Giải tích (tập iii) phần 2

Nếu trong quá trình chia nhò các miền khi AT -»0mà tổng tích phân s n { f , T, Pị tương ứng đều dần về một giới Khái niệm vẽ diện tích cạa một miền sẽ được đề cập một cách chính xác ờ p

Chương lị

T Í C H P H Â N B Ộ I 14.1 Tích phân hai lớp

14.1.1 Đinh nghĩa tích phản hai lớp

Giả sử V c Ét2 là một tập mở trong mặt phang, giới nội và liên

thông (xem 6.1.1.3 và 6.1.5.2) Ta gọi nó là một miền V

Gọi r là biên cạa V và ký hiệu miền V đóng là V = V u r Giả

sử hàm Ị{x,ỳ) là một hàm xác định trên V Ta coi V là một miền có

diện tích1'

Ta chia V ra làm một số hữu hạn các miền con tùy ý Ơ1,Ơ2, ,ơ„

và giả sử chúng có diện tích Aữi,Aơ2,Aơn Ta ký hiệu T là phép

chia (phép phân hoạch) nói trên Gọi ÕT,Ỡ2, ,ỠỊT là các miền con đóng

nói trên

Trong mỗi Ỡ7, ta lấy một điểm tùy ý Pị và thiết lập tổng

rĩ Sn(f,T,Pi) = J2ỉ(Pi)^i- (14.1.1.1)

i=l

Tổng này phụ thuộc hàm S(x,y), phép phân hoạch T, phép chọn

các điểm Pị 6 ƠI và được gọi là tổng tích phân cùa hàm f(x, ỳ) ứng với

phép phân hoạch T và phép chọn các điểm

Ta hình dung các phép phân hoạch T

nhỏ dần sao cho A(T) -> 0, điều đó có Hình lị Ì

nghĩa là mọi miền con ơi nhỏ dần về không í/ỉeo mọi phía, do đó số các

miền con tăng lên vô hạn Nếu trong quá trình chia nhò các miền khi

A(T) -»0mà tổng tích phân s n { f , T, Pị) tương ứng đều dần về một giới

Khái niệm vẽ diện tích cạa một miền sẽ được đề cập một cách chính xác ờ phần

đọc thêm (xem 14.3.1)

72 Chương lị- Tích j,hnỊỊjộị_ hạn / hữu hạn, duy nhất , không phụ thuộc vào rái phép phân IIOÍ.K II T

và các phép chọn các điểm p, 6 Ỡ7 thì / đưực gọi là tích phàn hai lớp cùa f ( j ' , ụ) lẩy trên miên T> (hoặc T>)

li , Hin S„(f,T,P,)= Um y/(P;)A<7, /

xã) >0 » ( T H ũ ^

và (Ì trực ký hiệu là

/ = Ị Ị f(P)da = ỊỊ f(x,y)dxdy (= ỊỊ f(x,ỳ)dxdy)

Sự không phân triệt tích phân lấy trẽn V và trên V sẽ được giải

thích trong phần đọc thêm (chú thích cạa định lý 11.3.2*5)

Theo ngôn ngữ "e,<5", ta có

Định nghĩa 14.1.1-1 Số ì e IR được gọi là lích phân cùa f{x,ỵ) trong miền V nếu cho trước một số £ > 0 tùy ý tồn tại một số s > 0 tương ứng sao cho với mọi phép phân hoạch miền V ra làm các mm con ơi có diện tích Aơị thỏa mãn

A(T) < ổ thì với mọi cách chọn các điểm p, € ơi tu dầu có

-P6" Pf7TT

hàm /(P) khả tích thì la cũng có lim S(/,7") - lim si f Tì«

Ti

= lim ý / ( / ' , )AíT, = / Đác biêt ta cũng; có cát két <|U.', sau cl-ìv

1) Hàm f(r.y) khả tích trong V thì bị chặn trong p

lị ỉ.2 Cách tính tích phân hai lớp trong tọa độ De các 73

2) Đối với hai hàm f(x,y),g(x,y) cùng khả tích trong V thì JJ(Cif{x,y) + C 2 g(x,y))dxdy = ƠI ỊJ f{x,y)dxdy + c 2 Ị Ị g(x,y)dxdy

(14.1.1.2)'%

và nếu hai miền ĩ?!, z>2 không giao nhau thì

Ịị f(x,y)dxdy = Ị Ị f(x,y)dxdy+ ỊỊ f(x,y)dxdy (14.1.1.3)

3) Dinh lý trung bình Nếu Ị{x,y) là hàm liên tục trong miền liên

thông V thì tồn tại ít nhất một điểm (£, //) G V (thực ra là có vô số điểm ) sao cho

ỊỊ f(x,y)dxdy = /(£,7?).diện tích L> (14.1.1.4)

ố 4) Lớp hàm khả tích trên T> quan trọng nhất và thường gặp nhất

là lớp hàm liên tục trong miền đóng giới nội V

Tất cả những điều nói trên được chứng minh giống như trong trường hợp tích phân một lớp, với một vài sự thay đổi nhỏ Bạn đọc nào muốn xem chi tiết có thể xem ờ phần đọc thêm 14.3

14.1.2 Cách tính tích phân hai lớp trong tọa đô

Đề các

14.1.2.1 Trường hợp miên là hình chữ nhát \a\b\ X [r\(ì\ Định lý 14.1.2*1.(Phu bi ni (Fubini)) Giả sử f(x,y) là một hàm khá tích trong hình chù nhật D = [a;b] X [c;d]

