sang kien kinh nghiem ung dung dinh li viet

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘISÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài “ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI - ÉT GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI CÓ THAM SỐ ” Lĩnh vực:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài

“ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI - ÉT GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH

BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI CÓ THAM SỐ ”

Lĩnh vực: Toán

Cấp học: THPT Người viết đề tài: Nguyễn Thanh Nam

Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Tân Lập

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

MÃ SKKN

Trong chương trình môn Toán bậc THPT hiện nay có rất nhiều bài toán có tham

số liên quan tới phương trình bậc 2, quy về bậc 2, và trong số đó xuất hiện nhiều và đa dạng các bài toán “Tìm điều kiện để một phương trình có nghiệm, có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm, bốn nghiệm …” Đây thực chất là các bài toán so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với một số thực  , nếu xem xét các dạng toán này theo quan

điểm, chương trình bộ sách giáo khoa cũ thì các em học sinh không khó để có thể giải quyết bởi vì trong chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10, các em được trang bị đầy đủ nội dung các định lý thuận, đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả Nhưng hiện nay theo bộ sách giáo khoa mới đang phát hành thì phần kiến thức liên quan tới định lý đảo

và các hệ quả đã được giảm tải Đứng trước vấn đề “Không có công cụ đó thì cần tìm

hướng nào để bằng kiến thức các em đang được học trong sách giáo khoa các em vẫn có thể giải được các dạng toán đó?” Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tòi, phát

hiện, tạo hứng thú trong quá trình học bộ môn Toán, và hơn nữa là góp phần nâng cao

chất lượng giảng dạy, nay tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng định lý

Vi-ét giải một số dạng toán phương trình bậc 2 – quy về bậc 2 có tham số”.

2/ Mục đích nghiên cứu

Qua đề tài này, tôi muốn giúp học sinh phát triển tư duy, nâng cao kỹ năng ứng dụng định lý Vi- ét giải các bài toán phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số.

3/ Pham vi và đối tượng nghiên cứu:

“Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng toán phương trình bậc 2 – quy về bậc 2 có tham số”.

+ Hệ thống một số dạng toán điển hình và phương pháp giải

+ Lấy ví dụ mẫu từ dễ đến khó, hướng dẫn cho học sinh phân tích, định hướng cách giải, cho học sinh làm bài theo nhóm

+ Giao bài tập về nhà cho học sinh làm, kiểm tra và chỉnh sửa lỗi cho học sinh.

4/ Phương pháp nghiên cứu:

+ Nghiên cứu lý luận: đọc tài liệu liên quan tới đề tài

+ Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học: giao cho học sinh làm bài toán từ đơn giản đến khó, với các bài toán khó tạo tình huống gợi vấn đề giúp học sinh định hướng cách giải và tự giải được các bài toán đó.

+ Tổng kết rút kinh nghiệm: tìm ra những thuận lợi, khó khăn khi giải quyết các bài toán ở những lớp trước.

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT.

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

 Nếu   0 thì phương trình (1) vô nghiệm.

 Nếu   0 thì phương trình (1) có nghiệm kép 1 2

 Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm

 Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R� : ax 2   bx c 0 1  a� 0 có hai nghiệm

 Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu � P 0

 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu

0 0

P S

P S

1.2PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

Trong phần này tôi sẽ trình bày phương pháp giải quyết một cách tổng quát một số dạng toán liên quan đến phương trình bậc 2, và quy về bậc 2 trong tập số thực R: Thay vì so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với một số thực  , ta sẽ biến đổi để đưa về so

sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0

1

Các bước giải bài toán: “Tìm giá trị của tham số để phương trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn điều kiện K”

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

Bước 2: Áp dụng định lí Vi – ét tính: x1 x x x2 ; 1 2

Bước 3: Biểu diễn điều kiện K theo x1 x x x2 ; 1 2 để tìm giá trị của tham số thỏa mãn K.

Bước 4: Kết hợp các giá trị của tham số ở bước 3 với điều kiện của tham số để phương

trình có nghiệm rồi kết luận

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn x12 x22  10

a) Hai nghiệm trái dấu

b) Hai nghiệm phân biệt đều dương

m m

m m

b) Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt đều dương

 

 

 

2 '

a) Phương trình vơ nghiệm

b) Phương trình cĩ đúng một nghiệm

c) Phương trình cĩ đúng hai nghiệm phân biệt

d)Phương trình cĩ đúng ba nghiệm phân biệt

e) Phương trình cĩ đúng bốn nghiệm phân biệt

Giải Đặt y = x2 , y 0 Khi đĩ:pt(1) trở thành y2+(1-2m)y+m2-1 = 0 (2)

(loại) -1 y

3





 2

5

0 4 5 0

4 5 5

2 5

Bài toán 3 Cho phương trình: ax 2   bx c 0 1  a� 0,x R� 

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x� 

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x� 

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1    x2.

d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa:   x1 x2.

e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 x2  .

