TLBD HSG CHUYÊN đề ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH đảo

Qua phép nghịch đảo tâm O biến đường thẳng d không đi qua tâm O thành đường tròn đi qua tâm O.. ii Đường kính OA của đường tròn ảnh: '' A là ảnh của A qua phép nghịch đảo, trong đó A là

Bài 2: ẢNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Giáo viên thực hiện chuyên đề: Nguyễn Chí Trung

Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tỉnh/TP: HCM.

Giáo viên phản biện chuyên đề: Nguyễn Thị Hồng Nhung

Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Tiền Giang Tỉnh Tiền Giang.

N hay N , biến A thành ' A ; B thành ' B thì hai tam giác OAB

đồng dạng tam giác OB A' ' Đồng thời ' '

Tính chất 2 Qua phép nghịch đảo tâm O biến đường thẳng qua tâm O thành chính nó

Tính chất 3 Qua phép nghịch đảo tâm O biến đường thẳng d không đi qua tâm O thành đường tròn đi

qua tâm O Với các tính chất sau:

PHẲNG

CHUYÊN ĐỀ : PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG

i) Đường thẳng nối tâm O và tâm đường tròn

thì vuông góc với đường thẳng d

ii) Đường kính OA của đường tròn ảnh: '' A là

ảnh của A qua phép nghịch đảo, trong đó A là

hình chiếu của tâm nghịch đảo O trên đường

thẳng d

(Ảnh của A là A'; Ảnh của M là M')

iii) Tâm đường tròn ' I : là ảnh của I qua phép nghịch đảo, trong đó I đối xứng với tâm O qua đường thẳng d

iv) Bán kính của đường tròn:

( , )

2 O d

k r

d

=

Tính chất 4 Qua phép nghịch đảo tâm O , đường tròn qua tâm O biến thành đường thẳng vuông góc với

đường nối tâm O và tâm đường tròn.

Tâm I biến thành ' I đối xứng với O qua l với l là ảnh của ( )I

Tính chất 5 Ảnh của một đường tròn ( )C không đi qua tâm nghịch đảo là một đường tròn ( )C Đặc'

biệt, (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O, tỉ số

Ví dụ 1: Cho đường tròn ( )O đường kinh BC Một điểm A nằm ngoài đường tròn Gọi ', ' B C

lần lượt là giao điểm của AC BD Gọi H là giao điểm của ; BB và ' CC' Gọi M N lần lượt là,

hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến qua A đến ( )O Chứng minh rằng , , H M N thẳng hàng

Lời giải

Gọi A' là hình chiếu của A lên cạnh BC.

N

A H do AA AH AB AC AMN MN

¬ →

¬ →

¬ →

Mặt khác ta lại có : ·ONA OMA OA A= · =· ' =900

Suy ra ' (A ∈ AMN) Do đó H∈MN Vậy M H N, , thẳng hàng

Ví dụ 2: Đường tròn nội tiếp ( )I của tam giác ABC tiếp xúc với BC CA AB tại , , , , D E F Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác DEF , tâm đường tròn nội tiếp I và tâm đường tròn

ngoại tiếp O của tam giác ABC thẳng hàng

Lời giải

Xét phép nghịch đảo N( )I r, 2 Qua phép nghịch đảo này, đường tròn ( )I biến thành đường tròn ( )I , còn

ba điểm , ,A B C lần lượt biến thành ba điểm , , A B C′ ′ ′ theo thứ tự là trung điểm EF FD DE Vì vậy, ,đường tròn ( )O biến thành đường tròn Ơ-Le của tam giác DEF Suy ra , , O H I thẳng hàng.

Ví dụ 3: Cho đường tròn đường kính AB , C là điểm thay đổi trên ( )AB sao cho tam giác ABC

không cân tại C Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ C vẽ HE HF lần lượt,vuông góc với AC BC EF và AB cắt nhau tại K Gọi D là giao điểm thứ hai của , ( )AB và

(CH Chứng minh , ,) D K C thẳng hàng.

