.3. Mẫu luận văn thạc sĩ phương pháp dạy học môn toán số 3 Tên đề tài Dạy học chủ đề phương trình lượng giác cho học sinh với năng lực Toán học ở mức trung bình Người thực hiện Nguyễn Thị Uyên Nội dung chính Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển năng lực toán học. Các mức độ của năng lực học toán. Phân loại và xây dựng thái độ và nhận thức tích cực của học sinh có năng lực trung bình về việc học tập môn Toán. Thực nghiệm sư phạm.
Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu đề tài này là trình bày khái niệm và tính chất của khối tròn xoay, cùng với các phương pháp giải bài toán cực trị để tính diện tích và thể tích lớn nhất, nhỏ nhất Bên cạnh đó, đề tài còn tìm tòi, sưu tầm và hệ thống hóa các dạng toán điển hình, cũng như tiếp cận các bài toán thực tiễn ứng dụng kiến thức cực trị hình học Đặc biệt, các dạng toán này đã xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia và đề thi thử của các trường THPT trên toàn quốc qua các năm, nhằm tạo nguồn tài liệu tham khảo hữu ích cho việc học tập của học sinh.
Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các phần lý thuyết liên quan đến luận văn từ sách giáo khoa, tài liệu tham khảo và đề thi thử của các trường phổ thông trên toàn quốc, cũng như đề thi THPT.
QG và một số website đã áp dụng các phương pháp như phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa và sắp xếp tài liệu, cũng như so sánh và đánh giá để nâng cao hiệu quả thông tin.
Cấu trúc luận văn
Nội dung chính của luận văn gồm 4 chương:
Chương 1:Kiến thức chuẩn bị
Chương 2:Các bài toán cực trị về diện tích khối tròn xoay
Chương 3:Các bài toán cực trị về thể tích khối tròn xoay
Chương 4: Các bài toán về diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng và khối tròn xoay
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Hình nón, khối nón
Trong mặt phẳng (P), hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại điểm O, tạo thành góc β với điều kiện 0 < β < 90° Khi mặt phẳng (P) được quay quanh trục ∆ với góc β không đổi, nó sẽ hình thành một mặt nón tròn xoay có đỉnh tại O.
Mặt nón tròn xoay thường được gọi là mặt nón.
Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh.
Góc 2βgọi là góc ở đỉnh nón.
Khi tam giác OIM vuông tại I được quay quanh cạnh góc vuông OI, đường gấp khúc OIM sẽ tạo thành một hình nón tròn xoay, thường được gọi là hình nón.
Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, đoạn thẳng OI gọi là đường cao và OM là đường sinh của hình nón.
Hình tròn tâm I bán kính r = IM là đáy của hình nón.
Lưu ý: Hình nón là hình tròn xoay sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó.
Khối nón tròn xoay là hình nón cùng với phần bên trong của hình nón đó
Hình nón cụt là một phần của hình nón, giới hạn bởi mặt đáy và một thiết diện song song với đáy.
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
- Mặt phẳng cắt nón theo hai đường sinh thì thiết diện là tam giác cân.
- Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh Trong trường hợp này người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
- Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục của hình nón thì giao tuyến là một đường tròn.
- Nếu mặt phẳng cắt song song với hai đường sinh hình nón thì giao tuyến là hai nhánh của một hyperbol.
- Nếu mặt phẳng cắt song song với một đường sinh hình nón thì giao tuyến là một đường parabol.
Lưu ý rằng mặt nón tròn xoay có đỉnh S và trục ∆, trong đó mặt phẳng (Q) vuông góc và cắt trục ∆ tại điểm O Phần mặt nón tròn xoay được giới hạn bởi đỉnh S và hình tròn (C) - thiết diện của mặt nón tròn xoay cắt bởi mặt phẳng (Q) - được gọi là hình.
- Đường tròn (C) là đường tròn đáy hình nón.
- Đường SO là trục hình nón, độ lớn SO là đường cao của hình nón.
- Đường sinh là đường thẳng nối đỉnh S với bất kì điểm M thuộc đường tròn (C).
1.1.4 Các công thức thường gặp
Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy là r và đường sinh là l, ta có:
Diện tích xung quanh của hình nón: � �� = ���.
Diện tích toàn phần của hình nón: � �� = � �� + � đ
Hình trụ khối trụ
Trong mặt phẳng (P), hai đường thẳng ∆ và l song song với nhau và cách nhau một khoảng r Khi mặt phẳng (P) quay quanh trục cố định ∆, đường thẳng l sẽ tạo ra một mặt tròn xoay, được gọi là mặt trụ tròn xoay hay đơn giản là mặt trụ.
