PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHễNG GIAN Chủ đề: PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG I- Một số kiến thức cần lưu ý: 1.Vộctơ n r r ≠ 0 nằm trờn đường thẳng vuụng gúc với mpα được gọi là vộc tơ phỏp tuyến c
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHễNG GIAN
Chủ đề: PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG
I- Một số kiến thức cần lưu ý:
1.Vộctơ n r r ≠ 0 nằm trờn đường thẳng vuụng gúc với mp(α) được gọi là vộc tơ phỏp tuyến của mp(α )
2 Nếu 2 vộctơ u v r r ,
là 2 vộc tơ khụng cựng phương và cú giỏ song song hoặc nằm trờn mp(α) thỡ vộctơ n r = u v r r , là một vộctơ phỏp tuyến của mặt phẳng (α )
3 Phương trỡnh Ax+By+Cz+D=0 với A2+ B2 + C2 ≠ 0 gọi là phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng (α) Khi đú mp(α ) cú một vộctơ phỏp tuyến là n A B C r ( ; ; )
4 Mp(α) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và cú vộctơ phỏp tuyến n A B C r ( ; ; )
thỡ mp(α ) cú phương trỡnh là A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
(Chú ý: Có toạ độ 1 điểm thuộc mp và VTPT của mp => viết đợc PT tổng quát của mp)
5 Nếu (α ) đi qua 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với abc ≠ 0thỡ phương trỡnh mặt phẳng
a + + = b c (1) PT(1) được gọi là PT mặt phẳng theo đoạn chắn
6 Cỏc mp(Oxy); (Oyz); (Oxz) cú phương trỡnh lần lượt là z=0; x=0; y=0
7 Hỡnh chiếu của điểm M(a;b;c) trờn cỏc trục toạ độ Ox; Oy; Oz lần lượt là Mx(a;0;0); My(0;b;0);
Mz(0;0;c) Hỡnh chiếu của M trờn cỏc mặt phẳng toạ độ (Oxy); (Oyz); (Oxz) lần lượt là M1(a;b;0);
M2(0;b;c); M3(a;0;c)
8 Điểm đối xứng với điểm M(a;b;c) qua cỏc mặt phẳng toạ độ (Oxy); (Oyz); (Oxz) lần lượt là
'
1 ( ; ; )
M a b c− ; '
2 ( ; ; )
M −a b c ; '
3( ; ; )
II- Một số dạng toỏn thường gặp:
Dạng 1: Viết phương trỡnh mp( )α đi qua 3 điểm khụng thẳng hàng A, B, C.
B1: Tìm toạ độ AB, ACuuur uuur
B2: Tìm n= AB, AC
r uuur uuur
B3: Viết PT mp(P) đi qua điểm A và nhận nr làm VTPT
Dạng 2: Viết phương trỡnh mp( ) α đi qua điểm M 0 cho trước và song song với mp(β) cho trước (
0 ( )
M ∉ β ).
B1: Tìm VTPT nr của mp ( )β
B2: Mp ( )α cần tìm đi qua điểm M0 và nhận nr làm VTPT
Dạng 3:Viết phương trỡnh mp trung trực của đoạn thẳng AB.
B1: Tìm toạ độ ABuuur và toạ độ trung điểm I của đoạn AB
B2: Mp cần tìm đi qua điểm I và nhận ABuuur làm VTPT
Dạng 4: Viết phương trỡnh mp( ) α đi qua điểm M 0 cho trước và vuụng gúc với đường thẳng d cho trước.
B1: Tìm VTCP ur của d
B2: Viết PT mp ( )α đia qua điểm M0 và nhận ur làm VTPT
Dạng 5: Viết phương trỡnh mp( ) α đi qua điểm M 0 và song song với hai đường thẳng phõn biệt d 1 ;
d 2 cho trước (d1 và d2 khụng song song)
B1: Tìm các VTCP u , uuur uur1 2
của d1 và d2 B2: Tìm n= u , u1 2
r uur uur
B3: Viết PT mp( )α đi qua điểm M0 và nhận nr làm VTPT
Dạng 6: Viết phương trỡnh mp( ) α đi qua điểm A và chứa đường thẳng d cho trước (M0∉ d)
B1: Tìm toạ độ điểm M0 ∈ d và VTCP ur của d
Trang 2B2: Tìm n= AM , u0
r uuuuur r
B3: Viết PT mp(α) đi qua điểm A và nhận nr làm VTPT
Dạng 7: Viết phương trỡnh mp( ) α chứa đường thẳng d 1 và song song với đường thẳng d 2 cho trước (d1 và d2 khụng song song)
B1: Tìm toạ độ điểm M1∈d1 và VTCP
1 2
u , u
uur uur của d1 và d2 B2; Tìm n= u , u1 2
r uur uur
B3: Viết PT mp (α) đi qua điểm M1 và nhận nr làm VTPT
Dạng 8: Viết phương trỡnh mp( ) α chứa 2 đường thẳng cắt nhau d 1 và d 2
B1: Tìm toạ độ điểm M1 ∈d1 (hoặc điểm M2 ∈d2 ) và các VTCP u , uuur uur1 2
của d1 và d2 B2: Tìm n= u , u1 2
r uur uur
B3: Viết PT mp (α) đi qua điểm M1 (hoặc M2) và nhận nr làm VTPT
Dạng 9: Viết phương trỡnh mp( ) α chứa 2 đường thẳng song song d 1 và d 2
B1: Tìm toạ độ điểm M1 ∈d1 và điểm M2∈d2 và các VTCP ur của d1
B2: Tìm n= u, M M1 2
r r uuuuuur
B3: Viết PT mp (α) đi qua điểm M1 (hoặc M2) và nhận nr làm VTPT
Dạng 10: Viết phương trỡnh mp( )α đi qua 2 điểm A, B và vuụng gúc với mp(β) cho trước (AB
khụng vuụng gúc với ( )β )
B1: Tìm toạ độ ABuuur và VTPT nuurβ
của mpβ B2: Tìm n= AB, nβ
r uuur uur
B3: Viết PT mp (α) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận nr làm VTPT
Dạng 11: Viết phương trỡnh mp( )α chứa đường thẳng d và vuụng gúc với mp( )β cho trước (đường thẳng d khụng vuụng gúc với ( )β )
B1: Tìm toạ độ điểm M∈d , VTCP ur của d và VTPT nuurβ
của (β)
B2: n= u, nβ
r r uur
B3: Viết PT mp (α) đi qua điểm M và nhận nr làm VTPT
Dạng 12: Viết phương trỡnh mp( ) α đi qua điểm M 0 và vuụng gúc với 2 mp (P) và (Q) cho trước.