Giải.

 Đặt t x   �x t   , thay vào pt (1) ta được pt: at2 2a b t a   2 b  c 0 2 

a) Để phương trình (1) có nghiệm x�  � pt (2) có nghiệm t� 0

c) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1    x2 � pt (2) có 2 nghiệm t1   0 t2 �P 0

d) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa    �x1 x2 pt (2) có 2 nghiệm

Nhận xét: Thoạt nhìn thì bài toán này mang đậm dấu ấn dùng kiến thức so sánh nghiệm

của một tam thức bậc 2 với số thực  , và bằng cách làm như trên ta đã hướng dẫn học

sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng dựa vào định lý Viet và các ứng dụng, tránh không sử dụng kiến thức về tam thức bậc 2 đã được giảm tải trong sách giáo khoa.

Ví dụ: Cho phương trình: x2  2mx m 2   m 1 0 1 

b) Để phương trình (1) có nghiệm x� � 1 phương trình (2) có nghiệm t� 0

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1   1 x2 � phương trình (2) có 2 nghiệm:

2

 Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1   �x2 1 phương trình (2) có 2 nghiệm:

2

1 2

1 0 ' 0

Nhận xét: Đây chỉ là một ví dụ minh họa cho bài toán tổng quát, tương tự học sinh có

thể giải rất nhiều bài toán như vậy với phương pháp như trên mà không sử dụng kiến thức về tam thức bậc hai Rất nhiều em học sinh sau khi được học ứng dụng của đạo hàm để giải một số dạng toán “Tìm tham số m để phương trình f x m ,   0 có

nghiệm?”, thì khi gặp bài tập này cũng lúng túng không giải quyết được vì không thể đưa bài toán về dạng: g m  h x  để khảo sát Do đó cách chuyển hóa phương trình

như trên, đưa bài toán về so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với số 0 dựa vào ứng dụng định lý Vi-et là một lựa chọn tối ưu trong bối cảnh các kiến thức về so sánh nghiệm của một tam thức bậc 2 với một số thực  đã được giảm tải trong sách giáo

khoa.

Bài toán 4 Cho phương trình: x a x b x c x d           k 1 với a c b d   .

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

c) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt �phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:

(Trong đó  là biệt thức của phương trình (2), P t t S t 1 2 ,   1 t2)

Nhận xét:Trong các tài liệu sách giáo khoa, hoặc sách tham khảo, cách giải đưa ra đối

với dạng toán này là đặt: t x 2  a c x với điều kiện  2

Ví dụ: Cho phương trình: x x  m 1x m 1x 2 m 3m 2 1 

, với tham số m� 0

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

Giải.

 Ta biến đổi phương trình (1) �x2  2 mx x 2  2 mx m   1 3m 5 2 

 Đặt tx2  2 mx m t  � 0, thay vào phương trình (2) ta được phương trình:

thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

d) Phương trình (1) có 4 nghiệm phận biệt � phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:

thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

Bài toán 5 Cho phương trình: ax 4 bx3 cx2   bx a 0 1  a� 0

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm dương

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm âm

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm

d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

(Thông thường tới đây học sinh sẽ đặt 1  

at   bt c a và việc giải quyết các yêu cầu đặt ra sẽ khó khăn vì học sinh không

được trang bị công cụ Để giúp học sinh vượt qua trở ngại này chúng ta giải quyết như

d) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ta xét các trường hợp sau;

0 0

P P

Nhận xét: Với cách tiếp cận này học sinh cũng có thể dễ dàng giải quyết các bài toán

như: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm, 3 nghiệm.

Ví dụ: Cho phương trình: x4  2mx3 m2  3m 4x2  2mx  1 0 1 

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm

d) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ta xét các trường hợp sau:

2 0 0

m

m S

2 0 0

m

m S

2 2

ax bx c ax bx c 0 1 0;a 0

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

Giải.

