Vatly-Thpt-Nguyen Thi Ngoan.docx

Vận dụng công cụ toán học để giải các bài toán cực trị trong vật lý THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH o0o SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG HIỆU QUẢ TOÁN HỌC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP[.]

TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH

o0o

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VẬN DỤNG HIỆU QUẢ TOÁN HỌC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài……… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

1.5 Những điểm mới của sáng kiến……… ……… 2

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận……… 3

2.1.1 Sử dụng chức năng table trong máy tính cầm tay……… 3

2.1.2 Bất đẳng thức cô si……… 3

2.1.3 Bất đẳng thức Bu-nhia- Cốpxki……… … 3

2.1.4 Tam thức bậc hai……… 4

2.1.5 Định lý hàm sin trong tam giác……….……… 4

2.1.6 Khảo sát hàm số……… 4

2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu………. 4

2.3 Sử dụng công cụ toán học để giải các bài toán cực trị……… 4

2.3.1 Sử dụng chức năng table trong máy tính cầm tay……… 4

2.3.2 Bất đẳng thức cô si……… 7

2.3.3 Bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki……… …… 11

2.3.4 Tam thức bậc hai……… 15

2.3.5 Định lý hàm sin trong tam giác……….……… 18

2.3.6 Khảo sát hàm số……… 20

2.4 Hiệu quả của SKKN ……….……… 22

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ. 3.1 Kết luận………… ……… 23

3.2 Kiến nghị……….……… 23

1 MỞ ĐẦU.

1.1 Lí do chọn đề tài:

Cực trị là bài toán rất hay gặp trong các đề thi học sinh giỏi và các câu khócủa kì thi trung học phổ thông (THPT) quốc gia Có rất nhiều dạng bài cực trịxuyên suốt từ phần cơ học lớp 10, đến phần nhiệt học, điện học ở lớp 11 và 12,quang học, mỗi dạng bài ta sẽ phải sử dụng công cụ toán học riêng để giải quyết màlại không có tài liệu tham khảo nào viết riêng về vấn đề cực trị Do đó quá trình dạy

và học phần kiến thức này gặp rất nhiều khó khăn

Toán học và vật lý là 2 môn học có quan hệ gắn bó khăng khít với nhau.Toán học là công cụ rất hữu ích để ta có thể giải được rất nhiều bài tập, đặc biệt bàitập cực trị vận dụng rất nhiều kiến thức của toán Tuy nhiên khi gặp bài toán cực trịphần lớn học không biết mình phải bắt đầu từ đâu, áp dụng công cụ toán học gì đểlàm Nhằm giúp học sinh giải đúng, giải nhanh được các bài toán dạng này tôi đãquyết định nghiên cứu sâu hơn về các dạng toán cực trị Qua đó, tôi đã đúc rút kinhnghiệm của bản thân, tham khảo nhiều tài liệu để tổng hợp nên các phương pháp sẽ

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Việc nghiên cứu bài toán cực trị giúp giảm bớt khó khăn cho học sinh và

giáo viên trong quá trình dạy học về những phần kiến thức liên quan đến cực trị làcác bài toán khó trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi THPT Quốc Gia

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Đối tượng nghiên cứu là học sinh ở trường THPT Ba Đình- Nga Sơn qua

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Trong sáng kiến này tôi sử dụng một số phương pháp như:

- Phương pháp chính là: tổng kết đúc rút kinh nghiệm từ thực tế dạy và học

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo, trên mạng internet

- Phương pháp hỗ trợ trao đổi kinh nghiệm từ các giáo viên bên bộ môn toán học

- Phương pháp điều tra cơ bản từ các đối tượng học sinh

1.5 Những điểm mới của SKKN.

- Sáng kiến có sử dụng phương pháp rất mới chưa có tài liệu nào viết đó là sửdụng máy tính cầm tay với chức năng table (mode 7) để tìm cực trị, cho kết quảnhanh và chính xác Phương pháp này do trong quá trình giảng dạy, tôi tổng kếtđược từ phía học sinh và tìm hiểu thêm từ các đồng nghiệp bên bộ môn toán Đặcbiệt học sinh sử dụng máy tính cầm tay khá thành thạo nên các em có khả năng ápdụng rất tốt phương pháp này