Lời giải

Gọi M N P, , lần lượt là giao điểm của ( )I, r với AB AC BC, ,

A B C', ', ' lần lượt là giao điểm của IA IB IC, , với MN MP NP, ,

Khi đó theo tính chất của đường tròn nội tiếp tam giác, ta có:

Ví dụ 5: Cho đường tròn ( )O và điểm  S nằm ngoài ( ) O , AB là đường kính thay đổi.

a) Chứng minh rằng đường tròn (SAB đi qua điểm cố định khác S )

b) SA SB lần lượt cắt( ), O tại , M N Chứng minh rằng MN đi qua điểm cố định.

Lời giải

a) Gọi I là giao điểm của SO và ( SAB)

Xét phép nghịch đảoω có tâm P, phương tích là k=PX PY.

Gọi A' là giao điểm của PA với đường tròn đường kính AC Qua ω thì:

+ Ảnh của A là A'; ảnh của M là C Do đó ảnh của AM là đường tròn (PA C' )

Mặt khác, do AC là đường kính nên ·CA P' =900 =PZC· nên (PA C' ) đi qua Z

+ Tương tự, ảnh của DN cũng là một đường tròn đi qua Z

Ảnh của XY đi qua tâm nghịch đảo P là đường thẳng XY đi qua Z

+ Ảnh của ba đường thẳng AM DN XY , có một điểm chung Z khác tâm nghịch đảo P nên cácđường thẳng AM DN XY , đồng quy

Bài 2: (Centro American Math Olympiad) Cho tứ giác nội tiếp ABCD với AB CD< P

là giao điểm của AD và BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD cắt đường thẳng AB

tại các điểm Q và R Gọi S T, là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ P đến (ABCD).Chứng minh rằng Q R S T, , , cùng nằm trên đường tròn

Lời giải

Suy ra Q R S T, , , cùng nằm trên đường tròn tâm P.

Bài 3: (VMO 2011) Cho đường tròn ( )O đường kính AB P là một điểm trên tiếp tuyến của

( )O tại B ; ( P khác B ) Đường thẳng AP cắt ( )O lần thứ hai tại C D là điểm đối xứng với

C qua O Đường thẳng DP cắt ( )O lần thứ hai tại E Chứng minh rằng AE BC PO đồng quy , ,

tại M

Lời giải

Xét phép nghịch đảo f tâm P phương tích k =P P O/( )

Khi đó qua f thì A biến thành C , E thành D ; giữ nguyên B ; ảnh của AE là đường tròn

(PCD ; ảnh của ) BC là đường tròn (PAB ; ảnh của ) PO là PO Ta cần chứng minh (PCD ,) (PAB ,)

PO có 1 điểm chung khác P Hay chứng minh PO là trục đẳng phương của (PCD và ) (PAB )

Ta có: OA OB OC OD. = . nên PO là trục đẳng phương của hai đường tròn (PCD ,) (PAB )

Bài 4: (Trung Quốc TST 2015) Cho tam giác ABC cân tại A với AB AC BC= > Gọi

D là một điểm trong tam giác ABC sao cho DA DB DC= + Giả sử đường phân giác

ngoài của ·ADB cắt đường trung trực của AB tại P và đường phân giác ngoài của

·ADC cắt đường trung trực của AC tại Q Chứng minh rằng B C P Q, , , đồng viên

Lời giải

Để ý P P là điểm chính giữa cung ¼ BDA của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ; Q là điểm chính giữa cung ¼ CDA của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Đây là dấu hiệu cơ bản để ta có thể nghịch đảo

Xét phép nghịch đảo tâm D , phương tích k >0 Kí hiệu ' X là ảnh của X qua phép nghịchđảo này Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD biến thành A B' '; đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biến thành A C' ' Do đó, Q' là chân đường phân giác ngoài đỉnh D của tam giác A DC' ';

VậyB Q P C' ' ' '’ là hình thang, ta chỉ cần chứng minh B Q P C' ' ' ' nội tiếp hay chứng minh

.' ' '

BPA BQA AP AQ BP Xét X là một điểm di động trên đoạn PQ AX cắt

( )O tại điểm thứ hai S T là điểm trên cung AQB sao cho ·AXT =900 Gọi M là trungđiểm của ST Chứng minh rằng M chạy trên đường tròn cố định

Lời giải

M thuộc đường tròn cố định, như vậy có đường trung trực của một đoạn có chứa M , ta liêntưởng đến hình chiếu từ A lên MT Trung trực của MF là đường trung bình của hình thang

OMFA, cắt FA ngay tại trung điểm của OA là điểm cố định Vậy ta nghĩ đến việc chứng minh

Suy ra T là trực tâm tam giác ASW , từ đây cho ta A F W, , thẳng hàng.