Giả sử với mồi X e [a; 6] tồn tại tích phân đơn

J{x) = Ị f(x,y)dy

thì khi đó tồn tại tích phẫn lặp

Ịj{x)dx = Ị f(x,y)dy S jdx = Ị dx Jj(x,y)dy

và ta có

Hãy lấy một diêm bát kỳ

íi £ [ii_i;XiỊ Hiển nhiên ta có

"í.*- < /Ui,y) < Mít, Vy € Ị/A !;</*

Tích phân các vé lùa bất đằng thức nói trên từ Ị riếu ì/

"iu / đy< ị ỉ{ị l ,y)dy < AÍ.I Ị ẩy

lị.1.2 Cách tính tích phân hai lớp trong tọa độ Dề các 75

Viết các bất đẳng thức ấy cho k = Ì, 2, ,m rồi cộng lại vế với vế,

Lại nhân các vế cạa bất đằng thức vừa thu được vái Axị = Xi

rồi cộng theo í từ Ì đến n, ta được lần lượt

ịỵ^mik&yk^ Axj < J(Ci)Axi < ^^MitAyt^ Axi,

n m n TI m

i=l k=l i=l 1=1 k=l

RÕ ràng AiịAyic = Aơik là diện tích cạa hình chữ nhật con ơik và

các tổng ờ đầu và cuối bất đằng thức kép nêu trên chính là tổng dưới

76 Chương ụ Tích /'/lũn bội

n m

í(x,y) trong V, (14.1.2.3) cho ta

lim s(f,T)= lim S(/,T)= lim V V f(P ik )Ax,Ay k = /

Tirang tự như vậy, tráo đổi vai trò X và y, ta có

Nếu f(x, y) khả tích trong V và với mắi y € (c; d] tồn tại tích phàn

K(y) = [ b f(x,y)dx

J a thỉ tồn tại tích phân lặp

J K(y)dy = J dy Ị f(x,y)dx

và ta có

Ị Ị f{j-.Ị/)đxdy = Ị ẩy Ị f(x,y)dx

Đặc biệt, nếu f(j-,y) liên tục trong ịa;b\ X [c;dị thì mọi giả thiết nói trên đều đirợc thỏa mãn và ta có

Ị Ị f(x,y)dxdy= ^dx Ị f(x,y)dy= Ị dy Ị 6 f(x,y)dx (14.L2.4)

•ổ

Chính ký hiệu di dụ là ký hiên dưới dạng vi phân cùa tích Ar-Atii trong tổng tích phân ^2 ^2 ĩiPĩkì&Xi^yi*-

lị i.2 Cách tính tích phân hai lớp trong tọa độ De các 77

14.1.2.2 Trường hợp miền là hình chữ nhật cong

Định lý 14.1.2*2 Giả S1Ỉ V là một hình chủ nhật cong, có hai

cạnh thẳng song song với Oy, giới hạn bởi

T> = {í*,y) • a<x <b, yi(x) <y< y 2 {x)},

trong đó yị(x),Ị/2(x) là những hàm liên tục trvĩig ịa;b\

Giả sù /(x, ỳ) là hàm khả tích trong V và với mồi X € |o;6| tồn tại

Chứng minh

Xét hình chữ nhật p* = [ít; 6] X [c; dị chứa V trong nó, cụ thể w là hình chữ nhật PQRS (hình 14.3)

Ị Ị f'(T,y)dxdy = Ị Ị f*(x,y)dxdy + lị f*{x,y)dxdy

Trong V'\D thì /*(x, ụ) = 0, ngoài ra trong V thì /* (ì, y) = f(x y)

78 Chương lị Tích phân bội

Ị Ị f'{x,y)dxdy = Ị Ị f(x,y)dxdy = Ị Ị f(x,y)dxdy

Vì v' là hình chữ nhật nên theo kết quả đã có ỏ trẽn

ỊỊ f(x,y)dxdy = ỊỊ r(x,y)dxdy = Ị dx Jf'(x,y)dy

MM,= y,W

Hình 14.3 Hai tích phân thứ nhất và thứ ba trong móc vuông bằng không do f(x,y) = 0 khi (x,y) e T> \v, còn để thấy hạng thức ờ giữa cạa vế cuối, ta chú ý f(x,y) = f(x,y) trong V Tóm lại, ta có

lị.1.2 Cách tính tích phân hai lớp trong tọa độ Dề các 79 thẳng song song với Ox, giới hạn bói

V = {(x,y) : Xi{y) < X < x 2 {y), c<y<d},

trong đó Xi(y),x 2 (y) là những hàm liên tục trong [c;đ\

Giả Sĩì f(x, y) là hàm khả tích trong V và với mồi y e [c; d\ ton tại tích phẫn

1) Tích phân theo biến nào trước thì biến còn lại được cố (lịnh 2) Tích phân theo bất kỳ biến nào cũng vậy, ta đều tích phán theo

chiều tăng cạa biến ấy, do đó cận tích phân lấy theo biến đó luôn luôn

lấy từ cận bé tới cận lớn hơn và trong trường hợp tổng quát các cận

80 Chương lị Tích phân bội

này đều phụ thuộc vào biến được giữ cố định còn lại

Chẳng hạn xét tích phân lặp (14.1.2.5)

/•*> ryi(f) / dx Ị f(x,y)dy

Biến t ích phân được thực hiện trước là biến y, biến còn lại trong

quá trình tích phân này là biển X, được giữ cố định:

[Vai*) / f{x,y)dy

•/vi (ì)

Tích phân từ Vì(x) đến !J2(X) là tích phân theo chiều tăng cùa biến '

ụ, (yi(x) < Ị/2(-c))- Các cận tích phân Ị/i{x),Ịj2(x) này phụ thuộc biến còn lại X

Thông thường, ta xác định các cận tích phân lặp bằng hình học

Ta vẽ miền x>, vẽ các mũi tên chỉ quá trình theo đó ta tích phân hàm

f(x,y) theo biến đần tiên, chiều các mũi tên là chiền cạa quá trình tích phân, nghĩa là chiều táng cạa biển đó, từ cận bé tái cận lán hưu Trong trường hạp ta tích phân theo biến y trước, ta ró

/ f(x,y)dy

Quá trình tích phân lấy trên đường X = const và y biến thiên từ

Vi(.r) đến Ịiỉix), tức là ta tích phân dọc theo các mũi tên song song và cùng chiều vái trục Oi/, và tích phân theo chiều tăng cùa biếu 1/ từ góc mũi tên (úng vái y = ị/iịr)) đến ngọn mũi tên (ứng vơi Ị/ = Ị/2(*))

(hình 14.5) Vái mỗi X cố định, ta đều có một mũi tên như vậy

Vì vậy phưưng trình quỹ tích cạa rác gốc mũi tên in = xác

định cho ta cận dưới yi(x) cùa tích phân và phưorng trinh quỹ tích cạ* các ngọn mũi tên (.ly = y 2 (j ••)) xác định cho ta cận trẽn Ị/,ị J •) cạa tích phân Trung trường hợp tống quát, các cận này nói chung là nhưng hàm cạa X

Sau đó, ta quét các mũi tên nói trên theo chiều tăng cùi! |,i,t11

lại (biến T) sao cho các mũi tên quét hết miền T> Điều này (hi (J,]|

trình tích phản theo biếu X

Giá trị cùa biến X ứng với lúc bắt dầu quét (x = n) xác clịiiiị cho

tị í.2 Cách tính tích phân hai lớp trong tọa độ Đề các 81

ta cận dưới cạa tích phân theo X Giá trị cạa biến X ứng vái lúc quét hốt (x - b) xác định cho ta cận trên nia tích phân theo X