- Tuy nhiên, phương pháp sử dụng máy tính cầm tay chỉ hữu hiệu với nhữngbài có khoảng giới hạn xác định Thực tế ta còn gặp nhiều bài mà điều kiện bài toánkhông rõ ràng khi đó ta không thể dùng máy tính cầm thay được Vậy nên, khi gặpnhững bài này ta phải sử dụng phương pháp khác, do đó tôi cũng đã giới thiệu luônphương pháp làm, cách lựa chọn công cụ toán học nào sẽ hữu ích, đặc trị được loạitoán đó Từ đó, giúp học sinh hiểu được bản chất và biết cách vận dụng khi gặpnhững bài tương tự như thế Đồng thời là một tài liệu tham khảo bổ ích cho cácđồng nghiệp

2 NỘI DUNG.

2.1 Cơ sở lí luận.

Bài toán cực trị vật lý là các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mộtđại lượng vật lí nào đó Nó liên hệ khá chặt chẽ với toán học Để giải được loại bàitập này ta phải khai thác triệt để các bất đẳng thức (BĐT) Cô-si, BĐT Bu-nhia-côp-xki, tam thức bậc hai, định lí hàm số sin, cosin trong tam giác hoặc khảo sát hàm

số, sử dụng đạo hàm

Ngoài ra với kiểu hình thức thi trắc nghiệm, máy tính cầm tay được tích hợprất nhiều chức năng Trong đó có chức năng table có thể tìm giá trị lớn nhất nhỏnhất trong một khoảng nghiệm nào đó từ a đến b nên ta cũng có thể sử dụng cáchnày trong toán học để làm các bài tập cực trị

2.1.1 Sử dụng chức năng table trong máy tính cầm tay Casio FX 500.

Chức năng table của máy Casio FX 570 có thể giúp chúng ta giải nhanh cácbài toán cực trị bằng máy tính, rất hiệu quả khi sử dụng với các bài toán có khoảnggiới hạn xác định

- Ban đầu ta có 1 hàm số f(x) với x là các số nguyên dương nằm trongkhoảng a≤x≤b Khi thay x vào hàm số f (x), ứng với mỗi giá trị của x ta sẽ có 1hàm f(x) tương ứng

- Các thao tác với máy tính

+ Bấm mode 7 để mở chức năng table Màn hình sẽ hiển thị f (x)=

+ Nhập hàm f(x) tương ứng với đại lượng trong vật lý cần tìm giá trị min, max + Bấm = màn hình hiển thị start ? Ta nhập giá trị đầu a là giới hạn của biến số x + Bấm = màn hình hiển thị end ? Ta nhập giá trị cuối b của biến số x bấm = + Màn hình hiển thị Step ( bước nhảy ) ta nhập = (b - a)/19 màn hình sẽ hiển thị 1

bảng các giá thị tương ứng của x và f(x)

+ Dùng phím di chuyển lên xuống để dò kết quả min hoặc max của hàm f(x)

a

b c

Dấu bằng xảy ra khi a1 /a2=b1/b2

2.1.4 Tam thức bậc hai:

Xét tam thức bậc haiyf x( )ax2bx c

+ Nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh pa rabol

+ Nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh parabol

b x a

2.1.5 Định lí hàm số sin trong tam giác.

Xét tam giác ABC có các cạnh tương ứng là a,b,c

Định lý hàm số sin trong tam giác:

- Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu

2.2 Thực trạng việc giải bài toán cực trị hiện nay.

- Các bài toán cực trị lâu nay vẫn là các bài toán khó trong vật lý, bởi khôngđơn thuần bản chất vật lý mà học sinh còn phải vận dụng toán học để giải quyết Từkiến thức vật lý các em cần thiết lập biểu thức của đại lượng cực trị mà đề yêu cầusau đó vận dụng kĩ năng toán học để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đại lượng đó.Thực tế với rất nhiều học sinh, đây là vấn đề rất khó khăn Đa số các em thườngkhông làm được, một ít số làm dc nhưng chưa đến kết quả cuối cùng

