Giáo trình các mô hình xác suất và ứng dụng (phần iii giải tích ngẫu nhiên) phần 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NGUYỄN DUY TIẾN CÁC MÔ HÌNH XÁC SUẤT VÀ ƯNG DUNG GIẢI T Í C h m G A U NHIÊ GT 005766 Đoa Gũi* H à N ộ i NHÀ XUẤT BÁN ĐẠI HOC Q U Ổ C GIA HÀ NÔI ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NGUYÊN D[.]

NHÀ XUẤT BÁN Đ Ạ I H O C Q U Ổ C GIA HÀ NÔI

Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G I A HÀ NỘI NGUYÊN DUY TIẾN

CÁC MÔ HÌNH XÁC SUẤT VÀ

ÚNG DỤNG PHẦN NI: GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN

NHÀ X U Ấ T BẢN ĐẠI H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ NỘI - 2001

G i á m đốc: NGUYEN VĂN THỎA

1.1.1 Không gùi ri xác suất 17

1.1.2 Biến ngẫu nhiên 22

1.4.2 Đối với <7-trường 41

1.4.3 Các tính chất cua kỳ vọng có điều kiện 44

1.4.4 Các (lịnh lý chuyên giới hạn (lưới dấu kỳ vọng có ("Ì lồ li kiện 46

2.1.2 P h â n phối hữu hạn chiêu 54

2.1.3 Quỳ đạo và không gian quỹ đạo 55

2.2.4 Bàn sao không có gián đoạn loại hai 05

2.2.5 Bản sao Lipchitz G(i

2.3 M ó t s ố k h á i n i ê m k h á c Gí)

2.3.1 Quá trình đo được GO

2.3.2 Tính liên tục ngầu nhiên 07

2.3.3 T í n h bị chặn ngầu nhiên G7

2.3.4 T í n h liên tục theo trung bình 68

3 7 M a r t i n g a l e b ì n h p h ư ơ n g k h ả t í c h Kỉ2

3 8 L u ậ t s ố l ớ n 136 3.8 L L u ậ t y ế u s ố l ớ n 136

5.1.1 Tích phán Wiener cua h à m số đ ơ n giản LG7

5.1.2 Các lính chất cơ bàn của tích phan Wiener

CÚM h à m s ố đ ơ n g i ả n Ki!)

5.1.3 Tích phân Wiener cùa h à m số bình p h ư ơ n g khá tích 171

l i

L Ờ I N Ó I Đ Â U

Xác suất Thống kê là lĩnh vực toán ứng dung, nó đòi hỏi một nơ sở toán

học sâu sắc Ngày nay các mô hình xác suất đ ã thực sự được ứng dụng rộng rãi trong khoa học t ự nhiên cũng nhít trong khoa học x ã hội Tuy nhiên, ờ

V i ệ t Nam có r ấ t ít những tài liệu về các mô hình xác suất v à ứng dụng của chúng Đó là lý do chính đ ể chúng tôi viết giáo t r ì n h này N h ớ m phục: vụ các độc giá trong nhiều lĩnh vực khác nhau (toán học, v ậ t lý, cơ học, sinh học, khoa học trái đ ấ t , kinh tế, y học, nông nghiệp, v.v ) nên giáo t r ì n h được

v i ế t theo tinh thần: chính xác về lý thuyết tới mức độ nhất định có nhiều

ví dụ ứng dụng cụ thê thường gặp trong thực tế và t ư ơ n g đ ố i d ễ h i ể u

Giáo t r ì n h C á c m ô h ì n h x á c s u ấ t v à ứ n g d u n g (lo GS.TSKH Nguyền Duy T i ế n chủ biên bao gồm:

P h ầ n ì X í c h M a r k o v v à ứ n g d u n g GS.TSKH Nguyễn Duy T i ế n v i ế t

P h ầ n l i Q u á t r ì n h d ừ n g v à ứ n g d u n g , PGS.TSKH Đặng H ù n g T h ắ n g

v i ế t

P h ầ n H I G i ả i t í c h n g ẫ u n h i ê n GS.TSKH Nguyền Duy T i ế n v i ế t

Các I h à n h viên của Bộ môn Xác suất Thống kê, Khoa Toán - C ơ - T i n

học, T r ư ờ n g Đ H K H T N - Đ H Q G H N đ ã nhiều n ă m giảng dạy Quá trình ngẫu nhiên và tích lũy được nhiều kinh nghiệm để viết giáo trình này d ư ớ i dạng

mô hình ứng dụng phục vụ cho đòng đ à o bạn đọc Tuy nhiên, đ â y không

p h ả i là giáo t r ì n h sơ cấp Vì vậy đ ể đ ể đ ạ t được hiệu quả cao, bạn đọc cần

p h ả i có kiến thức toán cua hai n ă m đ ầ u đ ạ i học và đặc biệt phải có kiến thức

xác suất cổ đ i ể n (chẳng hạn n h ư trong Đào Hữu H ồ [1], Đặng Hùng T h ắ n g

[2] hoặc: Nguyễn V i ế t P h ú , Nguyễn Duy T i ế n [3])

