Hsg t7 cđ16 ứng dụng nguyên lí dirchlet

- Việc chứng minh nguyên lý này có thể tiến hành bằng lập luận phản chứng rất đơn giản: Giả sử không hộp nào chứa nhiều hơn một đối tượng thì chỉ có nhiều nhất là n đối tượng được xếp tr

CHUYÊN ĐỀ 16 : ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET

I TÓM TẮT LÍ THUYẾT.

- Nguyên lý Dirichlet do nhà toán học người Đức nổi tiếng là Dirichlet đề xuất từ thế kỷ XX đã được

áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm trong nhiều bài toán tổ hợp Nguyên lý này được phát triển

từ một mệnh đề rất đơn giản gọi là nguyên lý “nguyên lý quả cam” hay là nguyên lý “chuồng chim bồ câu”: Giả sử có một đàn chim bồ câu bay vào chuồng Nếu số chim nhiều hơn số ngăn chuồng thì chắcchắn có ít nhất một ngăn có nhiều hơn một con chim

- Một cách tổng quát, nguyên lý Dirichlet được phát biểu như sau: Nếu xếp nhiều hơn n+1 đối tượng vào n cái hộp thì tồn tại ít nhất một hộp chứa không ít hơn hai đối tượng

- Việc chứng minh nguyên lý này có thể tiến hành bằng lập luận phản chứng rất đơn giản: Giả sử

không hộp nào chứa nhiều hơn một đối tượng thì chỉ có nhiều nhất là n đối tượng được xếp trong các hộp, trái với giả thiết là số đối tượng lớn hơn n

- Nguyên lí Dirichlet mở rộng: Nếu nhốt n con thỏ vào m cái chuồng thì tồn tại một chuồng có ít nhất

1 Các bài toán áp dụng nguyên tắc Đirichle thường là các bài toán chứng minh sự tồn tại của sự vật,

sự việc mà không cần phải chỉ ra một cách tường minh sự vật, sự việc đó

2 Nhiều bài toán, nguyên tắc Đirichle chỉ xuất hiện sau khi biến đổi qua một bước trung gian, hoặc

thành lập các dãy số mới

3 Để giải bài toán áp dụng nguyên tắc Đirichle, nhiều khi ta phải kết hợp với phương pháp chứng

minh phản chứng

4 Khi giải các bài toán mà ta đã biết phải áp dụng nguyên tắc Đirichle hoặc dự đoán sẽ phải dùng

nguyên tắc này, chúng ta cần suy nghĩ hoặc biến đổi bài toán để làm xuất hiện khái niệm "thỏ" và

"lồng", khái niệm "nhốt thỏ vào lồng" và thỏa mãn các điều kiện:

+ Số thỏ phải nhiều hơn số lồng

+ Thỏ phải được nhốt hết vào các lồng, nhưng không bắt buộc lồng nào cũng phải có thỏ

5 Cũng có thể có những bài toán phải áp dụng 2, 3 lần nguyên tắc Đirichle

6 Trong suy nghĩ khi giải toán ta cố gắng làm xuất hiện các khái niệm "thỏ" và "lồng", nhưng trong

trình bày phần lời giải ta cố gắng diễn đạt theo ngôn ngữ toán học thông thường

7 Khi giải xong các bài toán áp dụng nguyên tắc Điriclê, chúng ta cố gắng suy nghĩ để sáng tạo ra

được các bài toán tổng quát hơn hoặc cụ thể hơn Vì chỉ có như thế ta mới thật nắm chắc bài toán mà mình đã làm

II.CÁC DẠNG BÀI TẬP:

DẠNG 1 SỰ TƯƠNG HỖ

Bài 1 Có 5 đấu thủ thi đấu cờ, mỗi người đấu một trận với mỗi đấu thủ khác Chứng minh rằng trongsuốt thời gian thi đấu, luôn tồn tại hai đấu thủ có số trận đã đấu bằng nhau

Phân tích: Ta thành lập được các cái lồng đó là các lồng chứa số trận đã đấu của các đấu thủ (có 4

lồng), số đấu thủ ta coi là các con thỏ.