Đường thẳng ∆ đượ � gọi là trục.
Đường thẳng l được gọi là đường sinh.
Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.
Khi hình chữ nhật ABCD được quay quanh cạnh AB, nó tạo ra một hình trụ tròn xoay, thường được gọi tắt là hình trụ.
Đường thẳng AB được gọi là trục.
Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.
Độ dài đoạn thẳng AB h được gọi là chiều cao của hình trụ.
Hình tròn tâm A bán kính r và hình tròn tâm B bán kính r được gọi là hai đáy của hình trụ.
Hình trụ bao gồm phần mặt trụ nằm giữa hai mặt phẳng vuông góc với trục của nó, cùng với hai hình tròn (C) và (C’) là hai giao tuyến của mặt trụ với hai mặt phẳng đó.
- Hai đường tròn (C) và (C’) gọi là hai đường tròn đáy hình trụ.
- Bán kính R của đường tròn (C) gọi là bán kính của hình trụ.
- Nếu gọi O và O’ là tâm của hai hình tròn đáy thì đường thẳng OO’ gọi là trục của hình trụ.
- Phần mặt trụ nằm giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
- Với mỗi điểm M � (C), có một điểm M’ � (C’) sao cho MM’ song song với OO’ thì đoạn thẳng MM’ được gọi là đường sinh của hình trụ.
Khối trụ tròn xoay gọi tắt là khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong của hình trụ đó.
Khi cắt một mặt tròn xoay có bán kính r bằng một mặt phẳng vuông góc với trục ∆, ta sẽ thu được một đường tròn có tâm nằm trên trục ∆ và bán kính bằng r, tương đương với bán kính của mặt trụ.
Khi cắt một mặt tròn xoay có bán kính r bằng một mặt phẳng ∝ không vuông góc với trục ∆ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta thu được giao tuyến là một đường elip Đường elip này có trục nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng 2r/cos(θ), trong đó θ là góc giữa trục ∆ và mặt phẳng ∝.
Mặt phẳng ∝ song song với trục ∆ của mặt trụ tròn xoay và cách ∆ một khoảng k có các trường hợp khác nhau: Nếu k < r, mặt phẳng ∝ cắt mặt trụ theo hai đường sinh, tạo thành thiết diện hình chữ nhật Nếu k = r, mặt phẳng ∝ tiếp xúc với mặt trụ tại một đường sinh Cuối cùng, nếu k > r, mặt phẳng ∝ không cắt mặt trụ.
1.2.5 Các công thức thường gặp
Cho hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy là R Khi đó, ta có:
Diện tích xung quanh của hình trụ: � �� = 2�Rh.
Diện tích toàn phần của hình trụ: � �� = � �� + 2 � đ
Mặt cầu, khối cầu
1.3.1 Định nghĩa mặt cầu, khối cầu, hình cầu
Cho điểm O cố định và 1 số thực dương R.
Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách O một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R.
Cho mặt cầu S(O;R) và 1 điểm A nào đó: a) Nếu OA = R thì theo định nghĩa, điểm A thuộc mặt cầu Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu
Trong hình học, nếu OA và OB là hai bán kính với A, O, B thẳng hàng, thì AB được gọi là đường kính của mặt cầu Nếu độ dài OA nhỏ hơn bán kính R, điểm A được xác định là nằm trong mặt cầu Ngược lại, nếu OA lớn hơn R, điểm A sẽ nằm ngoài mặt cầu.
Khối cầu S(O;R) là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ điểm O đến M không vượt quá bán kính R, bao gồm cả các điểm nằm trên mặt cầu S(O;R) và bên trong nó.
1.3.2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P) Gọi d=d(O;(P)).
Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm
Nếu d=R thì (P) tiếp xúc (S) tại điểm H ((P) được gọi là tiếp diện của (S)).
Nếu d>R thì (P) và (S) không có điểm chung.
Nếu d=0 thì (P) đi qua tâm O và được gọi là mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R được gọi là đường tròn lớn.
1.3.3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng ∆ Gọi d=d(O; ∆)
Nếu dR thì ∆ và (S) không có điểm chung.
1.3.4 Các công thức thường gặp
Hình nội tiếp, hình ngoại tiếp
1.4.1 Hình nón nội tiếp, ngoại tiếp khối chóp Định nghĩa:
Một hình chóp được xem là nội tiếp hoặc ngoại tiếp một hình nón khi đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp hoặc ngoại tiếp đáy của hình nón, và đỉnh của hình chóp trùng với đỉnh của hình nón.
