PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG mẫu mực doc

Đưa về phương trình tích 2.. Đưa về hệ phương trình II.Bài tập vận dụng 1.. Hướng dẫn giải PHƯƠNG TRÌNH I.PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG VẬN DỤNG: 1.. Đưa về phương trình tích a Các bước Tìm tập xác

Mục lục:

PHƯƠNG TRÌNH

I Phương pháp thường vận dụng

1 Đưa về phương trình tích

2 Áp dụng bất đẳng thức

3 Chứng minh nghiệm duy nhất

4 Đưa về hệ phương trình

II.Bài tập vận dụng

1 Đề bài

2 Hướng dẫn giải

PHƯƠNG TRÌNH

I.PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG VẬN DỤNG:

1 Đưa về phương trình tích

a) Các bước

Tìm tập xác định của phương trình

Dùng các phép biến đổi đại số, đưa phương trình dạng f(x) g(x) … h(x) = 0 (gọi

là phương trình tích) Từ đó suy ra f(x) = 0; g(x) = 0; … ; h(x) = , là những phương trình quen thuộc Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của các phương trình f(x)=0; g(x) = 0; … ;h(x) = 0 thuộc tập xác định

Đôi khi dùng ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn, đưa về dạng tích (với ẩn phụ) Giải phương trình với ẩn phụ, từ đó tìm nghiệm của phương trình đã cho Dùng cách nhóm số hạng, hoặc tách các số hạng … để đưa phương trình về dạng quen thuộc mà ta đã biết cách giải

b) Thí dụ

1.Giải phương trình:

Giải

(1) ⇔ (x+3)(x+ −7) 3 x+ −3 2 x+ + =7 6 0

⇔ x+3( x+ − −7 3) 2( x+ − =7 3) 0

⇔ ( x+ −7 3)( x+ − =3 2) 0

x

x



+ − =



⇔ 7 9

3 4

x

x

+ =



 + =



1

x

x

=



 =

2.Giải phương trình:

(x − +3x 2) + − + + +( x x 1) (2x−3) =0 (2)

Giải

Áp dụng hằng đẳng thức: (a-b)3 + (b-c)3 + (c-a)3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)

Với :

2

2

1

4

Đs: 2;1;1 5 3;

±

3.Giải phương trình:

x =x + + + +x x x (3)

Giải

Đs: 2

4 Giải phương trình:

x x +x x + x x =

Giải

(4)

(điều kiện x ≠ -4 ,-5, -6, -7)

2

(4)

Đs: -13; 2

5 Giải phương trình:

4

x− +x− +x− +x− =

(5)

Giải

1700 1698 1696 1694

1994 0

x

x

6 Giải phương trình:

1

Giải

Điều kiện: x ≥ 0

1

x

⇔ =

Đs:1

7 Giải phương trình:

x+ = x+ + x+ (7)

Giải

x

y= + ⇒ x+ = −y

4

3

5

2

4

2

Ta có

2

5

  nên(*)được viết là:

Đặt

2

5

2

t=y− 

(**) trở thành :

8 Giải phương trình:

( 2+ 3) (x+ 2− 3)x =4 (8)

(câu 3 dề 52 bộ tuyển sinh đại học 1993)

Giải

Đặt y=( 2− 3)x (y > 0)

Đs: 2 ; -2

9 Giải phương trình:

(4x−1) x2+ =1 2(x2+ +1) 2x−1 (9)

(Trích câu 2 đề 78 bộ dề thi tuyển sinh đại học 1993)

Giải

2

2

1

1 4

y

y

y

⇔ + =

Đặt: y= x2+1 ; y≥1

2 2

2

Đs: 0 ; 4

3

2 Áp dụng bất đẳng thức

a) Các bước

Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x) ≥ a; g(x) ≤ a (a là hằng số)