Theo tính chất tứ giác toàn phần thì (STUF) =–1.

Ta đã chứng minh được điều trong phân tích, bài toán được giải quyết

tiếp tam giác làO Đường phân giác góc ·BAC cắt BC tại D Gọi E là điểm đối xứngcủa D qua trung điểm M của BC Đường thẳng qua D vuông góc BC cắt AO tại X ;

đường thẳng qua E và vuông góc BC cắt AD tại Y Chứng minh rằng tứ giác BXCY nộitiếp

Lời giải

Phân tích: Đường tròn (BCX) cắt AD tại N , ta cần chứng minh Y thuộc (BNXC) hay chứng minh DN DY. =DB DC DA DG Mà . = . 1

Vậy ta sẽ chứng minh: trung điểm N của AD ,  , ,B C X cùng thuộc đường tròn Phép biến hìnhω:

thực hiện phép nghịch đảo tâm A , phương tích AB AC sau đó đối xứng qua AD phù hợp Kí hiệu

'

K là ảnh của K qua phép này.

Qua ω, ảnh của B là C ; ảnh của D là G , do đó ảnh của trung điểm N của AD là N' đối xứng với A qua G Ảnh của AO là đường cao đỉnh A Ảnh của X là điểm nào? Ta không thể

sử dụng XD vuông góc BC để dựng ảnh, nên ta dùng góc với tâm và một điểm biết ảnh rồi Quan sát thì rõ ràng tam giác AXD cân tại X : · XDA HAD= · (so le trong) ·DAX= (do AO AH,

đối xứng nhau qua phân giác)

Do đó · ANX =900, suy ra · AX N' ' 90= 0

Cấu trúc của BX N C’ ’ bây giờ là hình thang, để chứng minh nó nội tiếp ta chỉ cần chứng minh nó cân

Do tam giác GX N’ ’ cân tại G (do G là trung điểm AN') nên MG là trung trực của X N’ ’ và

BC Vậy BX N C’ ’ là hình thang cân nên nó nội tiếp được.

E DANH SÁCH TÀI LIỆU THAM KHẢO:

HÌNH HỌC

Bài 3: TÍNH BẢO GIÁC CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO

Giáo viên thực hiện chuyên đề: Nguyễn Thị Hồng NHung

Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Tiền Giang Tỉnh Tiền Giang

Giáo viên phản biện chuyên đề: Thầy Ngô Quang Anh

Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu Tỉnh Đồng Tháp.

Trước hết ta định nghĩa thế nào là góc giữa đường thẳng với đường tròn, góc giữa đường tròn với đườngtròn

1 Góc giữa đường thẳng và đường tròn.

+ Nếu đường thẳng d không cắt hoặc tiếp xúc với đường tròn ( )O thì góc giữa chúng bằng 0o

+ Nếu dường thẳng d cắt ( )O tại hai điểm phân biệt ; A B thì góc giữa tiếp tuyến D tại A ( hoặc tại

B ) và đường thẳng d là góc giữa đường thẳng d và đường tròn ( )O

d d

d

(c) (b)

(a)

Hình 1

O

A O

A

O B

2 Góc giữa hai đường tròn

+ Cho hai đường tròn ( )O và ( )O¢ cắt nhau ở hai điểm A và B , góc giữa hai tiếp tuyến tại A (hoặc tại

B ) của hai đường tròn là góc giữa hai đường tròn đó, ký hiệu: ( ( ) ( )O ; O′ ) và ta có ( ( ) ( )O ; O’ ) = ∆ ∆( '; )

+ Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì góc giữa hai đường tròn bằng 0o

Đặc biệt khi góc giữa hai đường tròn bằng 90o ta nói hai đường tròn trực giao nhau Lúc đó tam giác

OAO¢ vuông tại A

(b) (a)

' '

O'

Với những định nghĩa trên, ta có định lý sau:

3. Định lý: (tính bảo giác của phép nghịch đảo) Phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa hai đường

thẳng, góc giữa đường thẳng và đường tròn và bảo toàn góc giữa hai đường tròn

Chứng minh.

a/ Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d và d ¢, phép nghịch đảo N(O k; ) ta có các trường hợp sau:

+ Nếu d và d ¢ cùng cắt nhau tại cực O thì góc không đổi.