- Từ thực tế như vậy, tôi đã phân tích các dấu hiệu của bài toán để học sinhđịnh hướng được cần phải dùng công cụ toán học để làm hiệu quả Ví dụ đối vớibài toán điện thường hay dùng bất đẳng cô si, còn các bài toán về khoảng cáchtrong chuyển động cơ thường hay dùng tam thức bậc hai, hoặc với bài có khoảnggiới hạn xác định nên dùng chức năng table trong máy tính cầm tay cho kết quảnhanh và chính xác…

2.3 Sử dụng toán học để giải các bài toán cực trị.

2.3.1 Sử dụng chức năng table trong máy tính FX 570 để tìm cực trị.

Phạm vi sử dụng: Thường áp dụng cho các bài toán tìm cực trị của một đại lượng vật lý nào mà biến số xác định trong một khoảng giới hạn nào đó.

x

9cm

O1 O2

Ví dụ 1 (Chuyên sư phạm hà nội lần 3 năm 2019): Cho hai con lắc lò xo nằm

ngang ( k1, m) và (k2, m) như hình vẽ Trục dao động M và N cách nhau 9cm Lò

xo k1 có độ cứng 100N/m, chiều dài tự nhiên l1= 35 cm Lò xo k2 có độ cứng 25 N/

m chiều dài tự nhiên l2= 26 cm Hai vật có khối

lượng cùng bằng m Thời điểm ban đầu t=0, giữ lò xo

k1 dãn 1 đoạn 3cm, lò xo k2 nén một đoạn 6cm rồi

đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hòa Bỏ

qua mọi ma sát Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật

trong quá trình dao động bằng bao nhiêu?

Giải:

Phân tích bài toán:

Hàm dao động điều hòa sin và cosin xác định trong khoảng giới hạn (−1→1) nên có thể sử dụng được chức năng table sau khi lập được phương trình của khoảng cách giữa hai vật.

x1=3 cos ω1t=3 cos2 ω2t và x2 =− 9+6 cos(ω2t +π)=− 9−6 cos(ω2t)

Khoảng cách giữa hai vật là:

Δxx=|x1−x2|=|3cos(2ωt)+6cos ωt+9|

¿|6cos2ωt +6cosωt +6|

Do −1≤cos x≤1 nên ta thao tác bằng

máy tính như sau:

+ Ta thu được bảng kết quả như phần bên

+ Dùng phím di chuyển lên xuống tìm

- Khoảng cách nhỏ nhất 2 vật là

dmin=√Δxx2+MN 2=√4 ,5042+92≈10(cm)

Ví dụ 2 ( Thi THPT quốc gia 2017).

Trong thí nghiệm Yâng về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh

sáng trắng có bước sóng từ 0,38 μmm đến 0, 76 μmm Tại vị trí vân sáng bậc 4 củaánh sáng đơn sắc có bước sóng 0,76 μmm còn có bao nhiêu vân sáng nữa của cácánh sáng đơn sắc khác nhau? Bức xạ nào có bước sóng lớn nhất?

Giải:

Phân tích bài toán:

Bước sóng của ánh sáng trắng có giới hạn xác định trong khoảng từ 0,38

μmm đến 0,76 μmm nên ta có thể sử dụng chức năng table để tìm cực trị sau khi lập được biểu thức của bước sóng λ2 .

Xuất phát từ điều kiện hai vân sáng trùng nhau: k1λ1=k2λ2

+ Step 1= ( vì k là các số nguyên nên

bước nhảy ở đây là 1)

q2 B

2a

h O

+ Nhìn 4 giá trị ta nhận thấy giá trị lớn nhất với X= 5 và f ( x )=λ2 =0 , 608 μmm

2.3.2 Sử dụng bất đẳng thức Côsi

Phạm vi áp dụng: Thường áp dụng cho các bài toán điện một chiều của lớp 11 hoặc điện xoay chiều lớp 12

Ví dụ 1: (phần Điện trường, Vật lí 11)

Hai điện tích q1 = q2 = q > 0 đặt tại A và B trong không khí Biết AB = 2a

a Xác định cường độ điện trường E M

tại điểm M trên đường trung trực của

AB và cách AB đoạn h

b Xác định h để EM cực đại Tính giá trị cực đại này

Giải:

Phân tích bài toán:

Biểu thức của cường độ điện trường tại M do hệ 2 điện tích gây ta chứa các

số hạng dương nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức cô si.