Nghiệm của phương trình là các giá trị x thỏa mãn đồng thời f(x) = a và g(x) = a

Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số)mà ta luôn có h(x) ≥ m

hoặc h(x) ≤ m thì nghiệm của hệ là các giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy ra

Áp dụng các bất đẳng thức

Cauchy, Bunhiacốpki,…

b) Thí dụ

1 Giải phương trình:

( 2 ) (2 2 ) (2 2 )2

13 x − +3x 6 + x −2x+7 = 5x −12x+33

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki cho 4 số:

( 2 2) ( 2 2) ( )2

Dấu “=” xảy ra khi a b

c =d

Với a=2; b=3; c x= − +2 3x 6; d =x2−2x+7

Ta có:

2 +3  x − +3x 6 + x −2x+7  ≥2 x − + +3x 6 3 x −2x+7  = 5x −12x+33

Do đó:

2

2 Giải phương trình:

Giải:

Ta có:

( )

2 2

2 2

2

2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương (x2−2x+2)và (x2−4x+5)

Đs: 3

2

3 Giải phương trình:

Giải:

(3)⇔ x−3 + +2 x−3 + +4 x−2 + = +1 3 2 (*)

Nên (*) xảy ra khi và chỉ khi ( )

2 2

x x





 Điều này không thể có được Vậy phương trình vộ nghiệm

4 Giải phương trình:

2

2 2

Giải:

2 2

4

x

2

x

( )2

Do đó ta có: ( )2

5 Giải phương trình:

6

4 2 2

Giải:

*Điều kiện: 2

2

1 0

1 0

x

x

− ≥



 − ≥



 − + ≥



*Ta có: 19 x− 1 + 54x2 − 1 + 956x2 − + 3x 2 ≥ 190+ + 50 950 = 3

3 Chứng minh nghiệm duy nhất

a) Các bước

Ở một số phương trình ta có thể thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng, rồi tìm cách chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra không còn nghiệm nào khác nữa

b) Thí dụ

1 Giải phương trình:

Giải:

x = 0 là một nghiệm (1)

Nếu x ≠ 0 ta có 2x2+3+ 3x2〉 20 3+ + 〉 3 90

Do đó x ≠ 0 không thể là nghiệm của (1) Đs: 0

2 Giải phương trình:

( )

2x = 3 x + 1 (2)

Giải:

* Dễ thấy x = 2 không phải là nghiệm của (2)

* Xét x > 2.Ta có:

1

x < 2 Ta có:

1

3 Giải phương trình:

1 1 1

Giải:

(3)⇔2−x 2 x− − +1 3−x 3 x− − +1 5−x 5 x− − =1 0

2

x= là nghiệm của (3)

* Xét 1

2

x〉 => 22x−1〉1 ; 32x−1〉1; 52x−1〉 ⇒1 vế trái của (*) lớn hơn 0

* Xét 1

2

x〈 Tương tự với lý luận trên ⇒ vế trái của (*) nhỏ hơn 0 Đs: 1

2

4 Giải phương trình:

5 x2+28 2+ 3 x2+23+ x− +1 x = 2 9+

Giải:

x = 2 là nghiệm của (3)

5 Giải phương trình:

1994 1995

x− + −x =

Giải:

x = 3 và x = 4 là nghiệm của phương trình

6 Giải phương trình:

Giải:

*Ta có:

2

2

2

Nhận thấy: x = ± 2 là nghiệm của phương trình (6)

* Xét x ≠ ± 2: không là nghiệm của phương trình (5)

Đs: ±2

4 Đưa về hệ phương trình

a) Các bước

Tìm điều kiện tồn tại của phương trình

Biến đổi phương trình để xuất hiện nhân tử chung

Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình quen thuộc

b) Thí dụ

1 Giải phương trình:

3 x a+ −3 x b+ =1

Giải:

Đặt: u= 3 x a+ và v= 3 x b+

Ta có: u v3 31

− =



 −

1 1

3

u v

a b

u v

− =





− −



( )