Khi đó, ta còn nói hình nón ngoại/nội tiếp hình chóp.
Tính chất: Điều kiện tồn tại hình nón nội/ngoại tiếp hình chóp
Hình chóp S có đáy là đường tròn ngoại/nội tiếp với tâm I Đường thẳng SI vuông góc với đáy sẽ tạo thành hình nón nội/ngoại tiếp, với đỉnh là S và đáy là đường tròn có tâm I.
Cách xác định tâm và bán kính
Hình nón nội/ngoại tiếp hình chóp có tâm và bán kính trùng với tâm và bán kính đường tròn nội/ ngoại tiếp đa giác đáy hình chóp.
1.4.2 Hình trụ nội, ngoại tiếp khối lăng trụ Định nghĩa:
Một hình lăng trụ được gọi là nội tiếp hoặc ngoại tiếp một hình trụ khi hai đáy của hình lăng trụ tương ứng với hai đường tròn đáy của hình trụ Trong trường hợp này, hình trụ cũng được xem là ngoại tiếp hoặc nội tiếp hình lăng trụ.
Tính chất: Điều kiện tồn tại hình trụ ngoại/nội tiếp hình lăng trụ:
Hình lăng trụ đứng mà đáy là đa giác nội/ngoại tiếp một đường tròn thì tồn tại hình trụ ngoại/ nội tiếp.
Hình trụ có trục là đường nối giữa tâm của hai đáy, trong khi đó, đường tròn đáy là các đường tròn ngoại tiếp hoặc nội tiếp đa giác đáy của hình lăng trụ.
Lưu ý: Nhận các cạnh bên của lăng trụ là đường sinh nếu là lăng trụ nội tiếp hình trụ.
Bán kính đáy của hình trụ được xác định là bán kính của đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp đáy hình lăng trụ Đường cao của hình trụ tương đương với cạnh bên của hình lăng trụ đứng.
1.4.3 Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp Định nghĩa Đối tượng Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp
Hình đa diện - Định nghĩa: Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu
- Điều kiện: Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy của hình chóp là một đa giác nội tiếp đường tròn; hình lăng trụ có
- Định nghĩa:Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu.
Tất cả các tứ diện và đa diện đều có mặt cầu nội tiếp, với tâm của mặt cầu nội tiếp trùng với trọng tâm của hình Đồng thời, tồn tại đường tròn ngoại tiếp cho đa giác đáy Đối với hình lăng trụ, nó sẽ có mặt cầu nội tiếp khi là lăng trụ đứng và cạnh bên bằng đường kính của đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
Hình trụ - Hình trụ nội tiếp mặt cầu (O;R) là hình trụ có hai đáy là đường tròn thuộc mặt cầu
- Mọi hình trụ đều tồn tại mặt cầu ngoại tiếp nó.
- Tâm của mặt cầu là trung điểm đường nối tâm của hai đường tròn đáy của hình trụ.
- Hình trụ ngoại tiếp một mặt cầu nếu mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh và hai đáy của hình trụ.
- Hình trụ có mặt cầu nội tiếp khi có đường cao của hình trụ bằng đường kính đường tròn đáy của hình trụ.
Tâm của mặt cầu là điểm giữa của đoạn nối hai tâm của các đường tròn đáy trong hình trụ Mặt cầu cũng đi qua đỉnh của hình nón và bao quanh đường tròn đáy của nó.
- Mọi hình nón đều tồn tại mặt cầu ngoại tiếp nó.
- Tâm của mặt cầu nằm trên đường cao hình nón.
- Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón.
- Mọi hình nón đều tồn tại mặt cầu nội tiếp nó.
- Tâm của mặt cầu nằm trên đường cao hình nón.
Xác định tâm mặt cầu ngoại/nội tiếp hình chóp/trụ
Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp trụ đứng (nếu có)/hình chóp S.� 1 � 2 …� � (thỏa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp).
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy hình trụ/chóp Dựng ∆ - trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực (∝ ) của cạnh bên
Bước 3: Tâm O của mặt cầu: ∆ ∩ (∝ ) = {�}
Bán kính mặt cầu: R=OA=OA’
Xác định tâm mặt cầu ngoại nội tiếp hình chóp/ trụ
-Tâm mặt cầu nội tiếp tất cả các đa diện đều đều trùng với tâm của mặt cầu ngoại tiếp của đa diện đó.
-Tâm mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng nếu có nằm trên mặt phẳng trung trực của cạnh bên hình lăng trụ.
-Tùy theo tính chất mỗi hình để tìm tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp/ trụ.