Phân tích bài toán:

Sau khi lập được biểu thức công suất thì mẫu số có dạng

tổng các số hạng dương, mà tích của chúng không đổi nên có

thể áp dụng BĐT Cô si cho mẫu số để tìm giá trị nhỏ nhất.

P y

Một nguồn điện có: E = 15 V; r = 1 , được nối với mạch

ngoài gồm R1 = 2  v R2 mắc song song với nhau Tìm R2 để

công suất tiêu thụ trên nó là cực đại Tính giá trị cực đại đó

Giải : Phân tích bài toán:

+ Biết giá trị điện trở là không âm nên ta có thể chuyển hàm P 2 = f(R 2 ) về dạng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị.

R1 R2

2R

2 R  =

2 2

U

2 2 2 2

4 2 + 3 R R

4 A

Phân tích bài toán :

+ Mạch đã cho là kín nên ta có thể áp dụng định luật

Ôm cho toàn mạch Ta lập được biểu thức của công suất

phụ thuộc vào R 3 Biết giá trị của các điện trở là không âm

U

2

10 + 3R E

C L,r R

⇒ P3 = I32R3 = 

2 3 2 3

4 10 + 3 R R

Để P3max  ymin Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: y  2

3 3

10 3 R

⇒ Amin = 2 30  3 3

10 = 3 R

10

3  Khi đó: P3max =

2 2 min

4 A

E

=4,8 W

Ví dụ 5: (phần Dòng điện xoay chiều, Vật lí 12)

Cho mạch điện như hình vẽ Cho biết:

200 2 cos100 ( )

AB

1 ( )

Giải:

Phân tích bài toán :

+ Để biện luận được giá trị cực đại của công suất thì ta viết được biểu thức của

Để Pmax  ymin.Theo BĐT Cô-si

đỉnh một cái nêm cao H = 80cm và văng ra theo

phương ngang rồi rơi xuống mặt bàn (xem hình vẽ)

Hỏi h bằng bao nhiêu thì vật rơi xuống mặt bàn ở xa

nêm nhất Biết rằng khối lượng nêm rất lớn so với

khối lượng của vật

Giải:

Phân tích bài toán :

+ Chuyển động của vật khi rời khỏi nêm là chuyển động ném ngang Để vật rơi xa nhất tức là tầm bay xa đạt giá trị lớn nhất ta phải lập phương trình quỹ đạo của vật theo h là L=2 √ h(H −h) Dựa vào biểu thức ta thấy tổng của 2 số h và H-

h luôn không đổi nên có thể áp dụng bật đẳng thức cô si.

Để khảo sát chuyển động của vật khi rời nêm ta chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ Gốc thời gian là lúc vật rời nêm

2

gx v

m1 = 0,1kg, m2 = 0,3kg nối với nhau bằng sợi

dây và có thể trượt không ma sát dọc theo hai

cạnh của khung dây Khi hai vật ở vị trí cân

bằng, lực căng của dây nối và góc β bằng bao

nhiêu? Cân bằng là bền hay không bền?

Giải:

Phân tích bài toán:

+ Để hệ cân bằng bền thì tọa độ trọng tâm càng thấp càng tốt Bài toán chuyển về tìm điều kiện để tọa độ trọng tâm thấp nhất Ta phải thiết lập được biểu

thức tính tọa độ trọng tâm của hệ vật yG=

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Các ngoại lực tác dụng lên hệ hai vật: N N    1 , 2 , P , 1 P2

Gọi khoảng cách từ m1 đến O là a, chiều dài sợi dây là L Cân bằng của hệ hai vật

là bền nếu tọa độ trọng tâm trên trục y là thấp nhất

a.sinα + 3.cosα L2 a2 ≤ (a2L2 a2).(sin2 9 cos2 ) L 7

Dấu bằng xảy ra <=> sin

L

=> yG min khi a=

7 14

L

<=> cosβ =

7 14

L

=> β=79,10

Ví dụ 2: Cho cơ hệ như hình vẽ Hệ số ma sát giữa M và sàn là k2.Hệ số ma sátgiữa M và m là k1.Tác dụng một lực Flên M theo phương hợp với phương ngangmột góc  Hãy tìm Fmin để m thoát khỏi M Tính góc  tương ứng?