C h ú n g tôi hy vọng giáo trình này sè có ích cho nhiều bạn đọc phục vụ

t ố t cho việc giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng

Chắc chắn giáo trình còn nhiều t h i ế u sót R ấ t mong nhận đ ư ợ c sự góp

ý và chỉ bảo của bạn đọc C h ú n g tôi xin chân t h à n h cám ơn

Cuối cùng chúng tôi xin cám ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHKHT.N

-Đ H Q G H N , Khoa Toán - C ơ - T i n học Bộ môn Xác suất Thống kê Trường

Đ H K H T N - Đ H Q G H N và N h à X u ấ t Bản Đ H Q G H N đ ã động viên, cố vù và

t ậ n tình giúp đ ỡ chúng tôi biên soạn tài giáo trình này

Hà Nội mùa thu n ă m 1999

Các tác giả

G i ả i tích ngẫu nhiên là một chuyên đỳ khó đ ố i với sinh viên Để hiểu nội (lung cua phần này, bạn cần phải :

1 X ắ m vững các kiến thức cơ bàn cùa xác suất co đ i ể n ,

2 N ắ m vừng lý thuyết đ ộ đ o và tích phân Lebesgue,

3 N ắ m vừng các tính chất của kỳ vọng có điều kiện đ ố i với ơ - t r ư ờ n g ,

4 N ắ m được nội dung cơ bẳn Phần ì: Xích Markov, phần l i : Q u á trình dừng cùa tài liệu: Các mô hình xác suất và ứng dụng (do chúng tôi biên soạn, xom [5], [6])

Giãi tích ngẫu nhiên là cơ sớ toán học đổ nghiên cứu quá trình ngầu nhiêu Cũng như giai tích kinh đ i ê n giải tích ngẫu nhiên đe cập t ớ i các v ấ n

đ ề then chốt sau:

- Giới hạn và liên tục,

- Quỹ đạo và các tính chất quỹ đạo của q u á trình ngẫu nhiên,

- P h â n phối của quá trình ngẫu nhiên trôn không gian quỹ đạo,

- P h â n loại quá trình ngẫu nhiên,

- Tích p h â n ngẫu nhiên, p h ư ơ n g trình vi p h à n ngẫu nhiên,

- H ộ i tụ của quá trình ngầu nhiên

Trong một giáo trình ngắn không t h ể trình bày đ ầ y đ ủ các v ấ n đồ trêu

C h ú n g tòi chì tập trung trình bày một số khái niệm và kết quả quan trọng nhất của giãi tích ngầu nhiên

n h i ê n C h ú n g tòi tập trung vào g i ả i t h í c h ý n g h ĩ a cùa các khái niệm như:

P h á n phối hữu hạn chiền; Điêu kiện nhất q u á n ; Sự tun t ạ i n ú i quá trình ngẫu nhiên: Các tính chất quỹ đạo Sau đ ó trình bày sự phàn lớp các quá trình ngần nhiên: Quá trình Gauss; Quá trình có gia số độc lập; Quá t r ì n h dừng Đặc biệt quan trọng là quá trình Wiener

C h ư ơ n g 3 d à n h cho l ý t h u y ế t m a r t i n g a l e v ớ i t h ờ i g i a n r ờ i r ạ c

N ộ i dung chính của chương 3 là: Các bất đằng thức; Các định lý hội tụ; T h ờ i

đ i ể m dừng Bốt đằng thức Doob và định lý Doob về sự hội tụ của martingale

là mục đích chính của chương 3 B a n c ó t h ề d ó c c h ư ơ n g 3 n g a y sau k h i

d ó c h ế t c h ư ơ n g 1

N ộ i dung của chương 4 t ư ơ n g t ự n h ư nội dung của chương 3 C h ư ơ n g

4 d à n h cho lý t h u y ế t m a r t i n g a l e v ớ i t h ờ i g i a n l i ê n t ú c Hầu hết các kết qua của phần này chi dược phát biểu, không chứng minh (vì các chứng minh hoặc giống t r ư ờ n g hợp r ờ i rạc, hoặc r ấ t phức tạp và khó) N h ư n g chúng tòi cố gắng chỉ rõ những khó khăn khi chuyển các kết quả cua martingale t ừ thời gian rời rạc lên thời giíiii liên tục