+ Nếu cực O thuộc d và d ¢ không qua O thì ảnh của d ¢ là đường tròn ( )C¢ qua cực O, khi đó tiếptuyến tại O song song với d ¢ nên (d d; ¢)=(d C;( )¢) (hình 3a)

+ Nếu d và d ¢ không qua cực O thì ảnh của chúng là hai đường tròn ( )C và ( )C¢ qua cực O , khi đó

các tiếp tuyến của ( )C và ( )C¢ lần lượt song song với d và d¢ Do đó góc của d và d ¢ bằng góc của

hai đường tròn (hình 3b)

b/ Bảo toàn góc giữa hai đường tròn

Cho hai đường tròn ( )C và ( )C¢ , xét phép nghịch đảo N(O k; ) Ta có các trường hợp sau:

+ Nếu hai đường tròn ( )C và ( )C¢ cùng qua cực O thì ảnh của chúng là các đường thẳng d và d ¢ lần lượt song song với các tiếp tuyến tại O của hai đường tròn ( )C và ( )C¢ Nên góc giữa hai đường tròn

( )C và ( )C¢ bằng góc giữa hai đường thẳng d và d¢

+ Nếu hai đường tròn ( )C và ( )C¢ không qua cực O

Ta chứng minh bổ đề sau: Phép nghịch đảo N(O k; ) biến đường tròn ( )C thành đường tròn ( )C¢ với hai điểm A và A¢ tương ứng trên hai đường tròn đó, thì các tiếp tuyến tại A và A¢ của hai đường tròn đối xứng nhau qua đoạn AA¢

Giả sử M và M ¢ là hai điểm tương ứng trên hai đường tròn ( )C và ( )C¢ ,

Ta có OM OM. ′ = OA OA. ′ =k nên 4 điểm ; ; ; A A M M¢ ¢ đồng viên trên đường tròn ( )C Trên 1 ( )C ta cho M dần tiến đến A khi đó M ¢ trên ( )C¢ cũng dần tiến đến A¢ Do đó MA và M A¢¢ sẽ biến thành

các tiếp tuyến t và t¢ của ( )C và ( )C¢ tương ứng, khi đó ( )C sẽ biến thành 1 ( )C ¢ tiếp xúc với 1 ( )C

và ( )C¢ lần lượt tại A và A¢ Rõ ràng khi đó t và t¢ cũng là tiếp tuyến của ( )C ¢ tại A và A¢ Suy ra1

t và t¢ đối xứng nhau qua trung trực đoạn AA¢ (đpcm)

Trở lại định lý: Giả sử hai đường tròn ( )C và ( )C¢ cắt nhau tại A , qua phép nghịch đảo N(O k; ) biếnthành ( )C và 1 ( )C ¢ cũng cắt nhau tại 1 A¢=N(O k; )( )A Gọi d và 1 d là các tiếp tuyến tại A của 2 ( )C và

( )C¢ , gọi d ¢ và 1 d ¢ là các tiếp tuyến tại A¢ của 2 ( )C và 1 ( )C ¢ , theo bổ đề trên ta có các cặp 1 d d ¢1, 1

và d2, d ¢ đối xứng nhau qua trung trực của đoạn 2 AA¢ Theo tính chất đối xứng ta có: số đo của (d d1; 2)

bằng số đo (d d1¢ ¢ ( nhưng chúng ngược hướng nhau); 2 )

Vây phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa hai đường tròn

Hình 4

c/ Bảo toàn góc giữa đường thẳng và đường tròn.