1

1

3

a b

 + − =



− =



u, -v là nghiệm của phương trình 2 1 0

3

a b

y − +y − + + =

⇔ 3y2−3y a b− + + =1 0

4

a b− 〈 thì ∆ 〈0: phương trình vô nghiệm

4

a b− = thì ∆ =0:

u= − =v =

do đó

3

3

1 2 1 2

x a

x b





 + = −



8

x= − −b

4

a b− 〉 thì ∆〉0

1

6

2

6

=

6

6

=

6

6

6

=

6

2 Giải phương trình:

3 3x+1 +3 3x−1 + 9x − =1 1 (6)

Giải:

Đặt: u= 33x+1 và v=3 3x−1

(6) trở thành:

2 2

3 3

2





− =



u v u v

⇒ − = ⇒ = +

Do đó: ( )2 2 ( )

( )

2

2

v

⇔ = − ⇒ =

Vậy ta có:

3 3

0

x



3 Giải phương trình:

( 1+ −x 1)( 1− + =x 1) 2x

Giải:

Điều kiện: − ≤ ≤1 x 1

Đặt: 1 x u+ = (0≤ ≤u 2)

Suy ra: x u= 2−1

Phương trình trở thành: (u−1) ( 2−u2 + =1) 2(u2−1)

2

2

1 0

u

− =





⇔



a) u− = ⇒ =1 0 u 1(thỏa u≥0)

suy ra x=0

b)( 2−u2 + =1) 2(u+1)

2

( )2

2

uđúì u



⇔ 



2

5

u = (loại u1 = −1vì -1<0)

Ta có:

2 2

2

x u= − =  − = −

 ÷

24 25

−

II.Bài tập vận dụng

Đề bài:

Bài 1:Giả sử x1,x2,x3 là nghiệm của PT:

CM:

Bài 2: Giả sử x1,x2,x3 là nghiệm của PT:

CM:

Bài 3:Giải PT:

Bài 4:CM: là số vô tỉ

Bài 5:CM: là số vô tỉ

B ài 6:C ó bao nhi êu PT d ạng:

c ó 3 nghi ệm a;b;c?

nh ất

B ài 8:Gi ải c ác PT sau:

a)

b)

c)

B ài 9:Gi ải PT:

B ài 10:Gi ải PT

B ài 11:Gi ải PT:

B ài 12:Gi ải PT:

B ài 13: Gi ải PT:

Bài 14: Giải PT:

Bài 15: Giải PT:

Bài 16: Giải PT:

Bài 17: Giải các PT sau:

a)

c)

d)

Bài 18: Giải các PT sau:

a)

b)

d)

e)

g)

Bài 19:Giải PT:

Bài 20:Giải PT:

Bài 21: Giải PT

Bài 22: Giải PT:

Bài 23: Giải PT:

Bài 24: Giải PT:

Bài25: Giải PT:

Bài 26: Giải PT:

Bài 27:

Bài 28:

Bài 29:

Bài 30:

Bài 31:

Bài 32:

Bài 33: Giải PT:

Bi ết r ằng:

B ài 34:

B ài 35:

B ài 36:

Bài 37:

Giải phương trình:

2

8

39. 3 x+ +1 x+ =2 5

40. x4 +8x+ x4+8x2+4x+ +11 x4+11x2+6x+19 2=

41. x2+2x+ 2x− =1 3x2+4x+1

42. 2x3− +x2 3 2x3− + =3x 1 3x+ +1 3 x2+2

43. 1 2 2 1

2

x

44. x2− +8x 816+ x2+10x+267 = 2003

45. 5 27x10−5x6+5864 0=

46. x−2005+ −x 2006 + −x 2007 + −y 2008 =2

47. ( x – 3 )2 + x4 = -y2 +6y – 4

12

xyz

20x+ +11y + +2006z + =10127

2004 4009 2005

51. 10 10 16 16 ( 2 2)2

52 ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 2 2 2