Lời giải

4 không thể cùng chứa người Như vậy chỉ có 4 lồng, mà có 5 người, tồn tại 2 người trong cùng mộtlồng tức là tồn tại hai đấu thủ có số trận đấu bằng nhau

Bài 2 Cho 5 người tùy ý CMR trong số đó có ít nhất 2 người có số người quen như nhau (hiểu rằng

A quen B thì B quen A)

Phân tích: Chú trọng đến câu hỏi “ 2 người có số người quen như nhau”

Từ đó hiểu rằng 5 người đóng vai trò là số thỏ Ta có thể tạo ra các lồng như sau:

Lồng 1 chứa số người không quen ai, lồng 2 chứa số người có số người quen là 1,…

Lời giải

Gọi lồng 1 chứa những người có số người quen là 1

…

Gọi lồng 4 chứa những người có số người quen là 4

Như vậy ta có 5 lồng Nếu lồng 0 có chứa ai đó thì lồng 4 phải trống Ngược lại nếu lồng 4

có chứa ai đó thì lồng 0 phải trống

người đó có số người quen như nhau

Bài 3 Có 10 đội bóng thi đấu với nhau mỗi đội phải đấu một trận với các đội khác CMR vào bất cứlúc nào cũng có hai đội đã đấu số trận như nhau (kể cả số trận đấu là 0)

Phân tích: Hiểu tương tự như bài toán trên.

Lời giải

Gọi A là phòng chứa các đội có số trận đấu là 0 0

Gọi A là phòng chứa các đội có số trận đấu là 1.1

…

Gọi A là phòng chứa các đội có số trận đấu là 9.9

một phòng hay có ít nhất 2 đội có cùng số trận đấu như nhau

Bài 4 Có 6 đội bóng thi đấu với nhau (mỗi đội phải đấu 1 trận với 5 đội khác) CMR vào bất cứ lúcnào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào.

Phân tích: Coi 6 đội bóng là 6 con thỏ vậy ta tìm cách thành lập các lồng Vì bài toán yêu cầu tận 3đội tức 3 con thỏ trong một lồng nên trước tiên ta cần chọn ra 1 con thỏ rồi xét các con thỏ khác cùng tính chất (đã đấu hay chưa đấu) với con thỏ đã chọn Như vậy, khi đó ta tạo ra các lồng như sau : Lồng 1 chứa các đội chưa đấu với đội chọn ra trận nào, lồng 2 chứa các đội đã đấu với đội đã chọn.

Lời giải

Giả sử 6 đội bóng đó là A B C D E F, , , , , Xét đội A :

Theo nguyên lý Dirichlet ta suy ra: A phải đấu hoặc không đấu với ít nhất 3 đội khác

với nhau

Như vậy bất cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu vớinhau trận nào

Bài 4. Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2 và chỉ có 2 học sinh được điểm 10

Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau ( điểm kiểm tra là một

số tự nhiên từ 0 đến 10)

Lời giải

Như vậy , khi phân chia 43 học sinh vào 8 loại điểm kiểm tra ( từ 2 đến 9 ) thì theo nguyên lí Dirichlet

Bài 5 Có 17 nhà toán học trao đổi với nhau về 3 vấn đề Mỗi người tra đổi với một người về 1 vấn đề.CMR cũng có ít nhất 3 nhà toán học trao đổi với nhau về cùng một vấn đề (I và II, II và III, III và I)

Phân tích: Tương tự như 17 điểm được nối với nhau bằng 3 màu à luôn tồn tại một tam giác

với 3 cạnh cùng màu tức là 3 nhà toán học trao đổi với nhau về cùng một vấn đề.

Lời giải

Một nhà toán học trao đổi với 16 nhà toán học khác về 3 vấn đề nên theo nguyên lý Dirichlet

có ít nhất 6 người sẽ được một người trao đổi về cùng một vấn đề, giả sử đó là vấn đề I

6 người này lại trao đổi với nhau về 3 vấn đề:

+ TH1: Nếu có 2 người nào đó cùng trao đổi về vấn đề I thì bài toán được chứng minh

+ TH2: Nếu không có 2 người nào cùng trao đổi về vấn đề 1 thì 6 người này chỉ trao đổi về 2vấn đề II và III

Một người trao đổi với 5 người còn lại về 2 vấn đề II và III Theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất

3 người cùng được một người trao đổi về 1 vấn đề, giả sử đó là vấn đề II Ba người này lại tiếp tục traođổi với nhau:

+ TH1: Nếu có 2 người nào đó cùng trao đổi với nhau về vấn đề II thì bài toán được chứngminh