/ f{x, y)dx

J*úv) Tích phân từ Xi(y) đến X2{y) là tích phân theo chiều tăng cạa biến r, {x\(y) < X2Ìy))- Các cặn tích phân Xi (ự), T2(,y) này phụ thuộc biến còn lại y

Các mũi têu theo đó ta tích phân theo biển X song song và cùng chiều với trục O.T (hình 14.6)

Phương trình quỹ tích cạa các gốc mũi tên (x = Ti(í/)) xác định cho ta cận dưới cạa tích phân Phương trình quỹ tích cạa các ngọn mùi

tên ( j = J'2(y)) xác định cho ta cận trên cùa tích phân

Ta quét các mũi tên nói trên theo chiều tăng cùa biến còn lại (biến

y) sao cho các mũi tên quét hét miền V

Giá trị cùa biến y ứng với lúc bắt, đầu quét (y = r.) xác định cho Ui cận đưứi cùa tích phân theo y Giá trị cạa biến Ị) ứng với lúc quét hốt {Ị/ li) xác định cho ta lãn trên cạa tích phân theo Ị/

82 Chương ụ Tích phân bội

Nhặn xét này rất có ích, vì nó sẽ dùng được cho tất cả mọi trường hợp về sau mà ta sẽ gặp

trong đó [a;b\ là hình chiếu cạa V xuống O i (hình 14.7), y = ỊJi{x),y = V2(x) lần lượt làjjhưcrng trình cạa các phần đường cong ACB giới hạn

V bên dưới và ÁDB ờ bên trẽn, còn [c; d\ là hình chiếu cùa V xuống Oy (hình 14.8) và X — Xi[y),x = x 2 {y) lần lượt làphương trình các phần đường cong CAD giói hạn V ở bên trái và CBD ờ bên phải

X o

Hình 14.7 Hình 14.8 Hình Ì ị.9

Bây già giả sử miên T> là một miền phức tạp, không thuộc vào một trong các dạng kể trên chẳng hạn là miền ờ hình vẽ 14.9 trong đó có những đường thẳng song song với trục Oy cắt biên miền 7? tái bốn điểm Trong truồng hợp này, để tính tích phân trong miên T> ta phải phân chia miền V ra làm các miền nhỏ han T>1,T>2,T>1 sao (ho chúng thuộc- vào một trong các dạng đã xét (mọi đường thẳng sono song với các trục tọa độ chi cắt biêu các miền con đó tại hai điểm) Tích phân trong miền V là tổng cạa lia tích phân lấy trẽn ba miền con £>] 2)2 x>3

c/»tí thích Nếu các hàm Ị/ = yi(x),y = y2(^),-r = •>"Ì(;/.)- J- , (gỊ

14-1.2 Cách tính tích phân hai lớp trong tọa độ Đề các 83

được cấu tạo bởi các biểu thức khác nhau thì ta cũng phải phân nhỏ miền V ra làm các miền con sao cho khi tính tích phàn trên các miền con đó, các cận tích phân lặp chỉ gồm các biểu thức duy nhất

Thí dụ Tính tích phân

IJ XydXdy '

V trong đó V là tam giác cong giới hạn bời cung OA cạa parabol ụ = 2x2,

đoạn thẳng AB, đoạn thằng OB, với 0(0,0), A(\,2),5(2,0)

Cách tính thứ nhất (tính theo y trước, X sau) Đường cong giới hạn bên trên miền V (y = Ị/2(x)) gồm hai phần có phương trình khác

nhau (OA và đoạn thẳng AB), nên ta cần chia V ra làm hai tam giác: tam giác cong OAC và tam giác ACB (hình 14.10)

Hình 14.10 Hình lị.li Tính li Đường cong giới hạn bên trên miền OAC là cung OÀ:

y = 2ỉ 2 , đường cong giới hạn bên dưới là đoạn thẳng ÓC: Ị/ = 0 Hình chiếu cạa OAC xuống Ox là đoạn [0; 1] Khi tính tích phân theo ụ trước thì ta cố định giá trị bất kỳ ì e [0; 1] và điểm (x, y) £ OAC với y thay đổi sẽ chạy dọc theo một mũi tên song song với Oy, có góc nằm trên đường y = 0, ngọn nằm đường y = 2x Vậy tích phân theo y sẽ lấy từ

84 Chương lị Tích phân bội

0 đến 2x2 Sau đó, cho thay đổi X, các mũi tên quét tam giác cong

OAC từ X = 0 đến X = 1 Vậy tích phân theo X có cậu từ 0 đến 1

phưang trình y = — 2x + 4 Đường cong giới hạn bên dưới là đoạn CB cổ

phưomg trình y = 0 Hình chiếu cạa ABC xuống O i là đoạn [1; 2] Khi

tính tích phân theo y trước thì ta cố định giá trị bất kỳ ì € [Ì; 2], điểm

(x, y) e ABC với y thay đổi sẽ chạy dọc theo một mũi tên song song

vói Oy, có gốc nằm trên đường y — 0 và ngọn nằm đường y = -2x + 4

Vậy tích phân theo y sẽ lấy từ 0 đến -2x + 4 Sau đó, cho thay đổi X,

các mũi tên quét tam giác ABC từ X = Ì đến 1 = 2 Vậy tích phân theo

Các/i ít'n/ỉ t/iứ /lai ftính theo X trước, y sau) Đường cong giói ban

bên trái miền V (hình 14.11) là cung OA có phương trình y = 2x 2 nhưng

giải dưới dạng X = l i (ý) là ì = ự l ^ Đường cong giới hạn hèn phải li

đoan AB có phưang trình y = —2i + 4, nhưng giải theo J là X — 2 —

-ĩ'