Cho đường thẳng d và đường tròn ( )C tâm I , với phép nghịch đảo N(O k; ) ta có các trường hợp sau:

+ Nếu d và ( )C cùng qua cực O thì ảnh của ( )C là đường thẳng d ¢ với d¢song song với tiếp tuyến

1

d tại O nên (d d; ¢ =) (d d; 1)=(d C;( ) )

+ Nếu cực O trên d , đường tròn ( )C không qua O thì ảnh của ( )C là đường tròn ( )C¢ còn d vẫn giữ

nguyên Do ảnh của đường tròn qua phép nghịch đảoN(O; )k cũng là ảnh của đường tròn qua phép vị tự

( ; )O k

p

V nên góc giữa d và ( )C vẫn bằng góc giữa d và ( )C¢

+ Nếu cực O không nằm trên d và ( )C thì ảnh của d là đường tròn ( )C qua cực O và tiếp tuyến1tại O là d¢//d, còn ảnh của ( )C là đường tròn ( )C¢ qua phép nghịch đảo N(O; )k cũng là ảnh của đường

O A'

Giả sử d cắt ( )C tại điểm A thì ( )C và 1 ( )C¢ cũng cắt nhau tại điểm A¢ ( với A¢ là ảnh của A ) Theo bổ đề trên thì hai tiếp tuyến t và 1 t tại A và 2 A¢ của ( )C và 1 ( )C¢ đối xứng nhau qua

Hình 6

đường trung trực của AA¢ , góc giữa (t d bằng góc giữa 1; ) (t t¢ với t¢ là tiếp tuyến tại A¢ của2; )

b) Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau và tiếp điểm không trùng với cực của phép nghịch đảo N(O; )k thì

ảnh của chúng tiếp xúc với nhau

HÌNH HỌC

Bài 4: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẨO

Giáo viên thực hiện chuyên đề: Thầy Ngô Quang Anh

Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu Tỉnh Đồng Tháp.

Giáo viên phản biện chuyên đề:………

Ví dụ 1 Cho đường tròn (O) đường kính BC Một điểm A nằm ngoài đường tròn Gọi D, E lần lượt là

giao điểm của AC, AB với (O) Gọi H là giao điểm của BD, CE Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của tiếptuyến từ A đến (O) Chứng minh rằng H, M, N thẳng hàng

Phân tích Như sự phân tích ở phần lý thuyết, việc chọn A làm tâm của phép nghịch đảo là hợp lý Ta sẽ

chỉ ra một phép nghịch đảo biến 3 điểm nằm trên 1 đường tròn qua tâm của phép nghich đảo thành H, M,N

Hướng dẫn giải.

• Ta có H là trực tâm của tam giác ABC Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên BC thì

2

AH AA =AD AC=AN và A’ nằm trên đường tròn (OMAN)

• Xét phép nghịch đảo tâm A phương tích k=AN2 Khi đó I( ; )A k :M ®M N; ®N.

Mặt khác A’ nằm trên đường tròn (AMN) nên I( ; )A k : ( 'A MAN)®MN (1)

Hơn nữa: AH AA '=k nên I( ; )A k : 'A ®H (2).

Ví dụ 2 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B Trên tia BA lấy một điểm M bất kì.

Qua M kẻ hai đường thẳng bất kì sao cho một đường thẳng cắt (O) tại E, C và đường thẳng còn lại cắt(O’) tại F, D Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD, BEF và điểm M thẳng hàng

Do đó M cùng với tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD, BEF thẳng hàng (đpcm)

Ví dụ 3 Đường tròn (I;r) nội tiếp ΔABC, tiếp xúc với BC, AC, AB tại M, N, P Chứng minh rằng trực

tâm H của ΔMNP, tâm I, O của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ΔABC thẳng hàng

Phân tích: Ở bài toán ta có I, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của ∆MNP Và ta cầnchứng minh O∈ IH, rõ ràng rất khó nếu ta chứng minh trực tiếp bởi chúng ta khó tìm được mối quan hệtrực tiếp của 3 điểm, bởi vậy ta sẽ tìm một điểm đặc biệt khác trên IH và chứng minh thông qua nó và đó

là tậm đường tròn euler của ∆MNP