+ TH2: Nếu không có 2 người nào cùng trao đổi với nhau về vấn đề II thì cả 3 người này traođổi với nhau về vấn đề III suy bài toán cũng đã được chứng minh

Vậy luôn có ít nhất 3 nhà toán học trao đổi với nhau về cùng một vấn đề

DẠNG 2 SỰ SẮP XẾP

Bài 1 Cho một bảng vuông 4 x 4 Trên 16 ô của bảng, ta đặt 16 số tự nhiên từ 1 đến 16 Chứng minhrằng tồn tại hai ô kề nhau (tức là hai ô có một cạnh chung ) sao cho hiệu các số ở hai ô đó lớn hơn hoặcbằng 3

Phân tích: Vì yêu cầu liên quan đến hiệu hai ô cạnh nhau (hiệu 2 số trong hai ô) nên ta coi số các hiệu có thể của hai ô cạnh nhau là số thỏ, số các cặp ô cạnh nhau từ ô ghi số 1 đến ô ghi số 16 là các lồng.

Lời giải

Xét hàng có ô ghi số 1 và cột có ô ghi số 16 Hiệu giữa hai số này là 15 (coi như là 15 thỏ) Số cặp ô kềnhau từ ô ghi số 1 đến ô ghi số 16 nhiều nhất là 6 (gồm 3 cặp ô chung cạnh tính theo hàng và 3 cặp ô

Vậy theo nguyên lý Dirichlet luôn tồn tại hai ô vuông chung cạnh mà hiệu các số ghi trong chúngkhông nhỏ hơn 3

Cách khác:

Chuyển từ một ô bất kì sang ô kề nó gọi là một bước Xét hai

ô ghi số 1 và số 16 chuyển từ ô ghi số 1 đến ô ghi số 16 chỉ cần

không quá 6 bước chuyển (nhiều nhất là 3 bước theo hàng ngang,

3 bước theo hàng dọc) Tồn tại một bước chuyển có hiệu lớn hơn

hoặc bằng 3 Thật vậy giả sử tất cả các bước chuyển đều nhỏ hơn

hoặc bằng 2 thì từ số 1, qua không quá 6 bước chuyển tăng thêm

không quá 12, không đạt được đến số 16

Vậy tồn tại hai ô kề nhau có hiệu các số của hai ô đó lớn hơn hoặc bằng 3

Bài 2 Viết 16 số, mỗi số có giá trị bất kỳ là 1, 2,3, 4 Ghép thành từng cặp 2 số được 8 cặp số Chứngminh rằng tồn tại hai cặp số mà tồng các số trong hai cặp đó bằng nhau

Phân tích: Ta sắp xếp các tổng của các cặp theo thứ tự từ lớn đến bé thì lớn nhất là 8 còn bé nhất là 2

được dãy các tổng2,3, 4,5,6,7,8 Ta coi các tổng này là các lồng, còn các con thỏ là các cặp có thể

Lời giải

Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai tổngbằng nhau, tức là tồn tại hai cặp có tổng bằng nhau

Bài 3 Người ta chia một hình vuông thành 16 hình vuông nhỏ bằng cách chia mỗi cạnh thành 4 phần

từng cột, từng hàng và từng đường chéo Chứng minh rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại 2 tổng

có giá trị bằng nhau

Phân tích: Có bao nhiêu tổng theo cột, theo hàng, theo đường chéo đó chính là “số thỏ” Mỗi tổng có

thể có giá trị bao nhiêu Số giá trị của tổng sẽ là số “lồng”.

Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai tổng có giá trị bằngnhau

Bài 4 a) Trên một bảng ô vuông kích thước 6 6 ta viết vào mỗi ô của bảng một trong các số 1; 0; 1

sau đó tính tổng của các số theo từng cột, theo từng dòng và theo từng đường chéo Chứng minh rằngluôn tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau

một cách tùy ý Chứng minh rằng luôn tồn tại hai ô vuông chung cạnh mà hiệu các số ghi trong chúngkhông nhỏ hơn 4

Phân tích: a) Bài toán yêu cầu kết quả liên quan đến tổng nên ta coi các tổng là các con thỏ còn các

hàng, cột, đường chéo là các lồng.

b) Vì yêu cầu liên quan đến hiệu hai ô cạnh nhau (hiệu 2 số trong hai ô) nên ta coi số các hiệu có thể

của hai ô cạnh nhau là số thỏ, số các cặp ô cạnh nhau từ ô ghi số 1 đến ô ghi số 36 là các lồng.