Hình chiếu cạa tam giác ABC xuống Oy là đoạn [0; 2] Khi tính tích phai

theo X trước thì ta cố định giá trị bất kỳ Ị/ € [0; 2], điểm (r y) £ Q£Ị

với X thay đổi sẽ chạy dọc theo một mũi tên song song với Oi rá gá

íị.1.3 Phép đổi biến số trong tích phân hai lớp 85

nằm trên đường X = yị^, ngọn nằm đường X = 2 - | Vậy tích phân

theo X sẽ lấy từ 4 /— đến Sau đó, cho thay đổi y, các mũi tên

Y £i í quét tam giác OAB tù' y = 0 đến ỉ/ = 2 Vậy tích phân theo ụ có

cận từ 0 đến 2 Tóm lại

,2 ,2-2 ,2 ,2-1

7 = d v n r x y d x = ydy rB xdx =

Jo Jựị Jo JựỊ

14.1.3 Phép đổi biến số trong tích phân hai lớp

Giả sư f(x, y) là một hàm khả tích trong V Xét tích phân

/= Ị Ị f{x,y)dxdy

•ổ

Ta đặt vấn đề tính tích phân nói trên, nhưng không dùng tọa độ Đề

các, mà dùng tọa độ mới (ti, v), liên hệ với tọa độ cũ (x, y) theo hệ thức

{X = xíu, v), _ ' (14.1.3.1)

14.1.3.1 Tích phân hai lớp trong toa đô cưc

Trước hết ta hãy xét trường hợp đơn giản, đồng thời là trường hợp

í hay gặp nhất là tính tích phân hai lớp trong tọa độ cực (r,ớ) Hệ thức

L (14.1.3.1) trong trường họp này viết được dưới dạng

Ị X = r cos 6,

\ y = rsinớ í (14.1.3.2)

I Đề tính tích phân theo tọa độ cực (r, ớ), ta dùng phép phân hoạch

Ị T chia miền V thành các miền cơn ơi bời họ các đường tọa độ (hình

86 Chương lị Tích phân bội

(11.1.3.3)

14.12)

Ị r = const ,

\ 6 = const Cliúng là những điràng tròn đồng tâm o và những đưímg thẳng phát xuất từ gốc tọa độ o

14.1.3.1.1 Trường hợp V là một phần hình vành tròn i

Ri < r < /?2, rv < ớ < p

Giả sử miền V (hình 14.12) là ìnĩen được giói hạn bôi hai tia 6 =

a, 0 = 0, Q < 0 và hai cung ÁB, CÒ lần lượt có phương trình cực

Khi đó PQ = Ar, POS = Aớ,

PS = rAỚ (độ dài cung tròn bán

kính r và có góc ờ tâm là A6)

Khi phép phân hoạch T khá nhỏ

t hì cung PS gần như là đoạn t hằng

và hình chữ nhật cong PQRS gần

như một hình chữ nhật thằng có Hình lị 12

hai cạnh là rA.9 và Ar,do đó có

diện tích A<7 = rArAd

Nếu ta chia góc AOB ra làm ra phần bời các tia 0 = 0, sao cho

a = Oa < ỚI < e 2 < < Ôn = 0

và đoạn i?i/?2 ra làm ni phần bời các điểm r = Tị sao cho

Ri = r 0 < ri < r2 < < r,„ = Rì thì miền p được chia ra nin các hình chữ nhật cong o,j ~ Ỉ' ,Q lì SịỊ với Pij(ri,tìj), có diệu tích

IU 1.3.4

HA.3 Phép đổi biến số trong tích phân hai lớp 87 Nếu ký hiệu Mij là một điểm tùy ý nào đó trong miền con ỡĩj thì giá trị cạa hàm f(x,y) tại Miị là f(Mịj) = f{Tj COSỚÍ.TV, sin ới) và tổng

nhưng khi A(T) -> 0 ta thừa nhận hai vế có giới hạn bằng nhau Đó là

một điều chưa thật chặt chẽ trong lý luận Ta sẽ đề cập chặt chẽ vấn đề nàv trong một chương sau (xem 15.3.1.4)

Nếu ta vẽ riêng mặt phàng tọa độ (r, ớ) với hai trục O'0,0'r vuông góc với nhau (hình 14.13) thì miền V trong mặt phcằng xOy (phần hình

88 Chương ti- Tích phân bội'

vành ABCD, hình 14.12) có ảnh tương ứng trong mặt phang 9ƠT

là một miền V, cụ thể là hình chữ nhật A'B'C'Ơ với « < 0 < Ạ /Ỉ! < r < /?2, và thay cho viết Ị Ị Ị(ỵ cos6,Tsme)rdrdB ta viết

Ố

/(rcosớ.r sin 0)rdrdB

TỈ Vậy khi ta viết /(r cos ớ, r sin 0)rdrd6 thì ta hiểu là miền x>

p

được vẽ trong mặt phang XƠJ/, còn nếu ta viết Ị Ị f(r cos ớ, r sin 6)rdrdỂ

ty thì ta hiểu miền x>' được vẽ trong mặt phang 0O'r Lặp lại lý luận nhu

ờ 14.1.2.1, ta được công thức giống như công thức (14.1.2.1)

/ = li f(x,y)dxdy= Ị Ị /(rcosớ, r sin 0)rdrdO

-= Ị de Ị 2 f{r cos 0,r sin ớ)rdr (14.1.3.6)

Ja JRl

Như vậy trong công thức (14.1.3.6) ta có

Để chuyển tích phàn hai lớp tù tọa độ Dề các sang tọa độ cực, to thay x,y trong f{x, y) lần lượt bài rcos#,rsinớ, còn vi phân diện nả dxdy đuợc thay bài rdrdO Biểu thức rdrdO là dạng vi phản của vế phế

r J Ăr j A6, cùa

(lị.1.34)-Ta có thể không vẽ V, mà quan sát trực tiếp trên miền V trên mặt phang lũy để xác định cận tích phân Ta tích phản theo r trước, theo chiều tăng cạa r, biến còn lại 6 cho cố định Như vậy điểm (r 9) mà theo

đó ta tích phân theo r chạy trong V trên một tia phát xuất từ o theo chiều r tăng dọc theo một mũi tên (hình 14.14) gốc nam trôn (luông tròn bên trong bán kính Ri, ngọn nằm trôn đirímg tròn lx"-i] ngoài bán kính Rĩ- Vì vậy tích phân theo r lấy từ Ri đến /Ỉ2 Cát mũi tên quét miên p t heo chiều ỡ tăng từ góc ó đến góc /3 Vậy khi tích phân t heo 9

ta lấy từ o đến i3

ỉ4.1.3 Phép đồi biên số trong tích phân hai lớp 89

14.1.3.1.2 TVưòtag hợp V là miền sao cho một tia phát xuất t ạ i o chỉ cắt biên cạa T> tại hai điểm

Bây giờ giả sử miền V là miền sao cho mọi điểm (r, 0) e T> thỏa

mân (hình 14.15)

a<0<(3, n(6) < T < r 2 (0)

Như vậy, miền V nằm giữa hai tia 6 = a, 6 = Ị3 và giói han phía trong bời cung AB có phương trình cực r = ri (ớ) và phía ngoài bởi cung CD có phương trình r = rì(0) (hình 14.15)