C h ư ơ n g 5 d à n h cho lý t h u y ế t t í c h p h â n n g ẫ u n h i ê n Đầu tiên ta (lịnh nghĩa tích phân Wiener, sau đ ó là tích phân và vi phân Ito Công thức Ito vồ vi phân của hàm hợp là kết quà then chốt P h ư ơ n g trình vi p h â n ngẫu nhiên, bài toán lọc Kanman-Bucci cũng được đồ cập t ớ i trong c h ư ơ n g này

C h ú n g tôi chân t h à n h cám ơ n TS Nguyễn V i ế t P h ú , PGS.TSKH Đinh

ý kiến quí h á u đ ể giáo trình này hoàn thiện hơn

Hà N ộ i m ù a thu n ă m 2000

Nguyễn Duy T i ế n

17

C h ư ơ n g Ì

CÁC KIẾN THỨC C ơ BẢN VÊ XÁC SUẤT

Xác suất và thống kê bắt nguồn t ừ những v ấ n đ ề thực t ế liên quan đ ế n

x ử lý số liệu thực nghiệm Tuy vậy, có t h ể nói rằng, cơ sở t o á n học của lý thuyết xác suất và thống kê là đ ộ đo và tích p h â n Lebesgue, một lĩnh vực

t o á n học khá t r ừ u tưảng Đặc biệt, đ ể nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên, bạn

p h ả i nắm khá vững lý thuyết đ ộ đo và tích p h â n Lebesgue và một số khái

n i ệ m cơ bản cùng như những kết quả then chốt của xác suất cô đ i ể n Để

g i ú p bạn đọc hiểu rõ bản chất của giải tích ngầu nhiên, trong chương này, chúng tôi trình bày tóm t ắ t những điều cốt yếu nhất của lý thuyết đ ộ đ o và

t ích p h â n Lcbcsgue, và của xác suất co đ i ể n

Ngoài ra, vì giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu các quá trình ngầu nhiên mô

tà quan sát H ự t i ế n t r i ể n theo thời gian của một hệ thống nào đó, nên cần

p h ả i diễn giải sự phụ thuộc giữa các quan sát t ạ i các t h ờ i đ i ể m khác nhau

Trong xác suất và thống kê, khái niệm xác suất có đ i ề u kiện và kỳ vọng có

đ i ề u kiện t h ư ờ n g đưảc d ù n g đe mô phồng sự phụ thuôc nói trên Chính vì

t h ế , m ú c đ í c h c h í n h c ủ a c h ú n g t ô i t r o n g c h ư ơ n g n à y l à t r ì n h b à y ( k h á c h i t i ế t ) đ i n h n g h ĩ a t ổ n g q u á t c ủ a k ỳ v o n g c ó đ i ề u k i ê n ( đ ố i

v ớ i ( T - t r ư ờ n g )

B ạ n hãy đọc kỹ phần này trước khi đọc t i ế p các chương sau

1.1 B i ế n n g ẫ u n h i ê n v à h à m p h â n p h ố i

1.1.1 K h ô n g g i a n x á c s u ấ t

T h í nghiệm (hay p h é p thử) ngẫu nhiên là t h í nghiệm có nhiều k ế t quả

mà ta không t h ể đ o á n trước k ế t quả nào sẽ xảy ra T ậ p hảp t ấ t cả các kết

quả có t h ể có của thí nghiệm được gọi là k h ô n g gian m ẫ u và được ký hiệu

là rì M ỗ i t ậ p hợp con A c Í2 được gọi là một biến cố

Dưới đây ta giả sử ũ là tập khác rỗng nào đó

• Một họ các biến cố Ả được gọi là t r ư ờ n g (hay đ a i số) nếu:

(i) A chứa không gian mẫu, tức là, n G A ,

(li) A kin đối với phép lấy phần bù, tức là, A € Ả thì A' € A. trong

• Một họ các biến cố A được gọi là ơ - t r ư ờ n g (hay ơ-đai số) nếu:

(i) A chứa không gian mầu, túc là, íì £ Ả,

(ri) A kín đối với phép lấy phần bù, tức là A € Ả thì Ar 6 Ả, trong

• Giả sử c là tập mà mỗi phần từ của nó là tập con của íì Khi đó ta

nói c là một lớp Ta ký hiệu 2n là lớp gồm tất cá các tại) con cùa íì Đù

là <r-trường lớn nhất Trong khi đó lớp gồm hai tập: (íĩ,0) là íT-trường bé

nhất Giao của các ơ-trường chứa c củng là ơ-tnrờng chứa c Vì thế, t ồ n

t a i ( 7 - t r ư ờ n g b é n h ấ t chứa c Ta ký hiêu a - t r ư ờ n g n à y là cr(C), và

gói đ ó là ơ - t r ư ờ n g sinh ra t ừ c

19

• V ề thực chất O"-trường là khái niệm tống quát hoa khái niệm phân

hoạch Nói rằng dãy (hữu hạn hoặc vô hạn) các t ạ p (An) là p h â n hoach của

rỉ nếu hợp của chúng bằng í) và chúng rời nhau t ừ n g cặp, tức l ả ,

trong đ ó / là t ậ p con của { 1 , 2 , }

• Cho [An) là dãy các t ậ p con của ũ Ký hiệu

đ ơ n đ i ê u nếu nó hoặc đ ơ n điệu không giảm, hoặc đ ơ n điệu không t ă n g

tức là nếu An e M, và (A„) đ ơ n điệu t h ì lim A„ e M D ễ d à n g t h ấ y rằng: 4 /ờ ơ-trường khi và chi khi Ả là trường, và đơn điệu;

Nếu c là đại số thì ơ(C) = M{C), trong đó M(C) là lớp đơn điệu bé nhất chứa c

• Cho hai không gian đo ( H i , A i ) , ( Ỉ Ì 2 ) ^ 2 ) • T ậ p chữ nhật là t ậ p có dạng

K ý hiệu Ai © Ai là ơ-trường bé nhất chứa các t ậ p chữ nhật và gọi đ ó là

t í c h T ư ơ n g t ự ra định nghĩa không gian đ o tích cho một số hữu hạn các

không gian đo:

ri n

(Ịịnkỉỵị®Ak)

k=l k=\

• K h i ũ là không gian metric JS, thì ta ký hiệu B(E) là ơ - t r ư ờ n g sinh ra

t ừ các t ậ p mờ, và gọi B(E) là a - t r ư ờ n g B o r e l c ủ a E\ Trong t r ư ờ n g hợp E

là đ ư ờ n g thắng thực 1R,, thì ổ ( H ) t r ù n g v ớ i ơ- t r ư ờ n g sinh ra t ừ các khoảng

chứa t ấ t cả các t ậ p có y>độ đ o không

( T - t r ư ờ n g b ổ sung c ủ a Ả đ ố i v ớ i / í được định nghĩa theo công thức:

sau

•Ẩ = ịc c 0 I tồn t ạ i Aị,A € Ả,Ai cơ c A , ịi{Ai \ A ) = o }

21

Hiên nhiên An là đ ủ đ ố i với ụ,

• Xác suất p là đ ộ đ o chuẩn hóa, tức là P(O) = 1 Trong t r ư ờ n g hợp

đ ó , bộ ba (Í),.A, P) được gọi là k h ô n g g i a n x á c s u ấ t ( c ơ s ờ ) Nếu Ả đ ủ (lối với p thì ta nói (Q,A,Ỹ) là k h ô n g g i a n x á c s u ấ t đ ủ

Ta t h ư ờ n g d ù n g các ký hiệu sau:

Ỹ(A),Ỹ[A],F{A} đ ề chi xác suất của biến cố A

F(A\B),Ỹ[A\B},F{A\B} đ ể chỉ xác suất có điều kiện của 4 khi ỡ đã

xay vu (hoặc B đã cho)