Lời giải

tính theo dòng, theo cột và theo đường chéo Mỗi dòng, mỗi cột và đường chéo đều ghi 6 số thuộc tập

14 tổng nhận trong tập 13 giá trị khác nhau nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất hai tổng cócùng một giá trị

b) Xét hàng có ô ghi số 1 và cột có ô ghi số 36 Hiệu giữa hai số này là 35 (coi như là 35 thỏ) Số cặp ô

kề nhau từ ô ghi số 1 đến ô ghi số 36 nhiều nhất là 10 (gồm 5 cặp ô chung cạnh tính theo hàng và 5 cặp

Vậy theo nguyên lý Dirichlet luôn tồn tại hai ô vuông chung cạnh mà hiệu các số ghi trong chúngkhông nhỏ hơn 4

Bài 5 Mỗi ô vuông của bảng kích thước 10 10 (10 dòng, 10 cột) được ghi một số nguyên dươngkhông vượt quá 10 sao cho bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung mộtđỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần

Lời giải

Phân tích đề bài ta tạo ra các con thỏ và các cái lồng như sau: Số các con thỏ chính là các số cách c

cho 3

số chia hết cho 3 Do đó, có ít nhất 50 số còn lại không chia hết cho 2 và cũng không chia hết cho 3 Vì

số xuất hiện ít nhất 17 lần

Bài 6 Có 20 người quyết định đi bơi thuyền bằng 10 chiếc thuyền đôi Biết rằng nếu hai người A và B

mà không quen nhau thì tổng số những người quen của A và những người quen của B không nhỏ hơn

19 Chứng minh rằng có thể phân công vào các thuyền đôi sao cho mỗi thuyền đều là hai người quennhau

Lời giải

Nếu trong 20 người không có hai người nào quen nhau thì tổng số người quen của hai ngườibất kì là 0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết là tổng số người quen của hai người không nhỏ hơn 19.Vậy tồn tại một số cặp quen nhau

Ta xếp mỗi cặp quen nhau đó vào một thuyền đôi

Gọi k là số lượng thuyền lớn nhất mà trong đó ta có thể xếp được những cặp quen nhau vào

những người đôi một không quen nhau

Chọn hai người A và B trong tập hợp M Theo bài ra thì tổng số người quen của A và số ngườiquen của B không nhỏ hơn 19 và những người quen A hoặc quen B đã được xếp vào thuyền rồi

Như vậy có 19 người quen A hoặc B được xếp vào nhiều nhất là 9 thuyền đôi (trừ 1 thuyền vì

A, B chưa được xếp), nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất một thuyền chở 2 người quen cả A và

B (thuyền thứ i nào đó)

Theo cách xếp này ta tiếp tục xếp đến hết 10 thuyền sao cho mỗi thuyền hai người đều quennhau

Bài 7 Cho tập A 1; 2;3; ;16

Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con

Lời giải

là giá trị nhỏ nhất cần tìm Điều đó có ý nghĩa là với mọi tập con X gồm 9 phần tử bất kỳ của A luôn

Để chứng minh khẳng định trên ta chia tập A thành các cặp hai phần tử phân biệt a b, mà

1; 4 , 2;3 , 5;8 , 6;11 , 7;10 , 9;16 , 12;13 , 14;15               Theo nguyên lý Dirichlet thì 9 phần tử của X

có hai phần tử cùng thuộc một cặp và ta có điều phải chứng minh

DẠNG 3 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRRICHLE VÀO TOÁN CHIA HẾT

Khi chia số a cho số m  luôn có m khả năng về số dư là 0,1,….,0 m  (“m chuồng “).Do vậy1

luôn tồn tại hai số có tận cùng là 0 và hơn kém nhau 10

Do đó trong hai số này tồn tại ít nhất một số có chữ số hàng chục nhỏ hơn 9, kí hiệu số đó là:

Trong 11 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại một số chia hết cho 11

Do vậy, ta có điều phải chứng minh

Bài 2 Cho 2021 số tự nhiên bất kì Chứng minh rằng trong các số đó có một số chia hết cho 2021 hoặcmột tổng các số trong các số đã cho chia hết cho 2021

 Trường hợp 1: Nếu có một số hạng nào của dãy chia hết cho 2021 thì bài toán được chứngminh.