Để tính tích phân Ị Ị f(x, y)dxdy trong trường hợp này, cũng như

ố trên, ta thay X = rcosớ, y = rsinớ vào trong f(x,y), còn dxdy được thay bởi rdrdO (biểu thức vi phân cạa rArAỚ, diện tích hình chữ nhật cong PQRS trong hình 14.12)

JJf(x,y)dxdy = Ị Ịf(rcasO,rsmO)rdrd0 (14.1.3.7)

Để xác định cận tích phân lặp,

cũng như trên, có hai phương pháp

a) Vẽ trong mặt phang tọa độ

(r, ớ) với trục tọa độ vuông góc ảnh

Ty cạa miền V Trong trường hợp

này, miền V sẽ là một hình chữ nhật

cong (hình 14.16), có hai cạnh thẳng

9 = Q, ớ = (ì và hai cạnh cong r =

ri (í), r = r 2 (9)

Giống như trường hạp 14.1.2.2

(hình 14.3), tích phân theo r trước,

90 Chương ụ Tịch phân bội b) Quan sát ngay trẽn miền V trong mặt phang rOy (tô xác định

cận tích phân Tích phân theo r trước và theo chiều r t áng t lù khi đó

biển 0 coi là cố định, quá trình tích phán đìa hàm f{x,y) dược tiến hành trong miền V dọc theo đường 0 =const, theo bưứng tăng cạ»

r Vì vậy trong miền V ta hãy vẽ họ những đường thẳng 0 -coiist ( tức những đường thằng phát xuất từ O), trẽn đó vẽ chiêu những mũi tên hướng theo chiều r tăng để chỉ quá trình tích phân theo r (hình 14.17) Phirơng trình quỹ tích gốc các mũi tên r = r i (ổ) xác định cho

ta cận dưới ri (ớ) và phương trình quỹ tích ngọn các mũi tên r = r 2 (6) cho ta cận trên r2{0) cạa tích phân theo r Mỗi mũi tên ứng với một tri

số cố định cạa ớ Quét các mũi tên khắp miền V theo chiều tăng cạa 9 (tirang ứng vái quá trình tích phân theo 0), ta được từ 0 = n đến ớ = 0 thì a và 0 là hai cận tích phân theo ớ cần tìm

Hỉnh 14.16 Hình 14.17

Thông thường, việc vẽ miền V trong mặt phang (O.r) là một điền

mất còng và phức tạp, nên trong thực tế, phương pháp thứ hai quaa

sát ngay trên miền V mang lại hiệu quả nhiều han

14.1.3.1.3 Trường hợp V là miền sao cho gốc tọa đ ộ nằm

trên biên

Giả sử miền V có biên r đi qua gốc tọa độ o và có tại (láy hái tiếp tuyến xác định bởi 8 = a và 0 = 0, ngoài ra biên r đưựt xác dinh hỏi phương trình cực r = r(ỡ) (hình 14.18) Trong trường hợp này mũi tên theo đó ta tích phản theo r có gốc tại o, có ngọn nằm tại Xí r J j

14-1-3 Phép đổi biến sổ tròng tích phân hai lớp 91

OM = r = r(ỡ)

Vây ta có

Ị Ị /(r coe 0, r sin 0)rdrdB = Ịde Ị ( /(r C08 ớ, r sin 0)rdr (14.1.3.9)

14.1.3.1.4 Trường hơp p là miền chứa gốc toa đô Giả sử V là miền chứa góc tọa độ o, biên r có phưong trình r = r(ớ) (hình 14.19) Trong trường hợp này, ta tích phân theo r dọc theo mũi tên từ gốc tọa độ đến điểm M e r, với OM = r = r(9) Mũi tên quét miền V theo góc từ 0 đến 2iĩ Do đó ta có

92 Chương ụ Tích phân bội

lị.1.3 Phép đổi biến số trong tích phân hai lớp 93

cos4 ớ = ỉ ( l + COS20) 2 = ị + ị COS2Ớ + ỉ cos2 29 =

2

l i „„ Ì / 1 +C0S4ỚV 3 1 „ Ì

= 4 + 2C O s 2 ớ +H 2 ~ J = 1 + ^0320 + ^ 4 0 , nên

16 n/3 ỉ Ì \ l i

3 ý v i + 2 C O S 2 Ớ + 8 C O S 4 ớj d ớ = 2 Ớ I +0 = 7T

Thí dụ 5 Xác định cái; cận tích phân lặp khi tính tích phân

Ị Ị f(x,y)dxdy

theo tọa độ cực, trong đó V là tam giác cong OAB với

- OA là cung parabol y = 2x2, O(0,0),i4(l,2),B(2,0)

Ta tính tích phân theo T trước

Trong V điểm (r, ớ) với ổ cố định

khi r tăng, chạy dọc theo một

véctơ MN có giá đi qua 0(0,0),

gốc M nằm trên cung OA, ngọn nằm trên đoạn thẳng AB (hình 14.21)

Để xác định cận tích phân theo r, ta phải tìm phương trình cực cùa OA

94 Chương lị Tích phân bội

rsinớ = —2r COS0 + 4 =ì> r =

sin 0 + 2 ( <>s 0 Các véctư MN quét miền x>, từ ế?B = 0 đến 0„ = art tg'2

-Phương trình đường tròn trong

OM = 2COS0 - \/4cos20- 3, c w = 2cosớ + NACOS-^ 3,

Vậy tích phân theo r được lấy từ 2cosớ - V i rns- Ti 3 đến

2 cos0 + \/'4<'os2 ớ - 3

Véc ta MN quét miên p từ tia OA đến ƠB Ta cần xác định ,-;',( góc

n = KX4 đ = rOB Các góc này ứng với giá trị cùa tì khi OM OÀ

lị Ị.3 Phép đổi biến số trũng tích phân hai, lớp 95

Đây là trường hợp miền p thuộc dạng 14.1.3.1.2, là trường hợp mà

trong hình 14.15 hai điểm A,c trùng nhau, hai điểm B,D trùng nhau

14.1.3.2 Tích phân hai lớp trong tọa độ tổng quát

14.1.3.2.1 Công thức đổi biến

Bây giờ, trở lại trường hợp tính tích phân

chạy khắp 2?' thì điềm chạy khắp miền V trong mặt phang xOy

(miền mà ta định tính tích phân ì)