(Hai mp (P) và (Q) khụng song song)
B1: Tìm các VTPT n , nuur uur1 2
của (P) và (Q) B2: Tìm n= n , n1 2
r uur uur
B3: Viết PT mp (α) đi qua điểm M0 và nhận nr làm VTPT
Dạng 13: Viết phương trỡnh mp( )α đi qua điểm M 0 , song song với đường thẳng d và vuụng gúc với mp(β) cho trước.(đường thẳng d khụng song song với mp(β))
B1: Tìm toạ độ VTCP ur của d và VTPT nuurβ
của mpβ B2: Tìm n= u, nβ
r r uur
B3: Viết PT mp (α) đi qua điểm M0 và nhận nr làm VTPT
Dạng 14: Viết PT mp( ) α tiếp xúc với mặt cầu tâm I tại điểm H
B1: Tìm toạ độ IHuur
B2: Viết PT mp(α) đi qua điểm H và nhận IHuur làm VTPT
III- Bài tập:
Bài 1: Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;1;4); B(-1;-3;5)
Trang 3Bài 2: Cho tứ diện ABCD với A(2;3;1); B(4;1;-2); C(6;3;7); D(-5;-4;8)
a) Viết PT mặt phẳng (ABC)
b) Tính độ dài đường cao tứ diện hạ từ D
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua điểm A(1;0;2) và song song với mp(Oxy)
b) Đi qua điểm M(2;-4;3) và vuông góc với trục Ox
c) Đi qua điểm I(-1;2;4) và song song với mp: 2x-3y+5z-1=0
Bài 4: Viết PT mặt phẳng đi qua 3 hình chiếu của điểm M(1;2;-3) trên các trục toạ độ
Bài 5: Viết phương trình của mp(P) chứa gốc toạ độ và vuông góc với cả hai mặt phẳng có phương trình: x-y+z-7=0 và 3x+2y-12z+5=0
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A((1;0;-2); B(-1;-1;3) và mp(P): 2x-y+2z+1=0 Viết phương trình mp(Q) đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mp(P)
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(-1;2;0); B(-3;0;2); C(1;2;3); D(0;3;-2) Viết phương trình mặt phẳng chứa AD và song song với BC
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
2 1 2
= +
= −
=
và điểm A(1;-2;2) Viết phương trình mặt
phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d
Bài 9: Cho d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2α x y z− + − =4 0 và ( ') :α x y+ − − =3z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1;0;1) và chứa đường thẳng d
Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng chứa Oy và đi qua điểm A(-1;3;-2)
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng 1
2 2
1
z
= +
= − +
=
và 2
1
3
x
=
= +
= −
Viết phương trình
mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2
Bài 12: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng: ( )α : x-2y+z-4=0 ; ( ')α : x+2y-2z+4=0
a) Chứng tỏ hai mặt phẳng ( ),( ')α α cắt nhau theo một giao tuyến d1
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song với đường thẳng d2:
1 2
1 2
= +
= +
= +
Bài 13: Trong không gian cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình x-2y-z-2=0 và x+2y-4=0 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và vuông góc với mp(Q): 2x-y+2z-3=0 Bài 14: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng ( ) : 2α x y− − =1 0 và ( ') :α z− =1 0
a) Chứng tỏ 2 mặt phẳng ( );( ')α α cắt nhau theo một giao tuyến d
b) Viết phương trình mp(P) chứa d và cách điểm I(-1;2;3) một khoảng bằng 3
-BÀI ĐỌC THÊM : CHÙM MẶT PHẲNG
Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng ( );( )α β cắt nhau theo giao tuyến d:
(α ): Ax+By+Cz+D=0
(β): A’x+B’y+C’z+D’=0
Tập hợp các mặt phẳng (γ) chứa đường thẳng d nói trên được gọi là chùm mặt phẳng xác định bởi ( )α
và ( )β và kí hiệu là (( ),( ))α β Người ta chứng minh được phương trình của chùm (( ),( ))α β có dạng:
m(Ax+By+Cz+D)+m(A’x+B’y+C’z+D’)=0 với m2+n2 ≠0
Ta thấy phương trình của chùm mặt phẳng rất đơn giản nhưng nó lại giúp chúng ta giải được rất nhiều bài toán về phương trình mặt phẳng một cách độc đáo và cực kì ngắn gọn