chia mà số dư chỉ gồm 1, 2, , 2020 do đó theo nguyên lý Dirichle có ít nhất hai số hạng của

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Bài 3 Cho 12 số tự nhiên khác nhau có hai chữ số Chứng minh rằng tồn tại hai số có hiệu là một số

có hai chữ số như nhau

Lời giải

Có 12 số tự nhiên khác nhau, mà chỉ có 11 số dư trong phép chia cho 11, do đó tồn tại hai số có cùng số dư trong phép chia cho 11 Hiệu của chúng là một số chia hết cho 11, đó là số có hai chữ số như nhau

Bài 4 Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng tồn tại ít nhất 2 số có hiệu chia hết cho10

Khi đó 1994 199400 0 chia hết cho 1995 (đpcm)

Bài 6 Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho (1999k 1) chia hết cho 104.

Lời giải

Lấy tất cả các số trên chia cho 104 sẽ chỉ có 103 khả năng dư là 1 ; 2 ; 3 ; .; 103 (chú ý: sẽ không có số dư 0 vì 1999 và 104 là hai số nguyên tố cùng nhau nên 1999 mũ bao nhiêu cũng không

chia hết cho 104)

Mà dãy số trên có 104 số nên sẽ có ít nhất hai số khi chia cho 104 có cùng số dư

Mà dãy số trên có 2003 số hạng nên sẽ có ít nhất hai số khi chia cho 2003 có cùng số dưGọi hai số có cùng số dư khi chia cho 2003 là 11 11 m chu so 1

Trong 19 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại 10 số tự nhiên liên tiếp có chữ số hàng chục giống nhau ,

còn các chữ số hàng đơn vị là dãy 0;1;2;3;…;9.Do đó tổng các chữ số của mỗi số cũng là một dãy 10

số tự nhiên liên tiếp , vì thế tồn tại số có tổng các chữ số chia hết cho 10

Bài 10 Cho dãy số gồm 5 số tự nhiên bất kì a a a a a Chứng minh rằng tồn tại một số chia 1, , , , 2 3 4 5

hết cho 5 hoặc tổng của một số số trong dãy chia hết cho 5

từ 1 đến 4

Có 5 số dư mà chỉ có 4 giá trị (5 thỏ, 4 lồng) Theo nguyên tắc Điriclê ít nhất phải có 2 số dư

phải có một số chia hết cho 11

Bài 12 Chứng minh rằng trong 52 số tự nhiên tùy ý, chí ít cũng có một cặp gồm hai số sao cho hoặc tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100

Lời giải

Để làm xuất hiện số "thỏ" và số "lồng ta làm như sau:

Trong tập hợp các số dư trong phép chia cho 100 ta lấy ra từng cặp số sao cho tổng các cặp đó bằng 100 và thành lập thành các nhóm sau:

0;0 , 1;99 , 2;98 , 3;97 , 4;96 , 5;95 , 6;94 49;51 , 50;50                  Chú ý rằng sẽ có 50 cặp

- Đem chia 52 số tự nhiên cho 100 sẽ có 52 số dư ( 52 thỏ)

- Có 52 số dư mà chỉ có 51 nhóm, theo nguyên tắc Đirichle ít nhất cũng phải có 2 số dư cùng rơi vào một nhóm

Rõ ràng là cặp số tự nhiên ứng với cặp số dư này chính là hai số tự nhiên có tổng hoặc hiệu chia hết cho100 (đpcm)

Bài 13 Cho dãy m số tự nhiên bất kì a a1, , ,2 a Chứng minh rằng tồn tại một số hạng chia hết cho m

m hoặc tổng của một số số trong dãy chia hết cho m m  ( *)

Lời giải

Xét dãy số b1=a b1, 2=a1+a2, ,b m =a1+a2+ +a m

(a +a + +a m k)M

(b b i j) m hay a( j a j a m i)

Nhận xét : Phương pháp “tạo thỏ “ trong ví dụ này là dựa vào phép toán cộng và yêu cầu về

tính liên tiếp của các số hạng trong dãy ban đầu của đề bài

Bài 14 Cho bốn số tự nhiên phân biệt a> > > Chứng minh rằng : b c d

( )( )( )( )( )( ) 12

Lời giải

Do vậy P chia hết cho 3 (1)

chẵn , hai số lẻ , giả sử a c , chẵn và b d, lẻ (a c- ) 2M và (b d- ) 2M

(đpcm)