í

96 Chương tị Tích phân bội Han nữa, giả thiết các hàm x(u,v),y(u,v) nói trên là những hàm

khả vi liên tục trong 23' và

dx dx D(x,y) du dv D(u,v) dy dy

hình 14.23) Hình bình hành cong này có ảnh tưomg ứng qua phép

1 1 Chỉ riêng diều kiện (14.1.3.11) chưa đủ đế hệ thức (14.1.3.1) có thế giải đuọc một cách duy nhát (u,u) ngược lại theo (x,y) (xem chằng hạn thi dụ trong mục g 3 5

chương 6 tập Ị)

lị.1.3 Phép đổi biến sổ trong tích phân hai lớp 97

biến đổi (14.1.3.12) là một hình chữ nhật A'B'C'D' có cạnh chẳng hạn A'B' = Au, Mơ = Ao (hình chữ nhật gạch chéo trong hình 14.24) Các đường cong tọa độ u(x, ỳ) = const, v(x, y) = const trong hình 14.23

có ảnh tương ứng là các đường u = const, V = const song song với trục tọa độ trong hệ tọa độ vuông góc uO'v trong hình 14.24

D(x,y) D(x,y)

Để ngắn gòn, ta ký hiêu thay cho đét ' Đinh thức

D(u,v) D(u,v) này được gọi là định thức Ja cô bi cạa phép đổi biển (14.1.3.1) Khi đó người ta chứng minh được rằng diện tích hình bình hành nhỏ ABCD xấp xi bằng diện tích ABCD Rí D{x,y)

D(u,v) (/>•) diện tích A'B'C'Ữ vói p* là một điểm nào đó trong A'B'C'D' Vậy ta có (lưới dạng vi

phân diện tích

D(x,y) dxdy = D(u,v) khiến cho ta có công thức dổi biến số

cập tới trong phần đọc thêm 15.3.1.4, chương 15

Ở đây, ta chỉ lưu ý rằng nếu phép biến đổi (14.1.3.1) là phép biến đổi cạa tọa độ cực

khiến cho trong tọa độ cực, ta có

dxdy = rdrdO

Điều này đã được thấy ở trên (xem 14.1.3.1.1)

98 Chương lị Tích phán bội

Chú thích Trong trường họp tính tích phân theo toa độ rực mà

miền V chứa gốc tọa độ thì tại đó r = 0 và điều kiện (14.1.3.12) không

được thỏa mãn Trong trường hạp này, chằng hạn như ờ công thức

(14.1.3.10) nếu lý luận chặt chẽ, ta phải tích phân theo r tít z đến r(0),

sau khi được két quả thì dần £ về 0

Sự kiện này được giải thích là ánh xạ từ (ớ, r) —> (x, y) hòi

{ X = rcosd,

y — rsinớ, I không còn là song ánh tại lân cận r = 0 Hình ảnh cạa hình (hữ nhật

0 < 8 < a, 0 < r < R trong mặt phang ÕO'r qua ánh xạ nói trên lại là

tam giác cong (hình quạt tròn) đỉnh o trong mặt phang xOy Đỉnh cạa

tam giác trong mặt phang xOy ứng vói cả một cạnh hình chữ nhật nằm

trên trục o'0 trong mặt phang 0O'r

14.1.3.2.2 Cách xác đinh cận các tích phân láp trong toa

đô (li, u)

D(x v) Trong công thức (14.1.3.14), ta đặt f(x(u,v),y(u,v))

ị ị f(f,y)dxdy= Ị Ị g(u,v)dudv

V V

Ta giá thiết ty là miền đan giản, nghĩa là trong mặt phàng aơìi

những đường song song với trục 0'v nếu cắt V thì cắt biên cạa V

không quá hai điểm

Giả sử ta tích phân theo biến V trước Theo công thức (14.1.2.5)

trong đó (ì, y) đóng vai trò (ti, v)

Ị Ị rđ I">2(t0

J= Ị g(u,v)dudv= / du / g{u,v)dv, (14.1.3.15)

Ty

trong đó [«,/?] là đoạn hình chiếu cạa miền V xuống trục 0'u ròn Ư =

I>i(u), li — r 2 (u) lầu iirợt là nhùng phương trình các đường rung A'C'ff

và A'D'B' giới hạn phía dưới và phía trêu nia miền "0

(hình 14.26)

Trong tri ròng hạp mà quan hệ (14.1.3.1) và (14.1.3.12) (l(,n giản

khiến cho ta võ dẻ dàng được miền V thì việc xác định các cận ít ,i „^„1

HA.3 Phép đổi biên số trong tích phân hai lớp 99

v 2 (u) được tiến hành theo trật tự bình thường như đà nói ở các

14.25, 14.26)

Hình 14.25 Hình 14.26

Phương trình quỹ tích gốc các mũi tên V = Ui (tí) xác định cho ta cận dưới Vi(u) và phương trình quỹ tích ngọn các mũi tên V = I'2(u) cho

ta cận trên «2(tí) ™a tích phân theo V Mồi mũi tên ứng với một trị số

cố định cạa ti Quét các mũi tên khắp miền V theo chiều tăng cạa u(x, ỵ) (tương ứng với quá trình tích phản theo u), ta được từ u(x, y) = a đến u(x,y) = (3 thì a và /3 là hai cận tích phân theo u cần tìm

Viêc xác định phưong trình V = V\{ú), u = V2{u) nói chung dựatrên phương trình Đề các Chằng hạn phiTơng trình Đề các cạa cung ÁCB là ipị(x,y) = 0 Khi đó trên cung đó quan hệ giữa (u, v) \kifii(x(u,v),y(u, u))

= 0 Từ đó rút ra V = Ỉ>1 (lí) Tương tự ta xác định V = í'2(«)

Thi dụ Tính t ích phân

100 Chương lị Tích phân bội

_ l i y(* + yf li.ri ly bằng phép đổi biến

X = Jĩ-, y = y/ũv, trong đó V là tam giác ABC với 4(2,2), B{1,1),C(3,1)

í ị Ị 3 Phép đổi biên sổ trong tích phân hai lớp loi

Rõ ràng nếu ta vẽ miền z>' trong mặt phang (u, o) thì sẽ rất phức

tạp Vì vậy, trong miền V (hình 14.27) ta vẽ họ các- đường cong

y u(x, y) = const => = k => y = ki

X (họ các đirờng thang qua gốc tọa độ),

h u(x, ý) = const =>xy = /i=>Ị/ = —

X (họ cắc hypebol có tiệm cận là Ox,Oy)