1.4.4 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp/lăng trụ trong một số trường hợp
Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy
Chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
-Dựng trục qua tâm O của mặt đáy.
-Dựng trung trực của SA cắt trục tại I
-Bán kính: IS=IA=IB=IC=… (IA là đường chéo của hcn MIOA)
Trường hợp 1: Cạnh bên SA vuông góc với đáy và ��� = 90°.Khi đó:
Tâm I là trung điểm của SC
Trường hợp 2: Cạnh bên SA vuông góc với đáy và đáy là đa giác nội tiếp được
Gọi � � là bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy.Khi đó:
Dạng 2: Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau
Giả sử chóp có SO là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (SO vuông góc với mặt đáy), ta dựng MI là trung trực của SA.
-Tâm: I (giao điểm MI và SO)
-Bán kính:IS=IA=IB=IC=ID cos� = �� �� = �� �� �� = ��.�� �� = 2�� �� 2
Dạng 3: Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Giả sử mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, thì AB là giao tuyến của hai mặt phẳng này Trong trường hợp này, ta định nghĩa \( R_1 \) và \( R_2 \) lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và đa giác đáy.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: � 2 = � 1 2 + � 2 2 − �� 4 2
Dạng 4: Chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông: đoạn thẳng đó chính là đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Dạng 5: Hình chóp có đường cao SH xác định và đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy có O là tâm, bán kính R D
Giả sử tồn tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Đặt IO=x, khi đó ta có �� − � 2 + �� 2 = � 2 + � � 2 = � 2
Giải phương trình: �� − � 2 + �� 2 = � 2 + � � 2 tìm giá trị x.
Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn tâm O và O’:
Tâm: I (trung điểm OO’) chính là trung điểm của đoạn nối tâm 2 đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy
Bán kính: IA=IB=IC=ID=IA’=…= ( �� 2 ' ) 2 + �� 2
Hình hộp chữ nhật, hình lập phương:
Một số công thức tính nhanh
Phân loại chi tiết Công thức tính Hình chóp có cạnh SA vuông góc mặt đáy
1 Đáy là tam giác vuông thì
� �� : bán kính đường tròn ngoại tiếp
2 Đáy là tam giác đều thì
3 Đáy là tam giác biết
4 Đáy là tam giác biết góc và cạnh đối diện:
6 Đáy là hình chữ nhật
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau
7 Đáy là tam giác vuông:
8 Đáy là tam giác đều: O là trọng tâm
9 Đáy là hình vuông, hình chữ nhật thì O là giao điểm 2 đường chéo
R= 2�� �� 2 (O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy)
Hình chóp có mặt bên vuông góc mặt đáy
Giả sử mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABC)
� �1 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
� �2 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB
SABCD Có đường cao SH, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD
Hình trụ đứng Hình lập phương R= cạnh × 2 3
Hình hộp chữ nhật biết
Biết cạnh bên AA’ và
� � : bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
Phương pháp giải toán cực trị hình học
Trước khi khám phá các chương tiếp theo để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ tìm hiểu về một số phương pháp giải bài toán cực trị hình học Hai phương pháp phổ biến được giới thiệu là sử dụng bất đẳng thức đại số, cụ thể là bất đẳng thức Cauchy, và khảo sát sự biến thiên của hàm số trên tập xác định.
1.6.1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Nếu � 1 , � 2 , …, � � là các số thực không âm thì ta có bất đẳng thức:
� ≥ � � 1 � 2 … � � Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi � 1 = � 2 = … = � �
1.6.2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên tập xác định a) Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Số M được gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên tập xác định D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
Số m được gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên tập xác định D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
Kí hiệu: m = min f(x), x ∈ � c) Phương pháp chung tìm GTLN, GTNN của hàm số
Ta cần tính đạo hàm của hàm số \( f'(x) \) và xác định các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại Sau đó, lập bảng biến thiên để từ đó suy ra giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số.
*GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có GTLN, GTNN trên đoạn đó
Quy tắc: Tìm GTLN, GTNN của hàm số � = �(�) trên đoạn [a;b]
Bước 1: Tính �'(�).Tìm các điểm� � ∈ �; � , � = 1,2, …, � mà tại đó � ' � � =
Max f(x)=max { f(a); f(b); f(� � )} và min f(x)=min { f(a); f(b); f(� � )}
*GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
Quy tắc: Tìm GTLN, GTNN của hàm số � = �(�) trên khoảng (a;b)
Bước 1: Tính �'(�) Tìm các điểm� � ∈ �; � , � = 1,2, …, � mà tại đó � ' � � =
Bước 2: Lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên kết luận GTLN, GTNN của hàm số.