Xác suất có đ i ề u kiện được định nghĩa, theo công thức

F{A\D) =F { ^ \ P ( B ) > 0

• Giá sứ c là l ớ p n à o đ ó Ta gọi h à m t ồ p là ánh xạ <p : c —ị [—00,00]

n h ư n g chi có t h ể nhồn một trong hai giá trị - 0 0 , + 0 0 Ta luôn g i ả t h i ế t tồn

t ạ i c 6 c sao cho —00 < <p(C) < 00

Nếu —00 < íp(C) < 00 v ớ i mọi c E c thì ta nói ip h ữ u h a n

Nếu Q phân hoạch t h à n h một dãy các t ồ p r ờ i nhau c „ € c sao cho

—oe < ip(Cn) < 00 v ớ i mọi TI — 1,2, thì ta nói ip là h ữ u h a n đ ế m đ ư ơ c

h a y ( T - h ữ u h a n

Nếu <p(C) > 0 v ớ i mọi c € c thì ta nói V? k h ô n g â m

Nếu v?(-<4 u ổ ) = ự)(A) + tp(B) v ớ i mọi A,B € c thoa m à n điều kiện /Ì u Ì? € c, A n jữ — 0 thì ta nói ự c ộ n g t í n h h ữ u h ạ n

Nếu limntp(An) — 0 v ớ i mọi dồy (An G C) đ ơ n điệu giảm t ớ i 0 (tức là, nA„ - 0) và 0 € c t h ì ta, nói <í> l i ê n t ụ c t ạ i 0

Kết q u ả sau t h ư ờ n g được á p dụng: Nêu Ip hữu hạn (hoặc không âm),

cộng tính hưu hạn và If liên tục tại 0 thì If c ô n g t í n h đ ế m đ ư ơ c ( h a y

(T-công t í n h ) , tức là, nếu An € c ,n = 1,2, tó dãy các tập rời nhau từng

cặp sao cho

oe

u An e c

71 = 1

Ả, cộng tính đ ế m được thì tồn t ạ i hai đ ộ đo y>+, (f~ xác định trên A sao cho

• M ờ r ô n g đ ô đ o Nếu ụ, là hàm tập không âm xác định trên trường c,

cộng tính đếm được và hữu hạn (hoặc hữu hạn đếm được), thì tồn tại duy

nhất một độ đo ịi : ơ{C) —» [0,00] (xác định trên ơ-trường bé nhất chúa C)

sao cho

A(C) = / i ( C ) , ve é c

Tử đây suy ra hai độ đo trên ơ(C) bằng nhau trên c thì bang nhau trên (T(C)

• Đ ô đ o t í c h Giá sử (íìi, Ai, ịiị), i = Ì, 2 là hai không gian có đ ộ đ o hữu

hạn hoặc hữu hạn đ ế m được K h i đó, tồn t ạ i và duy n h ấ t đ ộ đ o / i i X fi2,

đ ư ợ c gọi là độ đ o tích của ụ-i,ụ-2, trên không gian đ o tích

( í ì i X SÌ2,Ả\ ® Ao) sao cho

/li X ụ.2(Ai X A2) = / i i ( Ẩ i ) / i2( A2) , Ai e Ai, ỉ = 1,2

Ta có công thức sau: v ớ i r > Ì

+00

E | X Ị r = y r x r _ 1P ( | X | > x)dx

• Đ i n h nghĩa t ổ n g q u á t c ủ a k ỳ vong T r ư ớ c hết ta t r ì n h bày vắn t ắ t

cách xây dựng tích p h â n Lebesgue Giả sử (ũ,A,ụ.) là k h ô n g gian có đ ộ đ o ,

T a c ầ n n h ớ c á c k ế t q u ả sau:

Hội tụ theo xác suất kéo theo hội tụ theo phân phối

Hội tụ hầu chắc chắn kéo theo hội tụ theo xác suất Nguợc lại, một dày hội tụ theo xác suất thì có một dãy con hội tụ hầu chắc chắn

Hội tụ trong L r , 0 < r < oo kéo theo hội tụ theo xác suất

(i) ( X n ) hội tụ tới X trong L r ;

(vi) (\X n \ r ) khả tích đầu;

(Hi) l i mn E | X „ r = E | X | r

Hơn nửa, nếu một trong hai điều kiện sau được thục hiện, thì (ỉ), (ũ)

(ill) Slip,, \X n \ v < oo, / ' < / ; < oo:

( v j T o n ift'i y € L , sao c/io | X „ | < y , V/J

31

(lo hữu hạn Ngược l ạ i , giả sử ạ là độ đo ơ-hũu hạn trên A và ự) là hàm

tập ừ-hữu hạn trên A sao cho một trong hai i f + , ự>~ là độ đo hữu hạn Nếu

ọ <^ fi thì tồn tại f : ũ —> Ị—00,00] sao cho Ị là A-đo được, có tích phân Lebesgue và