Giả sử ta muốn tích phân theo V trước, u sau Như vậy ta sẽ tính tích phân trên các đường u(x,y) = const, theo chiều tăng cạa V Vì I) = xy = h nên li tăng khi h tăng Họ hypebol Ị) = — khi h tăng sẽ

X chuyển dịch từ trong ra ngoài (so với gốc tọa độ O) Vì vậy trên đường thẳng u(x, y) = const, (y = kx), giá trị cạa o(x,y) tăng khi điểm {T,y) chuyển dịch xa gốc tọa độ Như vậy, nếu ta vẽ các mũi tên mà trên

đó ta tích phân theo V thì gốc các mũi tên sẽ nằm trên đoạn BC, còn ngọn nằm trên ÁC Ta phải tìm phương trình V = Vi(u) cạa BC và

V = Vĩ(u) cạa ÁC Tích phân theo V sẽ từ I>I(M) đến t>ỉ(u) Dể tìm các phương trình nói trên ta xuất phát từ phưang trình Đê các cạa các đoạn thằng đó

Phưang trình Đề các cạa BC là y = 1 Vậy phương trình cạa nó dưới dạng (u,v) là ựũũ = Ì, hay V = —

AB Tưorng ứng, giá trị cạa u tại c là u{C) = - I = - , giá trị cạa u

X le 3

102 Chương tị Tích phân bối

V I Ì trên AB là ù = - ị = Ì- Vây tích phân theo u lấy từ ^ đến 1

14.2.1 Đinh nghĩa tích phân ba lớp

Giả sử V c ]R3 là một tập mờ giới nội trong không gian Qxyz, có

biên s, có thể tích1', f(x,y,z) là một hàm xác định troug V = VuS

Ta hãy thực hiện một phép phân hoạch T tùy Ý, chia tập V ra làm một

số hữu hạn các tập con Ui Ư2,Un có thể tích A?Ji, At'2, Ai'„ Trong

mỗi một tập con đóng, ta lấy một điểm tùy ý Pi e ũ?, thiết lập tổng

Tí

SnU,T,Pị) = Y,Ỉ(P.)&»- (14.2.1.1)

i=l Gọi A(T) là đường kính lớn nhất cạa các miền con t', đó

A(T) = max súp p p"

i=i,n P',P"ev7

" Khái niệm vè thề tích cùa một tập sê được đề cập một cách chinh xác Ở phàn

đọc thèm (xem 14.3.5.)

14-2.1 Dinh nghĩa tích, phân ba lớp 103

Nếu khi các phép phân hoạch T nhò dần vô hạn sao cho đường kính lớn nhất cạa các tập con đó dần về không (A(T) -> ọ), mà tổng Sn[f<T, Pi) dần tới một giới hạn / duy nhất, không phụ thuộc vào các phép phân hoạch T, cũng như không phụ thuộc vào cách chọn các điểm

Pị e vĩ, thì / được gọi là tích phân ba lớp cạa hàm f(x,y,z) lấy trên miền V (hoặc V), được ký hiệu là

1 = M£m 0È'/(F')AtJ< = ///ỉ( x ^ z)dxdydz

Í=1 ị Dưới dạng ngôn ngữ "é, 6", ta có

Định nghĩa 14.2.1-1 sổ ì G ni được gọi là tích phân cùa hàm f(x,y,z) lấy trên tập V, nếu cho trước một số £ > 0 tùy ý, tồn tại một

số 6 > 0 tuông úng sao cho với mọi phép phân hoạch T chia tập V ra làm các tập con Vi có thể tích Avị thỏa mãn

Với phép phân hoạch T cho trước, đặt

Mi = súp f(x,y,z), mị = inf f(x,y,z)

Khi thay đổi các phép phân hoạch T bằng mọi cách có thề có được,

thì tập các tổng clirói có một cận trên đúng lo và tập rác- tổng trên có

một cận dưới đúng 1° thỏa mãn

s{f,T) <I 0 <I° <S(f,T) (14.2.1.3) Hàm ĩ(x,y,z) khả tích trên V khi và chỉ khi lo = /° = / / chính

là giá trị tích phân cạa hàm f(x,y,z) trên tập V

Hệ thức lo = 1° = ì tương đương vói

lim (5(/,T) - s(f,T)) = 0 (14.2.1.4)

và nó cũng tưang đương vói

n lim V wiA t )i = 0, (14.2.1.5) trong đó

A(T)- = 1

Wi = Ai, - m, = súp |/(P/) - /(PHI

p" e~

là dao độ cạa hàm f(x, ý, í) trong vĩ

Đối với hai hàm f(x,y,z),g(x,y,z) cùng khả tích trong V thì

/ / / ' V if(x,y,z) + C2g{x,y,z))dxdydz =

= d JJJf{x,y,z)dxdydz + c 2 JJJg{x, y,z)dxdydz (14.2.1.6)

và nếu hai tập Vi, Vi không giao nhau thì

ỊỊỊf(x,v,ỉ)dxdydz = /(ỉ,r/,C).thể tích V (14.2.1.8)

V

Lớp hàm khả tích trên V quan trọng nhất và thường gặp nhất là

lớp hàm liên tục trong miền đóng giới nội V

14.2.2 Cách tính tích phân ba lớp trong tọa đô Đồ các

14.2.2.1 Trường hợp miền V là hình hộp chữ nhật

[ai;hi X [aaM] X [a 3 ;ba]

Định lý 14.2.2*l.(Phu bi ni (Fubini)) Giả sử f{x,y,z) là một hàm khả tích trong hình hộp chữ nhật V = [ai;61] X [02:62] X [o3;63] Già sứ với mắi (x,y) € [ai;&i] X [02162] tòn tại tích phân đơn

H(x,y) = / f(x,y,z)dz

Ja3 thì khi đó tồn tại tích phân lặp

Mij*= súp /(x,y,z), mijfc= inf /(-T,y.ỉ)

Gọi ơỊj là hình chữ nhật nhỏ, hình chiếu cạa hình hộp Uịjk xuống

mặt phang xOy Lấy một điểm tùy ý (&j,ĩ?y) G 577, còn 2 e [z k -i,z k ị

Khi đó tạ có

m i3 k < ỉ {ti},mi, z) < Tích phân ba vế bất đẳng thức này trên [zfc_r, í*:] ta được

n m p

< 5Z 5Z5Z Mijk&XiAyjAz k

i=i j=i t=i

Vế thứ nhất và vé thứ ba cạa bất đẳng thức là các tồng Đác bu s(/ T),S{f,T) còn vế giữa chính là tổng tích phân cùa hàm H{x,y) trên miền V X y = [aubi] X Ịo2;62l, hình chiếu cạa hình hộp \- xuống mặt phang xOy Khi phép phân hoạch T nhỏ dần vô hạn, do giã thiết khả