Giải:

Phân tích bài toán:

+ Ta tìm biểu thức của F để m thoát khỏi M là: F≥

(k1 +k2)Mg +(k1+k2)mg

cos α +k2sin α

Trên tử số là hằng số để F nhỏ nhất thì mẫu lớn nhất Ta có thể áp dụng bất đẳng thức bunhia- Cốp-xki vì (cos α +k2sin α )2 ≤(1+ k22

+ Xét vật M: F P 2 P N1  2 Fms12 Fms (M m a )2

Chiếu lên trục Ox: Fcos   F ms12  F ms  (M m a ) 2

12 2

Người ta quấn một sợi dây không giãn và khối lượng không đáng kể quanh

một khối trụ khối lượng m Hỏi phải kéo dây bằng một lực Fmin, dưới góc α bằng

bao nhiêu để khối trụ quay tại chỗ Cho biết hệ số ma sát giữa khối trụ và sàn là k.

Giải:

Phân tích bài toán: Ta tìm biểu thức của F để m thoát khỏi M là:

cos α +k sin α Trên tử số là hằng số để F nhỏ nhất thì mẫu lớn nhất Ta có thể

áp dụng bất đẳng thức bunhia- Cốp-xki như ví dụ 2

Các lực tác dụng được biểu trên hình Do khối trụ không chuyển động tịnhtiến nên tổng hình chiếu các lực trên phương Ox, Oy bằng 0 Tức là:

O B

1 k khi  tg k

Ví dụ 4:

Hai chuyển động trên AO và BO cùng hướng về O với

0 1

'

1 30 3( )

d  cm Hãy tính khoảng cách từ vật hai đến O

Giải.

Phân tích bài toán:

+ Sau quá trình lập luận tút ra biểu thức tính khoảng cách từ vật 2 đến O ta

được y = ( 3 cossin ) 2 ⇒ ( 3 cos   sin )  2  (( 3)2 1 ).(cos2 2  sin2 ) 2 

Gọi d1, d2 là khoảng cách từ vật một và vật hai đến O lúc đầu ta xét ( t = 0 )

O xy

Ví dụ 1: Hai xe môtô chạy theo hai con đường vuông góc với nhau, cùng tiến về

phía ngã tư (giao điểm của hai con đường), xe A chạy từ hướng Đông sang hướngTây với vận tốc 50 km/h; xe B chạy từ hướng Bắc về hướng Nam với vận tốc 30km/h Lúc 8 giờ sáng, A và B cùng cách ngã tư lần lượt 4,4 km và 4 km Tìm thờiđiểm mà khoảng cách hai xe nhỏ nhất Tính khoảng cách này

Giải:

Phân tích bài toán:

- Chuyển động của hai xe là chuyển động thẳng đều nên phương trình chuyển động có dạng hàm bậc nhất theo thời gian t Hai xe chạy theo hai hướng vuông góc với nhau nên khoảng cách giữa hai xe sẽ được xác định theo định lí pitago của tọa độ hai xe Nghĩa là, khoảng cách L giữa hai xe sẽ được biểu diễn thông qua hàm bậc hai của thời gian t.

- Chọn hệ trục tọa độ Oxy, với

+ trục Ox theo hướng từ Đông sang Tây;

+ trục Oy theo hướng từ Bắc về Nam;

+ gốc tọa độ O tại ngã tư

- Chọn mốc thời gian là lúc 8 giờ sáng

- Phương trình chuyển động của mỗi xe lần lượt là

+ xe A: x = x0 + vAt = - 4,4 + 50t (km);

+ xe B: y = y0 + vBt = - 4 + 30t (km)

- Khoảng cách giữa hai xe: L = x2 y2 = 3400t2  680t 35,36 (km)

Biểu thức: L2=3400t2−680t+35,36 là tam thức bậc hai có hệ số a>0 nên đạt cực