Hơn nửa, f khá tích Lcbesgue khi vả chỉ khi (f hùn hạn Dạo hàm Nikodym được xác đẤnh duy nhất ỊẤ- hầu khắp nơi (hoặc xác đẤnh duy nhất sai khác một tập có /í độ đo không), túc là nếu / , / là đạo hàm Radon-Nikodym cùa ọ đối với \1 thì

Radon-Nếu ụ, v à V là hai độ đ o t r ê n X , / i « ì/, và g 6 LẤ (ũ, ạ), t hì ta có công

t hức đôi đ ộ đo sau:

gdf.L = Ị 9-Ấ-du, VA € Ả

A A

N ế u X : íì -» lì" Là vector ngẫu nhiên, và Fx liên tục t u y ệ t đ ố i đ ố i với

(lộ đ o Lebesgue A t h ô n g t h ư ờ n g của IR" thì

I b ) = JA

đ ư ợ c gọi là m á t đ ô của X

Đ i n h l ý F u b i n i Giả sù (Ui, Ai, Hi), ì = 1,2 là hai không gian có độ đo hữu

hạn hoặc hữu hạn đếm được, / X i X Ấi2 là độ đo tích trên không gian đo tích

J | / ( u > i , w2) | d ( A t i X M2) < co

q u a n của X,Y đ ư ợ c x á c đ ị n h t h e o c á c c ô n g t h ứ c t ư ơ n g ứ n g sau:

c o v ( X , y ) = E[(X -EX)(Y - EY)Ì = EXY - EXEY

và h à m mật độ của Y được t í n h theo công thức

của X, Y được xác định theo các công thức t ư ơ n g ứng sau:

c o v ( X , Y) = E[(X - EX){Y - EY)] = EXY - EXEY

35

1.2 V e c t o r n g ẫ u n h i ê n

1.2.1 H à m p h â n p h ố i v à h à m đ á c t r ư n g Ta nói rằng X = (Xi, ,Xd)

là vector ngẫu nhiên (ỉ chiều, nếu mỗi t h à n h phần Xk, k = ì, , (ỉ của X là

{LO € CìịXi < xu ,xd < xa} G A

v ớ i r uọ i X — ( T i , ,Xd) í M d

Hàm phân phối của vector X được xác định theo công thức sau:

Hàm này thường được: gọi là h à m p h â n p h ố i đ ồ n g t h ờ i c ủ a c á c b i ế n

n g ẫ u n h i ê n Xi, , Xa và được ký hiệu là:

Fx 1 , ,x d {xi, ,Xd) ••= Ỹ{Xi < x\, ,Xd <

Xé}-K h i d = ì, ta trờ vồ khái niệm biến ngẫu nhiên và h à m p h â n phối (một

chiều); K h i ả — 2, ta t r ờ về khái niệm vector ngẫu nhiên và h à m p h â n phối

hai chiều đã xét ờ trên

Dỗ d à n g định nghĩa vector ngẫu nhiên rời rạc, vector ngẫu nhiên liên tục,

H à m đ á c t r ư n g c ủ a X được xác đinh theo công thức sau:

Ta nhắc: l ạ i rằng: các biến ngẫu nhiên Xi, , Xa độc lập khi và chỉ khi

một trong hai điều kiện tương đuơng sau đẫy được thục hiện:

• Hàm phân phối đảng thời bằng tích các hàm phân phối thành pỈLằn, túc

là,

Fxu ,x d { x u-,Xd) = F Xl (xi) X ••• X F Xd {x d )

• Hàm đặc trung cùa X bằng tích các hàm đặc trưng thành phần, túc là,

.7 = 1

trong đ ó m = ( m i , m à ) G IR là vector n à o đó, Q { t ị , t f ì ) là dạng toàn

p h ư ơ n g xác: đ ị n l i không â m :

ã Q(t) = Q(tu-,t d ) = x j k t j t k

j,k=i

G i à sử (Eị, Bi), ỉ = 1,2 l à hai k h ô n g g i a n đ o , X , : Q - > ì = 1,2 K h i

đ ó Xi,X2 l à (lộc l ậ p n ế u hai Í T - t r ư ờ n g <r(A'i) = x~ (Bi),i = 1,2 đ ộ c ì ậ p

c ó k ỳ v ọ n g h ữ u h ạ n và

EXỵXĩ = EXìEXọ

C á c b i ế n ('ố (A-k, fc = Ì , T ỉ ) là đ ộ c l ậ p , n ế u v ớ i m ọ i t ậ p con / k h á c r ỗ n g của ( Ì , r ì )