De thi va dap an thi HSG toan 9 vong 2 nam hoc 20122013

Chứng minh rằng điểm G di động trên một đường tròn cố định... HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9.[r]

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG 2

NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2.0 điểm ) Rút gọn các biểu thức sau:

a Rút gọn P.

b Tính giá trị của P khi x  7 4 3.

c Chứng minh: P 1

Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình

a Cho 0x90o Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

sin6x c os6x 3sin os2x c 2x  tan os2 x c 2x  cotan sin2x 2x

b Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x23y24x19

Bài 3: (2.0 điểm)

a Cho các số nguyên dương: a a a1; ; ; ;2 3 a2013 sao cho:

N = a a1 2 a3  a2013 chia hết cho 30.

Chứng minh: M = a15 a52 a35  a52013 chia hết cho 30.

b Cho x y; thỏa mãn: x2y2 2x 4y0 Chứng minh: x2y10

Bài 4: ( 2,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên cạnh AB lấy điểm N, CN cắt đường thẳng

DA tại E Đường thẳng qua C vuông góc CN tại C cắt đường thẳng AB tại F Diện tích

tứ giác ACFE là 3 a2.

a Chứng minh: N là trung điểm AB.

b Tính CF theo a

Bài 5: (1,5 điểm)

Cho đường tròn cố định (O; R) đi qua đoạn thẳng BC cố định Điểm M di chuyển trên đường tròn (O), M không trùng với B; C Gọi G là trọng tâm tam giác MBC Chứng minh rằng điểm G di động trên một đường tròn cố định.

Hết./.

Họ và tên thí sinh……… ……….SBD………….…………

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề gồm 1 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9 MÔN: TOÁN

Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang

1.

2.0

a

1,0

ĐK: x0; x1



0.25x4

b

0.5

3

P

0.25 0.25

c.

0.5

Dấu “=” xẩy ra khi:

1

1

x

; mà x 1không thuộc TXĐ Vậy P 1

0.25

0.25

2.

2.0

2a.

1.0

1 1 2

sin os 3sin os tan os cotan sin



Giá trị biểu thức bằng 2 không phụ thuộc giá trị của x

0.25x4

2b.

1.0

2x 3y 4x19 2(x 2x1) 3(7  y ) 2(x1) 3(7 y )

       ylà số nguyên lẻ

Mà  

2 x1  0 7 y  0 y 1

HS tìm y rồi thay vào tìm x để tìm ra các cặp nghiệm: (2; 1); (2; -1);

(-4; 1); (-4; -1)

0.25

0.25 0.25 0.25

3.

2.0

3a.

1.0

- HS lập luận: a15 a1a a1( 11)(a11)(a121) chia hết cho 6 vì có tích 3 số tự nhiên liên tiếp

- HS lập luận: a15 a1a a1( 11)(a11)(a121) chia hết cho 5 (Chia các trường hợp để xét: a1 5 ;k a15k1; a15k )2

Mà (5; 6) = 1 nên a15 a130

1 a 2 a 3 a 2013 a 30

a  a  a    a   Hay a15 a25 a35  a20135 - a a1 2 a3  a201330  M N 30 Theo giả thiết: N30 M30

0,25

0.25

0.5

3b.

1.0

Vận dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

0,25 0,5 0.25

1,5đ

F

E

N

B A

Gọi độ dài BN = b ( Với 0 < b < a)

C/m được:  CBF =  CDE (g-c-g)  CF = CE

2

2S ACFE 2(S EAC S ECF) EA CD CE CF a EA CE

Vì AN // DC nên áp dụng Talet:

(2)

EA

 Suy ra: DE = EA + AD =

a a b b

 + a

Áp dụng định lý Py ta go vào DEC ta có CE2 = CD2 +DE2 = a2 +

4 2

a

b (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra

2SACEF =

2( )

a a b b

 +

2 2 4 2

a b a b

2

a a b b





Do đó SACEF = 3SABCD <=>

3 2

2

a a b b



= 3a2

<=> a2 +ab -6b2 = 0 HS lập luận giải: a = 2b

Vậy điểm N trung điểm của AB

0,5

0,5

0,5

4b

1,0 Theo c/m trên: CF = CE mà theo (3) CE2 = a2 +

2

2

5 1 4

5

CF a

0,5x2

5.

1,5

Lấy N trung điểm BC Trên NO lấy H sao cho

1 3

NH  NO

(1)

(O) cố định, BC cố định nên H cố định

Theo tính chất trọng tâm:

1 3

NG NM

(2)

Từ (1) và (2):

H cố định

1 3

HG R

Vậy G chạy trên đường tròn (H; R/3)

0.5 0.25

0,25

0,5

N M