Ị4-2.2 Cách tính tích phân ba lớp trong tọa độ Dề các 107

tích cạa Ị{x,y,z) trong V, nên ta suy ra S(f,T), s(f,T) đều dần tới

Nếu f(x, y, z) liên tục trong hình hộp đóng V thì sử dụng định lý

14.1.2*1 đối với tích phân hai lớp cạa hàm H(x,y), ta được

f{x,y,z)dxdydz = / dx ị dy Ị f(x,y,z)dz (14.2.2.2)

J J J Ja\ J02 J ữ3

và thứ tự tích phân theo các biến ì, y, z có thể hoán vị cho nhau

14.2.2.2 Trường hợp miền V là hình tru đáy cong

Ta xét hình trụ đáy cong V có mặt bên cạa nó tạo bởi các đường

sinh song song với một trục tọa độ, chằng hạn trục Oz Hình chiếu cùa

V xuống mặt phang xOy là một miền phang V X y, không nhất thiết là

mặt tròn

Đáy dưới cạa hình trụ là mặt cong Si có phưang trình 2 = Zi(x, y)

Đáy trên cạa hình trụ là mặt cong 52 có phương trình z = Zỉ(x, y)

Ta nhúng hình trụ nói trên vào một hình hộp chữ nhật lớn hơn

ũ = [ai;bi] X [02:62] X [i3;i>3], có các cạnh song song với các trục tọa

108 Chương lị Ticii phán bội

Định lý 14.2.2*2 Giả sứ V là miền trụ cong trong không gian R* được xác định bài

V = {(x,y,z) G K3 I (i,Ị/)e5„, Zi(x,y) < 2 < 22(x,y)},

trong đó T> ly là một miền phàng hình chiếu cùa hình trụ V nêu trên

xuống mặt phang xúy, z = Zi(x,y), z = Z2(x,y) là các hàm liên tục trong Tĩxy biểu thị lần lượt phương trình mặt cong Si giới hạn bên dưới

và S2 giới hạn bên trên hình trụ

Gia sử f{x,y,z) là hàm khả tích trong V và vói mọi (jr,y) c V T y tồn tại tích phân

ỊỊỊf{x,y,z)dxdydz = ỊỊdxdyỊ^ ix ' v) f(x,y,z)dz (14.2.2.3)

Sơ đô chứng minh định lý này theo đúng sơ đồ chứng minh định lý 14.1.2*2 đối với tích phân hai láp lấy trên hình chữ nhật cong, do đó ta không lặp lại ở đây

Nếu T> X y là miền sao cho các đường thằng song song vói Oy, nếu cắt V thì chì cắt biên cạa V l y tại hai điểm (hình 14.28) thì khi đó tiếp

tục tính tích phân hai lớp còn lại, ta có

Ị f Ị r* /-Sai*) p*(*,v)

f(x,y,z)dxdydz= Ị dx ị áy ị f(x,ụ,z)dz, (14.2.2.4) JJJ Ja Jyi{x) •/*i(x,v)

trong đó ý = yi(x),ỵ = 2/2(1) lần lượt là những phưong trình cạa những phần đường cong ÁCB giới hạn phía dưới vkADB giới hạn phía trên

tị.2.2 Cách tính tích phân ba lớp trong tọa độ Dề các 109

(so với chiều cạa trục Oy) cạa miền V X y, \a;b\ là đoạn hình chiếu cạa khối V (đồng thời cũng là cạa ©TỊ,) xuống trục Ox (hình 14.28)

Hình lị.28 Hình 14.29

Quá trình tích phân được thực hiện như sau

Để tính tích phân theo z trước, đầu tiên ta cố định hai biến còn lại x,y tức cố định điểm (x,y) e V X y, tích phân theo 2 dại- theo chiều z

tăng, theo mũi tên MỊAỈ2 song song với Oz từ điểm Mi thấp nhát (nằm trên mặt cong Si giới hạn phía dưới) đến điểm A/2 cao nhất (nằm trẽn mặt cong 52 giới hạn phía trên) cạa khối trụ V

Sau đó ta tích phân theo biến y (cố định x), điểm (x, y) e V T y chạy dọc theo một mũi tên song song với trục Oy từ một điểm Ni nằm trên cvmgACB đến một điểm N2 trên cungADB (một cách tương ứng, mũi tên M\KỈ2 quét thiết diện £ cạa khối V với mặt phang X = const theo chiều y tăng)

Cuối cùng, ta tích phân theo X tù a tói ồ, điều này tương ứng với mũi tên NiNí quét miền V X y theo chiều X tăng từ điểm A tới điểm B (hoặc tương ứng, thiết diện s quét cả khối V theo chiều X tăng)

Thí dụ Tính

I= JỊJr=W^ dxdydz '

V

no Chương lị Tích phân bội

trong đó V là miền trong không gian R3 nằm trong phần X > 0,

y > 0, z > 0 và giới hạn bời các mặt :

X = 0, y = 0, 2 = ựx 2 + y2, X2 + í/2 + -T2 = 2

Trước hết, cần xác định rõ miền lấy tích phân Mặt z = y/x 2 + y 2

là mặt nón đinh o, trục Oz, hướng lên trên và có nửa góc ờ đinh là 45°

Ta ký hiệu mặt này là Si, còn mặt X 2 + y 2 + z 2 = 2 là mặt cầu tâm 0,

bán kính ự2 và ta ký hiệu mặt này là

52-Miền V là miền nằm phía trên mặt nón Si, phía trong mặt cầu 52,

và ờ trong góc - thứ nhất cạa không gian Oxyz (hình 14.29)

Để tính tích phân /, trước hết cần phải xác định được hình chiếu

V X y, tức là xác định được phương trình cạa hình chiếu 7 cạa giao tuyến

r giữa hai mặt Si và S2 Muốn vậy, ta khử z giữa hai phương trình

z = \/x 2 + y 2 và X 2 + y 2 + z 2 = 2 (xem 6.4.8 chương 6, tập 1), ta được

x 2 + y 2 + {ựx r +y i ) 2 = 2 hay x 2 +y 2 = ĩ

Như vậy 7 là đường tròn tâm o, bán kính 1 Vậy T>xy là một phần

tư mát tròn đơn vi, nằm trong góc 4 thứ nhất cạa mát phang xOy Giả