 Xét a > 0 (với a < 0, làm tương tự)

 Ta có

2 22

b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm thỏa

(Trong đó  là biệt thức của pt (3), S t  1 t2 , P t t 1 2 )

kiện

 2 4 4

      , và để giải quyết các yêu cầu của bài toán học sinh sẽ gặp trở ngại vì cần

so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với một số thực khác 0 Chính vì thế với cách giải đã trình bày ở trên tạo cho các em học sinh rất hứng thú, vì các em có thể sử dụng một công cụ đơn giản, quen thuộc là định lý Viet để giải dạng toán này.

x  2x  2m x  2x   m 3 0 1

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

� � thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

c) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm thỏa t1   0 t2, hoặc

phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa 0 t  1 t2.

� thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét:Tương tự ta cũng có thể giải quyết được ngay bài toán: “Tìm m để pt (1) có

nghiệm duy nhất”.

Bài toán 7 Cho phương trình ax 2 b x2     c 0 1  với   0,a� 0

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) có 2 nghiệm thỏa

(Trong đó  là biệt thức của pt (3), S t  1 t2 , P t t 1 2 )

,

và đưa về phương trình bậc 2 có dạng: at2  bt c a  0, khi đó để giải quyết các câu

hỏi đặt ra thì đều phải sử dụng tới định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, hoặc sử dụng công cụ đạo hàm Cả hai cách này đều không phù hợp với tư duy, kiến thức của học sinh lớp 10, 11 và ngay cả đối với học sinh lớp 12, bởi vì công cụ dùng đạo hàm để giải không phải lúc nào cũng tối ưu.

Ví dụ: Cho phương trình x 2 m x2   1 3m  2 0 1  .

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

 Kết luận: với 2 

; 8 68;

3

� � thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:

thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

c) Để pt (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau:

thì pt (1) có nghiệm duy nhất

Bài toán 8 Cho phương trình: ax 2    bx c x   1

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

a) Để phương trình (1) có nghiệm thì pt (3) có nghiệm t�0

0 0

1 0

 TH3: Phương trình (3) có nghiệm

1 2

1 0 0

0 0

a

P S

0 0

a

P S

c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm t� 0

0 0

1 0

0 0

a

P S

(Trong đó  là biệt thức của phương trình (3), S t  1 t2 , P t t 1 2 )

Nhận xét: Dạng toán này hay xuất hiện trong chuyên đề về phương trình chứa căn, và

những bài toán như thế cũng từng xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, nhưng tất cả đều đưa ra phương án là đi so sánh nghiệm của phương trình (2) với số thực 

Song với cách giải như trên thì ta đã đưa bài toán về so sánh nghiệm của phương trình (3) với số 0.

Ví dụ: Cho phương trình: 2x 2  2m 1 x m 2   m x 1 1 

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

 Đặt t x  1, vì x � 1 0 nên ta có điều kiện t� 0, thay vào phương trình (2) ta được phương trình: t2  2m 1t m 2  m 0 3 

a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm t� 0

b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm

c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm t�0

Ví dụ: Cho phương trình: 4x21 2m 1 2 x22 m2  3m 0 1 

 TH2: Phương trình (3) có nghiệm

2 2

1 2

3 7 1 0 ' 0

b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn các trường hợp sau:

c) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) có nghiệm thỏa:

2 2

1 2

3 7 1 0 ' 0

Bài 1 Cho phương trình: x2  2x 2mx  4 m 1

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn x12 x22  12.

Bài 2 Cho phương trình: mx2  2m 1 x 4m  1 0 1 

a)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đều âm.

c)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đều dương.

Bài 3 Cho phương trình: m 2x4  2m 1x2  2m  1 0 1 

a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.

Bài 4 Cho phương trình: x2 3m 1x 2m2  4m 0 1 

a)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x�  1.

b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa:   �1 x1 x2.

c)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1    1 x2.

d)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x�  1; �

Bài 5 Cho phương trình: x4  2m 1 x3 3m 2 x2  2m 1 x  1 0 (1)

a)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

b)Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.

c)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương.

d)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm.

Bài 6 Cho phương trình: x 1 x 2 x 3 x  4 2m 1  1

a)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c)Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.

d)Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.

2 x  4x 2  3 2m 1 x  4x  2 m  3m  1 0 1

a)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

b)Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.

c)Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.

d)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

Bài 8 Cho phương trình: x2 3m 2 x2   2 2m2  3m  3 0 (1)

a)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c)Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.

d)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

Bài 9 Cho phương trình: 2x2  3mx 2m2   m x m  1

a)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

Nguyễn Thanh Nam

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phương pháp dạy học môn Toán.

Tác giả: Vũ Dương Thụy – Nguyễn Bá Kim – NXB Giáo dục

2 Giải một bài Toán như thế nào.

Tác giả: G.Polya – NXB Giáo dục.

3 Trong tâm kiến thức Đại số lớp 10.