-Nếu hàm số y=f (x) đồng biến trên [a;b] thì
-Nếu hàm số y=f(x) nghịch biến trên [a;b] thì
-Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có GTLN, GTNN trên khoảng đó
CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ DIỆN TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Các bài toán tự luận
Một công ty sản xuất cốc giấy hình nón có thể tích 27π với chiều cao là \( h \) và bán kính là \( r \) Để giảm thiểu lượng giấy tiêu thụ, cần xác định giá trị tối ưu của \( r \).
Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi điện tích xung quanh nhỏ nhất.
Cho hình nón có đỉnh S và đáy là hình tròn tâm O với góc ở đỉnh bằng 120 độ Từ điểm A cố định trên đường tròn đáy, điểm M di động Câu hỏi đặt ra là có bao nhiêu vị trí của điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất.
Gọi �là bán kính đáy của hình tròn Vì góc ở đỉnh��� ' = 120 � ��0 = 60 � Suy ra �� = �� cot ��� = � 3 Gọi�là trung điểm của��và đặt� = ��.
3 + � 2 , �� = 2�� = 2 �� 2 − �� 2 = 2 � 2 − � 2 Diện tính tam giác∆���bằng
���� = 2 3 � 2 đạt được khi � 3 2 + � 2 = � 2 − � 2 � 2 = � 3 2 � = � 3 tức làOH = SO
Theo tính chất đối xứng của đường tròn ta có hai vị trí của M thỏa yêu cầu.
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song, cắt một mặt cầu tâm O bán kính R, tạo thành hai đường tròn có cùng bán kính Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai đường tròn và đáy trùng với đường tròn còn lại Để diện tích xung quanh hình nón đạt giá trị lớn nhất, cần tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Khi đó �(ℎ) đạt giá trị lớn nhất tạiℎ = 2� 3 3 Do đó � �� đạt giá trị lớn nhất khi
Để thiết kế một bồn chứa hình nón có thể tích 1 lít, cần tính bán kính đáy của hình nón sao cho diện tích xung quanh đạt giá trị nhỏ nhất Kết quả tính toán cho bán kính đáy là \$ r = \frac{6\sqrt{2}}{9} \$
Bài tập trắc nghiệm
Khi sản xuất phễu hình nón bằng nhôm mà không có nắp, mục tiêu của các nhà thiết kế là giảm thiểu chi phí nguyên liệu bằng cách tối ưu hóa diện tích xung quanh của hình nón Để đạt được điều này, nếu phễu có thể tích 2 dm³, cần xác định diện tích xung quanh tối thiểu của phễu.
Gọi �, ℎ, �lần lượt là bán kính đáy, chiều cao và độ dài đường sinh của cái phễu. Khi đó � = 1 3 �� 2 ℎ = 2 ⟺ ℎ = �� 6 2 �à � = ℎ 2 + � 2 = � 36 2 � 4 + � 2
Diện tích xung quanh của hình nón là� �� = ��� = �� � 36 2 � 4 + � 2 = 36 � 2 + � 2 � 4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 18 � 2 = � 2 � 4 ⟺ � = 6 18 � 2
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3 năm 2017-2018) Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước sạch có dung tích V (cm 3 ) Hỏi bán kính
R(cm) của đáy hình trụ nhận giá trị nào sau đây để tiết kiệm vật liệu nhất?
Lời giải Để tiết kiệm vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của thùng phải ít nhất.
Diện tích toàn phần của hình trụ là � �� = 2��ℎ + 2�� 2 = 2�� �� � 2 + 2�� 2 2�
(THPT Yên Định - Thanh Hóa - lần 1 năm 2017 - 2018) Cho hình cầu (S) tâm
I, bán kính R không đổi Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp hình cầu Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất.
Mà diện tích xung quanh hình trụ là� �� = 2��ℎ = 2�ℎ � 2 − ℎ 4 2
Xét hàm số� ℎ = ℎ 2 4� 2 − ℎ 2 = 1 2 ℎ 2 4� 2 − ℎ 2 ≤ � 2 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khiℎ = 2�.
Một nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín hai đầu với thể tích V đã cho Để tối ưu hóa diện tích toàn phần của hình trụ, cần xác định mối quan hệ giữa bán kính đáy R và chiều cao h.
