khi tín hiệu vào là tín hiệu hình sin thì ở

trạng thái xác lập tín hiệu ra cũng là tín hiệu hình sin cùng tần sốvới tín hiệu vào, khác biên độ và pha

‘ Định nghĩa: Đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra

ở trạng thái xác lập và tín hiệu vào hình sin

)(

j C

=sốtầntính

Đặc

Người ta chứng minh được:

)(

Đặc

Tiêu chuẩn ổn định tần số

Đáp ứng biên độ – Đáp ứng pha

‘ Tổng quát G(jω) là một hàm phức nên có thể biểu diễn dưới dạng đại số hoặc dạng cực:

) (

)

()

()

()

( jω P ω jQ ω M ω e jϕ ω

Trong đó:

)()

()

()

)

()

()

ω

ω ω

ω

ϕ

P

Q tg

j

‘ Ý nghĩa vật lý:

Ž Đáp ứng biên độ cho biết tỉ lệ về biên độ (hệ số khuếch đại) giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số

Ž Đáp ứng pha cho biết độ lệch pha giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số

Tiêu chuẩn ổn định tần số

Biểu đồ Bode

Ž Biểu đồ Bode về pha: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa đáp ứng pha ϕ(ω) theo tần số ω

Ž Biểu đồ Bode về biên độ: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa logarith của đáp ứng biên độ L(ω) theo tần số ω

)(lg

20)

‘ Biểu đồ Bode: là hình vẽ gồm 2 thành phần:

Cả hai đồ thị trên đều được vẽ trong hệ tọa độ vuông góc

với trục hoành ω được chia theo thang logarith cơ số 10

Tiêu chuẩn ổn định tần số

0 )

( c =

L ω

rad )

Biểu đồ Bode

) ( ω−π

−

= L

GM

)(

Φ

Tiêu chuẩn ổn định tần số

Các thông số quan trọng của đặc tính tần số

‘ Tần số cắt biên (ωc): là tần số mà tại đó biên độ của đặc tính tần số bằng 1 (hay bằng 0 dB)

1)

(ω−π = −

‘ Độ dự trữ biên (GM – Gain Margin):

)(

1800

Φ

Tiêu chuẩn ổn định tần số

‘ Hàm truyền:

‘ Đặc tính tần số:

Ž Biên độ:

K s

G( ) =

K j

G( ω) =

K

M(ω) = L(ω) = 20lgK

0)

Tiêu chuẩn ổn định tần số

Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tỉ lệ

Tieâu chuaån oån ñònh taàn soá

Tiêu chuẩn ổn định tần số

Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tích phân lý tưởng

Tiêu chuẩn ổn định tần số

‘ Hàm truyền:

‘ Đặc tính tần số:

Ž Biên độ:

s s

Tiêu chuẩn ổn định tần số

Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu vi phân lý tưởng

Tiêu chuẩn ổn định tần số

)(

)1

(1

1)

(

ω

ωω

ω

T

Tj

K Tj

=

2 21

1)

‘ Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ:

Ž : đường thẳng nằm ngang trùng trục hoành

Ž : đường thẳng có độ dốc −20dB/dec

Tiêu chuẩn ổn định tần số

Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu quán tính bậc 1

tần số gãy

Tiêu chuẩn ổn định tần số

‘ Hàm truyền:

‘ Đặc tính tần số:

Ž Biên độ:

1)

(s = Ts +

G

)(

( jω = Tjω +

G

2 21

)

‘ Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ:

Ž : đường thẳng nằm ngang trùng trục hoành

Ž : đường thẳng có độ dốc +20dB/dec

Tiêu chuẩn ổn định tần số

Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu sớm pha bậc 1

tần số gãy

Tiêu chuẩn ổn định tần số

‘ Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ:

Ž : đường thẳng nằm ngang trùng trục hoành

: đường thẳng có độ dốc −40dB/dec

T

/1

<

ω

T

/1

>

ω

12

1)

++

=

Ts s

1)

++

−

=

ωξ

ω

ω

Tj T

j G

2 2 2 2

2

1(

1)

(

ωξ

ω

ω

T T

2

1(lg20)

(

ω

ω

ξω

ϕ

T T tg

Tiêu chuẩn ổn định tần số

Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu dao động bậc 2

tần số gãy

Tiêu chuẩn ổn định tần số

‘ Hàm truyền:

‘ Đặc tính tần số:

Ž Biên độ:

Ts e s

G( ) = −

ωω