��� đạt giá trị nhỏ nhất khi2�� 2 = � � ⟺ 2�� 2 = �� � 2 ℎ ⟺ 2� = ℎ
Một công ty dự kiến chi 1 tỷ đồng để sản xuất thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít Chi phí làm mặt xung quanh thùng là 100.000 đ/m², trong khi chi phí cho mỗi mặt đáy là 120.000 đ/m² Cần tính toán số thùng sơn tối đa mà công ty có thể sản xuất, giả sử chi phí cho các mối nối là không đáng kể.
Giả sử bán kính đáy của hình trụ làr(m) Ta có:
Diện tích xung quanh của hình trụ là:��� = 2��ℎ = 2�� 200�� 1 2 = 100� 1 (� 2 )
Diện tích hai đáy của hình trụ là:� � = 2�� 2 (� 2 )
Chi phí làm một chiếc thùng là:
Ta có: 1 tỷ ÷ 3 3 60�nghìn đồng ≈ 58.135
Vậy số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất được là 58.135 thùng.
Để sản xuất một thùng đựng sơn hình trụ có thể tích 4 m³, cần xác định chiều cao và bán kính đáy sao cho tối ưu hóa việc sử dụng nguyên liệu Việc này đòi hỏi tính toán để giảm thiểu diện tích bề mặt của thùng, từ đó tiết kiệm chi phí vật liệu.
Khi sản xuất vỏ lon nước ngọt hình trụ, mục tiêu của các nhà thiết kế là giảm thiểu chi phí nguyên liệu bằng cách tối ưu hóa diện tích toàn phần của hình trụ Để đạt được thể tích khối trụ là 2 và diện tích toàn phần nhỏ nhất, hình trụ cần có bán kính đáy gần với số D.
CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Bài toán về cực trị thể tích khối nón
Cho hình nón tròn xoay có đỉnhS và đáy là đường tròn C O;R với R = a (a >
0) SO 2a,O' SO thỏa mãn OO' x O x 2a , mặc phẳng vuông góc với SO tạiO’cắt hình nón tròn xoay theo giao tuyến là đường tròn C' Thể tích khối nón đỉnh
Ođấy là đường tròn C' đạt giá trị lớn nhất khi
Theo định lý Ta-lét R' 2a x
2a Khi đó thể tích khối nón đỉnhOđáy là đường tròn C' là:
Xét f x x 2a x 2 trên 0;2a ta cóf(x) đạt giá trị lớn nhất khi x 2a
Trong tất cả các hình nón có độ dài đường sinh bằng Hình nón có thể tích lớn nhất bằng.
Gọi h(0 0 thì độ thị hàm số có 3 điểm cực trị (với� � < � � < � � ) là
Ta có bảng biến thiên m 0 3 2R f’(m) + 0 - f(m) tan ��� =��
Vậy thể tích cần tìm lớn nhất khi m = 3
Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 6cm và AC = 3cm Điểm M di động trên cạnh BC sao cho MH vuông góc với AB tại H Khi tam giác AHM quay quanh cạnh AH, hình nón được tạo ra có thể tích lớn nhất.
Thể tích của khối nón tạo thành khi tam giácAHM quay quanh cạnhAHlà
12(� 3 − 12� 2 + 36�) (1) Xét hàm số�(�) = � 3 − 12� 2 + 36�với0 < � < 6, ta có
Bảng biến thiên của hàm số�(�) = � 3 − 12� 2 + 36�với 0 < � < 6 m 0 2 6 f’(m) + 0 - f(m)
Từ (1) và bảng biến thiên ta có thể tích lớn nhất của khối nón tạo thành là:
Bài toán về cực trị thể tích khối trụ
Trong tam giác SOA vuông tại O, với MN là đoạn thẳng song song với SO và M, N lần lượt nằm trên cạnh SA và OA, ta đặt SO = h không đổi Khi hình vẽ được quay quanh SO, nó tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón có đỉnh S và đáy là hình tròn tâm O với bán kính R = OA Mục tiêu là tìm độ dài của MN để tối đa hóa thể tích của khối trụ.
Khi quay quanh trục SO, chúng ta tạo ra một khối trụ nằm bên trong khối chóp, với thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật MNPQ.
Theo định lý Thales ta có:
IM SI IM OA.SI
Thể tích khối trụ V IM IH 2 R 2 2 x h x 2 h
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2x 2 h x 3
Một hình trụ có diện tích toàn phần là 6Bán kính của khối trụ có thể tích lớn nhất là?
Gọi R và h là bán kính và chiều cao của hình trụ R 0;h 0
Ta có diện tích toàn phần là 6 2 Rh 2 R 2 6 h 3 R 2
Thể tích khối trụ là v R h 2 R 2 3 R R 2 3R R 3
Xét hàm số f R 3R R 3 trên 0; 3 Ta được V lớn nhất khi R = 1.
Bạn A muốn tạo một chiếc thùng hình trụ không đáy từ mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh 90cm Để làm điều này, bạn cần cắt một mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ nguyên liệu, với M và N nằm trên cạnh BC, còn P và Q tương ứng trên cạnh AC và AB Chiều cao của hình trụ sẽ bằng MQ Mục tiêu là tìm thể tích lớn nhất mà chiếc thùng này có thể đạt được.
Gọi I là trung điểm BC Suy ra I là trung điểm MN Đặt MN x 0 x 90 MQ BM MQ 3 90 x
Gọi R là bán kính của trụ:
Khi cắt mặt cầu S(O,R) bởi một mặt kính, ta thu được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính, được gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S(O,R) có một đáy nằm bên trong đáy của nửa mặt cầu, trong khi đáy còn lại là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu Với R = 1, cần tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp.
S(0,R) để khối trụ có thể tích lớn nhất.
Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu với đường tròn đáy có tâm O’ và hình chiếu O xuống mặt đáy (O’) Do đó, hình trụ và nửa mặt cầu có cùng trục đối xứng, và tâm của đáy dưới hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.
Thể tích khối trụ là: V r h 2 1 h h f h 2
Thể tích lớn nhất của khối trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R bằng.
Gọi X là khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt đáy của hình trụ (00.
Gọi (I, R) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC, với H là hình chiếu của I lên mặt phẳng Oxy H nằm cách đều ba đỉnh O, A, B, do đó H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆OAB Áp dụng định lý hàm số Sin cho tam giác OAB, ta có.
Gọi M là trung điểm của SC Vì IO = IC nên ∆IOC cân tại I.
Mặt cầu (S) có bán kính R không đổi và hình nón (H) nội tiếp mặt cầu (S) trong đề bài của THPT Thanh Miện 1 – Hải Dương năm học 2017 - 2018 Thể tích khối nón (H) được ký hiệu là V1, trong khi thể tích phần còn lại của khối cầu là V2 Giá trị lớn nhất của V1 đạt được là 2.
Gọi I, S là tâm mặt cầu và đỉnh hình nón.
Gọi H là tâm đường tròn đáy của hình nón và AB là một đường kính của đáy.
2 đạt GTLN thì V1đạt GTLN.
TH1: Xét trường hợp SI ≤ R
Khi đó thể tích của hình nón đạt GTLN khi SI = R Lúc đó� 1 = �� 3 3
TH2: (SI > R) I nằm trong tam giác SAB như hình vẽ. Đặt�� = � � > 0 Ta có
81 � 3 Dấu bằng xảy ra khi� = � 3
BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ DIỆN TÍCH THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG VÀ KHỐI TRÒN XOAY
MẶT PHẲNG VÀ KHỐI TRÒN XOAY
Trong bài toán này, cho khối tròn xoay (M) và mặt phẳng (P) cắt khối tròn xoay theo một điều kiện nhất định Nhiệm vụ là xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích thiết diện được tạo ra bởi sự giao cắt giữa mặt phẳng (P) và khối tròn xoay (M).
-Dựa vào tính chất của mặt cắt mà xác định hình dạng của thiết diện tạo thành.
Tham số thường xuất hiện trong các câu hỏi của đề bài, hoặc có thể chọn một cạnh trong thiết diện để biểu diễn các cạnh còn lại thông qua các tham số và đại lượng đã biết.
Cho khối nón đỉnhO trục OI, bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng a
2 Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi quaOvà cắt hình nón theo thiết diện là tam giácAOBlà:
Thiết diện của mặt phẳng đi qua đỉnh nón tạo thành hình tam giác với đỉnh là đỉnh nón Gọi H là trung điểm của đoạn AB, khi đó IH vuông góc với AB Đặt IH = x, từ đó ta có thể tính được độ dài các đoạn còn lại theo x và a.
AB 2AH 2 a x khi đó diện tích tam giác OAB sẽ được tính là:
Áp dụng bất đẳng thức AM GM ta có:
Từ một khúc gỗ tròn có đường kính 40 cm, cần chế tạo một chiếc xà với tiết diện ngang hình vuông và bốn miệng phụ được tô màu xám Mục tiêu là tìm chiều rộng x của miếng phụ để tối ưu hóa diện tích sử dụng theo tiết diện ngang.
Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là S S MNPQ 4xy
Cạnh hình vuông MN MP 40 20 2(cm)
2x AB MN AB 20 2 BD 20 2 40 20 2 0 x 20 10 2 Lại có: AB 2 AD 2 BD 2 40 2 ( 2x 20 2 ) 2 y 2 1600
Xét hàm số f ( x ) 800x 2 80x 2 4x , 3 4 với x (0;20 10 2 ) có
chính là giá trị thỏa mãn bài toán.
Cho hình nón đỉnh S với đáy là đường tròn tâm O Thiết diện qua trục hình nón tạo thành một tam giác cân có cạnh đáy bằng α và diện tích là α² Gọi A, B là hai điểm bất kỳ trên đường tròn (O) Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất bằng.
Khối chópS.OABcó chiều cao SO = 2akhông đổi nên để thể tích lớn nhất khi và chỉ khi diện tích tam giác OABlớn nhất.
Mà� ∆��� = 1 2 �� �� ��� ��� = 1 2 � 2 ��� ���(Với r là bán kính đường tròn mặt đáy hình nón) Do đó để �∆��� lớn nhất khi��� ���=1 Khi đó:
Hình nón (N1) có đỉnh S và chiều cao h, trong khi hình nón (N2) có đỉnh là tâm của đáy (N1) và đáy là một thiết diện song song với đáy của (N1).
Khối nón (N2) có thể tích lớn nhất khi chiều cao x bằng
Xét mặt cắt qua trục hình nón, với O là tâm đáy của hình nón (N1) và (N2) Các ký hiệu R và r lần lượt đại diện cho bán kính của hai đường tròn đáy của hình nón.
� → � � ℎ − � ℎ Thể tích khối nón(N 2 )là:
Lập bảng biến thiên ta có: x 0 h
Vậy f(x)đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0; h) tại� = ℎ 3
Tại trường THPT Phan Đăng Lưu - Huế, trong đề thi năm học 2017 - 2018, có bài toán liên quan đến hình nón (N) với chiều cao SO = h và bán kính đáy R Gọi M là điểm trên đoạn SO, với OM = x, trong đó 0 < x < h Mặt phẳng (P) vuông góc với trục SO tại M tạo ra thiết diện (C) với hình nón (N) Nhiệm vụ là tìm giá trị x để thể tích của khối nón có đỉnh O và đáy là (C) đạt giá trị lớn nhất.
Ta cóBMlà bán kính đường tròn(C).
Do tam giác ∆SAO ∆SAOnên
ℎ Thể tích của khối nón đỉnhOđáy(C)là
ℎ 2 ℎ − � 2 � Xét hàm số�(�) = 1 3 � � ℎ 2 2 ℎ − � 2 �, (0 < � < ℎ)ta có:
3 Lập bảng biến thiên ta có x 0 h
Từ bảng biến thiên trên, ta có thể tích khối nón đỉnhOđáy(C)lớn nhất khi� = ℎ 3
Hình nón có đỉnh S và bán kính đáy \( r = 3 \) với góc ở đỉnh là \( 120^\circ \) Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón tạo thành một tam giác Diện tích lớn nhất của tam giác này được tính toán và xác định.
Giả sử ∆SAM là thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình nón.
Gọi Hlà trung điểm củaAM
Thiết diện qua đỉnh của hình nón là tam giác cân SAM Ta có: � = �� � 3 Góc ASB bằng 120 o nên góc ASO bằng 60 o
Xét tam giác SOA vuông tại O ta có:�� = ���60 �� � = 2�
Do 0 0).
Theo giả thuyết ta có2(ℎ + 2�) = 12 ⟺ ℎ + 2� = 6
Thể tích khối trụ � = �� 2 ℎ = �� 2 (6 − 2�) = ���(6 − 2�) Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho 3 số r, r, 6 - 2r ta được:
Hình trụ (T) nội tiếp một mặt cầu bán kính R, với S là diện tích thiết diện qua trục của (T) Để tính diện tích xung quanh của hình trụ (T), cần xác định giá trị lớn nhất của S.
Gọi x là bán kính của hình trụ 0 < x < R Diện tích thiết diện là
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là � �� = 2� � 2 2 2 � 2 2 = 2�� 2
Nội dung luận văn đã thể hiện được các vấn đề sau:
-Hệ thống lại kiến thức có liên quan về khối tròn xoay.
-Trình bày các phương pháp thường sử dụng để giải bài toán cực trị hình không gian
-Nghiên cứu, sưu tầm và hệ thống lại một số dạng toán điển hình của bài toán cực trị khối tròn xoay.
Trong thời gian tới, tôi sẽ nghiên cứu thêm tài liệu về các bài toán ứng dụng thực tiễn nhằm làm cho đề tài trở nên sâu sắc và phong phú hơn.